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Universidade Federal da Bahia - Instituto de Matema´tica - DMAT MAT A07 - A´lgebra Linear A Professora: Simone Moraes 1a PROVA RESOLVIDA 1.a Questa˜o. (a) Sejam A, B e C matrizes de ordens 3× 4, 2× 4 e 4× 2, respectivamente. Responda, e´ poss´ıvel efetuar a expressa˜o matricial B ·AT − (A ·C)T ? Em caso afirmativo determine a ordem de tal expressa˜o. (b) Determine a matriz A = [aij] de ordem 2 × 5 sabendo que seus elementos sa˜o dados pela fo´rmula: aij = i− 2j, se i < j i2 + j, se i = j −j + 1, se i > j. Soluc¸a˜o: (a) A3×4, enta˜o AT4×3 e ( B2×4 · AT4×3 ) 2×3 , por outro lado ( A3×4 · C4×2 ) 3×2 , logo (A · C)T2×3. Portanto, a expressa˜o matricial B · AT − (A · C)T esta´ definida e sua ordem e´ 2× 3. (b) Pela fo´rmula acima temos: a11 = 1 2 + 1 = 2 a12 = 1− 2× 2 = −3 a13 = 1− 2× 3 = −5 a14 = 1− 2× 4 = −7 a15 = 1− 2× 5 = −9 a21 = −1 + 1 = 0 a22 = 22 + 2 = 6 a23 = 2− 2× 3 = −4 a24 = 2− 2× 4 = −6 a25 = 2− 2× 5 = −8. Portanto, A = [ 2 −3 −5 −7 −9 0 6 −4 −6 −8. ] 2.a Questa˜o. Seja A uma matriz quadrada de ordem 7 com detA = −3, calcule detB, nos seguintes casos: (a) B = 3AT · A−5. 1 (b) B e´ a matriz obtida efetuando as seguintes operac¸o˜es elementares sobre as linhas de A: L1 ←→ L5, L2 −→ L2 + 3L7, L3 −→ 4L3, L6 −→ L6 − 5L4. Soluc¸a˜o: (a) det(B) = det(3AT · A−5) A7×7= 37 × det(AT )× det(A−5) detA=detAT e detAn=(detA)n = 37×detA× (detA)−5 = 37× (−3)× (−3)−5 = 37× (−3)−4 = 33 = 27. (b) Quando efetuamos a operac¸a˜o elementar: • L1 ←→ L5 o determinante da matriz resultante muda de sinal em relac¸a˜o ao determinante da matriz inicial. • L2 −→ L2 + 3L7 na˜o interfere no determinante da matriz resultante. • L3 −→ 4L3 o determinante da matriz resultante e´ quatro vezes o determinante da matriz inicial. • L6 −→ L6 − 5L4 na˜o interfere no determinante da matriz resultante. Logo, detB = (−1)× 4× detA = (−4)× (−3) = 12. 3.a Questa˜o. Seja a matriz A = 3 3 3 3 3 3 + a 3 3 3 3 3 + b 3 3 3 3 3 + c , com a, b e c sa˜o nu´meros reais tais que a · b · c = −8. (a) Mostre que detA = −24. (b) Determine, pelo me´todo dos cofatores ou pelo me´todo do escalonamento, A−1, a inversa de A. Soluc¸a˜o: (a) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 3 3 3 3 3 3 + a 3 3 3 3 3 + b 3 3 3 3 3 + c ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ L2 −→ L2 − L1 L3 −→ L3 − L1 L4 −→ L4 − L1 = a ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 3 3 3 3 0 a 0 0 0 0 b 0 0 0 0 c ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 3abc = 3× (−8) = −24. 2 (b) Pelo me´todo dos cofatores: cof(311) = ∣∣∣∣∣∣∣ 3 + a 3 3 3 3 + b 3 3 3 3 + c ∣∣∣∣∣∣∣ = (3 + a) ∣∣∣∣∣ 3 + b 33 3 + c ∣∣∣∣∣− 3 ∣∣∣∣∣ 3 33 3 + c ∣∣∣∣∣+ 3 ∣∣∣∣∣ 3 3 + b3 3 ∣∣∣∣∣ = (3 + a)(3 + b)(3 + c)− 9(3 + a)− 9(3 + c) + 27 = 27− 9(3 + b) = 3ab+ 3ac+ 3bc+ abc. Como abc = −8, enta˜o: ab = −8 c ac = −8 b bc = −8 a . Logo, cof(311) = −24 c + −24 b + −24 a − 8 = −24 ( 1 3 + 1 a + 1 b + 1 c ) . cof(312) = − ∣∣∣∣∣∣∣ 3 3 3 3 3 + b 3 3 3 3 + c ∣∣∣∣∣∣∣ L2 −→ L2 − L1L3 −→ L3 − L1 = − ∣∣∣∣∣∣∣ 3 3 3 0 b 0 0 0 c ∣∣∣∣∣∣∣ = −3bc cof(313) = ∣∣∣∣∣∣∣ 3 3 + a 3 3 3 3 3 3 3 + c ∣∣∣∣∣∣∣ L1 −→ L1 − L2 L3 −→ L3 − L2 = ∣∣∣∣∣∣∣ 0 a 0 3 3 3 0 0 c ∣∣∣∣∣∣∣ = c ∣∣∣∣∣ 0 a3 3 ∣∣∣∣∣ = −3ac cof(314) = − ∣∣∣∣∣∣∣ 3 3 + a 3 3 3 3 + b 3 3 3 ∣∣∣∣∣∣∣ L1 −→ L1 − L3 L2 −→ L2 − L3 = − ∣∣∣∣∣∣∣ 0 a 0 0 0 b 3 3 3 ∣∣∣∣∣∣∣ = b ∣∣∣∣∣ 0 a3 3 ∣∣∣∣∣ = −3ab cof(321) = − ∣∣∣∣∣∣∣ 3 3 3 3 3 + b 3 3 3 3 + c ∣∣∣∣∣∣∣ = cof(312) = −3bc cof(3 + a) = ∣∣∣∣∣∣∣ 3 3 3 3 3 + b 3 3 3 3 + c ∣∣∣∣∣∣∣ L2 −→ L2 − L1L3 −→ L3 − L1 = − ∣∣∣∣∣∣∣ 3 3 3 0 b 0 0 0 c ∣∣∣∣∣∣∣ = 3bc 3 cof(323) = − ∣∣∣∣∣∣∣ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 + c ∣∣∣∣∣∣∣ = 0 cof(324) = ∣∣∣∣∣∣∣ 3 3 3 3 3 3 + b 3 3 3 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0 cof(331) = ∣∣∣∣∣∣∣ 3 3 3 3 + a 3 3 3 3 3 + c ∣∣∣∣∣∣∣ L2 −→ L2 − L1L3 −→ L3 − L1 = ∣∣∣∣∣∣∣ 3 3 3 a 0 0 0 0 c ∣∣∣∣∣∣∣ = c ∣∣∣∣∣ 3 3a 0 ∣∣∣∣∣ = −3ac cof(332) = − ∣∣∣∣∣∣∣ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 + c ∣∣∣∣∣∣∣ = 0 cof(334) = ∣∣∣∣∣∣∣ 3 3 3 3 3 + a 3 3 3 3 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0 cof(3 + b) = ∣∣∣∣∣∣∣ 3 3 3 3 3 + a 3 3 3 3 + c ∣∣∣∣∣∣∣ L2 −→ L2 − L1L3 −→ L3 − L1 = − ∣∣∣∣∣∣∣ 3 3 3 0 a 0 0 0 c ∣∣∣∣∣∣∣ = 3ac cof(341) = − ∣∣∣∣∣∣∣ 3 3 3 3 + a 3 3 3 3 + b 3 ∣∣∣∣∣∣∣ L2 −→ L2 − L1L3 −→ L3 − L1 = − ∣∣∣∣∣∣∣ 3 3 3 a 0 0 0 b 0 ∣∣∣∣∣∣∣ = a ∣∣∣∣∣ 3 3b 0 ∣∣∣∣∣ = −3ab cof(342) = ∣∣∣∣∣∣∣ 3 3 3 3 3 3 3 3 + b 3 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0 cof(343) = − ∣∣∣∣∣∣∣ 3 3 3 3 3 + a 3 3 3 3 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0 cof(3 + c) = ∣∣∣∣∣∣∣ 3 3 3 3 3 + a 3 3 3 3 + b ∣∣∣∣∣∣∣ L2 −→ L2 − L1L3 −→ L3 − L1 = − ∣∣∣∣∣∣∣ 3 3 3 0 a 0 0 0 b ∣∣∣∣∣∣∣ = 3ab. Observac¸a˜o: Como a matriz A e´ sime´trica os ca´lculos poderiam ser reduzidos observando que cof(312) = cof(321) cof(313) = cof(331) cof(314) = cof(341) cof(323) = cof(332) cof(324) = cof(342) cof(334) = cof(343). 4 Logo, cof(A) = −24 ( 1 3 + 1 a + 1 b + 1 c ) −3bc −3ac −3ab −3bc 3bc 0 0 −3ac 0 3ac 0 −3ab 0 0 3ab = −24 ( 1 3 + 1 a + 1 b + 1 c ) 24 a 24 b 24 c 24 a −24 a 0 0 24 b 0 −24 b 0 24 c 0 0 −24 c . Consequentemente, A−1 = 1 −24 −24 ( 1 3 + 1 a + 1 b + 1 c ) 24 a 24 b 24 c 24 a −24 a 0 0 24 b 0 −24 b 0 24 c 0 0 −24 c = 1 3 + 1 a + 1 b + 1 c −1 a −1 b −1 c −1 a 1 a 0 0 −1 b 0 1 b 0 −1 c 0 0 1 c . 5 Pelo me´todo do escalonamento (operac¸o˜es elementares sobre as linhas de A): 3 3 3 3 | 1 0 0 0 3 3 + a 3 3 | 0 1 0 0 L2 −→ L2 − L1 3 3 3 + b 3 | 0 0 1 0 L3 −→ L3 − L1 3 3 3 3 + c | 0 0 0 1 L4 −→ L4 − L1 ∼ 3 3 3 3 | 1 0 0 0 L1 −→ 1 3 L1 | 0 a 0 0 | −1 1 0 0 L2 −→ 1 a L2 | 0 0 b 0 | −1 0 1 0 L3 −→ 1 b L3 | 0 0 0 c | −1 0 0 1 L4 −→ 1 c L4 ∼ 1 1 1 1 | 1 3 0 0 0 L1 −→ L1 − L2 | 0 1 0 0 | −1 a 1 a 0 0 | 0 0 1 0 | −1 b 0 1 b 0 | 0 0 0 1 | −1 c 0 0 1 c ∼ 1 0 1 1 | 1 3 + 1 a −1 a 0 0 L1 −→ L1 − L3 | 0 1 0 0 | −1 a 1 a 0 0 | 0 0 1 0 | −1 b 0 1 b 0 | 0 0 0 1 | −1 c 0 0 1 c 6 ∼ 1 0 0 1 | 1 3 + 1 a + 1 b −1 a −1 b 0 L1 −→ L1 − L4 | 0 1 0 0 | −1 a 1 a 0 0 | 0 0 1 0 | −1 b 0 1 b 0 | 0 0 0 1 | −1 c 0 0 1 c ∼ 1 0 0 0 | 1 3 + 1 a + 1 b + 1 c −1 a −1 b −1 c | 0 1 0 0 | −1 a 1 a 0 0 | 0 0 1 0 | −1 b 0 1 b 0 | 0 0 0 1 | −1 c 0 0 1 c Portanto, A−1 = 1 3 + 1 a + 1 b + 1 c −1 a −1 b −1 c −1 a 1 a 0 0 −1 b 0 1 b 0 −1 c 0 0 1 c . 4.a Questa˜o. Decida se a afirmac¸a˜o dada e´ (sempre) verdadeira ou (a`s vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lo´gico matema´tico ou um contra-exemplo. (a) ( ) Se a diferenc¸a de matrizes AB − BA estiver definida, enta˜o A e B devem ser matrizes quadradas de mesma ordem. (b) ( ) Se A e´ uma matriz quadrada anti-sime´trica, enta˜o a matriz A4 e´ anti-sime´trica. (c) ( ) Se A e B sa˜o matrizes quadradas de mesma ordem e invert´ıveis, enta˜o a matriz A + B e´ invert´ıvel. 7 (d) ( ) Se A e B sa˜o matrizes invert´ıveis de mesma ordem, enta˜o B−1 · A · (A+ ATB−1A)−1 = (AT +B)−1. Soluc¸a˜o: (a) (V) Dizer que a diferenc¸ade matrizes AB −BA esta´ definida, e´ equivalente a dizer que AB e BA teˆm a mesma ordem. Ja´ que esta˜o definidos os produtos AB e BA, enta˜o o nu´mero de colunas de A e´ igual ao nu´mero de linhas de B e o nu´mero de colunas de B e´ igual ao nu´mero de linhas de A, ou seja, A e B sa˜o matrizes de ordens n×m e m× n, respectivamente. Consequentemente, (AB)n×n e (BA)m×m. Portanto, AB e BA teˆm a mesma ordem se, e somente se, m = n, ou seja, se A e B sa˜o matrizes quadradas de mesma ordem. (b) (F) A matriz A = [ 0 1 −1 0 ] e´ anti-sime´trica, pois AT = [ 0 −1 1 0 ] = −A. Consequentemente, A2 = [ 0 1 −1 0 ] · [ 0 1 −1 0 ] = [ −1 0 0 −1 ] e A4 = [ −1 0 0 −1 ] · [ −1 0 0 −1 ] = [ 1 0 0 1 ] . Portanto, A4 na˜o e´ anti-sime´trica, pois (A4)T = A4 6= −A4. (c) (F) As matrizes A = [ 1 0 0 1 ] e B = [ −1 0 0 −1 ] sa˜o invert´ıveis, pois detA = detB = 1, pore´m A + B = [ 0 0 0 0 ] e det(A + B) = 0, portanto esta matriz na˜o e´ invert´ıvel. (d) (V) Pois, B−1 · A · (A+ ATB−1A)−1 = ((A+ ATB−1A) · A−1 ·B)−1 = ( A · A−1 ·B + ATB−1A · A−1 ·B )−1 = ( B + AT )−1 = ( AT +B )−1 . 8
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