fluxogramas (1)

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Fluxogramas
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O fluxograma constitui um método alternativo para as tabelas-verdade na verificação da validade de um argumento, no qual se ilustra o raciocínio utilizado.
Neste método, para verificação da validade de um argumento ou prova de um teorema, procede-se da seguinte maneira:
consideram-se as premissas verdadeiras;
aplicam-se as definições dos conectivos lógicos para determinar o valor lógico da conclusão que deverá ser a verdade (1), para que o argumento seja válido ou o teorema provado; 
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Caso ocorram situações em que não se possa determinar o valor lógico da conclusão, ou em que 0=1(contradição), o argumento é falho.
O teste de validade de argumentos ou prova de teoremas mediante o uso do fluxograma pode ser feito pelo método direto ou indireto, obedecendo às particularidades de cada uma das técnicas dedutivas já estudadas.
Vejamos alguns exemplos.
Primeiro Exemplo:
Provar p’ dadas as premissas: 
p ⟶ q
q’
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Solução: 
1.
2.
3. 
4.
5.
p ⟶ q = 1
q’= 1
q = 0
p ⟶ 0 = 1
p = 0
p’= 1
*
Justificação:
Consideramos as premissas verdadeiras fazendo p ⟶ q =1 e q’=1.
Como q’=1, pela negação temos: q = 0.
Levando q = 0 em p ⟶ q =1, temos: 
p ⟶ 0 =1.
4. Pela definição de condicional p ⟶ 0 =1 se e somente se p = 0.
5. Como p = 0, temos p’=1, o que mostra ser válido o argumento, pois premissas verdadeiras conduzem a uma conclusão verdadeira. 
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Segundo Exemplo: Testar a validade do argumento: a ⟶ b, a’, b’
Solução: 
1. 
2.
3.
4.
a ⟶ b =1
a’ = 1
a = 0
0 ⟶ b =1
b = ?
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Justificação:
Consideremos as premissas verdadeiras fazendo a ⟶ b =1 e a’= 1.
Como a’= 1, pela negação, a = 0.
Levando a = 0 em a ⟶ b =1, temos: 
0 ⟶ b =1.
4. Não podemos concluir se b é verdadeira ou falsa, pois, pela definição de condicional, 0 ⟶ 1 =1 e 0 ⟶ 0 =1. Se b pode ser verdadeira ou falsa, então a conclusão b’ pode também ser verdadeira ou falsa e, portanto, o argumento é falho.
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Terceiro Exemplo: Provar q’ dadas as premissas: 1. p + q’, 2. p ⟶ r, 3. r’
Solução:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
 
p + q’=1
p ⟶ r =1
r’=1
r = 0
p ⟶ 0 =1
p = 0
0 + q’=1
q’=1
*
Justificação:
Consideremos as premissas verdadeiras, fazendo p + q’=1, p ⟶ r =1 e r’=1.
Como r’=1, por negação temos: r = 0.
Levando r = 0 em p ⟶ r =1, temos: 
p ⟶ 0 =1.
4. Pela definição de condicional p ⟶ 0 =1 se e somente se p = 0.
5. Fazendo p = 0 na premissa p + q’=1, temos: 
0 + q’=1.
6. Pela definição de disjunção 0 + q’=1 somente se q’= 1. Portanto, o argumento é válido.
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Quarto Exemplo: Testar a validade do argumento: p + q, p + q’, p
Solução:
1.
2. 
3.
4.
5.
p + q =1
p + q’= 1
q = 1
p = 1
p + 1’=1
p + 0 = 1
p = 1
*
Justificação: 
Consideremos as premissas verdadeiras, fazendo p + q =1 e p + q’=1.
Pela definição de disjunção, se p + q =1, então p =1 ou q = 1. Se p = 1, o argumento é válido, pois premissas verdadeiras levam a uma conclusão verdadeira.
Se q = 1, substituindo na premissa 
p + q’= 1, temos: p + 1’= 1. 
4. Pela negação, temos: p + 0 = 1.
5. Pela definição de disjunção, p + 0 =1 somente se p = 1. Portanto, o argumento é válido, pois premissas verdadeiras levam a uma conclusão verdadeira.
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Quinto Exemplo: Testar a validade do argumento: p ⟶ q, (p’ + q)’, p
Solução:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
p ⟶ q = 1
(p’ + q)’ = 1
p’ + q = 0
q = 0
p’= 0
p = 1
1 ⟶ 0 = 1
0 = 1
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Justificação: 
Consideremos as premissas verdadeiras fazendo p ⟶ q = 1 e ( p’ + q )’= 1.
Pela negação, p’ + q = 0.
Pela definição de disjunção, se p’ + q = 0, então p’ = 0 e q = 0.
Como p’= 0, pela negação temos: p = 1.
Levando p = 1 e q = 0 na premissa 
p ⟶ q = 1, temos: 1⟶ 0 = 1.
6. Pela definição de condicional 1⟶ 0 = 0. Considerando as premissas verdadeiras, chegamos a uma contradição. Portanto, o argumento é falho.
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Sexto Exemplo: Provar p’ ⟶ r dadas as premissas: p + q, q ⟶ r 
Solução: Como a conclusão é da forma condicional, consideramos o antecedente p’ verdadeiro e procuraremos mostrar que o consequente r é verdadeiro.
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1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
 
p + q =1
q ⟶ r = 1
p’ = 1
p = 0
0 + q = 1
q = 1
1⟶ r = 1 
r = 1
*
Justificação: 
Consideremos as premissas verdadeiras fazendo p + q = 1 e q ⟶ r = 1.
Consideremos verdadeiro o antecedente da conclusão (premissa provisória), fazendo p’ = 1.
Como p’= 1, pela negação, temos: p = 0.
Levando p = 0 na premissa p + q = 1, temos: 0 + q = 1.
Pela definição de disjunção, 0 + q = 1 somente se q = 1.
Substituindo q = 1 em q ⟶ r = 1, temos: 
1 ⟶ r = 1.
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7. Pela definição de condicional, 1⟶r=1 somente se r = 1. Portanto, a conclusão é verdadeira, pois p’=1 leva a r=1 e 1⟶1=1. Não consideramos a possibilidade de a premissa provisória p’ ser falsa, pois, se p’= 0, a conclusão p’ ⟶ r seria verdadeira, isto é, 0⟶r = 1.
Sétimo Exemplo: Provar p dadas as premissas: p + q, p’ ⟶ q’
Solução: Usemos o método indireto.
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1. 
2.
3.
4.
5.
6.
7.
p + q = 1
p’ ⟶ q’ = 1 
p = 0
0’⟶ q’ = 1 
1 ⟶ q’ = 1 
q’ = 1 
q = 0
0 + 0 = 1
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Justificação:
1. Consideremos as premissas verdadeiras fazendo p + q = 1 e p’ ⟶ q’=1.
2. Consideremos a conclusão falsa (negação da conclusão) fazendo p = 0.
3. Levando p = 0 em p’ ⟶ q’=1, temos: 
0’ ⟶ q’=1.
4. Pela negação, temos: 1 ⟶ q’=1.
5. Pela definição de condicional 1 ⟶ q’=1 somente se q’ = 1.
6. Pela negação, q = 0. 
7. Fazendo p = 0 e q = 0 em p + q = 1, temos: 0 + 0 = 1. Portanto, p = 0 é eliminada, ficando a outra possibilidade 
p =1 como solução.
 
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Oitavo Exemplo: Provar p dadas as premissas: p + q, q ⟶ r, r’
Solução: Usemos o método indireto.
1. 
2.
3.
4.
5.
6.
r’ = 1
q ⟶ r = 1
p + q = 1
p = 0
0 + q = 1
q = 1
r = 0
1 ⟶ 0 = 1
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Justificação:
Consideremos as premissas verdadeiras fazendo p + q = 1, q ⟶ r = 1 e r’=1.
Consideremos a conclusão falsa, fazendo p = 0.
Fazendo p=0 em p + q =1, temos: 0+q=1.
Pela definição de disjunção 0+q=1 somente se q=1.
Pela negação, r=0.
Substituindo q=1 e r=0 em q ⟶ r = 1, temos: 
1 ⟶ 0 = 1. Usando a premissa provisória p=0, chegamos à contradição 1 ⟶ 0 = 1.
Portanto, p=0 é eliminada ficando a outra possibilidade p=1 como solução.
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Nono Exemplo: Provar p’ ⟶ r dadas as premissas: p +q, q ⟶ r
Solução: Usemos o método indireto
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.
. 
4. 
5.
6.
7.
p +q=1
q ⟶ r=1
p’ ⟶ r =0
r = 0
p’= 1
p = 0
q ⟶ 0=1
q = 0
0+0=1
*
Justificação:
Consideremos as premissas verdadeiras.
Consideremos a conclusão falsa (negação da conclusão).
Pela definição de condicional p’ ⟶ r =0 somente se p’= 1 e r=0.
Pela negação, temos: p=0.
Fazendo r=0 em q ⟶ r =1, temos: 
q ⟶ 0 =1.
6. Pela definição de condicional q ⟶ 0 =1 somente se q=0.
7. Substituindo p=0 e q=0 em p + q=1, temos: 0+0=1. Usando a premissa provisória p’ ⟶ r =0, chegamos a uma contradição 0+0=1. Portanto, p’ ⟶ r =0 é eliminada, ficando a outra possibilidade p’⟶ r =1 como solução.
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p ’+ q’ = 1
p ’⟶ q’ = 1
q’= 0
p ’⟶ 0 = 1
p’ = 0
0+0=1
0=1
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a’ ⟶ b’=1
b + c’=1
c =1
b +1’ = 1
b + 0 = 1
b = 1
a’ ⟶ 1’=1
a’ ⟶ 0=1
a’ = 0
a = 1
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4. Qual fluxograma corresponde ao argumento: p + q’, q . r, p?
a) 
p + q’=1
q . r = 1
q = 1
r = 1
p + 1’=1
p + 0 =1
p = 1
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b)
c) 
 
p = 1
p + q’ = 1
q = 1
r = 1
q. r = 1
p = 1
p + q’ = 1
q. r = 1
p = 1
q = 1
p + 1’ = 1
p + 0 = 1
p = 1
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d) Nenhum deles.