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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Equac¸o˜es Diferenciais 1
Mo´dulo 1 Lista 1 1.o/2013
Atenc¸a˜o: na questa˜o 1, decida se cada item e´ certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espac¸o
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) No estudo de fogos de artif´ıcio, seja v(t) a velocidade de uma bomba lanc¸ada verticalmente
com velocidade inicial v(0) = 50 m/s. Suponha que a bomba tenha massa m = 1 kg, que a
acelerac¸a˜o da gravidade seja g = 10 m/s2 e que a forc¸a de resisteˆncia do ar seja modelada por
−0, 1 v(t). Nessas condic¸o˜es, a resultante das forc¸as sobre a bomba e´ F = −1×10−0, 1 v(t) e
a sua acelerac¸a˜o e´ a(t) = v′(t). Se necessa´rio, use as aproximac¸o˜es ln(2) = 0, 7 e ln(3) = 1, 1.
C E a) Usando a 2.a lei de Newton obte´m-se que a acelerac¸a˜o da
bomba depende apenas de sua altura.
C E b) A velocidade da bomba e´ soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o diferencial
que pode ser resolvida por fator integrante.
C E c) A velocidade pode ser expressa na forma v(t) = A e−0,1 t+B,
onde A e B sa˜o constantes positivas.
C E d) A bomba alcanc¸a a altura ma´xima em menos de 4, 5 segundos.
C E e) Caso a resisteˆncia do ar fosse desconsiderada, e a forc¸a resultante fosse F = −10,
enta˜o a bomba iria alcanc¸ar a altura ma´xima em mais de 4, 5 segundos.
2) Em um ponto (x, y(x)) do gra´fico de uma func¸a˜o deriva´vel y(x), as retas tangente e normal
teˆm inclinac¸o˜es dadas por y′(x) e −1/y′(x), respectivamente. Considere o caso em que y(x)
tem a propriedade de que as retas normais passam todas pelo ponto (2, 0).
2 x
y(x)
normal
a) Determine a inclinac¸a˜o da reta que passa pelos pontos (2, 0) e (x, y(x)).
Resposta:
b) A inclinac¸a˜o acima e´ a da reta normal. Use essa informac¸a˜o para obter
uma equac¸a˜o diferencial satisfeita por y(x).
Resposta:
c) Use separac¸a˜o de varia´veis para obter a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o do
item anterior.
Resposta:
d) Do item anterior, o gra´fico da func¸a˜o y(x) e´ parte de um c´ırculo de centro em (2, 0).
Determine o raio r desse c´ırculo sabendo que o gra´fico passa pelo ponto (2, 3).
Resposta:
e) Determine agora a func¸a˜o y : I → R, inclusive o domı´nio I, que tem as propriedades
obtidas acima, e de modo que o seu domı´nio seja o maior poss´ıvel.
Resposta:
Equac¸o˜es Diferenciais 1 Mo´dulo 1 Lista 1 1.o/2013 – 1/2
3) Segundo a lei de resfriamento de Newton, a temperatura y(t) de um objeto varia a uma
taxa y′(t) proporcional a` diferenc¸a entre a sua temperatura e a temperatura do meio ambiente
T . Ale´m disso, a temperatura e´ decrescente se y(t) > T e crescente se y(t) < T , o que
determina o sinal da taxa de variac¸a˜o.
a) Determine a equac¸a˜o diferencial satisfeita pela func¸a˜o y(t).
b) Esboce o campo de direc¸o˜es da equac¸a˜o na figura ao lado.
c) Use o campo de direc¸o˜es para esboc¸ar o gra´fico da so-
luc¸a˜o y(t) com a condic¸a˜o inicial y(0) > T . Repita o
procedimento para a condic¸a˜o y(0) < T .
d) Obtenha a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o do item a) usando separac¸a˜o de varia´veis.
e) Calcule e interprete o limite lim
t→∞
y(t).
4) Suponha que 1 g de uma substaˆncia qu´ımica A combine com 3 g de outra substaˆncia B
para formar o composto C, e que hajam inicialmente 50 g de A e 33 g de B. Denotando por
Q(t) a quantidade de C no instante t, tem-se que Q(t)/4 correspondem a` massa da substaˆncia
A e 3Q(t)/4 correspondem a` de B. Assim, as quantidades remanescentes de A e B apo´s t
segundos sa˜o, respectivamente, 50−Q(t)/4 e 33−3Q(t)/4. Suponha ainda que a taxa Q′(t)
de formac¸a˜o do composto C seja proporcional ao produtos das quantidades remanescentes.
Nesse caso, indicando por k a constante de proporcionalidade e K = 3k/16, segue-se que
Q(t) satisfaz a` equac¸a˜o
(∗∗) Q′(t) = k (50−Q(t)/4) (33− 3Q(t)/4) = K (200−Q(t)) (44−Q(t))
a) Esboce o campo de direc¸o˜es da equac¸a˜o, indicando as soluc¸o˜es de equi-
l´ıbrio esta´vel e de equil´ıbrio insta´vel, caso existam.
b) Obtenha a soluc¸a˜o geral usando separac¸a˜o de varia´veis e frac¸o˜es parciais.
c) Determine a soluc¸a˜o que satisfaz a condic¸a˜o inicial Q(0) = 0.
d) Calcule e interprete o valor do limite lim
t→∞
Q(t).
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