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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas
Departamento de Matema´tica
2a Lista - MAT 146 - Ca´lculo I 2017/I
1) Para a func¸a˜o g, cujo gra´fico e´ apresentado abaixo, encontrar os seguintes limites ou explicar porque
na˜o existe.
a) lim
x→1
g(x) b) lim
x→2
g(x) c) lim
x→3
g(x)
1 2 3
x
1
y
0
2) Suponha que lim
x→0
f(x) = 1 e lim
x→0
g(x) = −5. Calcule
lim
x→0
2f(x)− g(x)
(f(x) + 7)
2
3
.
3) Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→7
x2 − 49
x− 7
b) lim
x→−
3
2
4x2 − 9
2x + 3
c) lim
x→4
3s2 − 8s− 16
2s2 − 9s + 4
d) lim
x→−2
y3 + 8
y + 2
e) lim
x→−3
√
y2 − 9
2y2 + 7y + 3
f) lim
x→1
√
x− 1
x− 1
g) lim
x→0
√
x + 2−√2
x
h) lim
x→0
3
√
h + 1− 1
h
i) lim
x→3
x2 − 4x + 3
x2 − x− 6
j) lim
x→
1
2
2x2 + 5x− 3
2x2 − 5x + 2
k) lim
x→1
x3 − 1
x2 − 1
l) lim
x→−2
8 + x3
4− x2
m) lim
x→2
x4 − 16
8− x2
n) lim
x→3
√
1 + x− 2
x− 3
o) lim
x→1
√
x− 1
x− 1
p) lim
x→0
1−√1− x
x
q) lim
x→0
√
1 + x−√1− x
x
r) lim
x→1
√
x + 3− 2
x− 1
s) lim
x→4
√
2x + 1− 3√
x− 2−√2,
4) Fac¸a o esboc¸o do gra´fico de cada uma das func¸o˜es abaixo e ache o limite indicado, se existir. Se o limite
na˜o existir, justifique o motivo da na˜o existeˆncia do mesmo.
1
a) f(x) =

2, se x < 1,
−1, se x = 1
−3, se x > 1.
lim
x→1+
f(x), lim
x→1−
f(x), lim
x→1
f(x)
b) f(x) =
{ −2, se x < 0,
2, se x ≥ 0.
a) lim
x→0+
f(x), b) lim
x→0−
f(x), c) lim
x→0
f(x)
c) f(t) =
{
t + 4, se t ≤ −4,
4− t, se t > −4.
lim
t→−4+
f(t), lim
t→−4−
f(t), lim
t→−4
f(t)
d) f(x) =
{
s + 3, se s ≤ −2,
3− s, se s > −2.
lim
s→−2+
f(s), lim
s→−2−
f(s), lim
s→−2
f(s)
5) Dada a func¸a˜o f, definida por f(x) =
|x|
x
para todo x ∈ R∗, calcule lim
x→0+
f(x) e lim
x→0−
f(x). O limite
lim
x→0
f(x) existe? Justifique.
6) Calcule os limites laterais, nos pontos que na˜o pertencem ao domı´nio de f, onde
a) f(x) =
|x + 1|
x + 1
. b) f(x) =
|3x− 2|
2− 3x .
7) Em cada item a seguir, determine o valor da constante a para que existir o limite no ponto x0, onde
a) f(x) =

3x− 2, se x > −1,
3, se x = −1
5− ax, se x < −1.
; x0 = −1.
b) f(x) =
{
4x + 3, se x ≤ −2,
3x + a, se x > −2. ; x0 = −2
8) Verificar se a func¸a˜o f e´ cont´ınua no ponto especificado.
a) f(x) =
 x
2 − 4
x + 2
, se x 6= −2,
4, se x = −2.
, no ponto x = −2.
b) f(x) =
 1− x
2
x− 1 , se x 6= 1,
−2, se x = 1.
, no ponto x = 1.
9) Fac¸a o esboc¸o do gra´fico de h. Em seguida encontre cada um dos seguintes limites, se existirem:
lim
x→1−
h(x), lim
x→1+
h(x) e lim
x→1
h(x)
h(x) =
{
4− x2, se x ≤ 1,
2 + x2, se x > 1.
.
10) Determine L para que a func¸a˜o dada abaixo seja cont´ınua no ponto p especificado. Justifique.
a) f(x) =
 x
2 − 4
x− 2 , se x 6= 2,
L, se x = 2.
, em p = 2.
b) f(x) =
 x
2 − x
x
, se x 6= 0,
L, se x = 0.
, em p = 0.
11) Resolva os seguintes limites no infinito.
2
a) lim
x→+∞
1
x2
b) lim
x→−∞
1
x3
c) lim
x→−∞
[5 +
1
x
+
3
x2
]
d) lim
x→+∞
[2− 1
x
]
e) lim
x→+∞
2x + 1
x + 3
f) lim
x→−∞
2x + 1
x + 3
g) lim
x→−∞
x2 − 2x + 3
3x2 + x + 1
h) lim
x→+∞
5x4 − 2x + 1
4x4 + 3x + 2
i) lim
x→+∞
x
x2 + 3x + 1
j) lim
x→−∞
2x3 + 1
x4 + 2x + 3
k) lim
x→+∞
3
√
5 +
2
x
l) lim
x→−∞
3
√
x
x2 + 3
m) lim
x→+∞
√
x2 + 1
3x + 2
n) lim
x→+∞
3
√
x3 + 2x− 1√
x2 + x + 1
o) lim
x→+∞
√
x + 3
√
x
x2 + 3
p) lim
x→+∞
3√
x
q) lim
x→+∞
[x−√x2 + 1]
r) lim
x→+∞
[
√
x + 1−√x + 3]
s) lim
x→+∞
(x4 − 3x + 2)
t) lim
x→+∞
(5− 4x + x2 − x5)
u) lim
x→−∞
(3x3 + 2x + 1)
v) lim
x→+∞
(x3 − 2x + 3)
w) lim
x→+∞
5x3 − 6x + 1
6x3 + 2
12) Resolva os seguintes limites laterais.
a) lim
x→3+
5
3− x
b) lim
x→3−
4
x− 3
c) lim
x→
1
2
+
4
2x− 1
d) lim
x→0−
1
x
e) lim
x→0+
2x + 1
x
f) lim
x→0−
x− 3
x2
g) lim
x→0+
3
x2 − x
h) lim
x→0−
3
x2 − x
i) lim
x→
1
2
+
3x + 1
4x2 − 1
j) lim
x→1−
2x + 3
x2 − 1
k) lim
x→1+
2x + 3
x2 − 1
l) lim
x→3+
x2 − 3x
x2 − 6x + 9
m) lim
x→−1+
2x + 1
x2 + x
n) lim
x→0+
2x + 1
x2 + x
o) lim
x→1+
3x− 5
x2 + 3x− 4
p) lim
x→2+
x2 − 4
x2 − 4x + 4
q) lim
x→2+
x + 2
x2 − 4
r) lim
x→2−
x + 2
x2 − 4
s) lim
x→0−
√
3 + x2
x
t) lim
x→3+
√
x2 − 9
x− 3
u) lim
x→0+
1
x
− 1
x2
v) lim
x→0−
2− 4x3
5x2 + 3x3
w) lim
x→−4−
2
x2 + 3x− 4 −
3
x + 4
13) Ache todas a(s) ass´ıntota(s) vertical(is) e horizontal(is) das func¸o˜es abaixo.
a) f(x) =
2x + 1
x− 3 b) f(x) = 1−
1
x
c) f(x) =
2√
x2 − 4
14) Calcule f ′(p), pela definic¸a˜o, onde
a) f(x) = x2 + x e p = 1.
b) f(x) =
√
x e p = 4.
c) f(x) = 5x− 3 e p = −3.
d) f(x) =
1
x
e p = 1.
e) f(x) =
√
x e p = 3.
f) f(x) =
1
x2
e p = 2.
g) f(x) = 2x3 − x2 e p = 1.
h) f(x) = 3
√
x e p = 2.
15) Seja f(x) = 10.000x + 4
√
10.000. Qual o valor de f ′(10)?
16) Calcule as derivadas das func¸o˜es abaixo.
3
a) f(x) = x2 + x
b) f(x) = 3x− 1
c) f(x) = x3
d) f(x) =
1
x
e) f(x) = 5x
f) f(x) = 100000000
g) f(x) =
x
x + 1
h) f(x) =
1
x2
17) Verifique se as func¸o˜es abaixo sa˜o deriva´vel no pontos p. Em caso afirmativo calcule f ′(p).
a) f(x) =
{
2x + 1 (x < 1)
−x + 4 (x ≥ 1) , em p = 1.
b) f(x) =
{
x2 + 2 (x < 1)
2x + 1 (x ≥ 1) , em p = 1.
c) f(x) =
{
2 (x ≥ 0)
x2 + 2 (x < 0)
, em p = 0
18) Seja f(x) =
{
x + 1 (x < 2)
x2 + 2 (x ≥ 2) . A func¸a˜o f e´ cont´ınua em x = 2? E´ deriva´vel em x = 2? Justifique.
19) Seja f(x) =
{
x2 (x ≤ 0)
−x2 (x > 0) . A func¸a˜o f e´ deriva´vel em x = 0? E´ cont´ınua em x = 0? Justifique.
20) Ache a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o definida por y = x3− 3x+ 4 no ponto (x1, y1).
21) Determine a equac¸a˜o da reta tangente em (p, f(p)) sendo dados:
a) f(x) = x2 e p = 2 b) f(x) =
√
x e p = 9 c) f(x) = x2 − x e p = 1
22) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) =
1
x
no ponto de abscissa x = 2. Esboce o
gra´fico de f e da reta tangente no ponto solicitado anteriormente.
23) Encontre uma equac¸a˜o da reta normal a` curva dada abaixo no ponto especificado.
a) y = x2 − x + 2, P = (2, 4)
b) y =
6
x
, P = (3, 2.)
24) Considere a func¸a˜o y = ax2
a) Determine f ′(x) usando a definic¸a˜o de derivada
b) Calcule f ′(a) e use o resultado para encontrar a equac¸a˜o da reta tangente a` para´bola no ponto de
abscissa x = a.
25) Ache
dy
dx
para as func¸o˜es abaixo.
a) y = x8 + x6 + x5 + 3x
b) y − 2 = x−3 + 8x2
c) y = axn + 2xn−1 + kx
d) xb
2+a2 − 4x = y, ∀a, b ∈ R.
4