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CÁLCULO III REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III Conteúdo Programático Aula 6: Funções com Várias Variáveis Aula 7: Derivadas Parciais e Diferenciabilidade Aula 8: Regra da Cadeia, Vetor Gradiente e Derivada Direcional Aula 9: Máximos e Mínimos de funções de Várias Variáveis Aula 10: Método dos Multiplicadores de Lagrange Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III AULA 6 – FUNÇÕES COM VÁRIAS VARIÁVEIS Funções de duas variáveis reais a valores reais Definição: Uma função de duas variáveis reais a valores reais é uma função f:A R, onde A é um subconjunto de R2. Tal função associa a cada par (x,y) A, um único número f(x,y) R. Exemplo: z = f(x,y) = x2 - 4xy Esta função tem como domínio D todos os pares ordenados (x,y) R2. Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III GRÁFICO DA FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS Quando a função é definida f(x,y), o gráfico é uma superfície em R3. Exemplo: f(x,y) = x2 + y2 Quando a função é definida f(x,y,z), o gráfico não será possível ser visualizado. Exemplo: w = f(x,y,z)= x2 + y2 + z Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III Curvas de Nível Definição: Sejam z = f(x,y) uma função e c Imf. O conjunto de todos os pontos (x,y) de Df tais que f(x,y) = c, denomina-se curva de nível ou curva de contorno de f. Correspondente ao nível z = c. Assim, f é constante sobre cada curva de nível Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III LIMITE E CONTINUIDADE TEOREMA DO CONFRONTO Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III Exemplo Calcule caso exista EXEMPLO 1 Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III EXEMPLO 2 Primeiro caminho: Sobre o eixo x, portanto y = 0 Portanto, Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III Segundo caminho: Sobre o eixo y, portanto x = 0 Portanto, Podemos então concluir que o Não existe. Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III Exemplo: é contínua em (0,0) ? Calculamos anteriormente o limite dessa função e concluímos que o limite quando (x,y) se aproxima de (0,0) não existia. Portanto, a função não é contínua no ponto (0,0). CONTINUIDADE Definição Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III Exemplo: é contínua em (0,0) ? No material de estudo temos o desenvolvimento dessa questão onde fica provado que o limite da função existe e é igual a zero. Portanto, a função f(x,y) é contínua no (0,0). Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III AULA 7 – DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE Definição de derivadas parciais Notações: Notações: Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III EXEMPLOS 1. Seja f(x,y) = 2xy – 4y. Calcule 2. Seja f(x,y) = 2xy – 4y. Calcule 3. Seja f(x,y) = 2xy – 4y. Calcule Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III 3. Seja função Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR Derivada parcial de segunda Ordem em relação a x Derivada parcial de segunda Ordem em relação a y Derivada parcial de segunda Ordem em relação a y e x. Derivada parcial de segunda Ordem em relação a x e y. Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III EXEMPLO Seja f(x,y) = 4 x5 y4 – 6 x2y + 2. Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem. Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III DIFERENCIABILIDADE Em cada ponto do gráfico da função f deverá existir um único plano tangente que represente uma boa aproximação da função perto do ponto indicado. Definição: Plano tangente O plano tangente ao gráfico de f(x,y) em (x0,y0,f(x0,y0)) é perpendicular a direção do vetor normal. Portanto: Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III EXEMPLO Determine a equação do plano tangente da reta normal ao gráfico de z2 = x2 +y2 no ponto 1º ) Calcular as derivadas parciais Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III 2º ) Determinar T(x,y) Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III Reta Normal (x,y,z) = (1,2,))+ t N(x0,y0) Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III AULA 8 – REGRA DA CADEIA, VETOR GRADIENTE E DERIVADA DIRECIONAL Vetor gradiente Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III Exemplo: Vamos determinar o vetor gradiente da função abaixo: Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III Exemplo: Dada as funções diferenciáveis z = f(x,y) = xy x = x(t) → x(t) = t2 y = y(t) → y(t) = t Vamos calcular: REGRA DA CADEIA Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III DERIVADA DIRECIONAL Objetivo Generalizar o conceito de derivadas parciais para obter a taxa de variação de uma função em uma direção específica. Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III Observação Na definição de derivada direcional o vetor deve ser unitário. A razão disso é que se o vetor não fosse unitário a derivada direcional não dependeria somente do ponto e da direção, mas também do comprimento do vetor. Teorema Se f é uma função diferencial então: produto escalar Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III EXEMPLO 1 Calcule as derivadas direcionais de na direção do vetor Devemos então calcular: Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III EXEMPLO 2 Seja f(x,y,z) = Determine a direção de maior variação de f e a taxa de maior variação da função no ponto P= (1,1,-1). Direção de maior variação de f em P Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III Taxa de maior variação de f em P Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III Definição Ponto de Máximo Relativo ou local AULA 9 – MÁXIMOS E MÍNIMOS Ponto de Mínimo Relativo ou local Chamamos o valor de máximo ou mínimo relativo de valor extremo relativo. Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III Definição Ponto Crítico ou Ponto Estacionário Dizemos que (a,b) é um ponto crítico ou estacionário de f se (a,b) no domínio da f for ou não exista. (Isto é, se ). Se o ponto crítico (a,b) é um ponto interior do domínio da f, então dizemos que este é um ponto crítico interior do domínio . Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III EXEMPLO Encontre os pontos críticos da função O domínio da função é (x,y) . Vamos então calcular fx e fy para podermos aplicar a definição de ponto crítico. fx = 3x2 -3 e fy = 3 y2 – 3. Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III Aplicando a definição: 3x2 -3 = 0 3x2 = 3 x = 1 3 y2 – 3 = 0 3y2 = 3 y = 1 Portanto, os pontos críticos serão todos os pares ordenados possíveis com x = 1 e y = 1: (1,1), (1,-1), (-1,1) e (-1,-1). Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III OBSERVAÇÃO Condição necessária para a existência de pontos extremantes Z = f(x,y) ser diferenciável Logo (x0 , y0) é um ponto crítico de f. Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III Para calcularmos o(s) máximos e/ou mínimos relativos apresentaremos o teorema da segunda derivada, mas primeiro aprenderemos a calcular a Hessiana. Definição: Seja f(x,y) de classe C2. A função H dada por denomina-se hessiana de f. Condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local Tema da ApresentaçãoREVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III OBSERVAÇÃO determinante da matriz De forma mais simplificada definimos: Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III EXEMPLO Seja Os pontos críticos de f são (1,1), (1,-1), (-1,1) e (-1,-1) - calculados no exemplo anterior. Vamos primeiro calcular a Hessiana: e Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III 1º Passo: Podemos verificar que H(1,1) = 36 >0 e Logo pelo teorema da segunda derivada, (1,1) é ponto de mínimo local. Note que (1,1) não é o único ponto de mínimo, existem outros menores que ele, por exemplo. Pois f(-3,0) < f(1,1), veremos mais adiante que este será o ponto de mínimo global. Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III Logo pelo teorema da segunda derivada, (1,-1) não será extremante local. Nesse caso, será ponto de sela. 2ºPasso: Podemos verificar que H(1,-1) = -36 < 0 e 3ºPasso: Podemos verificar que H(-1,1) = -36 < 0 e Logo pelo teorema da segunda derivada, (-1,1) não será extremante local. Nesse caso, será ponto de sela. Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III 4ºPasso: Podemos verificar que H(-1,-1) = 36 > 0 e Logo pelo teorema da segunda derivada, (-1,1) é ponto de máximo local. Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III EXTREMOS ABSOLUTOS Considere uma função real z = f(x,y) definida em D 2 e (x0,y0) D. Máximo Absoluto: Dizemos que f(x0,y0) é um valor de máximo absoluto de f , se f(x0,y0), tal que , para todo (x,y) pertencente a D. Mínimo Absoluto: Dizemos que f(x0,y0) é um valor de máximo absoluto de f , se f(x0,y0), tal que , para todo (x,y) pertencente a D. Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III AULA 10: MÉTODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Teorema Sejam f(x,y) e g(x,y) sejam funções definidas e de classe C1 num subconjunto aberto U do plano xy que contém a curva C de equação g(x,y)=0. Se f(x,y) tem um valor máximo ou mínimo em (x0,y0) c e g(x0,y0) não é o vetor nulo, então existe um número real λ tal que f(x0,y0) = λ g(x0,y0). Chamamos o número λ de multiplicador de Lagrange. Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III Em outras palavras: Se f(x,y) possui máximo ou mínimo com a restrição g(x,y) = 0 , esse máximo ou mínimo ocorre em um dos pontos críticos da função F dada por F(x,y, λ) = f(x,y) – λg(x,y) Como foi dito anteriormente λ (lambda) é chamada de multiplicador de Lagrange. No caso de uma função de três variáveis, a função F é dada por F(x,y, z,λ) = f(x,y,z) – λg(x,y,z) Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III EXEMPLO 1 Um prédio retangular deve ser construído num terreno com a forma de um triângulo, conforme a figura abaixo. Vamos terminar a área máxima possível para o prédio. prédio Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III Vamos analisar o problema num sistema de coordenadas cartesianas. Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III Podemos observar que a área do prédio é dada por A(x,y) = x.y e que o ponto P(x,y) deve estar sobre a reta x + 2y = 20. Então podemos escrever o seguinte problema: Max xy Sujeito a: x + 2y = 20 Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III Agora vamos usar o métodos dos multiplicadores de Lagrange para resolvermos esse problema. Vamos começar escrevendo a restrição x + 2y = 20 da seguinte forma: X + 2y – 20 = 0 A função lagrangeana é dada por L(x,y,λ) = xy – λ (x + 2y – 20) Derivando L em relação às três variáveis x, y e λ, encontraremos: Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III L(x,y,λ) = xy – λ (x + 2y – 20) Tema da Apresentação REVISÃO DAS AULAS 6 A 10 CÁLCULO III Resolvendo o sistema, encontraremos x = 10, y = 5 e λ = 5 Observe que as dimensões do prédio que fornece um valor máximo para a sua área são x = 10 e y = 5. Portanto, a área do prédio A(x,y) = x.y será A = 10.5 = 50 m2. Tema da Apresentação FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
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