Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro AP2 – Me´todos Determin´ısticos I – 2016-1 Nome: Matr´ıcula: Polo: Data: Atenc¸a˜o! • Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto, Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta; • E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas. • Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa. ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas. Este texto e´ comum as Questo˜es 1, 2, 3 e 4 a seguir. Vamos imaginar que o bairro B esta´ representado no plano cartesiano, de forma que a origem e´ o ponto onde o Hospital H se encontra, o norte e o sul sa˜o representados no eixo y e o leste e o oeste sa˜o representados no eixo x. Sabe-se que uma casa noturna sera´ constru´ıda no bairro e que sua localizac¸a˜o, no plano, corresponde ao ponto ( −2 5 , 3 ) . Uma fam´ılia deseja comprar uma casa neste bairro e a localizac¸a˜o da casa nova sera´ representada, no plano, por (x, y). Com base nestas informac¸o˜es, responda as Questo˜es 1, 2, 3 e 4 a seguir. Questa˜o 1 (1.2 pt) Pedro, o marido, exige que o corretor procure apenas casas localizadas em pontos (x, y), tais que a abscissa x diste mais do que 3km da abscissa da futura casa noturna. Qual e´ a inequac¸a˜o modular (na varia´vel x) que o corretor deve resolver para encontrar os valores de x que satisfazem a exigeˆncia de Pedro? Encontre o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o e o apresente na forma de um intervalo ou de uma unia˜o de intervalos. Soluc¸a˜o: Observe que o marido refere-se apenas a`s abscissas da casa e da futura casa noturna. Portanto, ele esta´ se referindo a pontos da reta. Ale´m disso, sabemos que a distaˆncia entre dois pontos a e b da reta, i.e. a, b ∈ R, e´ dada por |a− b|. Como a abscissa da futura casa noturna e´ −2 5 e a da casa e´ x, e a distaˆncia entre elas deve ser maior do que 3, temos que a inequac¸a˜o modular que modela o problema e´ ∣∣∣∣x− (−25 )∣∣∣∣ > 3, ou seja, ⇔ ∣∣∣∣x+ 25 ∣∣∣∣ > 3. Me´todos Determin´ısticos I AP2 2 Para resolver a inequac¸a˜o acima, vamos utilizar o Teorema 2 do EP9, que diz que para c e d reais, |c| > d ⇔ (c < −d ou c > d). Desta forma, tomando c = x+ 2 5 e d = 3, temos que∣∣∣∣x+ 25 ∣∣∣∣ > 3 ⇐⇒ x+ 25 < −3 ou x+ 25 > 3 ⇐⇒ x < −3− 2 5 ou x > 3− 2 5 ⇐⇒ x < −3 · 5 5 − 2 5 ou x > 3 · 5 5 − 2 5 ⇐⇒ x < −15 5 − 2 5 ou x > 15 5 − 2 5 ⇐⇒ x < −17 5 ou x > 13 5 . ⇐⇒ x ∈ ( −∞,−17 5 ) ∪ ( 13 5 ,∞ ) . Questa˜o 2 (0.4 pt) Maria, a esposa de Pedro, que e´ matema´tica, disse que ele na˜o podia ignorar a ordenada y e pediu para o corretor procurar uma casa tal que sua distaˆncia ao ponto onde seria constru´ıda a casa noturna fosse maior do que 3km. Qual e´ a inequac¸a˜o (nas varia´veis x e y) que o corretor tera´ que resolver para atender a restric¸a˜o que Maria impoˆs? Na˜o resolva-a! Apenas apresente a inequac¸a˜o. Soluc¸a˜o: Observe que Maria, diferentemente de Pedro, refere-se a pontos do plano. Sabemos que a distaˆncia, d, entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) em R2 e´ dada por d = √ (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2. Desta forma, como, no plano, a casa e´ representada pelo ponto (x, y) e a futura casa noturna, por( −2 5 , 3 ) , a exigeˆncia de que a distaˆncia entre a casa e a futura casa noturna seja maior do que 3km e´ traduzida, matematicamente, por√( x− ( −2 5 ))2 + (y − 3)2 > 3, ou seja, por √( x+ 2 5 )2 + (y − 3)2 > 3, ou, equivalentemente, por ( x+ 2 5 )2 + (y − 3)2 > 9. Questa˜o 3 (0.2 pt) Mais tarde, preocupada com seu marido, que trabalha no hospital H, ela ligou para o corretor e incluiu uma nova condic¸a˜o: a distaˆncia da casa ao Hospital H deveria ser menor ou igual a 1km. Qual e´ a nova inequac¸a˜o que o corretor tera´ que resolver para atender esta u´ltima restric¸a˜o que Maria impoˆs? Na˜o resolva-a! Apenas apresente a inequac¸a˜o. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 3 Soluc¸a˜o: Como, no plano, o Hospital H corresponde a` origem, i.e. ao ponto (0, 0), a exigeˆncia de que a distaˆncia entre a casa e o hospital seja menor ou igual a 1km e´ traduzida, matematicamente, por √ (x− 0)2 + (y − 0)2 ≤ 1, ou seja, por √ x2 + y2 ≤ 1, ou, equivalentemente, por x2 + y2 ≤ 1. Questa˜o 4 (0.4 pt) O corretor, cansado de tantas inequac¸o˜es, procurou a casa mais bonita. Ela esta´ localizada no ponto ( −2 5 , 1 4 ) . Ele apresentou a casa a` fam´ılia. Maria ficou satisfeita? Por queˆ? Soluc¸a˜o: O sistema de inequac¸o˜es que modela as exigeˆncias de Maria e´ √( x+ 2 5 )2 + (y − 3)2 > 3 (i)√ x2 + y2 ≤ 1 (ii) , ou, equivalentemente, { ( x+ 2 5 )2 + (y − 3)2 > 9 (iii) x2 + y2 ≤ 1 (iv) Para sabermos se a localizac¸a˜o da casa apresentada pelo corretor atende a`s restric¸o˜es impostas por Maria, vamos substituir o ponto dado nas inequac¸o˜es (iii) e (iv). Desta forma, conforme pode ser visto abaixo, a casa satisfaz a condic¸a˜o representada pela inequac¸a˜o (iv), mas na˜o satisfaz a condic¸a˜o representada pela inequac¸a˜o (iii). Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 4 ( −2 5 + 2 5 )2 + ( 1 4 − 3 )2 > 9( −2 5 )2 + ( 1 4 )2 ≤ 1 ⇔ 02 + ( 1 4 − 4 · 3 4 )2 > 9 4 25 + 1 16 ≤ 1 ⇔ ( 1− 12 4 )2 > 9 16 · 4 25 · 16 + 25 16 · 25 ≤ 1 ⇔ ( −11 4 )2 > 9 64 400 + 25 400 ≤ 1 ⇔ 112 42 > 9 89 400 ≤ 1 ⇔ 121 16 > 9 89 400 ≤ 1 ⇔ { 121 > 9 · 16 89 ≤ 400 ⇔ { 121 > 144 (Falso) 89 ≤ 400 (Verdadeiro) Logo, Maria na˜o ficou satisfeita com a localizac¸a˜o da casa, ja´ que a distaˆncia da casa a` casa noturna na˜o sera´ maior do que 3 km. Este texto e´ comum as Questo˜es 5, 6 e 7 a seguir. Considere a func¸a˜o demanda D(P ) = A ·P +368 e a func¸a˜o oferta Q(P ) = 3P 2+30P − 3 ·A+15 de um determinado produto, onde A e´ uma constante real. Sabe-se que o prec¸o de equil´ıbrio e´ de R$ 5,00. Com base nestas informac¸o˜es, responda as Questo˜es 5, 6 e 7 a seguir. Questa˜o 5 (1.0 pt) Determine a constante A. Soluc¸a˜o: Sabemos que o prec¸o de equil´ıbrio e´ o valor de P em que a demanda e´ igual a oferta. Como e´ dito que o prec¸o de equil´ıbrio e´ R$5,00, segue que D(5) = Q(5), ou seja, A · 5 + 368 = 3 · 52 + 30 · 5− 3 · A+ 15. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 5 Para descobrirmos o valor de A, vamos resolver a equac¸a˜o acima. A · 5 + 368 = 3 · 52 + 30 · 5− 3 · A+ 15 ⇐⇒ A · 5 + 368 = 3 · 25 + 150− 3 · A+ 15 ⇐⇒ A · 5 + 368 = 75 + 150− 3 · A+ 15 ⇐⇒ A · 5 + A · 3 = −368 + 75 + 150 + 15 ⇐⇒ A · 8 = −368 + 75 + 150 + 15 ⇐⇒ A · 8 = −128 ⇐⇒ A = −128 8 ⇐⇒ A = −16. Questa˜o 6 (0.8 pt) Qual e´ a quantidade de equil´ıbrio? Soluc¸a˜o: Sustituindo A = −16 nas equac¸o˜es de demanda e de oferta, ebcontramos que D(P ) = −16 · P + 368 e Q(P ) = 3P 2 + 30P − 3 · (−16) + 15 = 3P 2 + 30P + 63. Substituindo, enta˜o, P = 5 em qualquer uma das equac¸o˜es, encontramos que D(5) = −16 · 5 + 368 = −80 + 368 = 288 e, da mesma forma, Q(5) = 3 · 52 + 30 · 5 + 63 = 3 · 25 + 150 + 63 = 75 + 150 + 63 = 288. Questa˜o 7 (0.5 pt) A partir de que prec¸o na˜o ha´ mais demanda do produto (D = 0)? Soluc¸a˜o: Na˜o haver mais demanda do produto, significa que a demanda e´ zero. O prec¸o P0 a partir do qual na˜o ha´ mais demanda do produto e´ dado, portanto, pela equac¸a˜o D(P0) = −16P0 + 368 = 0. Resolvendo a equac¸a˜o acima, temosque −16P0 + 368 = 0 ⇐⇒ −16P0 = −368 ⇐⇒ P0 = 368 16 ⇐⇒ P0 = 23. Quando o prec¸o chega a R$23,00, na˜o ha´ mais demanda do produto. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 6 Questa˜o 8 (2.0 pt) Um pintor precisa de tinta branca e azul para pintar uma escola. O prec¸o do gala˜o de tinta branca e´ R$102,00 e do tinta azul e´ R$178,00. Sabe-se que o pintor comprou 48 galo˜es e que gastou R$5.732,00. Quantos galo˜es de tinta branca ele comprou? Quantos galo˜es de tinta azul ele comprou? Soluc¸a˜o: Vamos definir as seguintes varia´veis: b - nu´mero de galo˜es de tinta branca comprado. a - nu´mero de galo˜es de tinta azul comprado. Portanto, como o pintor comprou 48 galo˜es, temos que b+ a = 48. Ale´m disso, temos que 102 · b - representa o dinheiro gasto na compra dos galo˜es de tinta branca. 178 · a - representa o dinheiro gasto na compra dos galo˜es de tinta azul. Portanto, como o pintor gastou R$5.732,00 na compra das tintas, temos que 102 · b+ 178 · a = 5.732. Sendo assim, a e b devem satisfazer o sistema de equac¸o˜es{ b+ a = 48 (i) 102b+ 178a = 5.732 (ii) Vamos, enta˜o, resolver esse sistema. Multiplicando a equac¸a˜o (i) por −102 e depois somando as duas equac¸o˜es, i.e., fazendo −102(i) + (ii), temos −102b− 102a = −102 · (48) 102b+ 178a = 5.732 + (178− 102) a = 5732− 4896 Encontramos enta˜o que 76a = 836⇐⇒ a = 836 76 ⇐⇒ a = 11. Substituindo agora a = 11 em (i), chegamos a a+ b = 48 ⇐⇒ 11 + b = 48 ⇐⇒ b = 48− 11 ⇐⇒ b = 37. Portanto, o pintor comprou 11 galo˜es de tinta azul e 37 galo˜es de tinta branca. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 7 Este texto e´ comum as Questo˜es 9, 10, 11 e 12 a seguir. Considere as func¸o˜es f(x) = 7− 4x e g(x) = 6x2 + 5x− 6. A func¸a˜o F e´ definida como F (x) = √ g(x)√ f(x) . Com base nestas informac¸o˜es, responda as Questo˜es 9, 10, 11 e 12 a seguir. Questa˜o 9 (0.4 pt) Esboc¸e o gra´fico da func¸a˜o f Soluc¸a˜o: Observe que a func¸a˜o f e´ uma func¸a˜o afim, de modo que seu gra´fico e´ uma reta. Mais especificamente, o gra´fico da func¸a˜o f e´ a reta y = 7− 4x. Desta forma, para determinar o gra´fico da func¸a˜o f , basta determinarmos dois pontos da reta. Vamos determinar as intersec¸o˜es da reta como os eixos y e x. Neste caso, temos que • x = 0⇐⇒ y = 7. Ou seja, (0, 7) e´ um ponto da reta. • y = 0⇐⇒ 7− 4x = 0⇐⇒ −4x = −7⇐⇒ x = 7 4 . Ou seja, ( 7 4 , 0 ) e´ um ponto da reta. Na Figura 1 plotamos o gra´fico da func¸a˜o f . 7 4 x 7 y Figura 1: Questa˜o 9 Questa˜o 10 (0.8 pt) Esboc¸e o gra´fico da func¸a˜o g Soluc¸a˜o: Observe que a func¸a˜o g e´ uma func¸a˜o quadra´tica, de modo que seu gra´fico e´ uma para´bola. Mais especificamente, o gra´fico da func¸a˜o g e´ a para´bola y = 6x2 +5x− 6. Note que esta para´bola possui concavidade voltada para cima, pois o coeficiente de x2 e´ positivo. Lembre-se ainda, que para determinar a para´bola y = 6x2+5x− 6 (gra´fico da func¸a˜o g), e´ necessa´rio, no m´ınimo, treˆs pontos. Neste caso, vamos encontrar os pontos de intersec¸o˜es da para´bola como os eixos coordenados e seu ve´rtice. Temos assim, que Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 8 • x = 0⇐⇒ y = 6(0)2 + 5(0)− 6 = −6. Portanto, a para´bola intercepta o eixo y no ponto (0,−6). • 6x2 + 5x− 6 = 0 ⇐⇒ x = −5± √ 52 − 4(6)(−6) 2 · 6 ⇐⇒ x = −5± √ 25 + 144 12 ⇐⇒ x = −5± √ 169 12 ⇐⇒ x = −5± 13 12 ⇐⇒ x = −5− 13 12 ou x = −5 + 13 12 ⇐⇒ x = −18 12 ou x = 8 12 ⇐⇒ x = −3 2 ou x = 2 3 . Portanto, a para´bola intercepta o eixo x nos pontos ( −3 2 , 0 ) e ( 2 3 , 0 ) . • O ve´rtice (xv, yv) da para´bola tem coordenadas (xv, yv) = ( − b 2a ,−∆ 4a ) = ( − 5 2(6) ,−(169) 4(6) ) = ( − 5 12 ,−169 24 ) . Na Figura 2 plotamos o gra´fico da func¸a˜o f . - 3 2 - 5 12 2 3 x - 169 24 -6 y Figura 2: Questa˜o 10 Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 9 Questa˜o 11 (0.6 pt) Determine o ponto em que a func¸a˜o g atinge seu m´ınimo. Qual e´ este valor m´ınimo? Soluc¸a˜o: O ponto em que a func¸a˜o g atinge seu m´ınimo e´ dado pelo x do ve´rtice da para´bola, calculado acima em xv = − 5 12 e o valor do m´ınimo e´ dado pelo y do ve´rtice da para´bola, calculado acima em yv = −169 24 . Questa˜o 12 (1.7 pt) Determine, na forma de intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, o dom´ınio da func¸a˜o F Soluc¸a˜o: Observe que na definic¸a˜o da func¸a˜o F , tomamos a raiz quadrada da func¸a˜o f , da func¸a˜o g e ainda realizamos o quociente entre as duas raizes. Portanto, para que a func¸a˜o F esteja bem definida, precisamos que todas estas operac¸o˜es sejam va´lidas. Isto significa que, o que for radicando, ou seja, o que estiver dentro do s´ımbolo de raiz quadrada, precisara´ ser maior ou igual a zero e, o que for denominador, precisara´ ser diferente de zero. Desta forma, o dom´ınio de F e´ formado pelos valores de x ∈ R, tais que f(x) > 0 e g(x) ≥ 0. Desta forma, temos que f(x) > 0 ⇔ 7− 4x > 0 ⇔ −4x > −7 ⇔ x < 7 4 ⇔ x ∈ ( −∞, 7 4 ) e g(x) ≥ 0 ⇔ 6x2 + 5x− 6 ≥ 0 ⇔ x ≤ −3 2 ou x ≥ 2 3 , ⇔ x ∈ ( −∞,−3 2 ] ∪ [ 2 3 ,∞ ) Portanto, o dom´ınio de F e´ dado por x ∈ (( −∞,−3 2 ] ∪ [ 2 3 ,∞ )) ∩ ( −∞, 7 4 ) x ∈ ( −∞,−3 2 ] ∪ [ 2 3 , 7 4 ) Explicamos a seguir como resolver a inequac¸a˜o 6x2 + 5x− 6 ≥ 0. Podemos resolver a inequac¸a˜o utilizando nossos conhecimentos de para´bola. Desta forma, chamando y de 6x2+5x− 6, isto e´ y = 6x2+5x− 6, podemos estudar o sinal da inequac¸a˜o 6x2+5x− 6 ≥ 0 estudando o sinal do y da para´bola. Conforme calculado na Questa˜o 10, as ra´ızes da equac¸a˜o 6x2+5x−6 = 0, sa˜o x = 2 3 e x = −3 2 . Como a = 6 > 0, temos que a para´bola possui concavidade Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 10 para cima, cortando o eixo x em x = 2 3 e x = −3 2 . Desta forma, y sera´ positivo para valores de x, tais que, x ≤ −3 2 ou x ≥ 2 3 . Uma forma alternativa de fazer a ana´lise de sinal para a inequac¸a˜o 6x2 + 5x− 6 = 6 ( x+ 3 2 )( x− 2 3 ) ≥ 0 e´ utilizar a tabela abaixo. (−∞,−3/2) (−3/2, 2/3) (2/3,∞) sinal de 6 + + + sinal de ( x+ 3 2 ) − + + sinal de ( x− 2 3 ) − − + sinal de 6 ( x+ 3 2 )( x− 2 3 ) + − + Como vemos na tabela acima, 6x2 + 5x− 6 = 6 ( x+ 3 2 )( x− 2 3 ) ≥ 0 ⇐⇒ x ≤ −3 2 ou x ≥ 2 3 . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Compartilhar