Autovalores e Autovetores

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AUTOVALORES
 E
 AUTOVETORES
Introdução
Autovalores e Autovetores tem suas aplicações em quase todas as áreas onde vetores são utilizados.
Matemática, Mecânica, Processamento digital de imagens, robótica, estatística, entre outras, Onde existem vetores e transformações, estão lá os autovalores e autovetores.
Exemplo Geométrico
Observe o par de vetores abaixo:
Depois da transformação, o vetor tem direção diferente V2
Isso quer dizer que v’2 não pode ser representado por v2 multiplicado por um escalar.
O vetor v1’ no entanto tem a mesma direção de v1 . Isso quer dizer que v1’ pode ser descrito como o produto de v1 por um escalar. 
 
 v1 é chamado de vetor próprio (autovetor da transformação).
E o escalar que transforma v1 em v’1é o valor próprio
(autovalor ) associado à transformação.
Seja T uma transformação linear e V em EV qualquer:
T: V  V
Um vetor não nulo v no EV V é dito autovetor da transformação acima se existe um número real λ de forma que: 
T(v) = λv
Se λ existe, então λ é o autovalor associado à transformação: v e T(v) são vetores paralelos.
Obs.: 1. Os vetores próprios são também denominados  vetores característicos ou autovetores.
2. Os valores próprios são também denominados  valores característicos ou autovalores.
Exemplo:
O vetor v = (5,2) é vetor próprio do operador linear T:R2 R2,
 T(x,y) = (4x+ 5y, 2x +y) associado ao valor próprio λ= 6.
T(v) = T(5,2) = (30,12) = 6(5,2) = 6v
Já o vetor v = (2,1) não é vetor próprio deste operador T, pois:
T(2,1) = (13,5) ≠ λ(2,1).
Determinação dos valores e vetores próprios
I – Determinação dos valores próprios
Seja o operador linear T: R3R3, cuja matriz canônica é: 
Isto é, A = [T]
Se v e λ são vetor próprio e valor próprio respectivamente:
A=
A.v = λ.v
Ou
Av - λ.v = 0
Se v = Iv (I é a matriz identidade), podemos escrever:
Av - λ.Iv = 0
(A - λ.I)v = 0
Para que este sistema homogêneo admita soluções não nulas, isto é:
v = ≠
 
 
Devemos ter:
det(A – λI) = 0  equação característica do operador T.
Ou
Ou ainda,
 
As raízes são valores próprios do operador T ou da matriz A.
O determinante det(A – λI) é um polinômio em λ denominado polinômio característico.
II – Determinação dos vetores próprios
A substituição de λ pelos seus valores no sistema homogêneo da equação linear (A – λI)v =0 permite determinar os vetores próprios associados.
Exemplo:
1. Determinar os valores próprios e os vetores próprios do operador linear:
T: R3R3 T(x,y,z) = (3x-y+z, -x+5y-z, x-y+3z)
2. Determinar os valores próprios e os vetores próprios da matriz 
Propriedades
I – Se v é o vetor próprio associado ao valor próprio λ de um operador linear T, o vetor αv, para qualquer real α ≠ 0 é também vetor próprio de T associado ao mesmo λ.
T(v) = λv
T(αv) = αT(v)= α (λv)
Ou T(αv) = λ (αv)
II- Se λ é um valor próprio de um operador linear T:VV, o conjunto Sλ de todos os vetores v∈V, inclusive o vetor nulo, associado ao valor próprio λ, é um subespaço vetorial de V.
Se v1 e v2 ∈ Sλ 
T(v1 + v2 ) = T(v1) + T(v2 ) = λv1 + λ v2 = 
λ ( v1 + v2 )
E, portanto v1 + v2 ∈ Sλ
Analogamente, se verifica que α∈ Sλ para todo α∈ R.
O subespaço Sλ = {v∈V/T(v) = λv}
É denominado subespaço associado ao valor próprio ou espaço característico de T correspondente a λ ou auto-espaço associado a λ
Exemplo:
No exemplo 1, vimos que o valor próprio λ= 6 correspondem os vetores próprios do tipo 
v = x(5,2). Assim, o auto-espaço associado a 6 é: S6 ={x(5,2)/ x∈R} = [(5,2)] que representa uma reta que passa pela origem.
III – Matrizes semelhantes tem o mesmo polinômio característico, por isso os mesmos valores próprios.