LISTA DE EXERCÍCIOS – DERIVADAS PARCIAISLIMITES E CONTINUIDADE

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CURSO: ENGENHARIA CIVIL – 2014.2 TURMA: 3ª SÉRIE MANHÃ E NOITE 
PROF.: Ms. Miguel Aquino de Lacerda Neto 
ALUNO (a): ___________________________________________________________________ 
▶LISTA DE EXERCÍCIOS – DERIVADAS PARCIAIS/LIMITES E CONTINUIDADE 
1. Aplique os acréscimos parciais e calcule as derivadas parciais das funções abaixo. 
a) ( ) b) ( ) c) ( ) 
 
d) ( ) e) ( ) f) ( ) 
 
2. Calcule as derivadas parciais das funções, aplicando as regras de derivação. 
 ) ( ) b) ( ) 
 
 
 c) ( ) ( ) d) ( ) √ 
 
 
 
e) ( ) ( ) f) ( ) ( ) g) ( ) 
 
 
h) ( ) ( ) i) ( ) j) ( ) 
 
l) ( ) m) ( ) √ n) ( ) 
 
o) p) ( ) 
 q) ( ) ( ) 
 
3. Dado que ( ), verifique que 
 
 
 
 
 
 
 
4. Se ( ) verifique que 
 
 
 
 
 
 . 
 
5. Calcule: 
 
 |
 
 
 
 
 
 
 
 
| para {
 
 . 
 
6. Calcular a derivada parcial de , para: 
 
 
 
 
 
 
 
7. Ache a inclinação da reta tangente à curva de intersecção da superfície com o plano , 
no ponto ( √ ). 
 
8. Ache a inclinação da reta tangente à curva de intersecção das superfícies √ com o plano , no 
ponto ( √ ). 
 
9. Calcular o a inclinação da reta tangente à curva de intersecção entre a superfície e o plano nos pontos dados. 
a)A superfície e o plano no ( ). 
 
b)A superfície 
 
 e o plano no ( ) 
 
c)A superfície √ e o plano no ( ) 
 
2 
 
 
 
10.Em cada função, determine as equações do plano tangente de cada superfície e em cada ponto dado: 
a) ( ) b) 
 ( ) c) 
 ( ) 
 
11. Dado que , verifique que 
 
 
 
 
 
 . 
 
 
 APLICAÇÃO DAS DERIVADAS PARCIAIS 
12. Determinar as derivadas parciais 
 
 
 
 
 
 da função ( ) .Qual é a taxa de variação da função f na 
direção x no ponto P( 1;2 )? Qual é a taxa de variação da função f na direção y no ponto P(1;2)? 
 
13. A produção de certo país nos anos seguintes à Segunda Guerra Mundial é descrita pela função 
 ( ) 
 
 
 
 unidades quando x unidades de mão-de-obra e y unidades de capital foram usadas. 
 
(a) Calcular suas derivadas parciais; 
 
(b) Qual é a produtividade marginal de mão-de-obra e a produtividade gastas em mão-de-obra e capital são de 125 unidades e 27 
unidades, respectivamente? 
 
14. A produção de um certo país sul-americano é dada pela função ( ) 
 
 
 
 , quando x unidades de mão-de-obra e y 
unidades de capital são usadas.Calcular suas derivadas parciais de 1ª ordem. 
 
15. A função ( ) representa a temperatura em qualquer ponto de uma chapa. Encontrar a razão de 
variação da temperatura em relação à distância percorrida ao longo da placa na direção dos eixos positivos x e y, no ponto (1, 2). 
Considerar a temperatura medida em graus e a distância em cm. 
 
16. Uma placa de aço tem a forma de um círculo de raio a, como mostra a figura. A temperatura bem um ponto qualquer da chapa 
é proporcional ao quadrado da distância desse ponto ao centro da chapa, com uma constante de proporcionalidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Se uma partícula localizada no ponto (
 
 
 ) se deslocar para a direita sobre o eixo dos x, sofrerá aumento ou diminuição de 
temperatura? 
 
b) b) Qual é a taxa de variação da temperatura em relação à variável y, no ponto (
 
 
 )? 
 
17. Verificar se a função satisfaz a equação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , para . 
 
18. Calcular os seguintes limites usando as propriedades e artifícios já estudados no Cálculo I. 
 
a) ( ) ( )
(√ √ ) ( )
 ( )
 b) ( ) ( )
 
 
 c) ( ) ( ) ( 
 
 
 
) 
 
3 
 
d) ( ) ( )[ 
 ( ) ( )] e) ( ) ( )
 
 
 f) ( ) ( )
 
 
 
 
g) ( ) ( )
 √ √ 
 √ √ 
 h) ( ) ( )
√ √ 
 
 i) ( ) ( )
√ 
 
√ 
 
 
j) ( ) ( )
 
 
 l) ( ) ( )
 
 
 m) ( ) ( )
 
( ) ( )
 
 
19. Calcule o valor de a para que a função dada seja contínua em (0, 0): 
 
a) ( ) {
( ) 
 
 
 ( ) ( )
 ( ) ( )
 b) ( ) {
 
√ 
 ( ) ( )
 ( ) ( )
 
 
20. Mostrar que os limites não existem estudando pelos eixos. 
 
a) ( ) ( )
 
 
 
 
b) ( ) ( )
 
√ 
 
 
c) ( ) ( )
 
 
 
 
d) ( ) ( )
 
 
 
 
e) ( ) ( )
 
 
 
 
f) ( ) ( )
 
( ) 
 
 
_________________________________QUESTÕES ESTILO EXIN___________________________________________ 
 
1. Um gás (vapor d’água) é mantido à temperatura constante. A medida que o gás é comprimido, o volume V decresce até que 
atinja uma certa pressão (P) crítica. Além dessa pressão, o gás assume forma líquida. Observando a figura a seguir, podemos 
dizer que vale: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) Infinito 
B) 0,8 
C) 0,4 
D) 0,6 
E) Não existe 
 GABARITO: B) 0,8 
 
 
 
4 
 
2. Uma função ( ) diz-se contínua no ponto ( ) quando: 
A) ( ) ( ) ( ) ( ) 
B) ( ) ( ) ( ) ( ) 
C) ( ) ( ) ( ) ( ) 
D) ( ) ( ) ( ) ( ) 
E) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
 GABARITO: E) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
3. A derivada parcial em relação a em é: 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
 
 GABARITO: D) 
 
4. Sabemos que a área de um quadrado é função de seu lado. Assim, a taxa de variação média da área de um quadrado em 
relação ao lado quando este varia de 2,5 a 3m e a taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede 4m 
respectivamente valem: 
A) 4,5 e 10 
B) 4,5 e 9 
C) 5 e 8 
D) 5,5 e 8 
E) 6 e 9 
 
 GABARITO: D) 5,5 e 8 
 
5. O domínio da função 
 
 
 R é: 
A) Dw = { (x1 , x2 , x3 , x4 , x5)  R4 | x1 + x2 + x3 + x4 + x5  0 }. 
B) Dw = { (x1 , x2 , x3 , x4 , x5)  R5 | x1 + x2 + x3 + x4 + x5  0 }. 
C) Dw = { (x1 , x2 , x3 , x4 , x5)  R3 | x1 + x2 + x3 + x4 + x5  0 }. 
D) Dw = { (x1 , x2 , x3 , x4 , x5)  R2 | x1 + x2 + x3 + x4 + x5  0 }. 
E) Dw = { (x1 , x2 , x3 , x4 , x5)  R | x1 + x2 + x3 + x4 + x5  0 }. 
 
 GABARITO: B) Dw = { (x1 , x2 , x3 , x4 , x5)  R5 | x1 + x2 + x3 + x4 + x5  0 }. 
 
6. As derivadas parciais da função ( ) ( ) são: 
A) fx = - 2x . sen x + ( x2 + y3).cos x e fy = - 3y2.senx 
B) fx = 2x . senx + ( x2 - y3).cos x e fy = - 3y2.senx 
C) fx = 2x . sen x + ( x2 + y3).cos x e fy = 3y2.senx 
D) fx = 2x . sen x - ( x2 - y3).cos x e fy = 3y2.senx 
E) fx = 2x . sen x - ( x2 + y3).cos x e fy = 3y2.senx 
 
 GABARITO: C) fx = 2x . sen x + ( x2 + y3).cos x e fy = 3y2.senx 
 
7. Seja A inclinação da reta tangente à curva C1, resultante da intersecção de ( ) com y = 1, 
no ponto (2; 1; -6) é dada por: 
A) 3 
B) – 2 
C) 1 
D) 2 
E) – 1 
 
 GABARITO: C) 1 
5 
 
8. O valor do ( ) ( )
( )( )
 
 é igual a: 
A) 8 
B) – 8 
C) 9 
D) – 9 
E) 10 
 
 GABARITO: A) 8 
 
9. Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela 
moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é, aproximadamente, dado por: 
 ( ) 
 
 
. Logo, a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4s é: 
A) 48 pessoas por dia 
B) 42 pessoas por dia 
C) 54 pessoas por dia 
D) 69 pessoas por dia 
E) 77 pessoas por dia 
 
 GABARITO: A) 48 pessoas por dia 
 
10. Seja a função dada uma paraboloide. Assim, podemos dizer que a inclinação da reta tangente à curva C, 
resultante da intersecção de ( ) com o plano , como mostra a figura, no ponto (2,1,1) é igual a: 
 
A)-3 
B)1 
C)-1 
D)2 
E)-2 
 
 
 
 
 
 
 GABARITO: E) – 2