aula derivada

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Derivadas
PROF. DR. LUCIANO VENELLI COSTA
VENELLI-COSTA, Luciano. Cálculo diferencial I, 2018
Conteúdo
Coeficiente• angular da reta tangente
Derivada• da função num ponto, notação e
interpretação geométrica
Função• derivada. Notações
Derivadas,• pela definição, das funções:
potência com expoente inteiro positivo e
generalização para expoente real, identidade,
constante e raiz quadrada.
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VENELLI-COSTA, Luciano. Cálculo diferencial I, 2018
Referência
• Livro: FLEMMING, D. M.; Gonçalves, 
M. B. Cálculo A: funções, limite, 
derivação e integração. 6ª edição 
revisada e ampliada, São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2006.
• Página 114
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VENELLI-COSTA, Luciano. Cálculo diferencial I, 2018
Introdução à derivada
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VENELLI-COSTA, Luciano. Cálculo diferencial I, 2018
Inclinação (coeficiente 
angular) da reta tangente
Suponhamos que, mantendo 
P fixo, Q se mova sobre a 
curva em direção a P. A 
inclinação da reta secante s 
variará. À medida que Q vai 
aproximando de P, a 
inclinação da reta secante 
varia cada vez menos, 
tendendo a um valor limite 
constante. Esse valor é 
chamado INCLINAÇÃO DA 
RETA TANGENTE NO PONTO 
P.
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Definição
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Equação da reta tangente
Conhecendo a inclinação da reta tangente (ou declividade ou 
coeficiente de variação) e as coordenadas do ponto P, podemos 
encontrar a equação da reta tangente da curva em P.
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Reta normal à curva
Sabendo• -se o coeficiente angular de uma 
reta (𝑚1) é possível determinar o 
coeficiente angular da reta normal 
(perpendicular) a ela (𝑚2), sabendo-se que:
𝑚1. 𝑚2 = −1
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Exemplo
Encontre a inclinação da reta tangente à curva
𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑥1, 𝑦1
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Continuação...
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VENELLI-COSTA, Luciano. Cálculo diferencial I, 2018
Equação da reta tangente
𝑦 − 𝑓 𝑥1 = 2𝑥1 − 2 . (𝑥 − 𝑥1)
𝑦 = 2𝑥1 − 2 . 𝑥 − 2𝑥1 − 2 𝑥1 + 𝑥1
2 − 2𝑥1 + 1
𝑦 = 2𝑥1 − 2 . 𝑥 + 1 − 𝑥1
2
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𝑓 𝑥1
𝑎 b
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𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 𝑚 = 2𝑥 − 2
Se 𝑥1 = 3, 𝑓 𝑥1 = 4,𝑚 = 4
𝑦(𝑟𝑒𝑡𝑎) = 2𝑥1 − 2 . 𝑥 + 1 − 𝑥1
2
𝑦 = 4𝑥 − 8
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𝑦 = 4𝑥 − 8
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Derivada de uma função num 
ponto
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ou
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Portanto, a derivada de uma 
função f(x) é:
Uma função f• ’(x) que apresenta o valor do 
coeficiente angular da reta tangente (m) à 
curva da função f(x) no ponto (x, f(x)).
Uma • taxa de variação instantânea de f(x) 
em relação a x (em que proporção f(x) varia 
em relação a x, no ponto (x, f(x))?)
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Notação
Notações para derivadas de y ou de f(x):
f’(x)
y’
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Regra 1 
Derivada de constante
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•
𝑑
𝑑𝑥
C = 0 Para simplificar, vamos trocar Δx por h
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Resolva a derivada da função 
identidade pela definição:
Função identidade: • 𝑓 𝑥 = 𝑥
Considerando Δx igual a h
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑥 + ℎ − 𝑥
ℎ
=
ℎ
ℎ
= 1
A derivada de x é 1. 
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Resolva as derivadas pela 
definição:
𝑓• 𝑥 = 𝑥2 𝑅: 𝑦′ = 2𝑥
𝑓• 𝑥 = 𝑥3 𝑅: 𝑦′ = 3𝑥2
𝑓• 𝑥 = 𝑥4 𝑅: 𝑦′ = 4𝑥3
Generalizando:• 𝑓′(𝑥𝑛) = 𝑛𝑥𝑛−1
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Resolva pela definição a 
derivada
𝑓 𝑥 = 𝑥
Resposta: 
1
2 𝑥
Usando a regra da potência:
𝑓 𝑥 = 𝑥 = 𝑥1/2
𝑓′(𝑥𝑛) = 𝑛𝑥𝑛−1
𝑓′(𝑥1/2)=
1
2
𝑥1/2−1 =
1
2
𝑥−1/2 =
1
2𝑥1/2
= 
1
2 𝑥
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Regra 2
Regra da potência
Se • n é qualquer número real, então
•
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥𝑛) = 𝑛𝑥𝑛−1
Exemplos:•
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Regra 3 - Derivada de um múltiplo 
constante de uma função
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Regra 4
Regra da soma
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𝒇′ 𝒙
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Exercício:
Encontre a equação da reta tangente à curva abaixo
no ponto de abscissa igual a 2.
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𝑦′ = 2.2𝑥2−1 = 4𝑥
𝑚 = 4.2 = 8
𝑓 2 = 2. 22 + 3 = 2.4 + 3 = 11
Equação da reta: 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 𝑥 − 𝑥0
𝑦 − 11 = 8(𝑥 − 2)
𝑦 = 8𝑥 − 16 + 11
𝑦 = 8𝑥 − 5 → 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 à 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (2, 11)
𝑥0 𝑦0
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Graficamente:
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𝑦 = 8𝑥 − 5
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Reta normal no ponto 2
• 𝑚1. 𝑚2 = −1
• 𝑚2 = −
1
𝑚1
= −
1
8
• 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 𝑥 − 𝑥0
• 𝑦 − 11 = −
1
8
(𝑥 − 2)
• 𝑦 = −
1
8
𝑥 +
1
4
+ 11 = −0,125𝑥 + 11,25
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Graficamente:
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𝑦 = 8𝑥 − 5
y=−0,125𝑥 + 11,25
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Velocidade média (secante)
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Velocidade e aceleração 
instantâneas
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De maneira análoga, a aceleração instantânea é:
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Exemplo:
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Solução:
a) Velocidade média de 2 a 4.
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Solução
b) Velocidade em um instante t qualquer:
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Solução
c) Aceleração média no intervalo 0 a 4
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Solução
d) A aceleração em um instante t qualquer:
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Exercícios
Encontre a declividade de uma equação da •
reta tangente ao gráfico de:
𝑓• 𝑥 = 2𝑥 +
1
𝑥
no ponto (1 , 3)
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Exemplo aplicado
• Um foguete experimental é lançado 
verticalmente. Sua altitude (em pés), em t 
segundos de voo, é dada por:
• 𝑠 = 𝑓 𝑡 = −𝑡3 + 96𝑡2 + 5 𝑡 ≥ 0
• a. Encontre uma expressão 𝑣 para a velocidade 
do foguete em qualquer instante t.
• b. Calcule a velocidade para t = 0, 30, 50, 64 e 70 
segundos. Interprete.
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Exercícios complementares
Exercícios sobre derivadas • – 1ª parte
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Livro: FLEMMING, D. M.; Gonçalves, M. 
B. Cálculo A: funções, limite, derivação 
e integração. 6ª edição revisada e 
ampliada, São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2006.
Exercícios 
complementares
Página 127 – 1 a 7
VENELLI-COSTA, Luciano. Cálculo diferencial I, 2018
Exercícios 2.2
• Fazer os exercícios 1 a 10 da lista.
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Regra do produto 
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•
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥 + 𝑓′ 𝑥 𝑔(𝑥)
• A derivada do produto de duas funções é
igual à primeira função vezes a derivada da
segunda mais a segunda função vezes a
derivada da primeira.
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Exemplo:
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Exercício 1:
Encontre a derivada da função usando a •
Regra do Produto:
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R: x (10 x3- 3x + 12)
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Solução 1:
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Exercício 2:
• Encontre a derivada da função usando a 
Regra do Produto:
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R:
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Solução 2
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Regra do Quociente
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥
𝑔(𝑥)
=
𝑓′ 𝑥 𝑔(𝑥)− 𝑔′ 𝑥 𝑓 𝑥
𝑔(𝑥)2
(𝑔(𝑥)≠0)
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Exemplo:
Não é igual a •
f’(x)/g’(x)
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Exercício 3:
Determine a derivada usando a Regra do •
Quociente:
𝑓 𝑥 =
𝑥
2𝑥 − 4
R: • −
4
(2𝑥−4)2
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Solução 3:
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Exercício 4:
Determine a derivada usando a Regra do •
Quociente:
𝑓 𝑥 =
𝑥2 + 1
𝑥2 − 1
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R: −
4𝑥
(𝑥2−1)2
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Solução 4:
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Exercício 5:
Determine a derivada usando a Regra do •
Quociente:
ℎ 𝑥 =
𝑥
𝑥2 + 1
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R: 
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Solução 5:
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Aplicação:
A venda anual (em milhões de dólares por •
ano) do DVD de um filme de sucesso t anos 
após o lançamento é dada por:
a. Determine a taxa de variação das vendas •
anuais no instante t.
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Solução a.
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b. Com a fórmula da taxa...
Com• que rapidez as vendas anuais do DVD
variam no momento em que o DVD é
lançado (t = 0)? E dois anos depois da data
de lançamento?
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Graficamente:
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Exercícios complementares
Exercícios sobre derivadas • – 2ª parte
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Livro: FLEMMING, D. M.; Gonçalves, M. 
B. Cálculo A: funções, limite, derivação 
e integração. 6ª edição revisada e 
ampliada, São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2006.
Exercícios 
complementares
Página 127 – 1 a 7
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Exercícios 2.3
Fazer os exercícios • 1 a 10 da lista.
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