Lista1 MAT140

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas - CCE
Departamento de Matema´tica
MAT 140 - Ca´lculo I 2014/I
1a Lista de Exerc´ıcios (Revisa˜o)
1. Verdadeiro ou falso, justifique:
(a) Se x < y, enta˜o −5x < −5y.
(b) Se x2 ≤ 16, enta˜o x ≤ 4.
(c) Se x2 ≤ 16, enta˜o x ≤ −4.
(d) Se x2 ≥ 16, enta˜o x ≤ −4.
(e) Se x 6= 0, y 6= 0 e x < y, enta˜o 1
x
>
1
y
.
(f) Se x < y, enta˜o x2 < y2.
(g) Se 0 < x < y, enta˜o x2 < y2.
(h) Se x < 1, enta˜o x3 < x.
2. Determine todos os nu´meros reais x que satisfazem as desigualdades abaixo:
(a) 10x < 18 + 4x (d)
2
x
− 4 < 3
x
− 8 (g) 2x ≥ 3x2 − 16
(b) 2 ≤ 5− 3x < 11 (e) 5
3− x ≥ 2 (h) 0 <
1− x
2x− 1 < 2
(c) 3 < 5x ≤ 2x+ 11 (f) x2 ≤ 4 (i) x+ 2
x− 1 ≤
x
x+ 4
3. Resolva as equac¸o˜es:
(a) |x− 3| = 2 (b) |x− 5| = |3x− 1| (c) |3x− 7| = x+ 2
4. Uma das dimenso˜es de um piso retangular e´ 4 m e sua a´rea e´ menor que 132 m2, sendo x a outra
dimensa˜o do piso, determine:
(a) Uma inequac¸a˜o que x deve satisfazer.
(b) Resolva a inequac¸a˜o obtida em (a).
5. Resolva as inequac¸o˜es:
(a) |2x− 5| < 1 (b) |3x+ 5| ≤ |2x+ 1| (c) |x− 2| ≥ |4x+ 1|
6. Determine o domı´nio e a imagem das seguintes func¸o˜es:
(a) y = 2x+ 7
(b) f(x) =
1
x− 2
(c) f(x) = −5x+ 7
(d) y = |−2x|
(e) f(x) =
√
1− x2
(f) f(x) =
9x2 − 4
3x− 2
(g) f(x) =
{
6x+ 7, se x ≤ −2
4− x, se x > −2
(h) y =
x3 − 7x+ 6
x2 + x− 6
(i) f(x) = 3
√
x− 2
(j) y = ex
(k) y = lnx, sendo ln x = loge x
1
7. Seja f uma func¸a˜o definida por f(x) =

|x|
x
, se x 6= 0
1, se x = 0
. Calcule:
(a) f(−4)
(b) f(4)
(c) f(x2)
(d) f(−x2)
(e) f(0)
(f) f(f(2))
(g) f(a− 1)
(h) f(f(x))
8. Determine as ra´ızes reais das seguintes equac¸o˜es:
(a) x2 − 3x+ 2 = 0
(b) x2 − 25 = 0
(c) x3 + 4x2 + 4x = 0
(d) 4x4 − x2 = 0
(e) x3 − x2 + x− 1 = 0
9. Um retaˆngulo tem per´ımetro de 20 metros. Expresse a a´rea do retaˆngulo como func¸a˜o do comprimento
de um de seus lados.
10. Considere uma caixa retangular aberta de volume 2 m3 cuja base seja quadrada. Expresse a a´rea
superficial desta caixa como uma func¸a˜o do comprimento de um de seus lados.
11. Deˆ um exemplo de uma func¸a˜o do primeiro grau e desenhe seu gra´fico.
12. Dada a func¸a˜o f(x) =
1
x
, mostre que f(1 + h)− f(1) = − h
1 + h
. Calcule f(a+ h)− f(a).
13. Se a e h sa˜o nu´meros reais, com h na˜o nulo, determine e simplifique
f(a+ h)− f(a)
h
para cada uma
das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = 5x− 2
(b) f(x) = x2 − x+ 3
(c) f(x) =
√
x
(d) f(x) =
2
x
14. Determine a inclinac¸a˜o da reta que conte´m os pontos P = (−5, 3) e Q = (6,−8).
15. Obtenha a equac¸a˜o da reta que passa por P e tem o coeficiente angular m. Fac¸a o gra´fico das retas,
nos seguintes casos:
(a) P = (1, 3) e m = 2 (b) P = (−2, 0) e m = −1
16. Estude a variac¸a˜o do sinal das func¸o˜es:
(a) f(x) = x2 − 2x+ 1
(b) f(x) = (2x− 3)(x+ 1)(x− 2)
(c) f(x) =
x(2x− 1)
x+ 1
(d) f(x) = 2− 1
x
− x
17. Se f(x) =
√
x− 4− 3x, determine o domı´nio de f e calcule f(4), f(8), f(13).
18. Simplifique as expresso˜es:
(a) (1 + cosx)(1− cosx)
(b)
1 + cotg2x
sec2 x
(c)
cosx− 1
secx− 1
(d)
sen22x
(1 + cos 2x)2
+ 1
(e) cos2 2x− sen2x
(f) tgx− cossecx(1− 2 cos2 x) secx
2
19. Ache as soluc¸o˜es das equac¸o˜es abaixo em [0, 2pi).
(a) 2sen2u = 1− senu (b) senx+ cosxcotgx = cossecx
20. Dadas as func¸o˜es g(x) = x2 − 2x e f(x) = 2x, determine:
(a) f ◦ g(x)
(b) g ◦ f(x)
(c) f(g(1)) e g(f(1))
(d) f(g(−1)) e g(f(−1))
21. Dadas as func¸o˜es f(x) = 3x2 + 2 e g(x) =
√
x, determine:
(a) O domı´nio de f e o domı´nio de g
(b) f ◦ g
(c) g ◦ f
22. Sejam f(x) = 3
√
2x− 5 e g(x) = x2 + 1. Determine:
(a) f + g
(b) f − g
(c) fg
(d) f/g
(e) f ◦ g
(f) g ◦ f
Determine tambe´m os domı´nios das func¸o˜es obtidas.
23. Seja f(x) =
5x− 2
x2 − 4 . Determine as constantes A e B tais que f(x) =
A
x− 2 +
B
x+ 2
.
24. Determine a inversa das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = 2x+ 3
(b) f(x) = x2 − 3, x ≥ 0
(c) f(x) = 3
√
x+ 1
(d) f(x) =
5
x
(e) f(x) = x3 + 2
(f) f(x) =
2x− 3
3x− 2
25. Fac¸a o esboc¸o do gra´fico de cada uma das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = 2x+ 1
(b) f(x) = x2 + x− 2
(c) f(x) =
√
x, x ≥ 0
(d) y = x3
(e) y = 2x
(f) y = cos 2x, x ∈ [0, pi]
(g) f(x) = |x+ 1|
(h) f(x) =
{
6x+ 7, se x ≤ −2
4− x, se x > −2
(i) f(x) =

|x|
x
, se x 6= 0
1, se x = 0
26. Fac¸a a divisa˜o do polinoˆmio p(x) pelo polinoˆmio q(x), nos seguintes casos.
(a) p(x) = x2 − 4x+ 4 e q(x) = x− 2
(b) p(x) = 10x2 − 43x+ 40 e q(x) = 2x− 5
(c) p(x) = 12x3 − 19x2 + 15x− 3 e q(x) = 3x2 − x+ 2
(d) p(x) = 6x4 − 10x3 + 9x2 + 9x− 5 e q(x) = 2x2 − 4x+ 5
27. Uma func¸a˜o f e´ uma func¸a˜o par se para todo x no domı´nio de f , −x tambe´m pertence ao domı´nio
de f e f(−x) = f(x).
Uma func¸a˜o f e´ uma func¸a˜o ı´mpar se para todo x no domı´nio de f , −x tambe´m pertence ao
domı´nio de f e f(−x) = −f(x).
Decida se f(x) e´ func¸a˜o par ou func¸a˜o ı´mpar e fac¸a um esboc¸o do seu gra´fico nos seguintes casos:
3
(a) f(x) = x2 + 3
(b) f(x) = x2 + |x|
(c) f(x) =
x+ 1
x2 − 1
(d) f(x) = 5x3 + 7x
Observac¸a˜o: Note que o gra´fico de uma func¸a˜o par e´ sime´trico em relac¸a˜o ao eixo y, enquanto
que o gra´fico de uma func¸a˜o ı´mpar e´ sime´trico em relac¸a˜o a` origem.
28. Verifique que a func¸a˜o tangente e´ ı´mpar. O que se pode dizer sobre a func¸a˜o secante?
RESPOSTAS
1. (a) F (b) V (c) F (d) F (e) F (f) F (g) V (h) F
2. (a) (−∞, 3) (b) (−2, 1] (c)
(
3
5
,
11
3
]
(d)
(
0,
1
4
)
(e)
[
1
2
, 3
)
(f) [−2, 2] (g)
[
−2, 8
3
]
(h)
(
3
5
, 1
)
(i) (−∞,−4) ∪
[
−8
7
, 1
)
3. (a) {1, 5} (b)
{
−2, 3
2
}
(c)
{
9
2
,
5
4
}
4. (a) 4x < 132 (b) {x ∈ R, x < 33}
5. (a) 2 < x < 3 (b) −4 ≤ x ≤ −6/5 (c) −1 ≤ x ≤ 1/5
6. (a) D = Im = R
(b) D(f) = R− {2} , Im(f) = R∗ = R− {0}
(c) D(f) = Im(f) = R
(d) D = R, Im = R+ = [0,∞)
(e) D(f) = [−1, 1] , Im(f) = [0, 1]
(f) D(f) = R− {2/3} , Im(f) = R− {4}
(g) D(f) = R, Im(f) = (−∞, 6)
(h) D = R− {−3, 2} , Im = R− {−4, 1}
(i) D = Im = R
(j) D(f) = R, Im(f) = R∗+ = (0,∞)
(k) D = R∗+, Im(f) = R
7. (a) −1
(b) 1
(c) 1
(d) f(−x2) =
{ −1, se x 6= 0
1, se x = 0
(e) 1
(f) 1
(g) f(a− 1) =
{
1, se a ≥ 1
−1, se a < 1
(h) f(f(x)) =

x
|x| , se x 6= 0
1, se x = 0
8. (a) {1, 2} (b) {−5, 5} (c) {−2, 0} (d)
{
−1
2
, 0,
1
2
}
(e) {1}
9. A(x) = 10x− x2, 0 ≤ x ≤ 10
10. A(x) =
8
x
+ x2, x > 0
12. f(a+ h)− f(a) = − h
a(a+ h)
13. (a) 5 (b) h+ 2a− 1 (c) 1√
a+ h+
√
a
(d) − 2
a(a+ h)
14. −1
15. (a) y = 2x+ 1 (b) y = −x− 2
4
16. (a) f e´ positiva em todo seu domı´nio (b) f e´ positiva nos intervalos (−1, 3/2) e (2,+∞), e negativa
nos intervalos (−∞,−1) e (3/2, 2) (c) f e´ positiva nos intervalos (−1, 0) e (1/2,+∞), e negativa
nos intervalos (−∞,−1) e (0, 1/2) (d) f e´ positiva no intervalo (−∞, 0), e negativa no intervalo
(0,+∞)
17. Df = {x ∈ R : x ≥ 4}, f(4) = −12, f(8) = −22, f(13) = −36
18. (a) sen 2x (b) cotg 2x (c) − cosx (d) sec2 x (e) 4 cos4 x− 3 cos3 x (f) cotgx
19. (a)
{
pi
6
,
5pi
6
,
3pi
2
}
(b) (0, pi) ∪ (pi, 2pi)
20. (a) (f ◦g)(x) = 2x2−2x (b) (g◦f)(x) = 4x−2x+1 (c) f(g(1)) = 1/2 e g(f(1)) = 0 (d) f(g(−1)) = 8
e g(f(−1)) = −3/4
21. (a) D(f) = R, D(g) = R+ (b) (f ◦ g)(x) = 3x+ 2 (c) (g ◦ f)(x) =
√
3x2 + 2
22. (f ◦ g)(x) = 3√2x2 − 3, (g ◦ f)(x) = 3√(2x− 5)2 + 1
D(f + g) = D(f − g) = D(fg) = D(f/g) = D(f ◦ g) = D(g ◦ f) = R
23. A = 2 e B = 3
24. (a) f−1(x) =
x− 3
2
(b) f−1(x) =
√
x+ 3 (c) f−1(x) = x3 − 1 (d) f−1(x) = 5
x
, x 6= 0
(e) f−1(x) = 3
√
x− 2 (f) f−1(x) = 2x− 3
3x− 2 , x 6=
2
3
26. (a) x + 2, comresto 0 (b) 5x − 9 com resto −5 (c) 4x − 5 com resto 2x + 7 (d) 3x2 + x + 1
com resto 0
27. (a) par (b) par (c) nem par e nem ı´mpar (d) ı´mpar
5