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Lista 4 Determinantes 1. Encontre o nu´mero de inverso˜es em cada uma das seguintes permutac¸o˜es de {1, 2, 3, 4, 5} (a) (41352) (b) (53421) (c) (32541) (d) (12345) (e) (12345) (f) (14235) (g) (54321) 2. Classifique cada uma das permutac¸o˜es do exerc´ıcio 1 como par ou impar. 3. Calcule os determinantes. (a) ∣∣∣∣ 3 5−2 4 ∣∣∣∣ (b) ∣∣∣∣ 4 18 2 ∣∣∣∣ (c) ∣∣∣∣ −5 6−7 −2 ∣∣∣∣ (d) ∣∣∣∣ a− 3 5−3 a− 3 ∣∣∣∣ (e) ∣∣∣∣∣∣ −2 7 6 5 1 −2 3 8 4 ∣∣∣∣∣∣ (f) ∣∣∣∣∣∣ −2 1 4 3 5 −7 1 6 2 ∣∣∣∣∣∣ (g) ∣∣∣∣∣∣ −1 1 2 3 0 −5 1 7 2 ∣∣∣∣∣∣ (i) ∣∣∣∣∣∣ 3 0 0 2 −1 5 1 9 −4 ∣∣∣∣∣∣ (j) ∣∣∣∣∣∣ c −4 3 2 1 c2 4 c− 1 2 ∣∣∣∣∣∣ 4. Encontre os valores de λ para os quais det(A) = 0. (a) A = [ λ− 2 1 −5 λ+ 4 ] (b) A = λ− 4 0 00 λ 2 0 3 λ− 1 5. Classifique cada pemutac¸o˜es de {1, 2, 3, 4} como par ou impar. 6. Use as respostas do exerc´ıcio anterior para construir uma fo´rmula para o determinante de uma matriz 4× 4 7. Use a fo´rmula obtida no exerc´ıcio anterior para calcular o determinante∣∣∣∣∣∣∣∣ 4 −9 9 2 −2 5 6 4 1 2 −5 −3 1 −2 0 −2 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 8. Calcule (a) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 0 0 0 0 −3 0 0 0 −4 0 0 0 −1 0 0 0 2 0 0 0 5 0 0 0 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (b) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 5 0 0 0 0 0 0 0 0 −4 0 0 3 0 0 0 0 0 1 0 0 −2 0 0 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 9. Calcule os determinantes simplificando (se necessa´rio) as matrizes. (a) ∣∣∣∣∣∣ 3 −17 4 0 5 1 0 0 −2 ∣∣∣∣∣∣ (b) ∣∣∣∣∣∣∣∣ √ 2 0 0 0 −8 √2 0 0 7 0 −1 0 9 5 6 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ (c) ∣∣∣∣∣∣ 1 −2 3 2 −4 6 5 −8 1 ∣∣∣∣∣∣ 10. Calcule os determinantes reduzindo as matrizes a` sua forma escalonada por linhas. (a) ∣∣∣∣∣∣ 3 6 −9 0 0 −2 −2 1 5 ∣∣∣∣∣∣ (b) ∣∣∣∣∣∣ 0 3 1 1 1 2 3 2 4 ∣∣∣∣∣∣ (c) ∣∣∣∣∣∣ 1 −3 0 −2 4 1 5 −2 2 ∣∣∣∣∣∣ (d) ∣∣∣∣∣∣ 3 −6 9 −2 7 −2 0 1 5 ∣∣∣∣∣∣ (e) ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 −2 3 1 5 −9 6 3 −1 2 −6 −2 2 8 6 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ (f) ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 1 3 1 1 0 1 1 0 2 1 0 0 1 2 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ (g) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 3 1 5 3 −2 −7 0 −4 2 0 0 1 0 1 0 0 2 1 1 0 0 0 1 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 11. Use a reduc¸a˜o de linhas (colunas) para mostrar que∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 a b c a2 b2 c2 ∣∣∣∣∣∣ = (b− a)(c− a)(c− b) 12. Fazendo uso dos resultados obtidos na aula teo´rica, indique quais das seguintes matrizes sa˜o invert´ıveis. (a) 1 0 −19 −1 4 0 9 −1 (b) 4 2 8−2 1 −4 3 1 6 (c) √2 −√7 03√2 −3√7 0 5 −9 0 (d) −3 0 15 0 6 8 0 3 2 13. Seja A = a b cd e f g h i Assumindo que det(A) = −7, determine (a) det(3A) (b) det(A−1) (c) det(2A−1) (d) det((2A)−1) (e) ∣∣∣∣∣∣ a g d b h e c i f ∣∣∣∣∣∣ 14. Sejam A e B matrizes n× n. Mostre que se A e´ invert´ıvel enta˜o det(B) = det(A−1BA). 15. Seja A = 1 −2 36 7 −1 −3 1 4 (a) Encontre todos os menores de A. (b) Encontre todos os cofactores. 16. Seja A = 4 −1 1 6 0 0 −3 3 4 1 0 14 4 1 3 2 Determine (a) M13 e C13 (b) M23 e C23 (c) M22 e C22 (d) M21 e C21 17. Calcule o determinante do exerc´ıcio anterior por expansa˜o de cofactores ao longo (a) da primeira linha (b) da primeira coluna (d) da segunda coluna (e) da terceira linha 18. Para a matriz do exerc´ıcio 15, calcule (a) adj(A) (b) A−1 19. Calcule por expansa˜o de cofactores ao longo de uma linha ou coluna qualquer, o determinante das matrizes. 3 (a) P = 3 3 11 0 −4 1 −3 5 (b) X = k + 1 k − 1 72 k − 3 4 5 k + 1 k (c) Y = 3 3 0 5 2 2 0 −2 4 1 −3 0 2 10 3 2 (d) Z = 4 0 0 1 0 3 3 3 −2 0 1 2 4 2 3 9 4 6 2 3 2 2 4 2 3 20. Resolva utilizando a Regra de Cramer, onde esta for aplica´vel. (a) { 7x1 − 2x2 = 3 3x1 + x2 = 5 (b) 4x+ 5y = 2 11x+ y + 2z = 3 x+ 5y + 2z = 1 (c) x− 4y + z = 6 4x− y + 2z = − 1 2x+ 2y − 3z = −20 (d) −x1 − 4x2 + 2x3 + x4 = −32 2x1 − x2 + 7x3 + 9x4 = 14 −x1 + x2 + 3x3 + x4 = 11 x1 − 2x2 + x3 − 4x4 = −4 (e) 3x1 − x2 + x3 = 4 −x1 + 7x2 − 2x3 = 1 2x1 + 6x2 − x3 = 5 21. Use a Regra de Cramer para resolver o sistema para y sem o resolver para x, z, e w. 4x+ y + z + w = 6 3x+ 7y − z + w = 1 7x+ 3y − 5z + 8w = −3 x+ y + z + 2w = 3 4
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