Capitulo 6 Sartoris

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CAPÍTULO 6 - ESTIMAÇÃO 
 
 
1. 
a) 
média amostral: 6,6
5
129642 =++++=X 
 
variância amostral: 
S2 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
2,63
4
6,6126,696,666,646,62 22222 =−+−+−+−+− 
S2 = 15,8 
 
variância da média amostral: 
16,3
5
8,15)var(
2
===
n
SX 
 
b) 
média amostral: 77,1
6
7,15,11,29,18,16,1 ≅+++++=X 
 
variância amostral: 
S2 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5
77,17,177,15,177,11,277,19,177,18,177,16,1 222222 −+−+−+−+−+− 
S2 = 
5
0049,00729,01089,00169,00009,00289,0 +++++ 
S2 = 0,04668 
 
variância da média amostral: 
00778,0
6
04668,0)var(
2
===
n
SX 
 
c) 
média amostral: 
14,1157
7
14007009001600130012001000 ≅++++++=X 
 
variância amostral: 
S2 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
6
14,1157140014,115770014,115790014,1157160014,1157130014,1157120014,11571000
2222222 −+−+−+−+−+−+− 
S2 =
6
58980,98208976,9866120,98196124,9820408,981836,9824692,98 ++++++ 
 
S2 = 96190,48 
 
variância da média amostral: 
 
50,13741
7
48,96190)var(
2
≅==
n
SX 
 
2. 
Para sabermos se um estimador é viesado, devemos calcular a esperança deste estimador. 
Calculemos a esperança de M1: 
 
E(M1) = 

 +
4
2 21 XXE 
E(M1) = ( )21 24
1 XXE + 
E(M1) = ( )[ ])(24
1
21 XEXE + 
E(M1) = ( )µµ 24
1 + 
E(M1) = µµ ≠4
3 
 
Portanto, M1 é um estimador viesado da média populacional. Seu viés é dado por: 
 
viés(M1) = E(M1) - µ 
viés (M1) = µµ −4
3 
viés(M1) = 4
µ− 
 
Para M2: 
 
E(M2) = 

 +
7
43 21 XXE 
E(M2) = ( )21 437
1 XXE + 
E(M2) = ( ) ( )[ ]21 437
1 XEXE + 
E(M2) = ( )µµ 437
1 + 
E(M2) = µµ =7
7 
 
Portanto, M2 é um estimador não viesado da média populacional. 
 
3. 
A variância de M1 será dada por: 
 
var(M1) = 

 +
4
2var 21 XX 
 
Pelas propriedades da variância, temos que: 
var(M1) = ( )21 2var16
1 XX + 
 
E considerando que X é distribuído independentemente: 
var(M1) = ( ) ( )[ ]21 2varvar16
1 XX + 
var(M1) = [ ])var(4)var(16
1
21 XX + 
var(M1) = ( )22 416
1 σσ + 
 
var(M1) = 22 3125,016
5 σσ = 
 
E a variância de M2 será dada por: 
 
var(M2) = 

 +
7
43var 21 XX 
var(M2) = ( )21 43var49
1 XX + 
 
E considerando que X é distribuído independentemente: 
var(M2) = ( ) ([ ]21 4var3var49
1 XX + ) 
var(M2) = ( ) ( )[ ]21 var16var949
1 XX + 
var(M2) = ( )22 16949
1 σσ + 
var(M2) = 22 51,049
25 σσ ≅ 
 
4. 
EQM(M1) = var(M1) + [viés(M1)]2 
EQM(M1) = 16
5 σ2 + [
4
µ− ]2 
EQM(M1) = 16
5 σ2 + 
16
2µ 
 
E agora para M2: 
 
EQM(M2) = var(M2) + [viés(M2)]2 
EQM(M2) = 2σ49
25 + 0 
EQM(M2) = 0,51 σ2 
 
5. Se µ = 0, teremos que: 
EQM(M1) = 16
5 σ2 = 0,3125 σ2 
EQM(M2) = 0,51 σ2 
 
 Assim, como EQM(M1) é menor que o EQM(M2), M1 seria um estimador 
relativamente mais eficiente do que M2, neste caso. 
 
 
6. Se µ = 10 e σ = 2 (portanto, σ2 = 4), temos que: 
EQM(M1) = 16
5 σ2 + 
16
2µ = 
16
100
16
20 + = 7,5 
 
EQM(M2) = 0,51 σ2 = 2,04 
 
 Neste caso, portanto, M2 seria um estimador relativamente mais eficiente que 
M1. 
 
7. 
Para M3: 
E(M3) = E








−
∑
=
2
1
n
X
n
i
i 
E(M3) = 


− ∑=
n
i
iXEn 12
1 
E(M3) = ( )nXXXEn +++− "212
1 
E(M3) = ( ) ( ) ([ ]nXEXEXEn "++− 212
1 ) 
E(M3) = [ ]µµµ +++− "2
1
n
 
E(M3) = 2−n
nµ ≠ µ 
 
 Portanto, M3 é um estimador viesado da média populacional. E seu viés é dado por: 
 
viés(M3) = E(M3) - µ 
viés(M3)= 2−n
nµ -µ 
 
viés(M3)= 
( )[ ]
2
2
−
−−
n
nn µµ 
viés(M3)= 2
2
−n
µ 
 
Para M4: 
 E(M4)= 








−+
∑
=
12
1 2
1 n
X
XE
n
i
i
 
E(M4)= ( ) −+ ∑=
n
i
iXEn
XE
2
1 1
1
2
1 
E(M4)= ( ) ( )ni XXXEnXE "++−+ 321
1
2
1 
E(M4)= ( )µµ 11
1
2
1 −−+ nn 
E(M4)= µµµ 2
3
2
1 =+ ≠µ 
 
 Portanto, M4 é um estimador viesado da média populacional. E seu viés é dado por: 
 
viés(M4)= E(M4) - µ 
viés(M4)= µµ −2
3 
viés(M4)= µ2
1 
 
8. 
A variância de M3 será dada por: 
 
var(M3) = 








−
∑
=
2
var 1
n
X
n
i
i
 
var(M3) = ( ) − ∑=
n
i
iXn 12
var
2
1 
var(M3) = ( ) ( )nXXXn "++− 212 var2
1 
 
E considerando que X é distribuído independentemente: 
var(M3) = ( ) ( ) ( ) ( )[ ]nXXXn varvarvar2
1
212 "++− 
var(M3) = ( ) [ ]22222
1 σσσ "++−n 
var(M3) = ( )2
2
2−n
nσ 
 
 
E a variância de M4: 
var(M4) = 








−+
∑
=
12
1var 21 n
X
X
n
i
i
 
var(M4) = ( ) ( ) −+ ∑=
n
i
iXn
X
2
21 var1
1var
4
1 
var(M4) = ( ) ( ) ( )nXXXnX +++−+ "3221 var1
1var
4
1 
var(M4) = ( ) ( ) ( ) ( ) ([ ]nXXXnX varvarvar1
1var
4
1
3221 "++−+ ) 
var(M4) = 
( )
( )2
22
1
1
4 −
−+
n
n σσ 
var(M4) = ( )14
22
−+ n
σσ 
 
9. 
EQM(M3) = var(M3) + [viés(M3)]2 
EQM(M3) = ( )2
2
2−n
nσ + 
2
2
2 

 −n
µ 
EQM(M3) = ( )2
22
2
4
−
+
n
n µσ 
 
E para M4: 
 
EQM(M4) = var(M4) + [viés(M4)]21 
EQM(M4) = ( )14
22
−+ n
σσ +
2
2
1 

 µ 
EQM(M4) = ( )14
22
−+ n
σσ + 2
4
1 µ 
 
EQM(M4) = 
( ) ( )
( )14
141 222
−
−++−
n
nn µσσ 
 
10. Supondo que µ = 0 e n = 10, temos: 
EQM(M3) = ( )2
2
8
10σ =
32
5 2σ = 0,15625 2σ 
EQM(M4) = 36
49 22 σσ + =
36
13 2σ ≅ 0,36 2σ 
 
 Como M3 apresenta EQM menor que M4, concluímos que nesse caso M3 é um 
estimador relativamente mais eficiente que M4. 
 
11. 
Supondo que µ = 12, n = 10 e σ = 3 (portanto, σ2 = 9), temos que: 
 
EQM(M3) = ( )28
57690 + ≅ 10,41 
 
EQM(M4) = 25,3936
12963681 =++ 
 
 Como EQM(M3) é menor que EQM(M4), concluímos que nesse caso M3 é um 
estimador relativamente mais eficiente que M4. 
 
12. 
Um estimador é assintoticamente não viesado quando a medida que a amostra cresce, o viés 
vai desaparecendo. 
Para M3 temos que: 
 
∞→∞→ = nn lim)E(Mlim 3 E 

 − 2n
nµ = µ 
Portanto, M3 é um estimador assintoticamente não viesado da média populacional. 
 
Para M4: 
 
Elim)E(Mlim 4 ∞→∞→ = nn 

 µ
2
3 = µ
2
3 ≠ µ 
 
Portanto M4 é um estimador assintoticamente viesado da média populacional. 
 
13. 
Para M3: 
 
∞→nlim EQM(M3) = lim E∞→n ( ) 



−
+
2
22
2
4
n
n µσ = 0 
 
Portanto, M3 apresenta consistência do erro quadrado. 
 
 
Para M4: 
 
∞→nlim EQM(M4) = lim E∞→n 

 +−+
2
22
4
1
14
µσσ
n
 = 
4
22 µσ + 
 
Portanto, M4 não apresenta consistência do erro quadrado. 
 
14. 
Y = ∑
=
10
1i
iX 
 
Média de Y: 
E(Y) = E(∑ 
=
10
1i
iX )
E(Y) = E ( ) 1021 XXX "++
E(Y) = E ( + E ( + ... + E ( ) ) )1X 2X 10X
E(Y) = 10 ×12 = 120 
 
Variância: 
 
var(Y) = var ( ∑
=
10
1i
iX )
var(Y) = var ( ) 1021 XXX "++
 
Considerando que X seja independentemente distribuído: 
 
var(Y) = )var()var()var( 1021 XXX "++
var(Y) = 10 × 36 = 360 
 
15. 
W = ∑
∑
=
=
5
1
5
1
i
i
i
i
iX
 
Média: 
E(W) = E








∑
∑
=
=
5
1
5
1
i
i
i
i
iX
 
E(W) = E 


++++
++++
54321
54321 54321 XXXXX 
E(W) = E 


15
1X +E 


15
2 2X +E 


15
3 3X +E 

 15
4 4X +E 

 15
5 5X 
E(W) = )(
15
1
1XE + )(15
2
2XE + )(15
3
3XE + )(15
4
4XE + )(15
5
5XE 
 
Como a média de X é igual a 9: 
 
E(W) = 
15
45
15
36
15
27
15
1815
9 ++++ 
E(W) = 9 
 
Variância: 
var(W) = var








∑
∑
=
=
5
1
5
1
i
i
i
i
X
 
var(W) = var 


++++
++++
54321
54321 54321 XXXXX 
 
Considerando que X seja independentemente distribuído: 
 
var(W) = var 


15
1X + var 


15
2 2X + var 

 15
3 3X + var 

 15
4 4X + var 

 15
5 5X 
var(W) = 
225
1 var(X1) + 225
4 var(X2) + 225
9 var(X3) + 225
16 var(X4) + 225
25 var(X5) 
 
E como a variância de X é igual a 4 (22), temos que: 
var(W) = 
225
1006436164 ++++ 
var(W) 0,98 ≅
 
16. 
Sabemos que: 
E( X ) = 20 
var( X ) = 31,1
49
64 ≅ 
dp( X ) = 31,1 ≅ 1,14 
 
E pelo Teorema do Limite Central, sabemos que a média amostral segue uma 
distribuição normal com média 20 e desvio-padrão de 1,14. Queremos saber a 
probabilidade de X ser menor que 18. Padronizando, temos: 
 
Z = 75,1
14,1
20 −≅−18 
 
Assim: 
P( X <18) = P(Z<-1,75) = 0,5-0,459941 = 0,040059 = 4,006% 
 
17. 
Sabemos que: 
E( X ) = 9 
var( X ) = 
36
9 = 0,25 
dp( X ) = 25,0 = 0,5 
 
E pelo Teorema do Limite Central, sabemos que a média amostral segue uma 
distribuição normal com média 9 e desvio-padrão de 0,5. Queremos saber a probabilidade 
de X estar entre 8 e 10. Padronizando, temos: 
Z1 = 25,0
98 −≅− 
Z2 = 25,0
9 ≅−10 
Portanto: 
P(8≤ X ≤ 10) = P(-2≤Z 2) = 0,477250 + 0,477250 = 0,9545 = 95,45% ≤
 
E( X ) = n×ρ = 100×0,8 = 80 
18. Sabemos que: 
var( X ) = n×ρ (1-ρ) = 100×0,8×0,2 = 16 ×
 dp( X ) = 16 = 4 
 
E pelo Teorema do Limite Central, sabemos que a média amostral segue uma 
distribuição normal com média 80 e desvio-padrão de 4. Queremos saber a probabilidade 
de X ser menor que 75. Padronizando, temos: 
 
Z = 25,1
4
8075 −≅− 
 
Portanto: 
P( X < 75) = P(Z < -1,25) = 0,5 - 0,394350 = 0,10565 = 10,565% 
 
19. 
Média amostral: 
X = 6,5
5
58357 =++++ 
 
variância amostral: 
S2 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
6,556,586,536,556,57 22222 −+−+−+−+− 
S2 =
4
36,076,576,636,096,1 ++++ 
S2 =3,8 
 
Variância da média amostral: 
 Como se trata de uma população finita e a amostragem é feita sem reposicão, e 
assumindo que a variância populacional seja igual a variância amostral, temos: 
 var( X ) =
1
2
−
−×
N
nN
n
S 
var( X ) = 
49
45
5
8,3 × 
var( X ) 0,698 ≅
 
 
20. 
Sabemos que o estimador de máxima verossimilhança da média de uma distribuição 
normal é a própria média amostral. Portanto: 
 
n
X
µˆ
n
1i
i∑
== 
28,6µˆ = 
 
E o estimador de máxima verossimilhança para σ2 é dado por: 
 
( )
n
σ
2
12
∑
=
−
=
n
i
i xx
 
2σ = 15,44 
 
21. 
Sabemos que uma distribuição uniforme apresenta uma função densidade f(x) = 
ab −
1 , para . Os parâmetros a serem encontrados são justamente a e b, que são os 
valores mínimo e máximo, respectivamente, que a variável x pode apresentar. 
bxa ≤≤
 Os valores da amostra que têm a maior chance de ser estes valores são justamente o 
mínimo e o máximo valor encontrado na amostra. Portanto, os estimadores de máxima 
verossimilhança para a e b são: 
=aˆ min {25, 30, 28, 29, 32, 35, 21, 33, 26, 27} = 21 
=bˆ max {25, 30, 28, 29, 32, 35, 21, 33, 26, 27} = 35 
 
22. 
Sabemos que a f.d.p. de uma distribuição exponencial é dada por: 
f(x) = α exp[-α x] 
 
Onde exp[x] e≡ x 
 
Dessa forma: 
f(x1, x2,...,xn; α) = αn exp[-α ∑ ] 
=
n
i
ix
1
 
E a função de verossimilhança será: 
L( kα ; xi) = αn exp[-α ] ∑
=
n
i
ix
1
Tomando o logaritmo de L, temos: 
l( kα ; xi) ln{α≡ n exp[-α ]} ∑
=
n
i
ix
1
l( kα ; xi) = n lnα - α ∑
=
n
i
ix
1
Sabemos que para encontrar o ponto de máximo dessa função (ou seja, o valor que 
maximiza a probabilidade de que essa amostra pertença de fato a uma população cuja 
distribuição é exponencial) devemos encontrar a derivada de l em relação a α: 
α∂
∂l = α
n - = 0 ∑
=
n
i
ix
1
 α
n = ∑
=
n
i
ix
1
 α = ∑
=
n
1i
i
n
x
 
Sabemos que x = 
n
∑ x . Portanto: 
α = 
x
1 
 
 Lembre-se que já calculamos a média amostral no exercício 20. Portanto, o 
estimador de máxima verossimilhança para α será: 
α = 
6,28
1 ≅ 0,035 
 
23. 
 
a) Falso. A média amostral é um estimador não-viesado da média populacional, qualquer 
que seja o tamanho da amostra. 
b) Falso. A média amostral é um estimador eficiente para a média populacional, desde 
que a variável X siga uma distribuição normal. 
c) Verdadeiro. 
d) Falso. Todo estimador não viesado é consistente, desde que . 0)ˆvar(lim =∞→ θn
e) Falso. Um estimador viesado pode ser assintoticamente não viesado e, portanto, 
consistente. 
f) Falso. Um estimador consistente pode ser viesado. 
g) Verdadeiro. 
h) Falso. Será preferível aquele que apresentar menor EQM. 
i) Falso. Depende do valor da variância. 
j) Verdadeiro. 
k) Verdadeiro. 
l) Falso. O estimador de máxima verossimilhança é viesado. 
m) Verdadeiro. 
n) Falso. Veja item o). 
o) Verdadeiro. A lei dos grandes números garante que a média amostral é um estimador 
consistente da média POPULACIONAL. 
p) Falso. De acordo com o Teorema do Limite Central, a média amostral segue uma 
distribuição Normal desde que a amostra seja suficientemente grande.