MATEMÁTICA CP 8s 9a Vol1 2015 2017

Prévia do material em texto

MATERIAL DE APOIO AO
CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO
CADERNO DO PROFESSOR 
MATEMÁTICA
ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
8a SÉRIE/9o ANO
VOLUME 1
Nova edição
2014-2017
governo do estado de são paulo
secretaria da educação
São Paulo
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 1 17/07/14 15:53
Governo do Estado de São Paulo
Governador
Geraldo Alckmin
Vice-Governador
Márcio Luiz França Gomes
Secretário da Educação
Herman Voorwald
Secretária-Adjunta
Cleide Bauab Eid Bochixio
Chefe de Gabinete
Fernando Padula Novaes
Subsecretária de Articulação Regional
Raquel Volpato Serbino
Coordenadora da Escola de Formação e 
Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP
Irene Kazumi Miura 
Coordenadora de Gestão da 
Educação Básica
Ghisleine Trigo Silveira
Coordenadora de Gestão de 
Recursos Humanos
Coordenador de Informação, 
Monitoramento e Avaliação 
Cleide Bauab Eid Bochixio
Educacional
Olavo Nogueira Filho 
Coordenadora de Infraestrutura e 
Serviços Escolares
 
Coordenadora de Orçamento e 
Finanças
Claudia Chiaroni Afuso
Senhoras e senhores docentes,
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo sente-se honrada em tê-los como colabo-
radores nesta nova edição do Caderno do Professor, realizada a partir dos estudos e análises que 
permitiram consolidar a articulação do currículo proposto com aquele em ação nas salas de aula 
de todo o Estado de São Paulo. Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com 
os professores da rede de ensino tem sido basal para o aprofundamento analítico e crítico da abor-
dagem dos materiais de apoio ao currículo. Essa ação, efetivada por meio do programa Educação 
— Compromisso de São Paulo, é de fundamental importância para a Pasta, que despende, neste 
programa, seus maiores esforços ao intensificar ações de avaliação e monitoramento da utilização 
dos diferentes materiais de apoio à implementação do currículo e ao empregar o Caderno nas ações 
de formação de professores e gestores da rede de ensino. Além disso, firma seu dever com a busca 
por uma educação paulista de qualidade ao promover estudos sobre os impactos gerados pelo uso 
do material do São Paulo Faz Escola nos resultados da rede, por meio do Saresp e do Ideb. 
Enfim, o Caderno do Professor, criado pelo programa São Paulo Faz Escola, apresenta orien-
tações didático-pedagógicas e traz como base o conteúdo do Currículo Oficial do Estado de São 
Paulo, que pode ser utilizado como complemento à Matriz Curricular. Observem que as atividades 
ora propostas podem ser complementadas por outras que julgarem pertinentes ou necessárias, 
dependendo do seu planejamento e da adequação da proposta de ensino deste material à realidade 
da sua escola e de seus alunos. O Caderno tem a proposição de apoiá-los no planejamento de suas 
aulas para que explorem em seus alunos as competências e habilidades necessárias que comportam 
a construção do saber e a apropriação dos conteúdos das disciplinas, além de permitir uma avalia-
ção constante, por parte dos docentes, das práticas metodológicas em sala de aula, objetivando a 
diversificação do ensino e a melhoria da qualidade do fazer pedagógico. 
Revigoram-se assim os esforços desta Secretaria no sentido de apoiá-los e mobilizá-los em seu 
trabalho e esperamos que o Caderno, ora apresentado, contribua para valorizar o ofício de ensinar 
e elevar nossos discentes à categoria de protagonistas de sua história. 
Contamos com nosso Magistério para a efetiva, contínua e renovada implementação do currículo.
Bom trabalho!
Herman Voorwald
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 3 17/07/14 15:53
Sumário
orientação geral sobre os Cadernos 5
Situações de Aprendizagem 10
Situação de Aprendizagem 1 – Conjuntos e números 10
Situação de Aprendizagem 2 – Números racionais e sua escrita decimal 29
Situação de Aprendizagem 3 – Aritmética, Álgebra e Geometria com a reta real 38
Situação de Aprendizagem 4 – Potências, notação científica e ordem de grandeza 50
Situação de Aprendizagem 5 – Alguns métodos para resolver equações de 2o grau 58
Situação de Aprendizagem 6 – Equações de 2o grau na resolução de problemas 87
Situação de Aprendizagem 7 – Grandezas proporcionais: estudo funcional, significados 
e contextos 92
Situação de Aprendizagem 8 – Representação gráfica de grandezas proporcionais e de 
algumas não proporcionais 99
Orientações para recuperação 107
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 109
Considerações finais 111
Quadro de conteúdos do Ensino Fundamental – Anos Finais 113
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 4 17/07/14 15:53
5
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Os temas escolhidos para compor o con-
teúdo disciplinar de cada volume não se afas-
tam, de maneira geral, do que é usualmente 
ensinado nas escolas, ou do que é apresentado 
pelos livros didáticos. As inovações pretendi-
das referem-se à abordagem de tais conteúdos, 
sugerida ao longo de cada Caderno. Em tal 
abordagem, busca-se evidenciar os princípios 
norteadores do presente currículo, destacan-
do-se a contextualização dos conteúdos, as 
competências pessoais envolvidas, especial-
mente as relacionadas com a leitura e a escrita 
matemática, bem como os elementos culturais 
internos e externos à Matemática.
Em todos os Volumes, os conteúdos es-
tão organizados em 16 unidades de exten-
sões aproximadamente iguais. De acordo 
com o número de aulas disponíveis por se-
mana, o professor explorará cada assunto 
com maior ou menor aprofundamento, ou 
seja, escolherá uma escala adequada para 
o tratamento dos temas. A critério do pro-
fessor, em cada situação específica, o tema 
correspondente a uma das unidades pode 
ser estendido para mais de uma semana, en-
quanto o de outra unidade pode ser tratado 
de modo mais simplificado.
É desejável que o professor tente contemplar 
todas as 16 unidades, uma vez que, juntas, com-
põem um panorama do conteúdo do volume e, 
muitas vezes, uma das unidades contribui para a 
compreensão das outras. Vale insistir que somente 
oriEntAção gErAl SobrE oS CAdErnoS
o professor, em sua circunstância particular e le-
vando em consideração seu interesse e o dos alu-
nos pelos temas apresentados, pode determinar 
adequadamente quanto tempo dedicar a cada 
uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, 
além de uma visão panorâmica de seu conteú-
do, oito Situações de Aprendizagem, que pre-
tendem ilustrar a abordagem sugerida, orien-
tando a ação do professor em sala de aula. 
As atividades são independentes e podem ser 
exploradas pelo professor com maior ou me-
nor intensidade, segundo seu interesse e o de 
sua turma. Naturalmente, em razão das limi-
tações de espaço dos Cadernos, nem todas as 
unidades foram contempladas com Situações 
de Aprendizagem, mas a expectativa é de que 
a abordagem dos temas seja explicitada nas 
atividades oferecidas.
São apresentados também, em cada Vo-
lume, sempre que possível, textos, softwares, 
sites e vídeos, entre outros materiais, em sin-
tonia com a abordagem proposta, que podem 
ser utilizados pelo professor para o enriqueci-
mento de suas aulas.
Compõem o Volume ainda algumas consi-
derações sobre a avaliação a ser realizada, bem 
como o conteúdo considerado indispensável 
ao desenvolvimento das competências enun-
ciadas no presente volume, em cada Situa ção 
de Aprendizagem apresentada.
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 5 17/07/14 15:53
6
Conteúdos básicos do volume
O tema central deste Volume são os con-
juntos numéricos esuas características e pro-
priedades. Os números constituem um eixo 
importante da Matemática e, neste momento, 
apresentaremos propostas para que se possa 
estudá-los em articulação com outros eixos, 
como o da Geometria e da Álgebra. Na 8a série/ 
9o ano, os alunos devem sistematizar o conhe-
cimento adquirido ao longo do Ensino Fun-
damental, retomando as principais ideias as-
sociadas aos conjuntos numéricos.
Além disso, este Volume também abordará 
as equações de 2o grau e a noção de função. 
Em relação ao primeiro tema, pretende-se que 
os alunos resolvam situações, inclusive geo-
métricas, que possam ser traduzidas por meio 
de equações de 2o grau, obtendo as raízes por 
diferentes métodos, e discutam o significado 
dessas raízes em confronto com a situação 
proposta.
Com relação ao assunto funções, o alu-
no poderá apropriar-se dessa noção ao ana-
lisar a natureza da interdependência de duas 
grandezas na resolução de problemas em que 
elas sejam diretamente proporcionais, inver-
samente proporcionais ou não proporcionais 
– iniciando, assim, o estudo das funções afins 
e quadrática, que serão posteriormente desen-
volvidas no Ensino Médio. As situações pro-
postas são oportunas para que se expresse a 
variação das grandezas envolvidas por meio 
de diferentes representações: tabelas, gráficos 
e expressões algébricas.
Quanto à resolução da equação quadrá-
tica, sugere-se que sejam enfatizados os pro-
cedimentos que envolvam conhecimentos 
sobre fatoração, exponenciação e radiciação, 
para resolução tanto de equações quadráticas 
como de equações exponenciais, fatoração e 
pesquisa das raízes por soma e produto. Nes-
se sentido, também são exploradas equações 
exponenciais, quadráticas e de 3o grau. A cha-
mada fórmula de Bhaskara, para as equações 
de 2o grau, também deverá ser desenvolvida, 
porém é fundamental que os alunos tenham 
uma visão mais abrangente dos processos de 
resolução, tendo em vista que, no Ensino Mé-
dio, eles precisarão resolver equações de grau 
superior a dois.
O foco da Situação de Aprendizagem 1 é a 
sistematização dos conjuntos numéricos, dos 
naturais aos irracionais. Optamos por tra-
tar desse assunto por meio da exploração da 
ideia de conjunto, a qual desempenha papel 
importante no campo matemático. Propo-
mos a exploração de alguns problemas envol-
vendo conjuntos que podem ser resolvidos 
por meio de diagramas. A noção de inclu-
são, união, interseção, entre outras, aparece 
com naturalidade nas atividades propostas. 
Em seguida, apresentamos a ampliação dos 
conjuntos numéricos, partindo dos naturais 
e chegando aos irracionais, enfatizando não 
apenas as características de cada conjunto, 
mas a possibilidade de realização das quatro 
operações sem restrições. Problematizamos, 
também, a existência dos segmentos inco-
mensuráveis, que deram origem ao conjunto 
dos números irracionais.
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 6 17/07/14 15:53
7
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Na Situação de Aprendizagem 2, é reto-
mada a ideia da representação dos racionais e 
dos irracionais para dar um passo além com a 
apresentação de uma nova forma de escrita dos 
números reais: as frações contínuas. A represen-
tação dos números reais como frações contínuas 
permite trabalhar com a ideia de aproximação 
de uma forma mais natural e precisa do que as 
representações decimais dos números.
Na Situação de Aprendizagem 3, amplia-
mos a ideia dos conjuntos numéricos traba-
lhados na Situação de Aprendizagem 1, agora 
do ponto de vista do “preenchimento” da reta 
real. Essa situação constitui um momento im-
portante de articulação entre os eixos da Arit-
mética, da Álgebra e da Geometria, porque 
discutiremos números, suas representações 
e sua localização na reta real com o uso dos 
instrumentos clássicos de desenho, que são a 
régua e o compasso.
Na Situação de Aprendizagem 4, são abor-
dadas a notação científica e o conceito de or-
dem de grandeza. Retomando as propriedades 
das operações com potências, que foram con-
templadas anteriormente na 7a série/8o ano, 
introduzimos formalmente a notação cien-
tífica e apresentamos algumas atividades en-
volvendo a representação e as operações com 
números nesse formato. Em seguida, apresen-
tamos uma das ideias mais importantes para o 
trabalho com números grandes ou pequenos e 
na comparação entre grandezas físicas: a ideia 
de ordem de grandeza. A Situação de Apren-
dizagem 5 mostra um possível roteiro para o 
desenvolvimento desse trabalho.
A resolução de problemas envolvendo equa-
ções de 2o grau em diferentes contextos faz parte 
da Situação de Aprendizagem 6. Além da pro-
posição de problemas, essa unidade tem como 
objetivo a apresentação de uma síntese dos di-
versos procedimentos utilizados para a obten-
ção das raízes de uma equação quadrática.
Sugere-se também a apresentação de situa-
ções envolvendo a variação de duas grandezas 
em que seja necessária a identificação dessa 
variação em relação à proporcionalidade, ou 
seja, pretende-se explorar o significado das 
expressões “x e y são diretamente proporcio-
nais”, “x e y são inversamente proporcionais” 
e “x e y não são proporcionais”, incluindo, 
quando for o caso, a tradução desses signifi-
cados em linguagem algébrica: y = kx, sendo k 
constante (y é diretamente proporcional a x); 
e xy = k, sendo k constante (y é inversamente 
proporcional a x).
Às vezes, duas grandezas x e y variam 
de tal modo que a proporcionalidade dire-
ta não ocorre entre y e x, mas quando y va-
ria a partir de certo valor h e x. Nesses ca-
sos, temos y h
x
 –  = k ou y – h = kx, ou seja, 
y = kx + h (k e h constantes). Portanto y – h é 
diretamente proporcional a x. A Situação de 
Aprendizagem 7 contempla esses aspectos.
A continuidade desse trabalho ocorre 
por meio da exploração de situações-pro-
blema envolvendo a variação de grandezas 
diretamente proporcionais ou inversamente 
proporcionais, sobretudo por meio de suas 
representações gráficas.
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 7 17/07/14 15:53
8
Com relação às funções de 2o grau 
y = ax2 + bx + c, as situações apresentadas 
pretendem explorar a proporcionalidade entre 
uma grandeza e o quadrado da outra. Essas 
noções serão exploradas e aprofundadas no 
Ensino Médio.
Em seguida, sugere-se a leitura e constru-
ção de gráfico cartesiano que representa a va-
riação de duas grandezas, de modo que uma 
seja, por exemplo, diretamente proporcional 
ao quadrado da outra. São apresentados tam-
bém problemas em contextos significativos, 
que envolvem grandezas cuja variação é ex-
pressa por mais de uma sentença. A Situação 
de Aprendizagem 8 contempla aspectos cita-
dos nas Unidades 15 e 16. 
Cabe ressaltar que as sugestões de ativida-
des, distribuídas nas oito Situações de Apren-
dizagem, contemplam os principais aspec-
tos dos conteúdos abordados neste volume 
e são adequadas para os alunos da 8a série/ 
9o ano do Ensino Fundamental. Todavia, o 
papel do professor é, evidentemente, funda-
mental para a realização desse trabalho nos 
seguintes aspectos: ordenação, redução ou 
ampliação das atividades sugeridas, seleção 
ou elaboração de novos problemas ou exer-
cícios, adequação das propostas ao ritmo de 
cada turma.
Convém destacar ainda que as atividades 
deste Caderno devem ser consideradas não 
como mera lista de exercícios ou problemas cujo 
objetivo é o simples uso de técnicas que devem 
ser transformadas em rotinas automatizadas; 
pelo contrário, as situações propostas têm por fi-
nalidade apresentar contextos paraque as noções 
estudadas tenham significado para o aluno. Mui-
tas dessas situações podem ser encaradas como 
pontos de partida para o estudo de determinada 
noção ou propriedade, o que não significa que o 
professor não deva propor atividades de síntese 
com a finalidade de organizar as conclusões e os 
resultados encontrados.
Compõem o Caderno ainda algumas consi-
derações sobre a avaliação, bem como o conteú-
do considerado indispensável ao desenvolvimen-
to das competências enunciadas neste volume.
Sinteticamente, as 16 unidades que devem 
ser desenvolvidas são apresentadas a seguir.
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 8 17/07/14 15:53
9
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Quadro geral de conteúdos do Volume 1 da 8a série/9o ano do Ensino Fundamental
unidade 1 – Conjuntos e diagramas.
unidade 2 – Resolução de problemas por meio de diagramas.
unidade 3 – Classificação dos conjuntos numéricos.
unidade 4 – Racionais: frações e representação decimal.
unidade 5 – Irracionais e suas aproximações.
unidade 6 – Representações na reta real.
unidade 7 – Construções na reta real.
unidade 8 – Notação científica e ordem de grandeza.
unidade 9 – Alguns métodos para resolver equações de 2o grau.
unidade 10 – Completando trinômios quadrados perfeitos: a busca de uma fórmula para 
encontrar as raízes de uma equação de 2o grau.
unidade 11 – Fórmula para encontrar as raízes de uma equação de 2o grau.
unidade 12 – Equação de 2o grau: relação entre coeficientes e raízes.
unidade 13 – Equação de 2o grau: demonstração e aplicação da fórmula de Bhaskara – equa-
ções de 2o grau na resolução de problemas.
unidade 14 – Grandezas proporcionais: significados, contextos e aplicações.
unidade 15 – Grandezas proporcionais: representações gráficas.
unidade 16 – Gráficos que representam variação de grandezas não proporcionais.
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 9 17/07/14 15:53
10
SituAçõES dE AprEndizAgEm
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 1 
CONjUNTOS E NúMEROS
Conteúdos e temas: diagramas de Venn (Euler); operações e relações entre conjuntos; classifi-
cação dos conjuntos numéricos.
Competências e habilidades: representar situações-problema por meio de diagramas; resolver 
problemas envolvendo relações entre conjuntos; conhecer as principais relações entre os con-
juntos: interseção, união, inclusão, complemento; reconhecer as características dos conjuntos 
numéricos: naturais, inteiros, racionais e irracionais.
Sugestão de estratégias: uso de diagramas para representar conjuntos e argumentos lógicos.
roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 1
Ao longo do Ensino Fundamental, os alu-
nos tiveram contato com diferentes conjuntos 
de números: naturais, frações, decimais, negati-
vos etc. A 8a série/9o ano é o momento ideal para 
se fazer uma síntese desses números, retomando 
seus significados e organizando uma classifica-
ção. Antes de classificar os conjuntos numéricos, 
sugerimos que se trabalhe a noção de conjunto 
e seus elementos. A ênfase maior deve ser dada 
à resolução de problemas e à representação por 
diagramas, e menos à linguagem simbólica, que 
será desenvolvida ao longo do Ensino Médio.
A ideia de conjunto é uma das mais 
importantes na Matemática. A chamada 
“Matemática Moderna” pretendeu desenvol-
ver o ensino da Matemática por meio da teoria 
dos conjuntos, o que acabou gerando exage-
rada valorização da linguagem simbólica em 
detrimento da constituição do pensamento 
matemático. Essa iniciativa tornou o ensino da 
Matemática extremamente abstrato e distante 
da realidade do aluno, fazendo que essa meto-
dologia viesse a ser gradativamente substituída 
por outra, mais contextualizada e voltada para 
a construção do significado. 
Nesse sentido, o estudo dos conjuntos pas-
sou a ser menos centrado na linguagem for-
mal e mais voltado para o desenvolvimento do 
pensamento lógico e a resolução de problemas. 
Essa é a perspectiva que queremos desenvol-
ver nesta Situação de Aprendizagem.
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 10 17/07/14 15:53
11
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
problemas envolvendo conjuntos
1. Considere a seguinte situação: 
uma atividade com duas ques-
tões foi aplicada em uma turma 
de 40 alunos. Os resultados indicaram que 20 
alunos haviam acertado as duas questões, 35 
acertaram a 1a questão e 25, a 2a questão.
a) Os dados do enunciado sugerem que 
a soma das partes é maior que o todo: 
20 + 35 + 25 = 80 > 40. Como podemos 
explicar esse fato?
Isso ocorre porque as informações não são excludentes, ou 
seja, os 20 alunos que acertaram as duas questões estão in-
cluídos no resultado dos que acertaram a primeira questão.
Esse é um típico problema que envolve a 
ideia de interseção de conjuntos. Apresente 
o problema aos alunos e deixe que eles ten-
tem resolvê-lo. Ao ler o enunciado, os alunos 
podem questionar a plausibilidade das infor-
mações numéricas, uma vez que a soma das 
partes (20 + 35 + 25 = 80) parece ser maior 
que o todo (40). Como isso é possível? 
A ideia é fazer que os alunos percebam que 
as informações sobre os resultados obtidos não 
são excludentes, isto é, possuem elementos em 
comum. Assim, dos 35 alunos que acertaram a 
primeira questão estão contemplados, também, 
aqueles que acertaram a segunda questão. O mes-
mo raciocínio pode ser aplicado com relação ao 
número de alunos que acertaram a segunda ques-
tão, ou seja, o problema adquire novo significado. 
Vale chamar a atenção dos alunos para a 
importância da interpretação do enunciado. 
Dependendo de como forem escritas, algumas 
informações podem ter certo grau de ambigui-
dade no seu significado. Afirmar que 35 alunos 
acertaram a primeira questão é diferente de 
afirmar que 35 alunos acertaram “somente” a 
primeira questão, o que faz toda a diferença, e 
não é raro que alguns alunos optem por essa 
última interpretação, acarretando a inconsis-
tência das partes serem maiores que o todo. 
No caso dessa atividade, o fato de um aluno 
poder acertar ambas as questões implica a exis-
tência de interseção dos dois conjuntos, isto é, eles 
não são mutuamente exclusivos. Contudo, em 
outras situações, a exclusividade dos conjuntos 
é subentendida pelo próprio contexto. Por exem-
plo, em uma turma de 40 alunos com 25 homens 
e 15 mulheres, não há necessidade de afirmar que 
25 dos alunos são exclusivamente homens, pois 
não há interseção entre os conjuntos.
b) Se 35 alunos acertaram a 1a questão e 20 
acertaram as duas, quantos alunos acer-
taram apenas a 1a questão?
Acertaram a 
1a questão = 35
Acertaram apenas 
a 1a questão = 15
Acertaram a 1a e 
a 2a questões = 20
35 – 20 = 15 alunos
Dessa forma, o contexto do problema de-
sempenha um papel central na interpretação 
do enunciado, pois nem sempre essa distinção 
é feita explicitamente. Sugerimos que o profes-
sor apresente aos alunos diferentes situações 
para que eles identifiquem se os conjuntos são 
mutuamente exclusivos ou não. 
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 11 17/07/14 15:53
12
Voltando à atividade inicial, os alunos po-
dem concluir que, entre os 35 que acertaram 
a primeira questão, existem aqueles que acer-
taram somente a primeira questão e aqueles 
que acertaram as duas. Como essa informa-
ção foi fornecida pelo problema, conclui-se 
que 15 alunos acertaram somente a primeira 
questão. 
c) E apenas a 2a questão?
Do mesmo modo, pode-se obter o número de alunos que 
acertaram somente a segunda questão fazendo a diferença 
entre 25 e 20, ou seja, 5.
Acertaram a 
2a questão = 25
Acertaram apenas a 
2a questão = 5
Acertaram a 1a e a 2aquestões = 20
d) Qual é o percentual de alunos que 
acertaram apenas uma questão nesta 
atividade?
Calculando-se as porcentagens para cada resultado, obtemos:
•	 percentual de alunos que acertaram apenas a primeira 
questão: 15
40
 = 0,375 ou 37,5%.
•	 percentual de alunos que acertaram apenas a segunda 
questão: 5
40
 = 0,125 ou 12,5%.
Assim, a porcentagem de alunos que acertaram apenas uma 
questão foi de 50%. 
Problemas que envolvem relações entre 
conjuntos podem ser resolvidos por meio 
de diagramas. Para os alunos da 8a série/ 
9o ano, os diagramas permitem uma visuali-
zação e organização dos dados que podem 
ajudar a resolver problemas mais comple-
xos. Assim, sugerimos que o professor apre-
sente esse tipo de representação aos alunos 
e seu significado.
Conjuntos e diagramas
Os diagramas podem ser usados para 
representar os conjuntos e suas rela-
ções. Atribui-se ao famoso matemático 
suíço Leonhard Euler a ideia de usar 
diagramas para representar relações ló-
gicas. O diagrama de Euler nada mais é 
do que uma região delimitada do pla-
no, simbolizada por uma figura curva 
fechada, que representa um conjunto. 
Um conjunto é formado por elementos 
que possuem determinada propriedade. 
Vejamos um exemplo:
O conjunto das aves inclui animais 
que possuem determinadas característi-
cas. Uma delas é o fato de possuir asas. O 
beija-flor, o tucano e a águia são aves, ou 
seja, são animais que possuem asas. O ca-
valo, por sua vez, não pertence ao conjun-
to das aves, pois não possui asas. O diagra-
ma a seguir representa essa situação:
Beija-flor
Ave
Águia
Tucano
Cavalo
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 12 17/07/14 15:53
13
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
2. Com base no texto apresen-
tado na seção Leitura e análise 
de texto, represente, por meio 
de diagramas, as seguintes situações:
a) Conjunto: Paulistanos
 Elementos: André, Luiz e Renata nasce-
ram na cidade de São Paulo. júlio nas-
ceu em Ribeirão Preto.
André
Paulistanos
Renata
Luiz
júlio
b) Conjunto: Alunos do Ensino Fundamental
 Elementos: Patrícia, Renato e Lucas estu-
dam na 7a série/8o ano do Ensino Funda-
mental; Rafael estuda na 5a série/6o ano do 
Ensino Fundamental; Marta, Reinaldo 
e Antônio estudam na 2a série do Ensi-
no Médio.
Patrícia
Alunos do Ensino 
Fundamental
Lucas
Renato
Marta
Reinaldo
Antônio
Rafael
c) Conjuntos: corintianos e são-paulinos
 Elementos: joão, Helena Marcus e Alberto 
são corintianos. Diego, Laís e Alice torcem 
pelo São Paulo. André e Tomás não tor-
cem para nenhum time.
Tomás
joão
Alberto
Marcus
Helena
Alice
Laís
Diego
André
corintianos são-paulino
relações entre conjuntos
Todos os conjuntos exemplificados até este 
momento são representados em uma região 
delimitada por meio de uma curva fechada, 
representando determinado conjunto.
A figura a seguir mostra de forma gené-
rica um conjunto A, constituído de todos os 
elementos que possuem determinada pro-
priedade a.
A
x y
Nesse caso, o elemento x possui a proprie-
dade a e, portanto, pertence ao conjunto A. já 
o elemento y, que está fora do diagrama, não 
possui a propriedade a e, portanto, não perten-
ce a A.
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 13 17/07/14 15:53
14
A relação espacial entre as figuras (so-
breposição, separação, inclusão) indica 
também o tipo de relação existente entre os 
conjuntos (interseção, inclusão, exclusão). 
Consideremos o conjunto A formado pelos 
elementos que têm a propriedade a e o con-
junto b formado pelos elementos que têm a 
propriedade b. Vejamos os principais casos 
e os símbolos associados: 
1. inclusão: todo a é b. Se todo elemento 
de A pertence a b, então A é um sub-
conjunto de b. Dizemos que A está 
contido em b, ou seja, A ⊂ b.
Exemplo: todo múltiplo de 10 é um número 
par. O conjunto dos múltiplos de 10 forma um 
subconjunto do conjunto dos números pares.
Pares
Múltiplos 
de 10
2. interseção: algum a é b. Se alguns ele-
mentos do conjunto A também per-
tencem ao conjunto b, então existe 
interseção entre esses dois conjuntos. 
Os elementos da interseção possuem as 
propriedades de A e de b simultanea-
mente, ou seja, A ∩ b.
Exemplo: os diagramas mostram que 
alguns elementos do conjunto dos números 
ímpares são primos, por exemplo, 3, 5, 7 etc. 
O 9 é ímpar, mas não é primo.
Ímpares Primos
3. união: a ou b. O conjunto da reunião 
entre A e b contém todos os elementos 
de A e de b, ou seja, A ∪ b.
Exemplo: a união dos múltiplos de 2 e 
dos múltiplos de 3. A interseção são os ele-
mentos do conjunto dos múltiplos de 6.
M(2) M(3)
Na união de M(2) e M(3), temos ele-
mentos comuns, que são os múltiplos de 
6 – M(6) – e, consequentemente, contem-
plam a indicação apresentada no diagrama.
4. diferença: algum a não é b. Os ele-
mentos da diferença entre os conjun-
tos A e b são aqueles que pertencem a 
A e não pertencem a b, ou seja, A – b.
Exemplo: a figura representa os números 
pares que não são primos. Trata-se da dife-
rença entre os conjuntos. Pares – Primos = 
= {0, 4, 6, 8, 10, ...}.
Pares Primos
Aqui na intersecção há apenas um nú-
mero par e primo: 2.
M(2) ∩ M(3) = M(6)
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 14 17/07/14 15:53
15
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
5. Complementar: caso particular da 
diferença entre dois conjuntos, quan-
do um deles é subconjunto do outro. 
Contém os elementos de A que não 
pertencem ao subconjunto b.
C B AA
B
= – A – B
Exemplo: seja A o conjunto dos múltiplos 
de 5 e b o conjunto dos múltiplos de 10, o con-
junto complementar dos múltiplos de 10 em re-
lação aos múltiplos de 5 são 5, 15, 25, 35, 45, ...
M(5)
M(10)
6. Conjuntos mutuamente exclusivos ou 
disjuntos: nenhum a é b. Se nenhum 
elemento de um conjunto A pertence 
a outro conjunto b, então esses con-
juntos são mutuamente exclusivos. A 
interseção entre os dois conjuntos é va-
zia, ou seja, A ∩ b = . 
Exemplo: os conjuntos dos números pa-
res e dos números ímpares são mutuamente 
exclusivos, pois não possuem elemento 
em comum.
Pares Ímpares
Para representarmos as relações entre dois 
ou mais conjuntos, podemos utilizar um nú-
mero maior de diagramas. Por exemplo:
Animais
Minerais
Mamíferos
Os diagramas anteriores mostram que o 
conjunto dos mamíferos são um subconjunto 
do conjunto dos animais e que nenhum ele-
mento do conjunto dos minerais pertence ao 
conjunto dos animais. Observando os diagra-
mas, podemos chegar às seguintes conclusões:
 f todo mamífero pertence ao reino dos 
animais.
 f nem todo animal é mamífero.
 f nenhum mineral é animal.
3. Assinale o item que melhor re-
presenta os diagramas a seguir: 
a) Conjuntos: múltiplos de 2 e múltiplos de 3.
 I. M(3) – M(2)
 II. M(3) ∩ M(2)
 III. M(2) – M(3)
M(3)
2
4
10
0
14
8
12 15
3
9
6
M(2)
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 15 17/07/14 15:53
16
b) Conjuntos: retângulos e losangos.
 I. Retângulos ∩ Losangos
 II. Losangos ⊂ Retângulos
 III. Losangos ∪ Retângulos
Retângulos Losangos
c) Conjuntos: números pares e números 
primos.
 I. Pares – Primos
 II. Pares ∩ Primos
 III. Pares ∪ Primos
2
4
20
0
8
12
11
3
75
6Pares Primos
d) Conjuntos: números pares e múltiplos 
de 10.
 I. Pares – M(10)
 II. Pares ∪ M(10)
 III. M(10) ⊂ Pares
2
4
0
8
12
20
10
Pares
M(10)
e) Conjuntos: polígonos e polígonos regulares.
 I. C Polígonos RegularesPolígonos
 II. Polígonos ∩ Polígonos Regulares 
 III. Polígonos ∪ Polígonos Regulares
Polígonos
Polígonos 
Regulares
Dizemos que umpolígono é regular se todos 
os lados e ângulos deste, sejam eles internos ou 
externos, forem iguais. Além disso, ele também 
deve poder ser inscrito em uma circunferência
f) Conjuntos: números pares e ímpares.
 I. Pares – Ímpares
 II. Pares ∩ Ímpares  ∅ 
 III. Pares ⊂ Ímpares
Ímpares
2
4
10
0
8
12
11
3
51
7
9
6
Pares
4. Pinte os diagramas que represen-
tam as seguintes operações com 
conjuntos:
a) A – B
A B
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 16 17/07/14 15:53
17
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
b) A ∩ B
A B
c) A B
A B
d) CB
A
A
B
diagramas e lógica
Os diagramas de Euler passaram a ser am-
plamente utilizados para representar conjun-
tos em virtude de sua facilidade de compreen-
são visual. Contudo, ficaram mais conhecidos 
como “Diagramas de Venn”, por causa da se-
melhança com o tipo de diagrama criado pelo 
filósofo britânico john Venn. Os diagramas 
também podem ser usados para representar 
argumentações lógicas. Por exemplo:
 f todos os mineiros são brasileiros. 
 f Pedro é mineiro.
 f logo, Pedro é brasileiro.
Brasileiros
Mineiros
Pedro
e) A – (B ∪ C)
A B
C
f) A – (B ∩ C)
A B
C
g) CU
A B
U
BA
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 17 17/07/14 15:53
18
Essa estrutura de argumentação lógi-
ca é denominada silogismo e é composta 
por três proposições: duas premissas e 
uma conclusão. 
Professor, para que os alunos utilizem 
diagramas na representação das argumenta-
ções lógicas, propomos a seguinte atividade.
5. Nas figuras seguintes, assinale 
o diagrama que melhor repre-
senta os argumentos dados.
a) Todas as pessoas nascidas em Curitiba 
(C) são paranaenses (P).
 joão nasceu em Curitiba. 
 Logo, joão é paranaense.
i.
C P
joão
ii.
C
P
joão
iii.
P
C
joão
Apenas o diagrama III pode representar os argumentos 
dados. O diagrama I contradiz a premissa de que todos 
os curitibanos são paranaenses. E o diagrama II repre-
senta o contrário da premissa I, pois indica que todos os 
paranaenses são curitibanos. 
b) Nenhum quadrilátero possui cinco lados. 
 Um quadrado é um quadrilátero.
 Logo, nenhum quadrado possui cinco 
lados.
i.
Quadriláteros
Cinco lados
Quadrado
ii.
Quadrado
Quadrilátero Cinco 
lados
Quadrilátero Cinco lados
iii.
Quadrado
Apenas o diagrama II corresponde à argumentação dada. Tan-
to o diagrama I como o III contradizem a primeira premissa. 
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 18 17/07/14 15:53
19
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
 Uma atividade com duas questões foi apli-
cada em uma turma com 40 alunos. Os re-
sultados indicaram que 20 alunos haviam 
acertado as duas questões, 35 acertaram a 
1a questão (Conjunto A) e 25, a 2a questão 
(Conjunto b).
a) Represente no diagrama a seguir o nú-
mero de alunos que acertaram as duas 
questões.
A ∩ B
Do total da turma de 40 alunos, uma parte acertou as duas 
questões. Assim, há interseção entre os conjuntos dos alu-
nos que acertaram a primeira questão (Conjunto A) e a 
segunda (Conjunto B). Para completar o diagrama com as 
informações numéricas do problema, podemos iniciar re-
gistrando a interseção entre os dois conjuntos, ou seja, o 
número de alunos que acertaram as duas questões.
A B
20
b) Represente no diagrama a seguir o nú-
mero de alunos que acertaram apenas a 
1a questão.
Em seguida, preenchemos as regiões que representam o 
número de alunos que acertaram exclusivamente uma das 
questões. O número de alunos que acertou apenas a primei-
ra questão é a diferença entre o número total de alunos (35) 
que acertou a primeira questão e os que acertaram as duas 
questões (20), ou seja, 15. 
c) Alguns tetraedros são poliedros regulares.
 Todos os tetraedros são pirâmides.
 Logo, algumas pirâmides são poliedros 
regulares.
Poliedros regulares
Tetraedros Pirâmides
Pirâmides
Tetraedros Poliedros 
regulares
Poliedros 
regulares
Pirâmides
Tetraedros
i.
ii.
iii.
O diagrama que representa a argumentação dada é o II. O 
diagrama I está errado, pois não é verdade que todas as pi-
râmides são poliedros regulares. O diagrama III também está 
em desacordo com as premissas, pois nem todos os poliedros 
regulares são pirâmides. 
problemas, conjuntos e diagramas
6. Vamos retomar o problema inicial desta 
Situação de Aprendizagem para resolvê-
-lo por meio de diagramas. 
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 19 17/07/14 15:53
20
Sugerimos que o professor proponha mais 
alguns problemas para os alunos, para que 
eles se familiarizem com esse tipo de represen-
tação. A seguir, apresentamos um problema 
envolvendo mais de dois subconjuntos.
7. Uma pesquisa de mercado foi realizada para 
verificar a audiência de três programas de tele-
visão. Ao todo, 1 200 famílias foram entrevis-
tadas e obtiveram-se os seguintes resultados: 
370 famílias assistem ao programa A; 300, 
ao programa B e 360, ao programa C. Des-
se total, 100 famílias assistem aos programas 
A e B; 60, aos programas B e C; 30, aos pro-
gramas A e C e 20 famílias assistem aos 3 pro-
gramas. Com base nesses dados, responda:
a) Famílias que assistem a três programas.
Representando as informações dadas no diagrama, obtemos 
o seguinte:
Representação da interseção entre os três conjuntos: A ∩ B ∩ C.
A B
C
20
Representação da interseção dos conjuntos, dois a dois: 
A ∩ B, A ∩ C e B ∩ C.
b) Famílias que assistem a dois programas.
O problema informa que 100 famílias assistem aos programas 
A e B. Desse total, sabemos que 20 famílias assistem aos três 
A – B
A B
2015
c) Represente no diagrama a seguir o nú-
mero de alunos que acertaram apenas a 
2a questão.
Utilizando o mesmo raciocínio, o resultado corresponde 
à diferença entre o total de alunos que acertou a segunda 
questão (25) e os que acertaram as duas questões (20), 
isto é, 5.
B – A
A B
2015 5
É importante discutir com os alunos que, 
nesse caso, a soma dos elementos representa-
dos no diagrama (15 + 20 + 5) é igual ao to-
tal de alunos, 40, o que significa que nenhum 
aluno errou as duas questões. 
Com a leitura do diagrama preenchido, po-
demos obter as respostas do problema, bas-
tando calcular as porcentagens solicitadas, 
como já havia sido feito no início desta Situa-
ção de Aprendizagem. 
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 20 17/07/14 15:53
21
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
programas; portanto, o número de famílias que só assistem 
aos programas A e B é a diferença entre 100 e 20, ou seja, 80. 
O mesmo vale para as outras interseções.
A B
C
20
80
10 40
c) Famílias que assistem exclusivamente a 
um programa.
Representação do número de pessoas que assistem exclusi-
vamente a cada um dos programas. No caso do programa A, 
esse número será a diferença entre o total de pessoas que 
assiste ao programa A (370) e a soma das interseções A ∩ B, 
A ∩ C e A ∩ B ∩ C. 
A – (B + C) = 370 – (80 + 10 + 20) = 260
O mesmo deve ser feito para os programas B e C, como mostra 
a figura a seguir:
A B
C
20
80
10
260 160
290
40
d) Famílias que não assistem a nenhum 
dos três programas.
Com base nos diagramas preenchidos, devemos verificar se a 
soma das partes corresponde ao total de entrevistados.
Soma das partes: 260 + 160 + 290 + 80 + 40 + 10 + 20 = 860.
Neste problema, a soma das partes (860) é menor que o total de 
entrevistados (1 200). A diferença (340) corresponde ao número 
de entrevistados que não assiste a nenhum dos três programas, o 
que pode ser representado como o conjunto complementar emrelação ao total de entrevistados, como ilustra o diagrama a seguir:
A B
C
T
20
80
10
260 160
290
340
40
8. Com base no diagrama apresentado na 
atividade anterior, responda às seguintes 
perguntas:
a) Quantas famílias assistem ao programa 
A e não assistem ao programa C?
340 pessoas assistem ao programa A e não assistem ao pro-
grama C: 260 + 80 = 340.
A B
C
T
20
80
10
260 160
290
340
40
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 21 17/07/14 15:53
22
b) Quantas famílias assistem aos programas 
B e C e não assistem ao programa A?
490 famílias assistem aos programas B e C e não assistem ao 
programa A.
A B
C
80
260 160
290
40
20
10
T
340
c) Qual é o programa de maior fidelidade, 
ou seja, aquele cujos espectadores so-
mente assistem a ele?
O programa com maior fidelidade é o C, com 290 espectadores, 
contra 260 do A e 160 do B. 
A B
C
T
20
80
10
260 160
290
340
40
9. Resolva o problema a seguir 
usando diagramas.
 Uma prova com três questões foi aplicada 
em uma turma com 60 alunos. Os resultados 
obtidos foram os seguintes: 36 alunos acer-
taram a 1a questão, 31 acertaram a 2a e 25 
acertaram a 3a. Além disso, verificou-se que 
18 alunos acertaram a 1a e a 2a questões, 16 
acertaram a 1a e a 3a questões e 13 acertaram 
a 2a e a 3a questões. Apenas 10 alunos acerta-
ram as três questões. 
 Represente na forma de diagrama os con-
juntos descritos anteriormente e responta às 
questões seguintes: 
U = 60
8
6
12 10
6
3
10
1a
2a
3a
5
a) Quantos alunos erraram as três questões?
Apenas 5 alunos erraram as três questões.
b) Quantos alunos acertaram a 1a ou a 
2a questão?
12 + 6 + 10 + 8 + 3 + 10 = 49. 49 alunos acertaram ou a 1ª ou 
a 2ª questão.
c) Quantos alunos erraram a 3ª questão?
 12 + 8 + 10 + 5 = 35. 35 alunos erraram a 3ª questão.
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 22 17/07/14 15:53
23
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
desafio!
 (Coordenadoria de Admissão aos Cur-
sos Regulares – FGV/DO-SP) – Uma 
pesquisa de mercado sobre o consumo 
de três marcas (A, B e C) de um determi-
nado produto apresentou os seguintes 
resultados: A (48%); B (45%); C (50%); 
A e B (18%); B e C (25%); A e C (15%); 
nenhuma das três, 5%.
 (dica: represente a porcentagem de en-
trevistados que consomem as três mar-
cas por x e construa o diagrama com as 
informações dadas.)
U = 100%
18 – x
15 – x
15 + x 2 + x
10 + x
25 – x
x
A
B
C
5%
a) Qual é a porcentagem dos entrevista-
dos que consomem as três marcas?
Sabendo que todos os subconjuntos totalizam 100%, bas-
ta resolver a seguinte equação: 
15 + x + 2 + x + 10 + x + 18 – x + 15 – x + 25 – x + x + 5 = 100.
Obtém-se x = 10%. Portanto, 10% dos entrevistados con-
somem as três marcas.
b) Qual é a porcentagem dos entrevista-
dos que consomem apenas uma das 
três marcas?
U = 100%
8%
5%
25% 12%
20%
15%
10%
A
B
C
5%
Os entrevistados que consomem apenas uma das três 
marcas são 25% + 12% + 20% = 57%.
os conjuntos numéricos
Os números constituem um dos eixos 
centrais da Matemática. Aparentemente, a 
ideia de número pode parecer simples e na-
tural. Se pensarmos em termos de contagem 
de objetos, os números chamados naturais 
são suficientes para expressar resultados e 
efetuar determinadas operações. 
Contudo, ao longo da história, as trans-
formações socioculturais da humanidade 
criaram diferentes necessidades de repre-
sentação, implicando a criação de outras 
formas de representação numérica: frações, 
decimais, números negativos, irracionais e 
imaginários. Cada tipo de número criado 
pelo homem ampliou não só a capacidade 
de representação, mas também as possibili-
dades de solução para diferentes problemas.
Ao longo do Ensino Fundamental, os alu-
nos tiveram contato com muitas formas de 
representação numérica. Com os números 
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 23 17/07/14 15:53
24
naturais, puderam representar quantidades 
inteiras, registrar contagens, ordenar objetos 
e conjuntos, realizar operações etc. Os núme-
ros racionais aparecem em seguida, primeiro 
na forma de fração e, depois, como número 
decimal. As frações surgem para representar 
quantidades não inteiras, o resultado de medi-
das, a relação entre a parte e o todo de deter-
minado objeto ou conjunto.
Os números negativos são estudados na 
6a série/7o ano, contradizendo a ideia de que os 
números só podem representar quantidades ou 
medidas. Finalmente, na 8a série/9o ano surgem 
os números irracionais, que representam as me-
didas de segmentos incomensuráveis, uma vez 
que elas não podem ser representadas na forma 
de uma fração entre dois inteiros.
Todo esse universo numérico pode ser or-
ganizado e sistematizado por meio de diagra-
mas que representem as relações de inclusão 
e interseção entre os diferentes conjuntos. 
Apresentaremos, a seguir, a classificação mais 
usual dos conjuntos numéricos sob o ponto de 
vista das características de cada número e das 
operações que podem ser realizadas dentro de 
cada conjunto. 
Conjuntos numéricos e operações: dos 
naturais aos racionais
No conjunto dos números naturais, sempre 
podemos realizar as duas operações funda-
mentais: a adição e a multiplicação, ou seja, 
quaisquer que sejam a e b pertencentes ao 
conjunto dos naturais, o resultado de a + b 
e de a ⋅ b será também um natural. Dizemos, 
então, que o conjunto dos naturais é fechado 
para a adição e a multiplicação. 
Contudo, o mesmo não ocorre em relação 
às operações inversas. No domínio dos na-
turais, nem sempre é possível realizar a sub-
tração ou a divisão entre dois números. Por 
exemplo, o resultado 2 – 5 ou 5 ÷ 2 não é um 
número natural. A subtração a – b só pode ser 
realizada no conjunto dos números naturais se 
a for maior ou igual a b.
A introdução dos números negativos per-
mitiu a ampliação do campo numérico para 
incluir a operação de subtração sem restri-
ções. No conjunto dos números inteiros, além 
da adição e multiplicação, qualquer subtração 
realizada resulta em um número inteiro. Con-
tudo, no domínio dos inteiros, a divisão b ÷ a 
só pode resultar em um inteiro se a for um 
fator de b. 
Assim, de forma semelhante ao que acon-
teceu com a subtração, a criação dos números 
fracionários, na forma 
b
a
 (a e b inteiros, com 
a ≠ 0), removeu os obstáculos para a operação 
de divisão, com exceção da divisão por zero. 
Esse domínio ampliado gerou o conjunto dos 
números racionais, que é fechado para a adi-
ção, multiplicação, subtração e divisão. 
Assim, a ampliação do campo numérico 
dos naturais para os racionais possibilitou a 
criação de um conjunto cujos resultados das 
quatro operações aritméticas básicas podem 
ser obtidos sem restrições. 
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 24 17/07/14 15:53
25
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
d
1
1
d2 = 12 + 12
d2 = 2
Ora, se d for comensurável em relação ao 
lado 1, então devem existir dois inteiros a e b, 
tais que 
a
b
 = d. Logo, 
1
4
3
a
b
1
4
3
2
 = 2, ou seja, 
a2
b2
 = 2.
Sendo assim, a2 = 2 . b2.
Decompondo o número a em fatores pri-
mos, tais fatores obviamente aparecerão aos 
pares já que a2 = a ⋅ a. O mesmo acontece 
com o número b. Se a igualdade anterior 
fosse verdadeira, teríamos a ⋅ a = 2 ⋅ b ⋅ b, 
ou seja, teríamos uma quantidade ímpar 
de fatores do lado direito, já que temos 
2 ⋅ b ⋅ b, e uma quantidade par de fatores do 
lado esquerdo da igualdade, a ⋅ a. Sabemos 
que isso não é possível,pois todo número in-
teiro diferente de 0 e de 1 possui uma única 
decomposição em fatores primos.
Consequentemente, não existe nenhuma 
fração 
a
b
, com a e b inteiros que, elevada ao 
quadrado, resulte em 2. Esse resultado, que 
nada mais é do que 2 , não é um número 
racional. Assim, retomando a perspectiva 
da preservação das operações, o conjunto 
dos números racionais não é fechado para 
a radiciação.
dos racionais aos irracionais
Como vimos, os números racionais per-
mitem expressar o resultado de um proces-
so de medida. Se compararmos a magnitude 
de dois segmentos a e b, podemos obter 
como resultado um número inteiro, se a for 
um fator de b, ou seja, b = r ⋅ a. Caso con-
trário, então poderemos dividir a unidade 
a em n segmentos iguais, cada um de com-
primento a
n
 , de forma que ele caiba um 
número inteiro m de vezes no segmento b.
Neste caso, teríamos que b = m
n
 ⋅ a.
Quando for possível expressar a medida de 
um segmento com base em outro por meio de 
uma fração ou um número inteiro, dizemos que 
os segmentos são comensuráveis. Em termos prá-
ticos, os números racionais podem expressar a 
medida de quaisquer segmentos comensuráveis. 
Em termos teóricos, contudo, a questão 
deve ser ampliada. Nem toda medida pode 
ser expressa na forma de uma razão entre nú-
meros inteiros. A descoberta da existência dos 
segmentos incomensuráveis foi um dos fatos 
mais surpreendentes da história da Matemá-
tica. Um dos exemplos mais conhecidos de 
incomensurabilidade é a medida da diagonal 
do quadrado em relação ao lado, que foi atri-
buída aos pitagóricos, na Grécia Antiga. 
Considerando um quadrado de lado uni-
tário, podemos obter a medida da diagonal 
aplicando o Teorema de Pitágorasa:
a Professor, caso não tenha ainda apresentado o Teorema de Pitágoras aos seus alunos, este será um bom momento. 
Aproveite e chame a atenção deles para o fato de que a discussão detalhada do Teorema será feita adiante, em 
outra Situação de Aprendizagem.
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 25 17/07/14 15:53
26
A existência de segmentos incomensuráveis 
implicou a criação de um conjunto complemen-
tar aos números racionais e que foi denomina-
do irracionais. Entre os números irracionais, 
encontram-se as raízes não exatas, como 3 , 
5 , 12, 55 etc., e números como Pi (π) ou 
Fi (φ), chamados transcendentais ou trans cen-
dentes (esse conceito será tratado na Situação 
de Aprendizagem 3). De modo geral, todos os 
irracionais possuem uma representação decimal 
infinita e não periódica. 
A reunião do conjunto dos números ra-
cionais com o conjunto dos irracionais deu 
origem ao conjunto dos números reais. Os 
números reais possuem uma propriedade im-
portante, que será amplamente utilizada da-
qui para a frente. Para cada número real, é 
possível associar um único ponto de uma reta 
numérica. Assim, a reta real constitui um mo-
delo para a representação de todos os núme-
ros reais, sejam eles racionais ou irracionais. 
A representação de alguns irracionais será 
apresentada nas Situações de Aprendizagem 
a seguir. 
É importante discutir com os alunos que, 
diferentemente do conjunto dos racionais, 
os irracionais não são fechados em relação 
às operações de adição e multiplicação. Por 
exemplo, embora 3 5+ seja irracional, 
o resultado de 3 3+ ( )– é zero, que é ra-
cional. Do mesmo modo, 3 ⋅ 3 9 3= = , 
que também é racional. O conjunto dos ir-
racionais também não é fechado para sub-
tração e para divisão.
representação dos conjuntos por meio 
de diagramas
Podemos representar os conjuntos nu-
méricos por meio de diagramas. Como vi-
mos anteriormente, os conjuntos numéricos 
foram ampliados dos naturais aos racionais, 
introduzindo novos tipos de números (fra-
ções, negativos) de modo a permitir a rea-
lização das quatro operações básicas sem 
restrições. Essa ampliação pode ser repre-
sentada pelos seguintes diagramas:
Conjunto dos Naturais (IN)
 f Fechado para as operações de adição 
e multiplicação.
0, 1, 2, 3, ...
, ⋅
IN
Ampliação dos Naturais para os Inteiros ( )
 f Introdução dos negativos.
 f Fechado para adição, multiplicação 
e subtração.
–1, –2, –3, ...
, ⋅ , –
IN
Ampliação dos Inteiros para os Racionais (Q)
 f Introdução das frações e dos não inteiros.
 f Fechado para adição, multiplicação, 
subtração e divisão.
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 26 17/07/14 15:53
27
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
, ⋅, – , 
INQ
1
2
, – 3
4
,
A introdução dos números irracionais (Ir) 
permitiu a ampliação do campo dos racionais 
para os números reais (IR), representado pelo 
diagrama a seguir. Note que, nesse caso, os 
irracionais são o conjunto complementar aos 
racionais em relação aos reais. 
IN
Q
IR
r
π
2
53
Com base neste diagrama, podemos escre-
ver as seguintes relações entre os conjuntos 
numéricos:
IN ⊂ ⊂ Q ⊂ IR IR = Q ∪ r
A seguir, propomos uma atividade para 
aprofundar o conhecimento sobre as relações 
entre os conjuntos numéricos:
10. Qual diagrama representa 
melhor os subconjuntos dos nú-
meros reais? IN – Naturais / 
 – Inteiros / Q – Racionais / r – Irracionais.
a) 
INr
QIR
b) 
Q
IN
IR
r
c) 
Q
IN
IR
11. Na atividade anterior, destaque com lápis 
de cor o conjunto dos números irracionais.
IN
IR
12. Classifique em verdadeira ou falsa as ex-
pressões matemáticas a seguir. Reescreva as 
expressões falsas, tornando-as verdadeiras.
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 27 17/07/14 15:53
28
a) IN ⊂ 
Verdadeira. Os Naturais são um subconjunto dos Inteiros, pois 
todo número natural também é inteiro.
b) IN ∪ = Q
Falsa. A reunião dos Naturais com os Inteiros é o próprio conjun-
to dos inteiros. IN ∪ = 
c) IR – r = Q
Verdadeira. Os Racionais são o complementar dos Irracionais 
em relação aos reais.
d) ∩ Q = Q
Falsa. A interseção entre Inteiros e Racionais é o próprio conjunto 
dos inteiros. ∩ Q = 
e) Q ∩ r = Q
Falsa. Não há interseção entre Racionais e Irracionais, pois são 
conjuntos mutuamente exclusivos. Q ∩ r = ∅
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendizagem, 
espera-se que os alunos conheçam as princi-
pais características associadas aos conjuntos 
numéricos, desde os números naturais até os 
reais e que saibam usar diagramas para repre-
sentar situações-problema envolvendo rela-
ções entre as partes e o todo de um conjunto. 
Além disso, o aluno deve conhecer o signifi-
cado das principais relações entre conjuntos: 
união, interseção, pertinência, inclusão e dife-
rença. Embora o foco na 8a série/9o ano não 
seja a formalização da linguagem simbólica 
matemática, o que será feito no Ensino Mé-
dio, o aluno deve conhecer o significado dos 
principais símbolos ligados às operações entre 
conjuntos: ∩, ∪, ⊂.
Além das atividades propostas nesta Situa-
ção de Aprendizagem, o professor poderá suge-
rir problemas e exercícios complementares que 
estão presentes na maioria dos livros didáticos. 
Em relação aos problemas envolvendo conjun-
tos, é importante orientar os alunos em relação 
a alguns aspectos, tais como:
 f ambiguidade no enunciado;
 f organização das informações;
 f registro das operações;
 f representação por meio de diagramas.
Tais aspectos devem ser considerados pelo 
professor nas atividades de avaliação.
Em relação aos conjuntos numéricos, desta-
camos dois aspectos importantes. O primeiro é 
a ampliação dos conjuntos numéricos dos natu-
rais aos racionais com base nas quatro operações 
básicas. E o segundo é a passagem dos racionais 
para os irracionais,compondo o conjunto dos 
números reais. Esses dois aspectos devem ser bem 
trabalhados, pois constituirão uma base para o 
prosseguimento dos estudos no Ensino Médio, 
principalmente no que se refere às funções.
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 28 17/07/14 15:53
29
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Conteúdos e temas: operações com frações; dízimas periódicas e decimais finitos; números 
racionais e irracionais.
Competências e habilidades: observar regularidades numéricas e fazer generalizações; rela-
cionar a reformulação de enunciados relativos à caracterização dos números racionais com a 
busca do rigor lógico e conceitual em sua definição; confrontar ideias de precisão, exatidão e 
aproximação na representação de números racionais.
Sugestão de estratégias: retomar ideias do conhecimento numérico do aluno, tanto do ponto 
de vista conceitual quanto do ponto de vista das operações com números; reformular e anali-
sar a validade de afirmações dadas a partir de novas ideias sobre dízimas periódicas.
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 2 
NúMEROS RACIONAIS E SUA ESCRITA DECIMAL
roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 2
números racionais e sua escrita decimal
Conforme vimos na Situação de Aprendiza-
gem 1 da 7a série/8o ano, a representação decimal 
de um número racional ou é finita, como no caso 
de 
4
5
 = 0,8, ou infinita e periódica, como no 
caso de 7
6
 = 1,1666... A seguir apresentare-
mos novos aspectos dessa questão com a reto-
mada da discussão da fração geratriz de uma 
dízima periódica.
Recuperando o processo de determina-
ção da geratriz de uma dízima, sugerimos 
que a discussão seja iniciada com o seguinte 
problema:
1. Responda:
a) Qual é a fração geratriz da dízima 0,79999…?
5
4
b) Qual é o decimal obtido quando dividi-
mos o numerador pelo denominador na 
fração encontrada no item a?
0,8
De acordo com o processo descrito na 
7a série/8o ano, escrevemos x = 0,7999... e ini-
ciamos a busca de duas igualdades equivalen-
tes a essa, e que tenham exatamente o mesmo 
período, como veremos a seguir:
 x = 0,7999... (I)
 10x = 7,999... (II)
 100x = 79,999... (III)
⋅ 10 ⋅ 10
⋅ 10 ⋅ 10
Observe que são necessárias duas multiplica-
ções por 10 para que se descubram duas igualdades 
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 29 17/07/14 15:53
30
com o mesmo período, que são as igualdades indi-
cadas por (II) e (III). Dependendo do período da 
dízima investigada, o processo pode exigir mais do 
que duas multiplicações por 10; porém o processo 
descrito é geral, uma vez que, por ele, sempre será 
possível encontrar duas igualdades com números 
de mesmo período.
O passo seguinte consiste em subtrairmos, 
membro a membro, as igualdades de mesmo 
período que, no caso do exemplo, são (II) e 
(III). Tal subtração tem por objetivo encon-
trar uma igualdade equivalente em que apa-
reça um número inteiro no segundo membro. 
Com base nela, basta agora encontrar o valor 
de x, que será a fração geratriz de 0,7999... .
A conclusão importante que decorre da atividade 1 é que tanto a dízima periódica 
0,7999… quanto o decimal finito 0,8 são representações decimais da mesma fração: 4
5
 .
Considerando o resultado obtido como fração geratriz de uma dízima periódica, po-
demos afirmar que:
Todo número racional pode ser escrito como uma dízima periódica.
Historicamente, o desenvolvimento da representação de racionais por uma dízima perió-
dica teve como motivação a busca pela escrita de qualquer fração sob uma forma decimal, 
pois tanto o cálculo como a comparação entre frações decimais são mais simples do que entre 
frações ordinárias.
(III) – (II):
100x – 10x = 79,999... –7,999...
90x = 72
x = 
72
90
, ou seja, x = 
4
5
Trabalhando com outros exemplos, o pro-
fessor poderá elaborar atividades em que os 
alunos percebam que, pelo processo descrito, 
todo decimal finito poderá ser convertido em 
uma dízima periódica cujo período será ou 
0,999..., ou 0,0999..., ou 0,00999... etc. Como 
veremos a seguir, podemos representar qual-
quer número racional como soma de infinitas 
frações decimais.
Professor, é importante deixar claro que, 
se todo número racional pode ser escrito 
como uma dízima periódica, sempre será 
possível representar um racional como a soma 
de infinitas frações. No caso dos racionais 
4
5
 e 
7
6
, essas somas seriam as seguintes:
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 30 17/07/14 15:53
31
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
4
5
 = 0,8 = 0,7999... =
= 
7
10
 + 
9
100
 + 
9
1 000
 + 
9
10 000
 + ... 
7
6
 = 1,1666... =
= 1 + 
1
10
 + 
6
100
 + 
6
1 000
 + 
6
10 000
 + ...
Você deve ter em mente que a discussão feita 
até o momento tem como objetivos:
 f retomar a discussão de fração geratriz 
iniciada na 7a série/8o ano;
 f reformular definições à luz de maior ri-
gor e generalidade; 
 f recuperar ideias relacionadas com 
a estrutura do sistema decimal de 
numeração.
2. Encontre frações que mostrem a equiva-
lência entre os seguintes números:
a) 2,5 e 2,4999…
2,5 = 
10
25 = 
2
5
x = 2,4999… (1)
10x = 24,999… (2)
100x = 249,999… (3)
Fazendo (3) – (2): x = 
90
225 = 
2
5
b) 1 e 0,999…
x = 0,999…(1)
10x = 9,999…(2)
Fazendo (2) – (1): x = 
9
9 = 1
c) 0,32 e 0,31999…
0,32= 
100
32 = 
25
8
�
�
x = 031999… (1)
10x = 3,1999… (2)
100x = 31,999… (3)
1 000x = 319,999… (4)
Fazendo (4) – (3): x = 
900
288 = 
25
8
3. Analise atentamente os resultados obtidos na 
atividade anterior e justifique a seguinte afir-
mação: “Todo número racional pode ser escri-
to como uma dízima periódica”.
Na outra direção, sempre que temos um decimal finito, é 
possível escrevê-lo como uma dízima periódica com perío-
do formado por infinitos “noves”. Exemplos de decimais fini-
tos transformados em dízimas:
35,499… = 35,5 -726,999 = -727 0,0070999… = 0,0071
4. Se todo número racional pode ser escrito 
como uma dízima periódica, será sempre pos-
sível representar um racional como uma soma 
de infinitas frações. Por exemplo, no caso dos 
racionais 4
5
 e 7
6
, essas somas seriam:
4
5
 = 0,8 = 0,7999... = 7
10
 + 9
100
 + 9
1 000
 + 9
10 000
 + ...
7
6
 = 1,1666... = 1 + 1
10
+ 6
100
 + 6
1 000
 + 6
10 000
 + ...
 Com base nessa mesma ideia, escreva as fra-
ções a seguir como a soma de infinitas frações:
a) 3
8
8
3 = 0,375 = 0,374999... = 
10
3 + 7
100
 + 4
1 000
 + 9
10 000
 + 9
100 000
 + ...
b) 7
3
3
7 = 2,333... = 2 + 3
10
 + 3
100
 + 3
1 000
 + ...
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 31 17/07/14 15:53
32
5. Encontre a fração geratriz de 
2,3939… e mostre que ela é diferen-
te da fração geratriz de 2,4. (Suges-
tão: encontre as frações geratrizes dos dois 
decimais e, em seguida, transforme essas 
frações em frações de mesmo denominador 
para poder compará-las.)
x = 2,3939 (1)
10x = 23,939 (2)
100x = 239,39 (3)
Fazendo (3) – (1): x = 237
99
 = 79
33
 
Por outro lado, 2,4 = 24
10
 = 12
5
 
mmc (5,33) = 165, então:
79
33
 = 395
165
 e 12
5
 = 396
165
 .
Logo, 2,3939 ≠ 2,4.
Considerações sobre a avaliação
Uma vez que o professor se decida por traba-
lhar com as frações contínuas no seu curso so-
bre números reais, recomendamos que aproveite 
também a oportunidade para explorar o uso da 
calculadora em sala de aula. Utilizar a calcula-
dora para calcular a representação decimal de 
números racionais e para encontrar aproxima-
çõesde raízes pode ser uma interessante porta 
de entrada para a expansão do conhecimento 
numérico de um aluno de 8a série/9o ano.
Deve-se observar que nas séries/anos an-
teriores já haviam aparecido representantes 
numéricos de todos os conjuntos; porém, en-
tendemos que a 8a série/9o ano seja o ambiente 
para organizar as informações numéricas, bem 
como conceder novos contornos à discussão 
feita sem grande aprofundamento sobre núme-
ros racionais e irracionais na 7a série/8o ano.
As avaliações sobre o tema tratado nesta 
Situação de Aprendizagem podem ser feitas 
por meio de listas de exercícios em que se peça 
para o aluno determinar frações geratrizes.
Identificado um interesse sobre o assunto por 
parte dos alunos, outra possibilidade de avaliação 
pode ser um trabalho de pesquisa em que os alu-
nos possam se aprofundar no assunto estudado.
Frações contínuas
Professor, caso considere adequado trabalhar 
as frações contínuas com seus alunos, sugerimos 
a abordagem e atividades apresentadas a seguir.
A fração 
4
5
 situa-se entre os inteiros 0 e 1.
Dessa forma, podemos escrever 
4
5
 como 0 + 
1
x
, 
sendo que x > 1. Se 
4
5
 = 0 + 
1
x
, então x = 
5
4
, o 
que nos permite escrever, portanto, 
4
5
0
1
5
4
= + , 
que chamaremos de igualdade (I). Pode-se 
repetir o mesmo raciocínio para a fração 
5
4
. 
Sabemos que 
5
4
 é um número entre 1 e 2 e que, 
portanto, pode ser escrito como 1 + 
1
y
, com 
y > 1. Se 
5
4
 = 1 + 
1
y
, então y = 4. Segue, por-
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 32 17/07/14 15:53
33
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
tanto, que 
5
4
 = 1 + 
1
4
 , que chamaremos de 
igualdade (II). Substituindo (II) em (I) tere-
mos 
4
5
0
1
1
1
4
= +
+
, que será a igualdade (III). 
Repetindo mais uma vez o mesmo processo 
para a fração 
1
4
, teremos: 
1
4
 = 0 + 
1
w
 , com 
w > 1, o que implica dizer que w = 4, por-
tanto, 
1
4
 = 0 + 
1
4
. Note que esta última etapa 
dos cálculos não implicou uma representação 
diferente para a fração 
1
4
, o que, em última 
análise, quer dizer que o processo está encer-
rado. Na prática isso sempre ocorrerá quando 
x, y, w, ... for um número inteiro. 
No caso do exemplo analisado, x = 
5
4
, o que
nos fez calcular y, que por sua vez é igual a 
4 ∈ z, encerrando assim o processo em 
y. Decorre do processo realizado a se-
guinte igualdade, que chamamos “dese-
volvimento do 
4
5
 em fração contínua”:
4
5
0
1
1
1
4
= +
+
Pode-se demonstrar que todo número ra-
cional pode ser escrito como fração contínua 
por meio de um desenvolvimento finito, como 
ocorreu no exemplo anterior.
Observe que o racional 
7
6
, cuja representa-
ção decimal era explicitamente uma dízima pe-
riódica, também pode ser escrito como fração 
contínua por meio de um número finito de pas-
sos. O raciocínio será o mesmo utilizado para 
4
5
:
(I) 
7
6
 está entre 1 e 2, portanto, 
7
6
 = 1 + 
1
x
,
 com x > 1
(II) De 
7
6
 = 1 + 
1
x 
decorre que x = 6, ou
 seja, 
7
6
 = 1 + 
1
6
(III) Como x = 6 ∈ z, o processo está en-
cerrado e a fração contínua do de-
senvolvimento de 
7
6
 é 
7
6
 = 1 + 
1
6
.
Atividade 1
Com relação ao número racional 
16
7
, 
pergunta-se:
a) Utilizando o algoritmo da divisão para 
16 ÷ 7, encontraremos um decimal fini-
to ou uma dízima periódica?
Se o aluno utilizar uma calculadora de oito dígitos para fa-
zer a conta 16 ÷ 7, irá encontrar como resultado 2,2857142. 
Como não identificamos facilmente nessa divisão um perío-
do que se repete, é possível que o aluno responda que o 
resultado é um decimal finito. Nesse caso, é desejável que 
se retome a discussão feita na Situação de Aprendizagem 2 
“As dízimas periódicas são previsíveis...”, do volume 1 da 
7a série/8o ano. Naquele momento, foi discutido que, ao 
realizarmos a divisão entre numerador e denominador de 
uma fração irredutível, o resultado só será dízima periódi-
ca se ao menos um dos fatores do denominador da fração 
for diferente de 2 e diferente de 5. Como o denominador 
da fração 
16
7
 apresenta fator primo 7, sabemos que a re-
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 33 17/07/14 15:53
34
presentação decimal decorrente da divisão será uma dízima 
periódica. Uma vez que os oito dígitos da calculadora não 
foram suficientes para a identificação do período, reco-
mendamos que o professor solicite que os alunos façam a 
conta armada até que identifiquem com clareza o período 
(16 ÷ 7 = 2,285714285714... = 2,285714).
b) Escreva 16
7
 como fração contínua.
(I) 16
7
 está entre 2 e 3, portanto, 16
7
 = 2 + 1
x
 , com x > 1.
(II) De 16
7
 = 2 + 1
x
 decorre que x = 7
2
 , ou 
seja, 16
7
 = 2 + 1
7
2
 .
(III) 7
2
 está entre 3 e 4, portanto, 7
2
 = 3 + 1
y
 , com y > 1.
(IV) De 7
2
 = 3 + 1
y
 decorre que y = 2, ou seja, 7
2
 = 3 + 1
2
 .
(V) Como y = 2 ∈ Z, o processo está encerrado e a fração 
contínua procurada é
16
7
 = 2 + 1
3 + 1
2
A seguir, mais um exercício para reforçar 
a ideia do processo.
Atividade 2
Escreva 30
13
 como fração contínua.
(I) 30
13
 está entre 2 e 3, portanto, 30
13
 = 2 + 1
x
 , com x > 1.
(II) De 30
13
 = 2 + 1
x
 decorre que x = 13
4
 , ou
seja, 30
13
 = 2 + 1
13
4
 .
(III) 13
4
 está entre 3 e 4, portanto, 13
4
 = 3 + 1
y
 , com y > 1.
(IV) De 13
4
 = 3 + 1
y
 decorre que y = 4, ou seja, 13
4
 = 3 + 1
4
 .
(V) Como y = 4 ∈ Z, o processo está encerrado e a fração 
contínua procurada é 
30
13
 = 2 + 1
3 + 1
4
 .
Em resumo, alguns dos objetivos específi-
cos que o professor poderá levar em conside-
ração se decidir por abordar frações contínuas 
para representar números racionais são:
 f as frações contínuas descrevem um processo 
finito (por meio de frações) para a represen-
tação de todo e qualquer número racional. 
Sem as frações contínuas, e restritas apenas 
à representação decimal dos números racio-
nais, uma dízima periódica só poderá ser re-
presentada como a soma infinita de frações;
 f as frações contínuas são trabalhadas em 
um contexto em que se faz necessária a 
retomada de operações e representação 
de frações, o que é positivo dentro da 
ótica de currículo em espiral;
 f o estudo das frações contínuas abre 
uma interessante perspectiva de inter-
pretação e análise dos números irracio-
nais, como veremos a seguir.
Frações contínuas e os números irracionais
Uma forma muito utilizada de se refe-
rir aos números irracionais é a de que são 
os números cuja representação decimal é 
infinita e não periódica depois da vírgu-
la. Nesse caso, ao observarmos no visor de 
uma calculadora de oito dígitos o resultado 
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 34 17/07/14 15:53
35
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
1,4142135 de 2 , sabemos, de antemão, que 
o número indicado é apenas uma aproximação 
de 2 , dado que 2 é um número irracional. 
Se fosse possível ter uma calculadora que cal-
culasse 2 com infinitas casas, o fato de se 
tratar de um número irracional nos dá garan-
tias de que não haverá formação de período 
em sua parte decimal.
Se nos referirmos aos números irracio-
nais dessa maneira, após a discussão da re-
presentação dos racionais por frações contí-
nuas, surge quase naturalmente a pergunta: 
Existe um processo para a representação 
dos irracionais com frações contínuas?Ve-
remos a seguir que, além de existir tal pro-
cesso, surpreendentemente ele nos conduzi-
rá a um tipo de representação periódica e, 
portanto, previsível.
A seguir, aplicaremos o mesmo processo 
que foi utilizado para a obtenção de frações 
contínuas de números racionais para o caso 
do número irracional 2 .
i. 2 está entre 1 e 2, portanto, 2 1
1
= +
x
, 
 com x > 1.
ii. De 2 1
1
= +
x
 decorre que:
 2 1
1
– =
x
 x =
1
2 1–
 x =
1
2 1–
 ⋅ 
2 1
2 1
+
+
 x = +1 2
 Temos, portanto, 2 1
1
1 2
= +
+
iii. 1 2+ é um número entre 2 e 3,
 portanto, 1 2 2
1
+ = +
y
, y > 1.
iV. De 1 + 2 = 2 + 1
y
 decorre que 
y = 1 + 2
 e, portanto, temos:
 1 2 2
1
1 2
+ = +
+
V. Substituindo no resultado do passo II 
o resultado obtido no passo ante-
rior teremos:
 2 1
1
2
1
1 2
= +
+
+
Vi. Note que x = y = 1 2+ . Se fôssemos 
continuar o processo, partiríamos de 
y e encontraríamos w = +1 2. Na 
sequência, partiríamos de w = +1 2 
e encontraríamos z = +1 2, e assim 
sucessivamente em um processo infi-
nito. Portanto, a fração contínua que 
representa 2 será:
2 1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
= +
+
+
+
+
+
...
O processo descrito nos fornece uma su-
cessão de aproximações racionais para 2, 
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 35 17/07/14 15:53
36
bastando para isso parar em algum ponto da 
sequência infinita indicada na fração contí-
nua.
1a aproximação: 2 1≈
2 1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
= +
+
+
+
+
+
...
2a aproximação: 2
3
2
1 5≈ = ,
2 1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
= +
+
+
+
+
+
...
2 1
1
2
< + , ou seja, 2
3
2
≈
3a aproximação: 2
7
5
1 4≈ = ,
2 1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
= +
+
+
+
+
+
...
2 1
1
2
1
2
2
7
5
≈ +
+
, ,ou seja ≈
4a aproximação: 2
17
12
1 4167,≈ ≈
2 1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
= +
+
+
+
+
+
...
2 1
1
2
1
2
1
2
2
17
12
+
+
+
, ,ou seja≈ ≈
5a aproximação: 2
41
29
1 4138,≈ ≈
2 1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
= +
+
+
+
+
+
...
2 1
1
2 1
2 1
2 1
2
2
41
29
+
+
+
+
, ,ou seja≈ ≈
Pode-se demonstrar que as sucessivas apro-
ximações racionais obtidas de 2 por meio da 
sua fração contínua formam uma sequência 
convergente em que seus termos são, alterna-
damente, aproximações por falta e por excesso 
de 2. A tabela a seguir resume esse conjunto 
de informações:
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 36 17/07/14 15:53
37
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Aproximação 
de 2
Erro em 
relação ao 
valor de 2
tipo de 
aproximação
1a) 1
1
 = 1 ≈ 0,4142 Falta
2a) 3
2
 = 1,5 ≈ 0,0858 Excesso
3a) 7
5
 = 1,4 ≈ 0,0142 Falta
4a) 17
12
 ≈ 1,4167 ≈ 0,0024 Excesso
5a) 41
29
 ≈ 1,4138 ≈ 0,0004 Falta
O processo de determinação das frações con-
tínuas dos números racionais e do número ir-
racional 2 sinaliza para as seguintes evidências, 
que podem ser matematicamente demonstradas:
1. Todo número racional pode ser repre-
sentado por uma fração contínua por 
meio de um número finito de passos.
2. Todo número irracional do tipo n (com 
n natural não quadrado perfeito) pode 
ser representado, por um processo infi-
nito de passos, na forma de uma fração 
contínua, cuja configuração é periódica.
3. Todo número real pode ser representa-
do por uma fração contínua. 
O segundo resultado enunciado é curioso 
porque, contrariamente às outras aproximações 
de 2, que envolvem infinitas frações não pe-
riódicas, ao ser expressa por uma fração contí-
nua a representação da segunda aproximação 
será periódica.
A título de curiosidade, apresentamos a se-
guir a representação com fração contínua de 
dois importantes números irracionais, ou seja, 
a razão áurea 1 5
2
+ e π:
1 5
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
=
+
+
+
+
...
 e
π = 3
1
7
1
15
1
1
1
292
1
1
1
1
1
1
1
2
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
...
Atividade 3
Determine a fração contínua que represen-
ta o número 24.
I) 24 está entre 4 e 5, portanto,
24 = 4 + 1
x
 , com x > 1.
II) De 24 = 4 + 1
x
 decorre que:
24 – 4 = 1
x
x = 1
24 – 4
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 37 17/07/14 15:53
38
x = 1
24 – 4
 ⋅ 24 + 4
24 + 4
x = 4 + 24 
8
Temos, portanto, 24 = 4 + 1
4 + 24 
8
III) 4 + 24 
8
 é um número entre 1 e 2, portanto, 
4 + 24 
8
 = 1 + 1
y
 , y > 1.
IV) De 4 + 24 
8
 = 1 + 1
y
 , decorre que y = 4 + 24 e, 
portanto, temos: 4 + 24 
8
 = 1 + 1
24 + 4
Substituindo o resultado do passo IV no resultado do passo 
II, temos: 
24 = 4 + 1
1 + 1
4 + 24
V) Como y = 4 + 24 é um número entre 8 e 9, temos 
4 + 24 = 8 + 1
w
 , com w > 1.
VI) De 4 + 24 = 8 + 1
w
 decorre que w = 4 + 24 
8
 . Como w 
repetiu o valor de x, a partir de agora o processo começa a 
se repetir novamente. Segue, portanto, que a fração contí-
nua que representa 24 será:
 24 = 4 +
1 +
1
1
8 + 1
1 + 1
8 + 1
1 + 1
8 + 1...
Finalizada esta breve apresentação sobre 
o assunto, queremos ressaltar, mais uma vez, 
que o tratamento dado na ampliação desta 
Situação de Aprendizagem aos números ra-
cionais e irracionais por meio de frações con-
tínuas consiste em uma alternativa à abor-
dagem tradicional conduzida por boa parte 
dos programas curriculares e livros didáticos. 
Deve ficar claro que a decisão sobre incorpo-
rar ou não essa abordagem (ou parte dela) 
caberá ao professor.
Conteúdos e temas: construções geométricas com régua e compasso; números reais; reta real; 
Teorema de Tales, Teorema de Pitágoras; relações métricas no triângulo retângulo.
Competências e habilidades: estabelecer classificações dos números reais de acordo com crité-
rios preestabelecidos; investigar a localização de números racionais e irracionais na reta real 
por meio da utilização de régua sem escala e compasso; argumentar com base em proposições 
e raciocinar de forma indutiva e dedutiva para resolver problemas geométricos.
Sugestão de estratégias: retomar conhecimentos de desenho geométrico; estabelecer relação 
entre conhecimento aritmético, algébrico e geométrico por meio de problemas de localização 
dos números na reta real.
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 3 
ARITMÉTICA, ÁLGEBRA E GEOMETRIA COM A RETA REAL
BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CP_vol1.indb 38 17/07/14 15:53
39
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 3
A reta real
O estudo da reta real na 8a série/9o ano tem 
alguns objetivos muito bem definidos. Inicial-
mente, ele justifica-se pelo fato de que todo o 
conhecimento numérico do aluno, estabeleci-
do ao longo das séries/anos anteriores e orga-
nizado na Situação de Aprendizagem 1 deste 
Caderno, pode finalmente ser utilizado para 
ampliar o significado do plano cartesiano. O 
estudo dos gráficos, domínio importante no 
contexto da Matemática, já vem sendo reali-
zado desde a 5a série/6o ano do Ensino Funda-
mental, porém sempre deixando de lado dis-
cussões relacionadas ao “preenchimento” do 
plano. Por exemplo: na 6a série/7o ano quando 
os pontos (1;1), (1;4) e (5;1) são apresenta-
dos como vértices de um triângulo retângulo 
no plano cartesiano, apenas iniciamos uma 
discussão que pode e deve ser retomada na 
8a série/9o ano com mais rigor e precisão por 
meio de discussão da reta real.