Cálculo 2 - Área 1, lista de exercicios

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PROF. GUSTAVO VIEGAS 
MATEMÁTICA 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS DE AULA 
 
Cálculo 2 – Área 1 
 
1) Considere a reta L dada pelas equações 
 x = 1 – t 
 y = 2 + 3t 
 z = 2 + t 
 
a) Decida se o ponto P(3, – 4, 1) está na reta L. 
b) Dê uma equação do plano por P(3, – 4, 1) que é 
perpendicular a L. 
c) A reta L encontra o plano de equação 2x + y – z = 6? Se 
não encontrar, justifique sua resposta. Se encontrar, 
apresente o ponto de intersecção da reta L com esse plano. 
 
2) Verifique se o triângulo de vértices A(4, 3, 4), B(3, 2, 1) e 
C(4, 4, – 1) possui algum ângulo maior do que 90. 
 
3) Considere o plano  de equação 2x – 3y + 4z = 12. 
 
a) Apresente as equações paramétricas da reta que 
contém o ponto (– 3, 1, 0) e é perpendicular ao plano . 
 
b) Decida se a reta de equações para métricas 
 x = 3 + t 
 y = 2t 
 z = 8 + t 
com –  < t <  é paralela ou não ao plano . 
 
4) Apresente equações paramétricas da reta L que contém 
os pontos P(1, 2, – 3) e Q(4, 1, 2). 
 
5) Considere os planos  e  de equações 
 3(x – 1) – 2(y + 2) + (z + 4) = 0 
 6(x – 4) – 4(y – 5) + 2(z – 1) = 0 
respectivamente. 
 
a) Os planos  e  são paralelos? 
 
b) Verifique se o ponto R(1, – 2, – 4) está nos planos  e 
 . Em seguida, decida se esses dois planos são iguais. 
 
6) Considere os vetores 
 = (1, 2, – 2) 
 = (2, 1, – 1) 
 = (3, – 3, 3). 
 
Sejam  o ângulo formado por e ,  o ângulo formado 
por e e  o ângulo formado por e . 
 
 
a) Algum desses ângulos ,  ou  é reto? Qual? 
b) Algum desses ângulos ,  ou  é agudo? Qual? 
c) Algum desses ângulos ,  ou  é obtuso? Qual? 
 
7) Considere o ponto V(3, 4, 5) do espaço e o 
paralelepípedo S situado no primeiro octante com três 
faces sobre os planos coordenados e com um vértice em V. 
O ponto O(0, 0, 0), origem do sistema cartesiano 
tridimensional é, naturalmente, um vértice de S. 
Considere também o vetor = – 2 + 2 – . 
 
a) Faça um esboço de S. 
 
b) Se A, B, C, todos distintos de O, são os vértices de S que 
estão, respectivamente, sobre os eixos coordenados x, y, z, 
determine a equação do plano que passa por A, B e C. 
 
c) Obtenha equações paramétricas da reta que passa pelo 
vértice V e é paralela ao vetor . 
 
d) Se  é o ângulo entre os vetores e , calcule o 
cosseno de  e verifique se o ângulo  é nulo ( = 0), reto 
(0 <  < 90), obtuso (90 <  < 180) ou raso ( = 180) 
 
8) Seja w = f(u,v) uma função diferenciável em todo ponto 
do plano uv e suponha que 
 u(x, y, z) = 2 – – 
 v(x, y, z) = 2 – – . 
 
Encontre as derivadas parciais , e . Também 
mostre que, em cada ponto (x,y,z) vale 
 yz + xz + xy = 0. 
 
9) Seja w = f(u,v) uma função diferenciável em todo ponto 
do plano uv e suponha que 
 u(r, ) =rcos() , 
 v(r,) =rsen(). 
 
Encontre as derivadas parciais (r, ), (r, ). Também 
mostre que, em cada ponto (r, ) vale 
 r sen() + cos()= r . 
 
 
 
 
 
 
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10) A área de um triângulo de lados a e b que formam um 
ângulo de  radianos é dada por 
 
 
absen(). Num certo 
instante de tempo, dois lados de um triângulo medem 4cm 
e 8 cm e formam entre si um ângulo de 

 
 radianos. Se as 
taxas de variação dessas medidas são, respectivamente, 
2 cm/s, – 1 cm/s e 
 
 
 rad/s, determine a taxa de variação da 
área desse triângulo nesse instante. 
 
11) 
a) Considere a função w = f(x, y, z) = x + y – z, sendo 
 x = x(r, s, t) = r – s, 
 y = y(r, s, t) = s – t 
 z = z(r, s, t) = t – r. 
Escreva w como função de r,s,t e encontre as derivadas 
parciais , , de w em relação a r, s, t. Também 
mostre, em cada ponto (r, s, t) vale 
 + + = 0. 
 
b) Considere a função w = f(x, y, z) = x + y – z, sendo 
 x = x(r, s, t) = r – s, 
 y = y(r, s, t) = s – t 
 z = z(r, s, t) = t – r. 
Use uma regra da cadeia para calcular as derivadas parciais 
 , , da função composta f = w(x(r,s,t), y(r,s,t), z(r,s,t)) 
em relação a r ,s, t. Também mostre, em cada ponto (r,s,t), 
vale 
 + + = 0. 
 
12) Considere os pontos (2, – 1) e (1, 2) do plano xy e 
uma função z = f(x, y) diferenciável em todo ponto do plano 
xy, com derivadas parciais em e dadas por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Supondo que x = e y = 
 
 
, determine 
a) 
 
 
 e 
 
 
 num ponto (u, v) 
 
b) 
 
 
 no ponto (u, v) = 
 
 
 
 
c) 
 
 
 no ponto (u, v) = (– 4, – 1) 
 
13) As dimensões x, y, z das arestas de uma caixa 
retangular variam com o tempo às taxas de – 2cm/s, 
– 3cm/s e 4 cm/s, respectivamente, no instante em que 
x = 8cm, y = 12cm e z = 2cm. Qual é a taxa de variação do 
volume da caixa nesse instante? 
 
 
 
 
 
 
14) Considere a função dada por 
 f(x, y) = 
 
 
. 
 
a) Determine os pontos do plano xy que estão no domínio 
dessa função e faça um esboço desse domínio no plano xy. 
 
b) Determine as equações das curvas de nível 1, 0, – 1 e 
desenhe essas curvas no plano xy. 
 
c) Obtenha as derivadas parciais e dessa f num ponto 
(x, y) do domínio. 
 
d) Apresente o vetor gradiente f(4,2). 
 
e) Qual é a taxa de variação de f no ponto (4, 2) na direção 
e sentido do vetor = (– 4,3)? 
 
15) Considere a função dada por 
 f(x,y) = 4 . 
 
a) Encontre o domínio D da função f e faça um esboço 
desse domínio no plano xy. 
 
b) Verifique que o ponto P(– 3, 1) pertence ao domínio D 
de f. Esboce no plano xy dado a curva de nível C de f que 
contém o ponto P(– 3,1). 
 
c) Calcule as derivadas parciais (x, y) e (x, y) de f num 
ponto (x,y) qualquer de D. Calcule f(– 3,1) e esboce esse 
vetor iniciando em (– 3, 1) no plano xy. 
 
d) Encontre as equações paramétricas da reta tangente à 
curva de nível C de f que contém o ponto P(– 3,1). 
 
e) Encontre as coordenadas do ponto em que a reta 
tangente do item d) corta o eixo x. 
 
16) Considere as curvas de nível 10, 20, 30, 40 e 50 de uma 
função z = f(x,y) diferenciável em todo plano xy, bem como 
os pontos Q( , ) e R( , ) dessas curvas de nível e dois 
vetores e de ponto inicial Q. 
 
 
a) Assinale com um × os pontos a seguir que estão no 
gráfico de f. 
( ) ( , , – 4) 
( ) ( , , 4) 
( ) ( , , 20) 
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b) Na figura dada, desenhe um vetor de ponto inicial R que 
tenha mesma direção e sentido do vetor gradiente f(R) de 
f em R. 
 
c) Assinale com um × o maior dos dois valores, o da taxa 
de variação de f em Q na direção e sentido do vetor 
( ) ( ) 
 
d) Assinale verdadeiro (V) ou Falso (F). 
 
( ) 
 
 
 
( ) 
 
 
 
( ) 
 
 
 
( ) 
 
 
 
17) Considere a função z = f(x,y) = , definida para todo 
(x,y) do plano e os pontos (2, – 1), (– 3, 2) e (– 1, 1). 
 
a) Existe curva de nível k da função f quando k  0? 
b) Obtenha uma equação para cada uma das duas curvas 
de nível de f que contém, respectivamente, os pontos e 
 . Além disso, faça um esboço delas no plano xy. 
c) O ponto é ponto de alguma dessas curvas? Caso 
afirmativo, de qual? 
d) Determine o vetor gradiente de f em e desenhe o 
vetor encontrado, iniciando no ponto . 
 
18) Considere w = f(x, y, z) = x + yz e o ponto P(0, 2, – 1). 
 
a) Obtenha as derivadas parciais , de f num ponto 
(x,y,z) qualquer. 
 
b) Apresente o vetor gradiente f(P). 
 
c) Determine a equação da superfície de nível de f que 
contém P. Apresente a equaçãodo plano que é tangente a 
essa superfície no ponto P. 
 
d) Apresente a taxa de variação de f em P na direção e 
sentido do vetor PQ em Q(2,0,0) 
 
19) Considere w = f(x,y,z) = e o ponto P(0,2,1). 
 
a) Obtenha as derivadas parciais , de f num ponto 
(x,y,z) qualquer. 
 
b) Obtenha taxa de variação de f em P na direção do vetor 
3 – 2 – 6 
 
c) Obtenha taxa de variação máxima de f em P. 
 
d) Obtenha uma equação para o plano tangente à 
superfície de nível S de f que contém o ponto P. 
 
20) Pretende-se construir um galpão com um volume de 
180 numa quadra de esportes abandonada. O preparo 
do chão retangular do galpão custa R$ 100 por , o custo 
da construção de cada uma das quatro paredes 
retangulares é de R$ 300 por e o do teto retangular é de 
R$ 400 por . Usando o método do multiplicador de 
Lagrange, determine as dimensões (comprimento, largura e 
altura) do galpão mais barato que pode ser construído 
nessas condições. 
 
21) Um fabricante de aquários precisa vedar as arestas de 
seus aquários com um fio de silicone. Se os aquários (sem 
tampa) devem ter 108 d de volume, obtenha as 
dimensões do aquário que minimizam a metragem de fio 
de silicone e a quantidade mínima de fio de silicone, 
usando o método do multiplicador de Lagrange, como 
segue. 
 
a) Introduza coordenadas para resolver esse problema, 
indicando o domínio. 
b) Apresente a função a ser maximizada/minimizada e a 
função restrição. 
c) Apresente o sistema lagrangeano relativo a esse 
problema. 
d) Resolva o sistema lagrangeano encontrado. 
e) Apresente as dimensões da abertura e da profundidade 
do aquário que resolvem o problema. 
f) Qual é a metragem mínima de fio de silicone? 
 
22) Sejam a elipse E de equação 26 – 48xy + 26 = 400 e 
a função f definida no plano xy por f(x,y) = + . Use o 
método dos multiplicadores de Lagrange para determinar 
todos os pontos dessa elipse E nos quais a função f atinge 
seus valores máximo e mínimo e forneça os valores 
máximo e mínimo de f em E. 
 
23) Uma empresa encomenda caixinhas de papelão com 
fundo, tampa e lados retangulares, cada uma com 
capacidade de 10 d , que devem ser fabricadas com 
quatro camadas de papelão no fundo, uma camada na 
tampa e duas camadas em cada um dos quatro lados. 
Obtenha as dimensões da caixa que minimizam a 
quantidade de papelão necessário para a construção de 
uma dessas caixas, usando o método do multiplicador de 
Lagrange com as seguintes etapas. 
 
a) Introduza coordenadas para resolver esse problema, 
indicando o domínio. 
b) Apresente a função a ser maximizada/minimizada e a 
restrição. 
c) Apresente o sistema lagrangeano relativo a esse 
problema. 
d) Resolva o sistema lagrangeano encontrado. 
e) Sem mencionar as coordenadas introduzidas, apresente 
as dimensões que resolvem o problema.