Lista de exercicios Equaçoes Diferenciadas

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UNA
5a Lista de Exerc´ıcios de Equac¸o˜es Diferenciais
Professora: Luiza Vidigal Gonc¸alves
1. Um tanque conte´m 200L de a´gua pura. Uma soluc¸a˜o com concentrac¸a˜o
de 3 gramas por litro entra no tanque a uma taxa de 5 litros por minuto,
enquanto a soluc¸a˜o bem misturada sai a` taxa de 2 litros por minuto.
Determine a quantidade de soluto no tanque em um instante t.
Resposta: Q(t) = 9t + 600
[
1 − 20 · 5
1/3
(200 + 3t)2/3
]
gramas
2. Um tanque conte´m 100 litros de uma soluc¸a˜o a uma concentrac¸a˜o de
1 grama por litro. Uma soluc¸a˜o com uma concentrac¸a˜o de 2te−
1
100
t
gramas por litro entra no tanque a uma taxa constante de 1 litro por
minuto, enquanto que a soluc¸a˜o bem misturada sai a mesma taxa.
a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante t, onde
t e´ contado a partir do in´ıcio do processo.
b) Calcule a concentrac¸a˜o de sal no tanque t = 10 minutos apo´s o in´ıcio
do processo.
Respostas: a) Q(t) = t2e−
1
100
t + 100e−
1
100
t
b) 2e−
1
10 gramas/litro
3. Suponha que a velocidade que um bote motorizado que possui um
tripulante atinja apo´s t horas de navegac¸a˜o seja a soluc¸a˜o da equac¸a˜o
diferencial: 120
dv
dt
= 10 − 2v. O bote inicialmente estava em repouso.
Determine a velocidade do bote em func¸a˜o do tempo.
Resposta: v(t) = 5 − 5e− t60
1
4. Resolva a equac¸a˜o diferencial dada:
x
dy
dx
− 4y = x6ex.
Resposta: y(x) = x5ex − x4ex + cx4
5. Resolva o PVI:

dy
dx
+ 2xy = x
y(0) = −3
Resposta: y = 1
2
− 7
2
e−x
2
2