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1 Raio de convergência Exemplo. Determine o raio de convergência da série de potência ∑ 𝑥𝑛∞𝑛=0 = 1 + 𝑥 + 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥𝑛 + … Essa série geométrica possui termo inicial 1. A série geométrica converge para a soma x1 1 se 1x ( -1 < x < 1) e a série geométrica diverge se 1x . Assim, o raio de convergência, neste caso, é R = 1 e o intervalo de convergência será (- 1, 1). Exemplo. Determine o raio de convergência da série ∑ 𝑛! 𝑥𝑛∞𝑛=0 Utilizaremos neste caso o teste da razão para determinar os valores de x para os quais a série de potência converge ou não. - Se x 0 temos lim 𝑛→∞ | 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 | = lim 𝑛→∞ | (𝑛+1)! 𝑥𝑛+1 𝑛! 𝑥𝑛 | = lim 𝑛→∞ (𝑛 + 1)|𝑥| = ∞ portanto diverge - Se x = 0 a série converge. Assim, o raio de convergência, neste caso, é R = 0 e o intervalo de convergência será {0}. Exemplo. Analise a convergência da série ∑ (𝑥−3)𝑛 𝑛 ∞ 𝑛=1 e determine o raio de convergência da mesma. lim 𝑛→∞ | 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 | = lim 𝑛→∞ | (𝑥−3)𝑛+1𝑛 (𝑛+1) (𝑥−3)𝑛 | = lim 𝑛→∞ 1 1+ 1 𝑛 |𝑥 − 3| = |𝑥 − 3|. Pelo teste da razão a série é absolutamente convergente e portanto converge quando |𝑥 − 3| < 1. 2 Podemos afirmar então que a série converge para -1 < x – 3 < 1, ou ainda, quando 2 < x < 4 e diverge quando |𝑥 − 3| > 1, ou ainda, x < 2 ou x > 4. Para x = 4 temos a série harmônica ∑ 1 𝑛 , que é divergente. Para x = 2 temos a série ∑ (−1)𝑛 𝑛 que converge pelo teste da série alternada. Assim, o raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência será {2,4}. Exemplo. Função de Bessel Analise a convergência da série ∑ (−1)𝑛𝑥2𝑛 22𝑛(𝑛!)2 ∞ 𝑛=0 e determine o raio de convergência da mesma. Esta é uma série muito importante chamada função de Bessel. lim 𝑛→∞ | 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 | = lim 𝑛→∞ | | (−1)𝑛+1𝑥2(𝑛+1) 22(𝑛+1)((𝑛 + 1)!) 2 (−1)𝑛𝑥2𝑛 22𝑛(𝑛!)2 | | = = lim 𝑛→∞ 𝑥2𝑛+2 22𝑛+2[(𝑛 + 1)𝑛!]2 𝑥2𝑛 22𝑛(𝑛!)2 = lim 𝑛→∞ 𝑥2𝑛+2 22𝑛+2[(𝑛 + 1)𝑛!]2 ∙ 22𝑛(𝑛!)2 𝑥2𝑛 = = lim 𝑛→∞ 𝑥2𝑛 ∙ 𝑥2 22𝑛 ∙ 22(𝑛 + 1)2[𝑛!]2 ∙ 22𝑛(𝑛!)2 𝑥2𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑥2 22(𝑛 + 1)2 = 0 < 1 Converge para todo x, ou seja, (−∞, ∞) = 𝑅. Assim, o raio de convergência é R = e o intervalo de convergência será ]-,[.
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