Unidade 4 - Determinantes

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Componente Curricular: Cálculo I 
Prof(a): Kelly Pereira Duarte 
e-mail: kelly@fahor.com.br 
 
DETERMINANTES 
A teoria dos determinantes surgiu durante pesquisas realizadas com o objetivo de se encontrar processos que 
viessem a facilitar a resolução de um sistema de equações lineares. 
 Estudando as matrizes quadradas associadas a um sistema de equações lineares, verificou-se ser possível 
associar a cada matriz quadrada um único número real, chamado determinante da matriz. 
Inicialmente, vamos trabalhar com regras que permitem o cálculo de determinantes da matriz quadrada de ordem 
1, 2, ou 3 e, a seguir, veremos a definição geral para determinantes de uma matriz quadrada de ordem n. 
1. Determinante de uma matriz quadrada de ordem 1 ou matriz de primeira ordem. 
O determinante da matriz A = [
11a
], indicada por det A ou |
11a
|, é o próprio elemento 
11a
, ou seja: 
det A = 
11a
 . 
Exemplos 
a) Se A = [-2], então det A = -2 
b) b) se B = 






3
1
, então 
3
1
Bdet 
 
2. Determinante da matriz quadrada de ordem 2 ou matriz de segunda ordem. 
O determinante de uma matriz A = 
11 12
21 22
a a
a a






, é igual à diferença entre o produto dos elementos da diagonal 
principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Representando o determinante da matriz A por det A , 
temos: 
det A = 
11 12
21 22
a a
a a
 = 
11 22 12 21a a a a. .
 
Exemplos 
a) Se A = 






81
52
, então det A = 11 b) Se B = 





 
34
10
, então det B = 4 
3. Determinante de uma matriz quadrada de ordem 3ou matriz de terceira ordem. 
O determinante de uma matriz quadrada, de 3ª ordem, geralmente é feito através da regra de Sarrus1, que consiste 
no seguinte: 
 
1 SARRUS (1798 - 1861) – matemático francês. Destacou-se nos estudos com os Determinantes. 
2 
 
A = 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a










 
1º) repetimos as duas primeiras coluna ao lado da última. 
3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
 
 
2) Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos 
elementos das paralelas a essa diagonal com 3 elementos. 
3) Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos 
elementos das paralelas a essa diagonal com 3 elementos. 
4) Realizamos a diferença entre os dois resultados. 
Exemplo: Calcular o determinante da matriz B = 










 431
651
202
, então det B = 20 
 
 
 
 
 
MENOR COMPLEMENTAR 
 Chamamos de menor complementar relativo ao elemento 
ija
 de uma matriz quadrada M, o determinante 
ijMC
, de ordem n – 1, associado à matriz obtida de M quando suprimos a linha e a coluna que passam por 
ija
. 
Exemplo 1: Observe a forma genérica. 
Dada a matriz M=






2221
1211
aa
aa , de ordem 2, para determinarmos o menor complementar relativo ao elemento 
11a
 (
11MC
), retiramos a linha 1 e a coluna 1; 
MC = menor complementar 
 






2221
1211
aa
aa , logo, 
222211 aaMC 
 
 Da mesma forma temos que o MC relativo ao elemento 
12a
 é dado por: 
 






2221
1211
aa
aa , logo, 
212112 aaMC 
 e assim por diante. 
 
 
3 
 
Exemplo 2: Dada a matriz M=






25
13
, de ordem 2, determine o menor complementar (MCij) relativo a cada 
elemento Mij. 
a) 
11MC
 
 
b) 
12MC
 
 
c) 
21MC
 
 
d) 
22MC
 
 
 
Exemplo 3: Observe a forma genérica: Dada a matriz M=










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
, de ordem 3, vamos determinar: 
a) 11MC 
b) 12MC 
c) 21MC 
a) Retirando a linha 1 e a coluna 1 da matriz dada acima 










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
, temos que: 
 11MC
=
 32233322
3332
2322
aaaa
aa
aa





 
 b) retirando a linha 1 e a coluna 2 da matriz dada acima, temos que: 
 12MC
=






3331
2321
aa
aa =
 31233321 aaaa 
 
 c) retirando a linha 2 e a coluna 1 da matriz dada acima, temos que: 
 21MC
=






3332
1312
aa
aa =
 32133312 aaaa  
Exemplo 4: Dada a matriz M=












111
324
512
, de ordem 3, vamos determinar o MC: 
a) 
11MC
 
 
 
 
b) 
12MC
 
 
 
c) 
13MC
 
 
d) 
21MC
 
 
4 
 
 COFATOR DE UM ELEMENTO DE UMA MATRIZ DE ORDEM N (N  2) 
 Chamamos de cofator relativo ao elemento 
ija
 de uma matriz quadrada de ordem n o número 
ijA
, tal que 
ij
ji
ij MC)1(A 

. 
Considerando a matriz A = 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a










, de ordem 3, vejamos como se calcula: 
 
a) o cofator do elemento a11 
 
Então o cofator de a11, será : 
ij
ji
ij MC)1(A 

 
  1111 1
c
. MC11 
   32233322
3332
232211
11 ..11 aaaa
aa
aa
c  
 
 
Exemplos 
 Dada a matriz M = 












346
120
352
, calcular os seguintes cofatores: 
a) c11 
 
Temos 
 
b) c12 
Temos 
  6
36
10
1c
21
12 




 
c) c13 
Temos 
  12
46
20
1 3113 

 c
 











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
 
3332
2322
aa
aa 
Determinante que se obtém da matriz A, 
quando s eliminam os elementos da 1ª linha e 1ª 
coluna. 
Eliminamos da matriz M a 1ª linha e a 1ª coluna 
  10
34
12
1c 1111 


 
 
 
5 
 
 
Matriz Adjunta: A matriz transposta da matriz dos cofatores de uma matriz A é chamada adjunta de A. 
Assim: 
 tAadjA  
 
TEOREMA DE LAPLACE 
Determinante de uma matriz quadrada de ordem n (Teorema de Laplace) 
 Dada uma matriz quadrada A de ordem n, define-se: 
1º) Se n = 1, o determinante da matriz A será o próprio elemento da matriz. 
2º) Se n  2, o determinante da matriz A será o número real que se obtém somando-se os produtos dos elementos de 
uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos seus respectivos cofatores. Essa afirmação é conhecida como Teorema de 
Laplace2. Obs: Escolhe-se de preferência a linha ou coluna a qual possui o número zero como algum dos 
elemento. 
Exemplos: Aplicar o Teorema de Laplace na resolução dos seguintes determinantes: 
a) 
635
012
532
A 


 
Desenvolvendo o determinante segundo os elementos da 2ª linha, pois ao elemento zero corresponde um cofator 
que não precisa ser calculado, teremos: 
det A = a21 . c21 + a22 . c22 + a23 . c23 , R: det A = -79. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 MARQUÊS PIERRE-SIMON DE LAPLACE (1749 – 1827) – matemático e astrônomo francês. Como matemático destacou-se 
no cálculo das Probabilidades. Como astrônomo, escreveu a sua obra prima “Mecânica Celeste”. 
6 
 
b) B = 
1604
3015
2022
3452


 
Desenvolvendo o determinante segundo os elementos da 3ª coluna, teremos: 
det B= a13 . c13 + a23 . c23 + a33 . c33 + a43 . c43, R: det B = -368 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 
1. Se AT é a transposta de uma matriz quadrada A, então det A = det AT 
 
2. Se os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma matriz quadrada forem iguais a zero, seu determinante será 
nulo, det A = 0. 
 
7 
 
3. Se uma matriz quadrada tem duas filas paralelas iguais e/ou proporcionais, então, det A = 0. 
 
4. Se multiplicarmos todos os elementos de uma fila de uma matriz quadrada por um número real, seu determinante 
ficará multiplicado por esse número. 
 
5. Multiplicando-se todos as filas de uma matriz quadrada A por um número real k, obtém-se uma nova matriz B tal 
que 
AkkB n det.det 
 onde n é a ordem da matriz. 
 
6. Teorema de Binet Se A e B são duas matrizes quadradas de ordem n, o determinante da matriz produto AB é 
igual ao produto dos determinantes das matrizes A e B, isto é, 
det (A .B) = det A. det B 
7. O determinante da matriz inversa é: 
A
A
det
1
det 1 
. 
8. O determinante de uma matriz triangular A (superior ou inferior) é igual ao termo principal, isto é, é igual ao 
produto dos elementos da diagonal principal. 
 
9. Quando trocamos as posições de duas filas paralelas (linhas ou colunas), o determinante muda de sinal. 
 
 
 
9. INVERSÃO DE MATRIZES DE ORDEM N COM O AUXÍLIO DA TEORIA DOS DETERMINANTES 
 
A inversa de uma matriz quadrada de ordem n pode ser calculada pela aplicação do seguinte teorema: 
A matriz inversa 1A de uma matriz A (quadrada de ordem n) existe se, e somente se, 0Adet  e é dada por: 
 
 
adjA
Adet
1
A 1 
 
OBS: adj A é a matriz transposta da matriz dos cofatores: adj A = 
 tA
 
 
8 
 
Exemplo: Encontre a matriz inversa de A = [
1 2 4
0 2 1
3 1 2
]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Lista 07 e Lista 08!