AL LISTA 01

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Departamento de
Matema´tica Pura e Aplicada
Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra Linear - 1
O conjunto das matrizes com m linhas e n colunas e coeficientes reais sera´ denotado por Rm×n.
Por simplicidade, denotaremos Rm×1 por Rm e seus elementos sera˜o chamados de matrizes
colunas ou vetores de m coordenadas.
1. Utilizando o Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss (Escalonamento), resolva os seguintes siste-
mas lineares.
(a) 
2x1 +3x2 +x3 = 1
x1 +x2 +x3 = 3
3x1 +4x2 +2x3 = 4
(1)
(b) 
x1 −x2 +2x3 = 4
2x1 +3x2 −x3 = 1
7x1 +3x2 +4x3 = 7
(2)
(c) 
−x1 −2x2 −x3 = 2
−2x1 +2x2 +x3 = 4
3x1 +2x2 +2x3 = 5
−3x1 +8x2 +5x3 = 17
(3)
(d) 
x2 −x3 = 1
2x1 −2x2 +x3 = 3
3x1 +2x2 = 13
−x1 +5x2 −5x3 = 2
(4)
(e) {
x1 −2x2 = 3
−2x1 +4x2 = −8
(5)
2. Considere os sistemas lineares cujas matrizes aumentadas sa˜o dadas por
S1 :
 1 1 3 21 −2 −1 3
2 3 a b

S2 :
 1 −1 0 2 00 0 1 3 0
0 0 0 a b

Para cada sistema acima responda as seguintes perguntas separadamente:
(a) Para quais valores de a e b o sistema possui uma u´nica soluc¸a˜o?
(b) Para quais valores de a e b o sistema possui infinitas soluc¸o˜es?
(c) Para quais valores de a e b o sistema na˜o possui soluc¸a˜o?
1
3. Seja D =
 2 −1 3 a1 2 1 b
7 4 9 c
 a matriz ampliada de um sistema linear S.
(a) Estabelec¸a as condic¸o˜es sobre as constantes a, b e c para que o sistema linear S tenha
soluc¸a˜o.
(b) Existem valores para a, b e c para os quais S tenha u´nica soluc¸a˜o? justifique usando
o conceito de posto e nu´mero de inco´gnitas.
(c) Fazendo a = −1 e b = c = 1, determine o conjunto soluc¸a˜o de S.
4. Mostre que:
(a) Todo sistema homogeˆneo possui soluc¸a˜o (uma ou infinitas).
(b) Se X ′ e X ′′ sa˜o soluc¸o˜es de AX = B enta˜oW = X ′−X ′′ e´ soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo
AX = 0.
5. Sejam L1, L2 e L3 as linhas da matriz EXTENDIDA de um certo sistema linear com 3
ico´gnitas. Sabe que, L3 = 4L1 − 5L2 e que existe ao menos um vetor do R3 que e´ soluc¸a˜o
das equac¸o˜es lineares dadas por L1 e L2. Quantas soluc¸o˜es este sistema (de 3 equac¸o˜es e
3 ico´gnitas) possui?
6. A matriz E ∈ R3×3 e´ obtida a partir da aplicac¸a˜o das seguintes operac¸o˜es “L2 ← L2−L1”e
“L3 ← L3− 2L1”sobre a matriz identidade (obviamente, 3× 3). Ja´ a matriz A e´ dada por:
A =
 1 1 −1 1 01 1 0 1 1
2 2 −2 3 0

(a) Apresente a matriz E.
(b) Calcule o produto de matrizes EA.
(c) Encontre a matriz equivalente a A na forma escada.
(d) Compare os resultados encontrados nos dois itens anteriores.
7. Seja A = [aij] ∈ R4×4 dada por aij = 1+ (−1)
i+j
2
. Calcule A>A
8. Considere a matriz extendida:
[A| I ] =
 1 1 0 1 0 01 1 1 0 1 0
0 1 2 0 0 1

Realize o processo de escalonamento ate´ que esta matriz extendida se transforme numa
matriz do tipo [ I |B], ou seja, aplique o me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss ate´ que as 3
primeiras colunas formar a matriz identidade.
Apo´s a conclusa˜o, calcule os seguintes produtos de matrizes: BA e AB.
9. (A|b) e´ a matriz extendida do sistema (4) e L1, L2, L3 e L4 suas respectivas linhas (nesta
ordem). Mostre que existem nu´meros reais α1, α2 e α3 tais que L4 = α1L1+α2L2+α3L3.
Determine os valores dos αi (i = 1, 2, 3).
10. Dadas as matrizes A =
[
1 2
−2 3
]
e B =
[
0 −1
4 0
]
, calcule A+ B, 3A, AB e BA.
11. Considere as matrizes: A =
[
2 1
0 1
]
e B =
[
−1 0
3 1
]
.
2
(a) Calcule (A+ B)2
(b) Calcule A2 + 2AB+ B2
(c) Compare o resultados das suas contas e explique porque o produto nota´vel (a+b)2 =
a2 + 2ab+ b2 na˜o e´ va´lido com matrizes.
12. Utilizando o Octave digite o seguinte comando para gerar uma matriz aleato´ria A 4 × 6
com coeficientes inteiros entre −2 e 2 e a matriz B escalonada reduzida equivalente a A.
A=round(rand(5,6)*4-2), B=rref(A).
(a) Anote a matriz A e B. Determine a quantidade de soluc¸o˜es deste sistema e apresente
ao menos uma caso exista.
RESUMO da resoluc¸a˜o
1. (a) (8− 2t, −5+ t, t) com t ∈ R.
(b) Sistema imposs´ıvel.
(c) (−2, −11/2, 11).
(d) (3, 2, 1).
(e) Sistema imposs´ıvel.
2. (a) Para S1 : (a 6= 22/3). Para S2 : Imposs´ıvel uma u´nica soluc¸a˜o.
(b) Para S1 : (a = 22/3 e b = 11/3). Para S2 : (a 6= 0) ou (a = 0 e b = 0).
(c) Para S1 : (a = 22/3 e b 6= 11/3). Para S2 : (a = 0 e b 6= 0).
3. (a) c = 2a+ 3b.
(b) Na˜o.
(c) (4+ 3t, t,−3− 5t), com t ∈ R.
4. (a) Basta verificar que x1 = x2 = · · · = xn = 0 e´ soluc¸a˜o para qualquer sistema homogeˆneo de n
ico´gnitas.
(b) Resumo: AW = A(X ′ − X ′′) = AX ′ −AX ′′ = B− B = 0.
5. ∞. De fato, aplicando as operac¸o˜es elementares L3 ← L3 − 4L1 e L3 ← L3 + 5L2 teremos um
sistema com duas linhas na˜o nulas e treˆs ico´gnitas.
6. (a) E =
 1 0 0−1 1 0
−2 0 1

(b) EA =
 1 1 −1 1 00 0 1 0 1
0 0 0 1 0

(c) EA.
(d) As matrizes sa˜o iguais.
7. aij = 0 se i+ j e´ impar e aij = 1 caso contra´rio . . .
8. Vera´s que B =
 −1 2 −12 −2 1
−1 1 0
 e que B = A−1.
9. α1 = 33/7, α2 = −2/7 e α3 = −1/7.
10. Esta questa˜o e´ muito fa´cil! Observe que AB 6= BA.
11. Observe que, se A e B sa˜o matrizes quadradas enta˜o (A+B)2 = AA+AB+BA+BB = A2+AB+
BA+ B2. Como AB 6= BA (pelos neste caso), NA˜O PODEMOS assumir AB+ BA = 2AB.
12. :D
3