Lista de Exercícios Integrais Duplas

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Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ – UTFPR
CD22NB – Ca´lculo Diferencial e Integral 2
Profa. Dra. Fernanda Paula
Se´tima lista de exerc´ıcios
Integrais Mu´ltiplas.
Exerc´ıcio 1) Calcule a integral iterada
a)
ˆ 3
1
ˆ 1
0
(1 + 4xy) dx dy b)
ˆ 2
0
ˆ pi/2
0
x sen y dy dx
c)
ˆ 4
1
ˆ 2
0
(x+
√
y)dx dy d)
ˆ 1
0
ˆ 2
1
x ex
y
dy dx
e)
ˆ 4
1
ˆ 2
1
(
x
y
+
y
x
)
dy dx f)
ˆ 1
0
ˆ 1
0
xy√
x2 + y2 + 1
dy dx
g)
ˆ ln2
0
ˆ ln5
0
e2x−y dx dy h)
ˆ 2
1
ˆ 1
0
(x+ y)−2dx dy
Exerc´ıcio 2) Calcule a integral dupla
a)
¨
R
(6x2y3 − 5y4) dA, R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1}
b)
¨
R
xy2
x2 + 1
dA, R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1,−3 ≤ y ≤ 3}
c)
¨
R
xsen(x+ y) dA, R = [0, pi/6]× [0, pi/3]
d)
¨
R
x
1 + xy
dA, R = [0, 1]× [0, 1]
e)
¨
R
xyex
2y dA, R = [0, 1]× [0, 2]
1
Exerc´ıcio 3) Calcule a integral dupla
a)
¨
D
x3y2 dA, D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 2,−x ≤ y ≤ x}
b)
¨
D
x
√
y2 − x2 dA, D = {(x, y)|0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y}
c)
¨
D
2y
x2 + 1
dA, D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ √x}
d)
¨
D
xy2 dA, D e´ limitada por x = 0 e x =
√
1− y2
e)
¨
D
(x+ y) dA, D e´ limitada por y =
√
x e y = x2
f)
¨
D
y3 dA, D e´ a regia˜o triangular com ve´rtices (0, 2), (1, 1) e (3, 2)
g)
¨
D
2xy dA, D e´ a regia˜o triangular com ve´rtices (0, 0), (1, 2) e (0, 3)
Exerc´ıcio 4) Determine o volume do so´lido dado.
a) Abaixo do plano x+ 2y − z = 0 e acima da regia˜o limitada por y = x e y = x4
b) Abaixo da superf´ıcie z = 2x+ y2 e acima da regia˜o limitada por x = y2 e x = y3
c) Delimitado pelo parabolo´ide z = x2 + 3y2 e pelos planos x = 0, y = 1, y = x, z = 0
d) Limitado pelo cilindro z = x, y = x, x+ y = 2 e z = 0.
e) Abaixo da superf´ıcie z = xy e acima do triaˆngulo com ve´rtices em (1, 1), (4, 1) e (1, 2).
f) Limitado pelo cilindro x2 + y2 = 1 e pelos planos y = z, x = 0, z = 0 no primeiro octante.
Exerc´ıcio 5) Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
a)
¨
R
(x+ y) dA, onde R e´ a regia˜o que esta´ a` esquerda do eixo y e entre as
circunfereˆncias x2 + y2 = 1 e x2 + y + 2 = 4
b)
¨
R
√
4− x2 − y2 dA, onde R = {(x, y)|x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0}
c)
¨
D
e−x
2−y2 dA, onde D e´ a regia˜o limitada pelo semic´ırculo x =
√
4− y2 e o eixo y
d)
¨
R
xy dA, onde D e´ o disco com centro na origem e raio 3.
2
Exerc´ıcio 6) Utilize a integral dupla para calcular a a´rea da regia˜o.
a) Um lac¸o de rosa´cea r = cos 3θ.
b) A regia˜o interior a ambos os c´ırculos r = cosθ e r = senθ.
Exerc´ıcio 7) Utilize coordenadas polares para determinar o volume do so´lido dado.
a) Abaixo do parabolo´ide z = x2 + y2 e acima do disco x2 + y2 ≤ 9.
b) Limitada pelo parabolo´ide z = 10− 3x2 − 3y2 e pelo plano z = 4.
c) Limitada pelos parabolo´ides z = 3x2 + 3y2 e z = 4− x2 − y2.
Exerc´ıcio 8) Calcule a integral tripla
a)
˚
E
2x dV , onde E = {(x, y, z)|0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤
√
4− y2, 0 ≤ z ≤ y}
b)
˚
E
yzcos(x5)dV , onde E = {(x, y, z)|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x, x ≤ z ≤ 2x}
c)
˚
E
6xy dV , onde E esta´ abaixo do plano z = 1 + x+ y e acima da regia˜o do plano xy limitada
pelas curvas y =
√
x, y = 0 e x = 1
d)
˚
E
xy dV , onde E e´ o so´lido tetraedro com ve´rtices (0,0,0),(1,0,0),(0,2,0) e (0,0,3)
e)
˚
E
(x+ 2y) dV , onde E e´ limitado pelo cilindro parabo´lico y = x2 e pelos planos x = z, y = x, z = 0
Respostas
1)
a) 10 b) 2 c)
46
3
d) ln(2)
e)
21
2
ln(2) f)
1
3
(3
√
3− 4√2 + 1) g) 6 h) ln4
3
2)
a)
21
2
b) 9ln(2) c)
√
3− 1
a
− pi
12
d) 2ln(2)− 1 e) 1
2
(e2 − 3)
3)
a)
256
21
b)
1
12
c)
1
2
ln(2) d)
2
15
e)
3
10
f)
147
20
g)
7
4
3
4)
a)
7
18
b)
19
210
c)
5
6
d)
1
3
e)
31
8
f)
1
3
5)
a) −14
3
b)
8
3
pi c)
pi
2
(1− e−4) d) 0
6)
a)
pi
12
b)
1
8
(pi − 2)
7)
a)
81pi
2
b) 6pi c) 2pi
8)
a) 4 b)
3
20
sin 1 c)
65
28
d)
1
10
e)
2
15
4