Lista2009_01a

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1a. Lista de Exerc´ıcios de Vetores e Geometria Anal´ıtica
Prof. Benito Pires, Ramal 3763, Sala 203, email: benito@ffclrp.usp.br
16 de Junho de 2009
1. Produto escalar
1.1 Dados os vetores ~u = (2, 4) e ~v = (−3, 5), de-
terminar:
(a) O produto escalar ~u · ~v de ~u por ~v;
(b) O aˆngulo entre ~u e ~v;
(c) A projec¸a˜o proj~u (~v) de ~v na direc¸a˜o de ~u.
1.2 Sendo ‖~u‖ = 4, ‖~v‖ = 2 e ~u · ~v = 3, calcular
(3~u− 2~v) · (−~u+ 4~v).
1.3 Sendo ‖~u‖ = 2, ‖~v‖ = 3 e pi/3 o aˆngulo entre ~u
e ~v, calcular:
(a) ~u · ~v; (b) ‖~u+ ~v‖; (c) ‖~u− ~v‖.
1.4 Determinar o vetor ~v paralelo ao vetor ~u =
(2,−1, 3) tal que ~v · ~u = −42.
1.5 Dado o vetor ~v = (2,−1, 1), obter:
(a) Um vetor ortogonal a ~v;
(b) Um vetor unita´rio ortogonal a ~v;
(c) Um vetor de mo´dulo 4 ortogonal a ~v.
1.6 Mostrar que se ~u,~v e ~w sa˜o vetores dois a dois
ortogonais enta˜o
‖~u+ ~v + ~w‖2 = ‖~u‖2 + ‖~v‖2 + ‖~w‖2.
1.7 Determinar o aˆngulo entre os vetores:
(a) ~u = (2,−1,−1) e ~v = (−1,−1, 2);
(b) ~u = (1,−2, 1) e ~v = (−1, 1, 0).
1.8 Dado o triaˆngulo de ve´rtices A = (3, 4, 4),
B = (2,−3, 4) e C = (6, 0, 4), determinar o aˆngulo
interno referente ao ve´rtice B.
1.9 Calcular os aˆngulos diretores do vetor ~v =
(6,−2, 3).
1.10 Os aˆngulos diretores de um vetor podem ser
pi/4, pi/3 e pi/2 rad? Justifique!
1.11 Determinar o valor de k para que os vetores
~u = (−2, 3) e ~v = (k,−4) sejam:
(a) paralelos; (b) ortogonais.
1.12 Dados os vetores ~u = (3, 0, 1) e ~v = (−2, 1, 2),
determinar:
(a) proj~u(~v); (b) proj~v(~u)
1.13 Dado o triaˆngulo ABC de ve´rtices A =
(1, 0, 1), B = (−1, 0, 0) e C = (0, 1, 1), determinar
a altura relativa ao lado AB.
1.14 Escrever o vetor (7,-1) como soma de dois ve-
tores, um dos quais e´ paralelo e o outro perpendic-
ular ao vetor (1,-1).
1.15 Provar que (~u + ~v) · (~u − ~v) = ‖~u‖2 − ‖~v‖2 e
concluir que as diagonais de um paralelogramo sa˜o
perpendiculares se e somente se o paralelogramo e´
um losango.
1.16 Mostrar que 4~u · ~v = ‖~u+ ~v‖2 − ‖~u− ~v‖2.
1.17 Provar que ~u ·~v = 0 se e somente se ‖~u+~v‖ =
‖~u − ~v‖ e concluir que as diagonais de um parale-
logramo teˆm comprimentos iguais se e somente se
o paralelogramo e´ um retaˆngulo.
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2. Produto vetorial
2.1 Se ~u = 3~i−~j−2~k e ~v = 2~i+4~j−~k, determinar:
(a) ‖~u× ~v‖; (b) ~u× ~u.
2.2 Efetuar:
(a) ~i× ~k; (b) ~i× (~j + ~k).
2.3 Determminar o vetor ~u tal que ~u · (1, 4,−3) =
−7 e ~u× (4,−2, 1) = (3, 5,−2).
2.4 Encontrar o vetor ~u na equac¸a˜o vetorial:{
~u×~j = ~k
~u · (4~i− 2~j + ~k) = 10.
2.5 Calcular ~u× ~v sabendo que o aˆngulo entre ~u e
~v e´ pi/6, ‖~u‖ = 2 e ‖~v‖ = 3.
2.6 Seja h a altura do triaˆngulo ABC relativa ao
lado AB. Provar que:
h =
‖−−→AB ×−→AC‖
‖−−→AB‖ .
2.7 Encontrar um vetor do R3 ortogonal aos vetores
~u = (1, 0, 1) e ~v = (0, 1, 0).
2.8 Dado o vetor ~v1 = (1,−2, 1), determinar ve-
tores ~v2 e ~v3 dois a dois ortogonais, isto e´, tais que
~vi · ~vj = 0 para todo 1 ≤ i < j ≤ 3.
2.9 Encontrar um vetor de mo´dulo 2 ortogonal a
~u = (3, 2, 2) e a ~v = (0, 1, 1).
2.10 Determinar ~u · ~v sabendo que ‖~u × ~v‖ = 12,
‖~u‖ = 13 e ~v e´ unita´rio.
2.11 Dados os vetores ~u = (3,−1, 2) e ~v =
(−2, 2, 1), calcular: (a) A a´rea do paralelogramo
determinado por ~u e ~v;
(b) A altura do paralelogramo relativa a` base
definida pelo vetor ~v.
2.12 Mostrar que o quadrila´tero ABCD de ve´rtices
A = (4, 1, 2), B = (5, 0, 1), C = (−1, 2,−2) e D =
(−2, 3,−1) e´ um paralelogramo e calcular a sua
a´rea.
2.13 Calcular a a´rea do triaˆngulo ABC e a al-
tura relativa ao lado BC sendo dados: A=(-4,1,1),
B=(1,0,1) e C=(0,-1,3).
3. Produto misto
3.1 Verificar se sa˜o coplanares os vetores ~u =
(2,−1, 1), ~v = (1, 0, ,−1) e ~w = (2,−1, 4).
3.2 Verificar se os pontos A=(1,2,4), B=(-1,0,-2),
C=(0,2,2) e D=(-2,1,-3) formam um tetraedro.
3.3 Um paralelep´ıpedo e´ determinado pelos vetores
~u = (3,−1, 4), ~v = (2, 0, 1) e ~w = (−2, 1, 5). Cal-
cular seu volume e a altura relativa a` base definida
pelos vetores ~u e ~v.
3.4 Dados os vetores ~u = (3,−1, 1), ~v = (1, 2, 2) e
~w = (2, 0,−3), calcular:
(a) ~u · v × ~w; (b) ~u× ~w · ~v
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