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1 Componente Curricular: Cálculo I Prof(a): Kelly Pereira Duarte e-mail: kelly@fahor.com.br DETERMINANTES A teoria dos determinantes surgiu durante pesquisas realizadas com o objetivo de se encontrar processos que viessem a facilitar a resolução de um sistema de equações lineares. Estudando as matrizes quadradas associadas a um sistema de equações lineares, verificou-se ser possível associar a cada matriz quadrada um único número real, chamado determinante da matriz. Inicialmente, vamos trabalhar com regras que permitem o cálculo de determinantes da matriz quadrada de ordem 1, 2, ou 3 e, a seguir, veremos a definição geral para determinantes de uma matriz quadrada de ordem n. 1. Determinante de uma matriz quadrada de ordem 1 ou matriz de primeira ordem. O determinante da matriz A = [ 11a ], indicada por det A ou | 11a |, é o próprio elemento 11a , ou seja: det A = 11a . Exemplos a) Se A = [-2], então det A = -2 b) b) se B = 3 1 , então 3 1 Bdet 2. Determinante da matriz quadrada de ordem 2 ou matriz de segunda ordem. O determinante de uma matriz A = 11 12 21 22 a a a a , é igual à diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Representando o determinante da matriz A por det A , temos: det A = 11 12 21 22 a a a a = 11 22 12 21a a a a. . Exemplos a) Se A = 81 52 , então det A = 11 b) Se B = 34 10 , então det B = 4 3. Determinante de uma matriz quadrada de ordem 3ou matriz de terceira ordem. O determinante de uma matriz quadrada, de 3ª ordem, geralmente é feito através da regra de Sarrus1, que consiste no seguinte: 1 SARRUS (1798 - 1861) – matemático francês. Destacou-se nos estudos com os Determinantes. 2 A = 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a 1º) repetimos as duas primeiras coluna ao lado da última. 3231 2221 1211 333231 232221 131211 aa aa aa aaa aaa aaa 2) Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal com 3 elementos. 3) Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal com 3 elementos. 4) Realizamos a diferença entre os dois resultados. Exemplo: Calcular o determinante da matriz B = 431 651 202 , então det B = 20 MENOR COMPLEMENTAR Chamamos de menor complementar relativo ao elemento ija de uma matriz quadrada M, o determinante ijMC , de ordem n – 1, associado à matriz obtida de M quando suprimos a linha e a coluna que passam por ija . Exemplo 1: Observe a forma genérica. Dada a matriz M= 2221 1211 aa aa , de ordem 2, para determinarmos o menor complementar relativo ao elemento 11a ( 11MC ), retiramos a linha 1 e a coluna 1; MC = menor complementar 2221 1211 aa aa , logo, 222211 aaMC Da mesma forma temos que o MC relativo ao elemento 12a é dado por: 2221 1211 aa aa , logo, 212112 aaMC e assim por diante. 3 Exemplo 2: Dada a matriz M= 25 13 , de ordem 2, determine o menor complementar (MCij) relativo a cada elemento Mij. a) 11MC b) 12MC c) 21MC d) 22MC Exemplo 3: Observe a forma genérica: Dada a matriz M= 333231 232221 131211 aaa aaa aaa , de ordem 3, vamos determinar: a) 11MC b) 12MC c) 21MC a) Retirando a linha 1 e a coluna 1 da matriz dada acima 333231 232221 131211 aaa aaa aaa , temos que: 11MC = 32233322 3332 2322 aaaa aa aa b) retirando a linha 1 e a coluna 2 da matriz dada acima, temos que: 12MC = 3331 2321 aa aa = 31233321 aaaa c) retirando a linha 2 e a coluna 1 da matriz dada acima, temos que: 21MC = 3332 1312 aa aa = 32133312 aaaa Exemplo 4: Dada a matriz M= 111 324 512 , de ordem 3, vamos determinar o MC: a) 11MC b) 12MC c) 13MC d) 21MC 4 COFATOR DE UM ELEMENTO DE UMA MATRIZ DE ORDEM N (N 2) Chamamos de cofator relativo ao elemento ija de uma matriz quadrada de ordem n o número ijA , tal que ij ji ij MC)1(A . Considerando a matriz A = 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a , de ordem 3, vejamos como se calcula: a) o cofator do elemento a11 Então o cofator de a11, será : ij ji ij MC)1(A 1111 1 c . MC11 32233322 3332 232211 11 ..11 aaaa aa aa c Exemplos Dada a matriz M = 346 120 352 , calcular os seguintes cofatores: a) c11 Temos b) c12 Temos 6 36 10 1c 21 12 c) c13 Temos 12 46 20 1 3113 c 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A 3332 2322 aa aa Determinante que se obtém da matriz A, quando s eliminam os elementos da 1ª linha e 1ª coluna. Eliminamos da matriz M a 1ª linha e a 1ª coluna 10 34 12 1c 1111 5 Matriz Adjunta: A matriz transposta da matriz dos cofatores de uma matriz A é chamada adjunta de A. Assim: tAadjA TEOREMA DE LAPLACE Determinante de uma matriz quadrada de ordem n (Teorema de Laplace) Dada uma matriz quadrada A de ordem n, define-se: 1º) Se n = 1, o determinante da matriz A será o próprio elemento da matriz. 2º) Se n 2, o determinante da matriz A será o número real que se obtém somando-se os produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos seus respectivos cofatores. Essa afirmação é conhecida como Teorema de Laplace2. Obs: Escolhe-se de preferência a linha ou coluna a qual possui o número zero como algum dos elemento. Exemplos: Aplicar o Teorema de Laplace na resolução dos seguintes determinantes: a) 635 012 532 A Desenvolvendo o determinante segundo os elementos da 2ª linha, pois ao elemento zero corresponde um cofator que não precisa ser calculado, teremos: det A = a21 . c21 + a22 . c22 + a23 . c23 , R: det A = -79. 2 MARQUÊS PIERRE-SIMON DE LAPLACE (1749 – 1827) – matemático e astrônomo francês. Como matemático destacou-se no cálculo das Probabilidades. Como astrônomo, escreveu a sua obra prima “Mecânica Celeste”. 6 b) B = 1604 3015 2022 3452 Desenvolvendo o determinante segundo os elementos da 3ª coluna, teremos: det B= a13 . c13 + a23 . c23 + a33 . c33 + a43 . c43, R: det B = -368 8. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 1. Se AT é a transposta de uma matriz quadrada A, então det A = det AT 2. Se os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma matriz quadrada forem iguais a zero, seu determinante será nulo, det A = 0. 7 3. Se uma matriz quadrada tem duas filas paralelas iguais e/ou proporcionais, então, det A = 0. 4. Se multiplicarmos todos os elementos de uma fila de uma matriz quadrada por um número real, seu determinante ficará multiplicado por esse número. 5. Multiplicando-se todos as filas de uma matriz quadrada A por um número real k, obtém-se uma nova matriz B tal que AkkB n det.det onde n é a ordem da matriz. 6. Teorema de Binet Se A e B são duas matrizes quadradas de ordem n, o determinante da matriz produto AB é igual ao produto dos determinantes das matrizes A e B, isto é, det (A .B) = det A. det B 7. O determinante da matriz inversa é: A A det 1 det 1 . 8. O determinante de uma matriz triangular A (superior ou inferior) é igual ao termo principal, isto é, é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. 9. Quando trocamos as posições de duas filas paralelas (linhas ou colunas), o determinante muda de sinal. 9. INVERSÃO DE MATRIZES DE ORDEM N COM O AUXÍLIO DA TEORIA DOS DETERMINANTES A inversa de uma matriz quadrada de ordem n pode ser calculada pela aplicação do seguinte teorema: A matriz inversa 1A de uma matriz A (quadrada de ordem n) existe se, e somente se, 0Adet e é dada por: adjA Adet 1 A 1 OBS: adj A é a matriz transposta da matriz dos cofatores: adj A = tA 8 Exemplo: Encontre a matriz inversa de A = [ 1 2 4 0 2 1 3 1 2 ]. Exercícios Lista 07 e Lista 08!
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