2 LIMITES DEFINIÇÃO INFINITOS PARA ALUNOS

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTREGAL I
Prof. Nilson Costa
nilson.mtm@hotmail.com
São Luis 2012 2
Limites Infinitos
Para ajudar a explicar o mistério do infinito, Hilbert
criou um exemplo de infinito conhecido como Hotel
de Hilbert. Este hotel hipotético tem o desejável
atributo de possuir um numero infinito de quartos.
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Um dia um novo hospede chega e fica desapontado
ao ser informado de que, apesar do tamanho infinito
do hotel, todos os quartos estão ocupados.
Existe um Hotel que é infinito – com um infinito
número de quartos.
O Hotel está cheio – todos os quartos ocupados.
Chega um novo hóspede. Será que ele tem lugar no
hotel?
Se pensarmos de forma regular, então se o hotel está
cheio, o novo hóspede não tem lugar.
Limites Infinitos
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No entanto, como o Hotel tem um número infinito de
quartos, o gerente do hotel pede a todos os hóspedes
para se mudarem para o quarto adjacente um
número acima: o hóspede no quarto 1 muda-se para
o 2, o que estava no 2 muda-se para o 3, e assim
sucessivamente.
Assim, o novo hóspede cabe no quarto 1.
Todos os que estavam no Hotel continuam
hospedados. E o novo hóspede também fica agora
com um quarto.
Ou seja, apesar do Hotel estar cheio, ao mesmo
tempo cabe sempre mais um.
Limites Infinitos
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Matematicamente, isto quer dizer que infinito mais
um é igual a infinito!
Na noite seguinte Hilbert precisa lidar com um
problema ainda maior. O hotel continua cheio
quando um veículo infinitamente grande chega com
um numero infinito de novos hospedes.
Hilbert não se deixa abalar e esfrega as mãos de
contentamento pensando na quantidade infinita de
diárias.
Ele pede a todos os seus hospedes anteriores que
para que se mudem para os quartos cujos números
sejam o dobro do numero do quarto anterior.
Limites Infinitos
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Assim, o hospede do quarto 1 se muda para o quarto
2, o hospede do quarto 2 se muda para o quarto 4, e
assim por diante.
Todos aqueles que se encontravam no hotel
continuam alojados e, no entanto, um numero
infinito de quartos, os de números impares, ficaram
vagos para receber os recém-chegados. Isto mostra
que o dobro do infinito continua sendo infinito.
Os matemáticos tiveram que desenvolver todo um
sistema de nomenclatura para lidar com as escalas
variáveis do infinito, e lidar com esse conceito é um
dos assuntos mais quentes hoje em dia.
Limites Infinitos
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Fonte: SINGH, Simon. O Último teorema de
Fermat: a história do enigma que confundiu as
maiores mentes do mundo por 358 anos; Tradução de
Jorge Luiz Calife. 7ª ed. Rio de Janeiro:Record,2000.
Limites Infinitos
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Limites Infinitos
O que acontece com os valores de
quando x se aproxima de 1?
Observe que a função f(x) não está definida para x= 1.
Ou seja, o domínio de f é {x ϵ R / x ≠ 1}. Para
determinarmos o limite desejado, vamos recorrer a
intuição.
Procedamos como segue:
Tomemos valores cada vez mais próximos de 1,
respectivamente, à esquerda e à direita.
Temos:
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Limites Infinitos
O que acontece com os valores de
quando x se aproxima de 1?
Observe que a função f(x) não está definida para x= 1.
Ou seja, o domínio de f é {x ϵ R / x ≠ 1}. Para
determinarmos o limite desejado, vamos recorrer a
intuição.
Procedamos como segue:
Tomemos valores cada vez mais próximos de 1,
respectivamente, à esquerda e à direita.
Temos:
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Limites Infinitos
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Notemos, nas duas tabelas, que à medida que os
valores de x tendem a 1, os valores de f (x) são cada
vez maiores. Em outras palavras, podemos tornar
f (x) tão grande quanto desejarmos, tomando valores
para x bastante próximos de 1. Simbolicamente:
em que o símbolo “+∞” (lê-se “mais infinito”) não
representa qualquer número real, mas indica o que
ocorre com a função quando x se aproxima de 1.
Formalmente, temos:
Limites Infinitos
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Definição. Seja I um intervalo real, com a ∈∈∈∈ I , e f
uma função real definida em I-{a}. Então, dizemos que
lim f (x) = +∞
x→a
quando x se aproxima de a e f(x) cresce
ilimitadamente, ou seja, quando, para qualquer
número M > 0, existe um número δ > 0 tal que, se
0 < |x − a| < δ, então f (x) > M, Ou ainda,
Limites Infinitos
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Tomemos, agora, a função g como sendo
g(x) = −1/(x − 1)2 definida para todo x real e x
diferente de 1. Tomemos valores cada vez mais
próximos de 1, respectivamente, à esquerda e à
direita. Temos:
Limites Infinitos
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Limites Infinitos
Assim, para a função g, quando x se aproxima de 1, os
valores de g(x) decrescem ilimitadamente.
Simbolicamente,
em que o símbolo “−∞” lê-se “menos infinito” e não
representa nenhum número real, mas indica o que
ocorre com a função quando x se aproxima de 1.
Formalmente,
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Limites Infinitos
Definição. Seja I um intervalo real, com a ∈∈∈∈ I , e f
uma função real definida em I -{a}. Então, dizemos
que limf (x) = −∞
x→a
quando x se aproxima de a e f(x) decresce
ilimitadamente, ou seja, quando, para qualquer
número M < 0, existe um número δ > 0 tal que, se
0 < |x − a| < δ, então f (x) < M. Ou ainda,
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Teorema. [Teorema da Conservação do Sinal] Se
lim f (x) = b≠ 0,
x→a
então existe uma vizinhança Va de a, tal que ∀ x ∈ Va,
x ≠ a, tem-se f (x) com o mesmo sinal de b.
Teorema. Sejam f (x) e g(x) funções reais. Se
Se lim f (x) = k, k ∈ R∗, e lim g(x) = 0, então
x→a x→a
Limites Infinitos
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Exemplo: Calcular o limite
Solução:
Limites Infinitos
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( Exemplo para facilitar)
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Limites Infinitos
Teorema. Se n é um número inteiro positivo qualquer,
então:
i)
ii)
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Exemplo: Calcular o limite
Solução:
Limites Infinitos
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Propriedades dos Limites Infinitos
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Exemplo: Calcular os limites e
Solução:
Propriedades dos Limites Infinitos
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Exemplo: Calcular o limite e
Propriedades dos Limites Infinitos
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Exemplo: Calcular os limites
Propriedades dos Limites Infinitos
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Exemplos: Calcule os seguintes limites:
Solução:
EXECÍCIOS PROPOSTOS
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Propriedades dos Limites Infinitos
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Propriedades dos Limites Infinitos
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Propriedades dos Limites Infinitos
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Propriedades dos Limites Infinitos
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Limites no Infinito
Situação Problema
A partir de uma coleta de dados, verificou-se que,
daqui a um certo número de anos, digamos t anos, a
quantidade de construções prediais de um certo país
será de milhões.
A medida que os anos forem passando e
desconsiderando as construções finalizadas o número
de construções se aproximará de que número?
Solução: Basta calcularmos o limite
quando t →∞.
Vejamos a seguir Limites no Infinito para resolver
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Limites no Infinito
Ampliaremos o que foi exposto com o conceito de
limites infinitos que nos dá informações sobre a
função quando os valores de x crescem ou decrescem
indefinidamente.
Considere a função f definida por
f(x) =(x + 1)/(x − 1) para todo x real diferente de 1.
Atribuindo a x os valores 2, 6, 20, 50, 101, 1.001,
10.001, e assim por diante, de tal forma que x cresça
ilimitadamente, conforme mostra a tabela a seguir.
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Exemplo: Calcular o limite
Solução: Tomando valores cada vez maiores para x,
temos:
À medida que x cresce
ilimitadamente, os valores
de (x + 1)/(x − 1) se
aproximam cada vez
mais de 1. Desta forma,
podemos escrever
Limites no Infinito
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Formalmente, temos,
Definição. Seja f uma função definida em R. Temos:
Analogamente,
Limites no Infinito
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Definição. Seja f uma função definida em R. Temos:
Atenção: procure exemplos para cada um dos ítens da
definição acima.
Limites no Infinito
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Limites no Infinito
Agora, apresentamos alguns resultados que nos
ajudarão a concluir algo sobre o comportamento dos
valores de uma função quando os valores de x crescem
(ou decrescem) ilimitadamente, sem, necessariamente
termos que construir uma tabela.
Teorema:
Exemplo:36
Limites no Infinito
Teorema:
Exemplo:
10
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Propriedades dos Limites no Infinito
Teorema:
Teorema:
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Propriedades dos Limites no Infinito
Exibiremos, agora, uma tabela contendo as
propriedades dos limites no infinito. Note que
trocando “x → +∞” por “x → −∞” as propriedades
continuam verdadeiras.
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Propriedades dos Limites no Infinito
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Propriedades dos Limites no Infinito
Como vimos na tabela anterior, muitas vezes
aparecem os símbolos:
Estes são chamados símbolos de indeterminação.
Quando aparece um destes símbolos no cálculo de um
limite, nada se pode dizer sobre este limite, isto é, ele
poderá existir ou não, dependendo da expressão da
qual está se calculando o limite.
Mostraremos, a seguir, através de exemplos, como
resolver os limites de funções contendo
indeterminações apresentadas nas propriedades P.10,
P.11, P.12 e P.13.
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Limites no Infinito
Calcule os limites:
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Calcule os limites:
43
EXERCÍCIOS
Calcule os limites:
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Calcule os limites:
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Observação: Se p(x) e q(x) são funções irracionais, o
procedimento para o cálculo do limite é análogo ao
das funções polinomiais e racionais.
Exemplo: Calcular:
Propriedades dos Limites no Infinito
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Propriedades dos Limites no Infinito
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Propriedades dos Limites no Infinito
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Propriedades dos Limites no Infinito
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Propriedades dos Limites no Infinito
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Propriedades dos Limites no Infinito
Exemplo: Calcular:
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Propriedades dos Limites no Infinito
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Aplicação
Situação Problema
A partir de uma coleta de dados, verificou-se que,
daqui a um certo número de anos, digamos t anos, a
quantidade de construções prediais de um certo país
será de milhões.
A medida que os anos forem passando e
desconsiderando as construções finalizadas o número
de construções se aproximará de que número?
Solução: Basta calcularmos o limite
quando x →∞.
Vejamos
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Daí, o número de construções será 10 milhões, ou
seja, a medida que o tempo for suficientemente grande
o número de contruções se aproximará deste valor.
Como vemos graficamente:
Aplicação
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Lembra da nossa aplicação inicial
Em uma indústria de São Luis acontece a seguinte situação.
A Salmora contendo 30 g de sal por litros de água é
bombeada para dentro do tanque (contendo 5000 litros de
água pura) a uma taxa 25 litros/mim. O que acontece com a
concentração quando t aumenta infinitamente (t→∞)?
Após alguns minutos, 25 litros de solução salina com 30 g
de sal por litro foi bombeada para o tanque,
de modo ele contém (5000+ 25.T) litros de água é 25T.30 =
750t gramas de sal.
Portanto, a concentração de sal EM FUNÇÃO DO tempo
será
Aplicação
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Assim, as abordagens de concentração de sal que a 
do salmoura é bombeado para o tanque passa a ser 
de 30g/l.
Aplicação
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Exercícios
Determine:
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Limites
AGORA É A SUA 
VEZ BONS 
ESTUDOS
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[1] GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 5.ed. São
Paulo: LTC, 2001.
[2] THOMAS, George B. Cálculo. v.1. 10.ed. São Paulo:
Addison Wesley, 2006. ISBN-13: 9788588639065 / ISBN-10:
8588639068.
[3] STEWART, James. Cálculo. v.1. São Paulo: Thomson
Learning, 2005. ISBN: 8522104794.
[4] LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica.
v.1. São Paulo: Harbra, 1994.
Referências Bibliográficas
59
[5] FLEMMING, Diva Marília. Cálculo A. 5a edição. São
Paulo: Makron Books Ltda., 1.992.
[6] HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L.
Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 9.ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2008. ISBN: 9788521616023.
[7] LARSON, Ron; EDWARDS, Bruce. H. Cálculo com
aplicações. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005. ISBN:
9788521614333.
[8] ANTON, Howard. Cálculo: Um Novo Horizonte – Vol. 1.
6a edição. Porto Alegre: BOOKMAN, 2.000.
.
Referências Bibliográficas