Álgebra Linear: Vetores no Espaço

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Álgebra Linear
Espaços R𝑛
Vetores no plano e no espaço
Espaços R𝑛
Vetores no plano e no espaço
Estamos acostumados a lidar com grandezas físicas como velocidade,
força, deslocamento e impulso. Para serem completamente identi-
ficadas, essas grandezas precisam, além da magnitude, da direção
e do sentido. Grandezas deste tipo são chamadas de grandezas
vetoriais ou simplesmente vetores.
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Geometricamente, no plano ou no espaço, um vetor pode ser
representado por um segmento de reta orientado que indica o
deslocamento do ponto 𝐴 para o ponto 𝐵.
𝐴
𝐵
(origem)
(extremidade)
−→
𝐴𝐵
I Denotamos este vetor por 𝑉 = −→𝐴𝐵.
I A magnitude de um vetor é o comprimento de um segmento
orientado que o representa.
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Observe que um vetor pode ser representado por mais de um
segmento orientado, como na figura abaixo:
Diremos que dois segmentos orientados representam o mesmo vetor
se possuem mesma magnitude, direção e sentido.
Definição
Dizemos que dois vetores são iguais se seus representantes possuem
a mesma magnitude, direção e sentido.
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Definiremos agora as operações entre vetores.
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Definição (Soma de vetores)
Dados 𝑉 e𝑊 dois vetores quaisquer. Definimos 𝑉 +𝑊 da seguinte
forma
I Tome um representante qualquer de 𝑉 ,
I Tome um representante de 𝑊 com ponto inicial na
extremidade de 𝑉 .
I A soma 𝑉 +𝑊 é o vetor que tem origem no ponto inicial de
𝑉 e extremidade no ponto final de 𝑊
𝑉
𝑉
𝑊
𝑉
𝑊
𝑉 +𝑊
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Geometricamente, é fácil de ver que valem as seguintes
propriedades:
𝑉 +𝑊 =𝑊 + 𝑉
𝑉
𝑊
𝑊 + 𝑉
𝑊
𝑉
=
𝑉 +𝑊
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Geometricamente, é fácil de ver que valem as seguintes
propriedades:
(𝑉 +𝑊 ) + 𝑈 = 𝑉 + (𝑊 + 𝑈)
𝑉
𝑊
𝑈
𝑉 +𝑊
𝑊 + 𝑈
(𝑉 +𝑊 ) + 𝑈
=
𝑉 + (𝑊 + 𝑈)
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Geometricamente, é fácil de ver que valem as seguintes
propriedades:
I Se −→0 é o vetor que tem origem e extremidade no mesmo
ponto, então 𝑉 + 0⃗ = 0⃗ + 𝑉 = 𝑉
I Se -𝑉 é o vetor que possui mesma magnitude, direção e
sentido oposto ao de 𝑉 então 𝑉 + (−𝑉 ) = (−𝑉 ) + 𝑉 = 0⃗.
𝑉
−𝑉
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Resumindo, a soma de vetores satisfaz:
Propriedades da soma:
I 𝑉 +𝑊 =𝑊 + 𝑉 ;
I 𝑉 + (𝑊 + 𝑈) = (𝑉 +𝑊 ) + 𝑈 ;
I Se −→0 é o vetor que tem origem e extremidade no mesmo
ponto, então 𝑉 + 0⃗ = 0⃗ + 𝑉 = 𝑉 ;
I Se -𝑉 é o vetor que possui mesma magnitude, direção e
sentido oposto ao de 𝑉 então 𝑉 + (−𝑉 ) = (−𝑉 ) + 𝑉 = 0⃗.
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Definição (Diferença entre dois vetores)
Dados 𝑉 e 𝑊 , a diferença entre 𝑉 e 𝑊 é definida como
𝑉 −𝑊 = 𝑉 + (−𝑊 )
Observe que 𝑉 =𝑊 + (𝑉 −𝑊 ), ou seja, 𝑉 −𝑊 é o vetor que,
quando somado a 𝑊 , resulta em 𝑉 .
𝑉
𝑊
𝑉 −𝑊
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Definição (Multiplicação por escalar)
Seja 𝑉 um vetor e 𝛼 um escalar. O vetor 𝛼𝑉 possui a mesma
direção de 𝑉 , |𝛼| vezes o comprimento de 𝑉 e
I mesmo sentido se 𝛼 > 0 ;
I sentido oposto se 𝛼 < 0;
𝑉
𝛼 > 0
𝛼 < 0
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Definição
Diremos que dois vetores 𝑉 e 𝑊 são paralelos se tiverem a mesma
direção.
Definição
Diremos que 𝑊 é um múltiplo escalar de 𝑉 se 𝑉 = 𝛼𝑊
É fácil ver que, se 𝑉 e 𝑊 são paralelos se, e somente se, 𝑉 = 𝛼𝑊 .
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Para facilitar nosso estudo, vamos introduzir o sistema de
coordenadas retangulares (ou Cartesianas).
Podemos representar:
I um número real (R) por um ponto em uma reta
𝑥
I um ponto no plano (R2 = R× R) por um par ordenado
(𝑥1, 𝑥2)
𝑥1
𝑥2 (𝑥1, 𝑥2)
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I um ponto no espaço (R3 = R2 × R) por uma tripla ordenado
(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)
𝑥1
𝑥2
𝑥3
(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)
I No espaço R𝑛 = R𝑛−1 ×R, representamos um ponto por uma
𝑛−upla (𝑥1, 𝑥2, · · · , 𝑥𝑛).
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Dados dois pontos 𝐴 = (𝑎1, · · · , 𝑎𝑛) e 𝐵 = (𝑏1, · · · , 𝑏𝑛) e um
escalar 𝛼, definimos a soma e multiplicação por escalar
𝐴+𝐵 = (𝑎1 + 𝑏1, · · · , 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛)
𝛼𝐴 = (𝛼𝑎1, · · · , 𝛼𝑎𝑛)
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Definição
Seja 𝑉 = −→𝐴𝐵 um vetor. As componentes de 𝑉 são as coordenadas
(𝑣1, · · · , 𝑣𝑛) do ponto final 𝑃 do representante de 𝑉 com ponto
inicial na origem. Escreveremos 𝑉 = (𝑣1, · · · , 𝑣𝑛) e então 𝑉 =−→
𝐴𝐵 = −→𝑂𝑃
𝐴
𝐵
𝑃 = (𝑏1 − 𝑎1, 𝑏2 − 𝑎2)
−→
𝐴𝐵
−→
𝑂𝐵
−→
𝑂𝐴
−→
𝑂𝑃
𝑎1 𝑏1
𝑏2
𝑎2
𝑉 = −→𝐴𝐵 = −→𝑂𝐵 −−→𝑂𝐴 = −→𝑂𝑃
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Desta forma, podemos identificar cada ponto 𝑃 do espaço com um
vetor 𝑉 = −→𝑂𝑃 e escrevê-lo como uma matriz linha ou coluna.
Se 𝑉 = (𝑣1, 𝑣2, · · · , 𝑣𝑛) então
𝑉 =
[︁
𝑣1 𝑣2 · · · 𝑣𝑛
]︁
ou 𝑉 =
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
𝑣1
𝑣2
...
𝑣𝑛
⎤⎥⎥⎥⎥⎦
Com esta identificação, todas as propriedades com relação à soma
e multiplicação por escalar vistas para matrizes também são
válidas para vetores no espaço R𝑛.
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Norma e produto escalar
Definição
O comprimento de um vetor 𝑉 é definido como sendo o compri-
mento de qualquer um dos segmentos orientados que os representa.
O comprimento de 𝑉 é denotado por ‖𝑉 ‖.
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No plano, se 𝑉 = (𝑣1, 𝑣2)
𝑣1
𝑣2
então
‖𝑉 ‖ =
√︁
𝑣21 + 𝑣22
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No espaço, se 𝑉 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3), então
𝑣3
𝑣1
𝑣2
‖𝑉 ‖ =
√︁
𝑣21 + 𝑣22 + 𝑣23
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A distância entre dois pontos no plano é o comprimento do vetor
𝑉 = −→𝐴𝐵,
𝐴
𝐵
−→
𝐴𝐵
𝑎1 𝑏1
𝑏2
𝑎2
Podemos escrever 𝑉 = −→𝐴𝐵 = −→𝑂𝐵 −−→𝑂𝐴, logo
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝐴,𝐵) =
⃦⃦⃦−→
𝐴𝐵
⃦⃦⃦
=
√︁
(𝑎1 − 𝑏1)2 + (𝑎2 − 𝑏2)2
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De maneira análoga, para dois pontos no espaço no espaço:
𝑎1
𝑏1
𝑎2 𝑏2
𝑏3
𝑎3
−→
𝐴𝐵
𝐴 𝐵
Se 𝑉 = −→𝐴𝐵 = −→𝑂𝐵 −−→𝑂𝐴, então
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝐴,𝐵) =
⃦⃦⃦−→
𝐴𝐵
⃦⃦⃦
=
√︁
(𝑎1 − 𝑎2)2 + (𝑏1 − 𝑏2)2 + (𝑎3 − 𝑏3)2
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De maneira geral, se as componentes de 𝑉 são
𝑉 = (𝑣1, 𝑣2, · · · , 𝑣𝑛)
então
‖𝑉 ‖ =
√︁
𝑣21 + 𝑣22 + · · ·+ 𝑣2𝑛
Dados dois pontos 𝐴 = (𝑎1, · · · , 𝑎𝑛) e 𝐵 = (𝑏1, · · · , 𝑏𝑛) então a
distância eles é a norma do vetor 𝑉 = −→𝐴𝐵 = −→𝑂𝐵 −−→𝑂𝐴 e portanto
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝐴,𝐵) =
√︁
(𝑎1 − 𝑏1)2 + · · ·+ (𝑎𝑛 − 𝑏𝑛)2
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I Se ‖𝑉 ‖ = 1, dizemos que o vetor é unitário.
I Se 𝑉 = (𝑣1, 𝑣2, · · · , 𝑣𝑛) então ‖𝛼𝑉 ‖ = |𝛼|‖𝑉 ‖
I Se ‖𝑊‖ ≠ 0 então 𝑈 = 1‖𝑊‖𝑊 é um vetor unitário.
1
‖𝑉 ‖ = 1
𝑊
1
‖𝑊‖𝑊
𝑉
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Produto escalar
Definição (Ângulo entre vetores)
Dados dois vetores não-nulos 𝑉 e 𝑊 (no plano ou no espaço),
o ângulo 𝜃 entre 𝑉 e 𝑊 é o ângulo que satisfaz 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋
determinado por dois representantes com mesma origem.
𝜃
𝑉
𝑊
Se 𝜃 = 90𝑜, dizemos que os vetores são ortogonais ou perpendicu-
lares.
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Definição (Produto escalar)
O produto interno ou produto escalar de dois vetores (no plano
ou no espaço) é definido por
𝑉 ·𝑊 = ‖𝑉 ‖ ‖𝑊‖ cos 𝜃
onde 𝜃 é o ângulo entre 𝑉 e 𝑊 .
Observe que, ao contrário das outras definições, não podemos
generalizá-la facilmente para 𝑛 > 3, pois a noção de ângulo não
está bem definida nesses ambientes.
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Considere 𝑉 = (𝑣1, 𝑣2), 𝑊 = (𝑤1, 𝑤2).
Temos que 𝑉 , 𝑊 e 𝑉 −𝑊 determinam um triângulo. Daí, pela lei
dos cossenos, temos
‖𝑉 −𝑊‖2 = ‖𝑉 ‖2 + ‖𝑊‖2 − 2 ‖𝑉 ‖ ‖𝑊‖ cos 𝜃
Logo
‖𝑉 ‖ ‖𝑊‖ cos 𝜃 = 12
(︁
‖𝑉 ‖2 + ‖𝑊‖2 − ‖𝑉 −𝑊‖2
)︁
= 12
(︁
𝑣21 + 𝑣22 + 𝑤21 + 𝑤22 − (𝑣1 − 𝑤1)2 − (𝑣2 − 𝑤2)2
)︁
= 𝑣1𝑤1 + 𝑣2𝑤2
Daí, o produto interno 𝑉 ·𝑊 pode ser escrito como
𝑉 ·𝑊 = 𝑣1𝑤1 + 𝑣2𝑤2
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Com isto, demonstramos o teorema
Teorema
I Se 𝑉 = (𝑣1, 𝑣2) e 𝑊 = (𝑤1, 𝑤2) então
𝑉 ·𝑊 = 𝑣1𝑤1 + 𝑣2𝑤2.
I Se 𝑉 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) e 𝑊 = (𝑤1, 𝑤2, 𝑤3) então
𝑉 ·𝑊 = 𝑣1𝑤1 + 𝑣2𝑤2 + 𝑣3𝑤3.
Observação: Para demonstrar o segundo item, basta observar que
dois vetores não paralelos determinam um único plano no espaço e
aplicar o raciocínio anterior neste caso.
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Definição
Dados 𝑉 = (𝑣1, 𝑣2, · · · , 𝑣𝑛) e 𝑊 = (𝑤1, 𝑤2, · · · , 𝑤𝑛) o produto
interno de 𝑉 e 𝑊 é definido por
𝑉 ·𝑊 =
𝑛∑︁
𝑖=1
𝑣𝑖𝑤𝑖
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Exemplo
Calcule o produto interno entre os vetores 𝑉 = (−1, 0, 2) e 𝑊 =
(1, 2, 3)
Solução:
Pelo teorema anterior, temos
𝑉 ·𝑊 = (−1, 0, 2) · (1, 2, 3) = (−1).1 + 0.2 + 2.3 = −1 + 6 = 5
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Ângulo entre 𝑉 e 𝑊
Observe que podemos utilizar o teorema anterior e a definição de
produto escalar para calcular o ângulo entre dois vetores não nulos,
pois
𝑉 ·𝑊 = ‖𝑉 ‖ ‖𝑊‖ cos 𝜃 ⇒ cos 𝜃 = 𝑉 ·𝑊‖𝑉 ‖ ‖𝑊‖
⇒ 𝜃 = cos−1
(︂
𝑉 ·𝑊
‖𝑉 ‖ ‖𝑊‖
)︂
.
Desta forma, o ângulo 𝜃 será
I Agudo: Se 𝑉 ·𝑊 > 0, então cos 𝜃 > 0, logo 0 < 𝜃 < 90𝑜;
I Reto: Se 𝑉 ·𝑊 = 0, então cos 𝜃 = 0, logo 𝜃 = 90𝑜;
I Obtuso: Se 𝑉 ·𝑊 < 0, então cos 𝜃 < 0, logo 90𝑜 < 𝜃 ≤ 180𝑜;
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O produto escalar satisfaz as seguintes propriedades:
Teorema
Sejam 𝑈 , 𝑉 e𝑊 vetores no plano ou no espaço e 𝛼 ∈ R um escalar.
São válidas as seguintes propriedades:
a) comutatividade: 𝑈 · 𝑉 = 𝑉 · 𝑈 ;
b) distributividade: 𝑈 · (𝑉 +𝑊 ) = 𝑈 · 𝑉 + 𝑈 ·𝑊 ;
c) associatividade: 𝛼𝑈 · 𝑉 = (𝛼𝑈) · 𝑉 = 𝑈 · (𝛼𝑉 );
d) positiva definida: 𝑉 · 𝑉 = ‖𝑉 ‖2 ≥ 0 e 𝑉 · 𝑉 = 0 se, e somente
se, 𝑉 = 0.
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Definição (Projeção ortogonal)
Dados 𝑉 e 𝑊 , a projeção ortogonal de 𝑉 sobre 𝑊 , denotada por
proj𝑊𝑉 , é vetor paralelo à 𝑊 tal que 𝑉 − proj𝑊𝑉 é ortogonal à
𝑊 .
𝑊
𝑉
proj𝑊 𝑉
𝑉 − proj𝑊 𝑉
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Proposição
Seja 𝑊 um vetor não-nulo, então
proj𝑊𝑉 =
(︃
𝑉 ·𝑊
‖𝑊‖2
)︃
𝑊
Demonstração: Seja 𝑉1 = proj𝑊𝑉 e
𝑉2 = 𝑉 − proj𝑊𝑉 = 𝑉 − 𝑉1
Pela definição, 𝑉1 é paralelo à 𝑊 e portanto 𝑉1 = 𝛼𝑊 . Assim,
𝑉2 = 𝑉 − 𝛼𝑊. Pela definição, 𝑉2 deve ser ortogonal à 𝑊 , logo
0 = 𝑉2 ·𝑊 = (𝑉 −𝛼𝑊 ) ·𝑊 = 𝑉 ·𝑊 −𝛼𝑊 ·𝑊 = 𝑉 ·𝑊 −𝛼 ‖𝑊‖2
Desta forma,
𝛼 = 𝑉 ·𝑊‖𝑊‖2 ⇒ proj𝑊𝑉 =
(︃
𝑉 ·𝑊
‖𝑊‖2
)︃
𝑊
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