MODEL. AULA 3

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REVISÃO
Transformada de Laplace 
de derivadas
Modelagem e análise de 
sistema dinâmicos
Profº. Robson Ramalho
Definição
Transformada de Laplace de derivadas
Permite representar um sistema, estabelecendo uma
definição viável para uma função que relacione
algebricamente a saída de um sistema à sua entrada.
Profº. Robson Ramalho
Definição
Profº. Robson Ramalho
)(...
)()(
)(...
)()(
01
1
101
1
1 trb
dt
trd
b
dt
trd
btca
dt
tcd
a
dt
tcd
a
m
m
mm
m
mn
n
nn
n
n  




c(t)  Saída. r(t)  entrada. a e b são coeficientes.
Aplicando a transformada de Laplace de ambos os lados:
Para todas as condições inciais nulas:
iniciaiscondiçõessRbsRsbsRsb
iniciaiscondiçõessCasCsasCsa
m
m
m
m
n
n
n
n
_)(...)()(
_)(...)()(
0
1
1
0
1
1






)...)(()...)(( 0
1
10
1
1 bsbsbsRasasasC
m
m
m
m
n
n
n
n 




Definição
Profº. Robson Ramalho
)...)(()...)(( 0
1
10
1
1 bsbsbsRasasasC
m
m
m
m
n
n
n
n 




)...(
)...(
)(
)(
)(
0
1
1
0
1
1
bsbsb
asasa
sG
sR
sC
m
m
m
m
n
n
n
n







)...(
)...(
0
1
1
0
1
1
bsbsb
asasa
m
m
m
m
n
n
n
n






R(s)) C(s))
Transformada de Laplace de 
derivadas
 Em qualquer processo natural, as variáveis envolvidas e sua
taxas de variação são interligadas uma as outras por meio de
principios básicos cientificos que governam o processo. O
resultado do modelamento matemático de um processo é
frequentemente uma equação diferencial.
Profº. Robson Ramalho
Transformada de Laplace de 
derivadas
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 Kirchoff nos diz:
Transformada de Laplace de 
derivadas
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 Kirchoff nos diz:
 O modelamento forneceu uma equação diferencial.
Transformada de Laplace de 
derivadas
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 Solução de equações diferenciais pelo método de Laplace.
Para resolver devemos conhecer as condições iniciais no
sistema e aplicar os 3 passos abaixo:
1) Tomar a transformada de Laplace de cada termo da
equação diferencial.
2) Organizar a expressão algébrica resultante na forma da
função complexa que se deseja a solução.
3) Realizar a transformada inversa de Laplace com o auxilio
das tabelas de transformadas se necessário expandir a
função em frações parciais.
Transformada de Laplace de 
derivadas
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 Exemplo:
Encontre a solução da equação diferencial abaixo:
Considere todas as condições iniciais nulas.
Transformada de Laplace de 
derivadas
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 Exemplo:
Aplicando a transformada de Laplace em cada termo da
equação diferencial.
Transformada de Laplace de 
derivadas
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 Exemplo:
Transformada de Laplace de 
derivadas
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 Exemplo:
Transformada de Laplace de 
derivadas
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 Exemplo:
 Colocando X(s) em evidência temos:
 Reoganizando:
Transformada de Laplace de 
derivadas
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 Exemplo:
 Expandindo em frações parciais:
Transformada de Laplace de 
derivadas
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 Exemplo:
 Para encontrar A devemos multiplicar toda a equação por s.
Transformada de Laplace de 
derivadas
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 Exemplo:
 Encontrar um valor de s que torna o denominado de A nulo.
 s=0
Transformada de Laplace de 
derivadas
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 Exemplo:
Transformada de Laplace de 
derivadas
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 Exemplo:
 Para encontrar B devemos multiplicar toda a equação por
(s+1+j2).
Transformada de Laplace de 
derivadas
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 Exemplo:
 Encontrar um valor de s que torna o denominador de B nulo.
 s=-1-j2
Transformada de Laplace de 
derivadas
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 Exemplo:
Transformada de Laplace de 
derivadas
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 Exemplo:
 Resolvendo C da mesma forma que em A e B temos:
Transformada de Laplace de 
derivadas
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 Exemplo:
Transformada de Laplace de 
derivadas
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 Exemplo:
 Obtendo a transformada inversa.
Transformada de Laplace de 
derivadas
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 Exemplo:
 Obtendo a transformada inversa.
Transformada de Laplace de 
derivadas
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 Exemplo:
 Obtendo a transformada inversa.
Transformada de Laplace de 
derivadas
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 Exemplo:
 Função transferência – Malha única
Transformada de Laplace de 
derivadas
Profº. Robson Ramalho dt
tdq
titvdtti
C
tRi
dt
tdi
L
t
)(
)()()(
1
)(
)(
0
  )()()()(1)()(
2
2
tCvtqtvtq
Cdt
tdq
R
dt
tqd
L c )()(
)()(
2
2
tvtv
dt
tdv
RC
dt
tvd
LC c
cc 
Transformada de Laplace de 
derivadas
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)()(
)()(
2
2
tvtv
dt
tdv
RC
dt
tvd
LC c
cc 
 Aplicando a transformada de Laplace de ambos os lados. )()()1( 2 svsvRCsLCs c  LC
s
L
R
s
LC
sv
svc
1
/1
)(
)(
2 

Transformada de Laplace de 
derivadas
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Transformada de Laplace de 
derivadas
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 Aplicando a transformada de Laplace às equações ma coluna
tensão-corrente da tabela do slide anterior e admitindo
condições iniciais nulas temos:
)()(
)()(Re
)(
1
)(
sLsIsVIndutor
sRIsVsistor
sI
Cs
sVCapacitor



Transformada de Laplace de 
derivadas
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 Exemplo:
)()(
)()(Re
)(
1
)(
sLsIsVIndutor
sRIsVsistor
sI
Cs
sVCapacitor



Transformada de Laplace de 
derivadas
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 Exemplo: Cs
RLs
sv
sI
svsI
Cs
sRIsLsI
1
1
)(
)(
)()(
1
)()(



Transformada de Laplace de 
derivadas
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 Exercício: Para o circuito abaixo determine a função de
transferência, I2(s)/v(s).
I2(t)
Transformada de Laplace de 
derivadas
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 Exercício: Resposta: 121
2
21
2
2
)()()(
)(
RsLCRRLCsRR
LCs
sv
sI


Obrigado por sua atenção.
Profº. Robson Ramalho