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Raio de convergência

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1 
 
Raio de convergência 
 
Exemplo. 
Determine o raio de convergência da série de potência ∑ 𝑥𝑛∞𝑛=0 = 1 + 𝑥 + 𝑥
2 + ⋯ +
 𝑥𝑛 + … 
 
Essa série geométrica possui termo inicial 1. 
A série geométrica converge para a soma 
x1
1
 se 
1x
 ( -1 < x < 1) e a série geométrica 
diverge se 
1x
. 
Assim, o raio de convergência, neste caso, é R = 1 e o intervalo de convergência será (-
1, 1). 
 
Exemplo. 
Determine o raio de convergência da série ∑ 𝑛! 𝑥𝑛∞𝑛=0 
Utilizaremos neste caso o teste da razão para determinar os valores de x para os quais 
a série de potência converge ou não. 
- Se x  0 temos lim
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| = lim
𝑛→∞
|
(𝑛+1)! 𝑥𝑛+1
𝑛! 𝑥𝑛
| = lim
𝑛→∞
(𝑛 + 1)|𝑥| = ∞ portanto diverge 
- Se x = 0 a série converge. 
Assim, o raio de convergência, neste caso, é R = 0 e o intervalo de convergência será 
{0}. 
 
Exemplo. 
Analise a convergência da série ∑
(𝑥−3)𝑛
𝑛
∞
𝑛=1 e determine o raio de convergência da 
mesma. 
 
lim
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| = lim
𝑛→∞
|
(𝑥−3)𝑛+1𝑛
(𝑛+1) (𝑥−3)𝑛
| = lim
𝑛→∞
1
1+
1
𝑛
|𝑥 − 3| = |𝑥 − 3|. 
Pelo teste da razão a série é absolutamente convergente e portanto converge quando 
|𝑥 − 3| < 1. 
 
 
 
 2 
Podemos afirmar então que a série 
 converge para -1 < x – 3 < 1, ou ainda, quando 2 < x < 4 e 
 diverge quando |𝑥 − 3| > 1, ou ainda, x < 2 ou x > 4. 
 
Para x = 4 temos a série harmônica ∑
1
𝑛
 , que é divergente. 
Para x = 2 temos a série ∑
(−1)𝑛
𝑛
 que converge pelo teste da série alternada. 
 
Assim, o raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência será {2,4}. 
 
Exemplo. Função de Bessel 
Analise a convergência da série ∑
(−1)𝑛𝑥2𝑛
22𝑛(𝑛!)2
∞
𝑛=0 e determine o raio de convergência da 
mesma. 
 
Esta é uma série muito importante chamada função de Bessel. 
lim
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| = lim
𝑛→∞ |
|
(−1)𝑛+1𝑥2(𝑛+1)
22(𝑛+1)((𝑛 + 1)!)
2
(−1)𝑛𝑥2𝑛
22𝑛(𝑛!)2
|
|
= 
= lim
𝑛→∞
𝑥2𝑛+2
22𝑛+2[(𝑛 + 1)𝑛!]2
𝑥2𝑛
22𝑛(𝑛!)2
= lim
𝑛→∞
𝑥2𝑛+2
22𝑛+2[(𝑛 + 1)𝑛!]2
∙
22𝑛(𝑛!)2
𝑥2𝑛
= 
= lim
𝑛→∞
𝑥2𝑛 ∙ 𝑥2
22𝑛 ∙ 22(𝑛 + 1)2[𝑛!]2
∙
22𝑛(𝑛!)2
𝑥2𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑥2
22(𝑛 + 1)2
= 0 < 1 
Converge para todo x, ou seja, (−∞, ∞) = 𝑅. 
 
Assim, o raio de convergência é R =  e o intervalo de convergência será ]-,[.

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