FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA - Exercício A1 até A6 - 2018.1

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Disciplina: CEL0687 - FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA EX_Aula 1 - A1 2018.1 EAD 04/06/2018 09:21:52 
 
 1a Questão 
 
 O conjunto Z dotado da operação * tal que x * y = x + y - 3 é um grupo ? 
 
 Não, pois não existe elemento neutro. 
 Não, pois não existe elemento simétrico. 
 Não, pois a propriedade associativa não foi verificada. 
 Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento 
simétrico. 
 Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a 
operação dada ser um grupo. 
 
 2a Questão 
 
 Considere as seguintes afirmações: 
(I ) A operação x⋆y=x+y2, G = R sobre G é um grupo. 
(II) A operação * em Z, definida por x*y = x + y + xy não possui elemento neutro e portanto não é 
um grupo. 
(III) A operação * em Z, definida por x*y = x + y - 4 possui elemento neutro e = 4 
Podemos concluir que 
 
 
 
A afirmação III é falsa 
 
 
As afirmações I e III são falsas 
 A afirmação I é verdadeira 
 
 
A afirmação II é verdadeira 
 
 
A afirmação III é verdadeira 
 
 3a Questão 
 
 O conjunto Z dotado da operação * tal que x * y = x + y - 4 é um grupo ? 
 
 Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento 
simétrico. 
 Não, pois não existe elemento neutro. 
 Não, pois a propriedade associativa não foi verificada. 
 Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a 
operação dada ser um grupo. 
 Não, pois não existe elemento simétrico. 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 
 
 Existe elemento neutro e = -1 
 Existe elemento neutro e = 2 
 Não existe elemento neutro 
 Existe elemento neutro e = 1 
 Existe elemento neutro e = 0 
 
 5a Questão 
 
 O conjunto R dotado da operação * tal que x ⋆ y=x+y2 é um grupo ? 
 
 Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a 
operação dada ser um grupo. 
 Não, pois a propriedade associativa não foi verificada. 
 Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento 
simétrico. 
 Sim, pois existe elemento neutro e = 1 
 Sim, pois existe elemento simétrico 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 Considere em Z a operação * definida por: 
* : Z x Z → Z 
(x,y) → x*y = x + y - 2 
Verifique a existência do elemento neutro. 
 
 e = 3 
 e = 1 
 e = 0 
 e = -2 
 e = 2 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 Considere a operação binária * sobre R, definida por x*y = mx + ny + kxy, onde m, n e k são 
números reais dados. Estabeleça as condições sobre m, n e k de modo que essa operação seja 
comutativa. 
 
 m < n 
 n = k 
 m > n 
 m = n 
 m = k 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 Seja operação binária * definida por: a * b = resto da divisão de a + b por 4. A partir dela 
podemos dizer que 16 * 4 é: 
 
 4 
 13 
 12 
 0 
 1 
 
Disciplina: CEL0687 - FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA EX_Aula 2 – A2 2018.1 EAD 04/06/2018 09:21:52 
 
1a Questão 
 
 Seja G = {1, 2, 3, 4, 5} um conjunto com uma operação * apresentada na tábua de operação 
abaixo. 
 
 
 
De acordo com a análise da tábua marque a alternativa que apresenta todos os elementos regulares. 
 
 2, 3, 4 e 5 
 1, 2 e 5 
 1, 3 e 4 
 1, 2 ,3, 4 e 5 
 2, 3 e 5 
 
 2a Questão 
 
 Calcule o produto 259 . 371 considerando o conjunto Z11. 
 
 6 
 5 
 8 
 48 
 4 
 
 3a Questão 
 
 Determine o elemento neutro da operação x * y = x + y - 2¯ em Z3. 
 
 e = 1¯ 
 e = -2¯ 
 e = -1¯ 
 e = 3¯ 
 e = 2¯ 
 
 4a Questão 
 
 Considere o conjunto (Z5, +). Marque a alternativa que indica a solução de equação x + 4 = 2 
 
 3 
 7 
 5 
 4 
 6 
 
 5a Questão 
 
 Marque a alternativa que indica a tábua da operação * sobre o conjunto A = {1, i, -1, -i}, definida 
por x * y = xy. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 Marque a alternativa que apresenta a construção correta da tábua de uma operação * sobre o conjunto 
G = {1,2,3,4} de acordo com as condições (I), (II), (III), (IV) e (V) dadas. 
(I) 1 é o elemento neutro 
(II) seja comutativa 
(III) todos os elementos de G são simetrizáveis 
(IV) todos os elementos de G são regulares 
(V) 2*3 = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da 
tábua encontre a solução da equação axb-1 = d , onde x é um elemento de G. 
 
 
 x = a 
 x = c 
 x = b 
 x = d 
 x = f 
 
 8a Questão 
 
 Marque a alternativa que indica a tábua da operação * sobre o conjunto A = {1, i, -1, -i}, definida 
por x * y = xy. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disciplina: CEL0687 - FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA EX_Aula 3 – A3 2018.1 EAD 04/06/2018 09:21:52 
 
1
a
 Questão 
 
 Considere o grupo (Z6 ,+) e a = 4. Determine a
2
 . 
 
 2 
 16 
 1 
 8 
 4 
 
 
 
 2
a
 Questão 
 
 Considere o grupo (Z10,+). Determine o subgrupo gerado pelo elemento 2. 
 
 [2] = {2,4,6,8} 
 [2] = {4,6,8,0} 
 [2] = {2,4,6,8,0} 
 [2] = {2,4,6,0} 
 [2] = {2,4,8,0} 
 
 
 
 3
a
 Questão 
 
 Considere o grupo (Z6,+) e 2 um elemento de Z6. Determine a ordem do elemento 2. 
 
 o(2) = 4 
 
 o(2) = 3 
 o(2) = 5 
 o(2) = 1 
 o(2) = 2 
 
 4
a
 Questão 
 
 A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. Determine os geradores de G. 
 
 
 C e F 
 B e C 
 A e D 
 A e F 
 B, D e E 
 
 5
a
 Questão 
 
 Considere o grupo (Z,+) e a = 4. Determine a
2
. 
 
 16 
 8 
 2 
 4 
 1 
 
 
 
 
 6
a
 Questão 
 
 Seja (Z6, +) um grupo. Verifique se H = {0,2,3,4} é um subgrupo de 
(Z6, +). 
 
 H é subgrupo de (Z6, +). 
 H não é subgrupo de (Z6, +), pois o elemento neutro de Z6 não é elemento de H. 
 H não é subgrupo de (Z6, +). 
 H é um subconjunto de (Z6, +), pois foi verificada a soma 2 + 3 = 5 em Z6. 
 H não é subgrupo de (Z6, +), pois H não é um subconjunto de (Z6, +). 
 
 
 
 
 7
a
 Questão 
 
 A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. Determine os geradores de G. 
 
 
 A e F 
 C e F 
 B e C 
 A e D 
 B, D e F 
 
 
 
 8
a
 Questão 
 
 Determine 2
-4
 em (Z, +). 
 
 8 
 4 
 -8 
 -4 
 2 
 
Disciplina: CEL0687 - FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA EX_Aula 4 – A4 2018.1 EAD 04/06/2018 09:21:52 
 
 1
a
 Questão 
 
 
 
 
 3 + H 
 H 
 1 + H 
 2 + H 
 H + H 
 
 2
a
 Questão 
 
 
 
 
 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H 
 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 3 + H 
 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 2 + H 
 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 1 + H 
 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H + H 
 
 3
a
 Questão 
 
 Considere (Z6, +) um grupo comutativo e H = {0,3} subgrupo de (Z6, +). 
Determine o número de classes laterais. 
 
 3 
 1 
 2 
 4 
 6 
 
 4
a
 Questão 
 
 Considere o grupoaditivo (Z6,+) e N = {0,3} um subgrupo de G. Determine as classes laterais de N em G. 
 
 G/N = {1 + N, 2 + N, 3 + N} 
 G/N = {0 + N, 4 + N, 5 + N} 
 G/N = {0 + N, 2 + N, 3 + N} 
 G/N = {0 + N, 1 + N, 2 + N} 
 G/N = {1 + N, 3 + N, 4 + N} 
 
 5
a
 Questão 
 
 Se G é um grupo finito e H um subgrupo de G, então: 
 
 Grupos finitos não têm subgrupos. 
 A ordem de H divide a ordem de G. 
 A ordem de G divide a ordem de H. 
 A ordem de H é um múltiplo da ordem de G. 
 H é cíclico 
 
 6
a
 Questão 
 
 Considere o Teorema de Lagrange: 
Seja H um subgrupo de um grupo finito G, então a O(G) = (G:H).O(H). Ou seja, o Teorema mostra que a ordem de 
H, O(H), é um divide a ordem de G, O(G), e O(G) = (G:H).O(H). 
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do Teorema. 
 
 Suponhamos que (G:H) = r . Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as classes laterais 
módulo H é igual a G. Como cada elemento de G figura em mais de uma vez nessas classes e como o número 
de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) 
ou o(H)/o(G). 
 Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo 
H. Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as classes laterais módulo H é igual a G. Logo 
(G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 
 Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo 
H. Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as classes laterais módulo H é igual a G. Como 
cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), 
temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 
 Suponhamos {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H 
U ... U arH = G , já que a união de todas as classes laterais módulo H é igual a G. Temos então que r.o(H) = 
o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 
 Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo 
H. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada 
classe é o(H), temos então que o(H) = o(G). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 
 
 
 
 7
a
 Questão 
 
 Considere o grupo multiplicativo G = {1, i, -1, -i} e H = {1, -1} subgrupo de G. Marque a alternativa que indica as 
classes laterais G. 
 
 {1, -1} , {i, - i} 
 {i, - i} 
 {1, -1}, {i, - i}, {1, - i} 
 {1, -1}, {i, - i}, {i, -1}, {-1, -1} 
 {1, -1}, {i, - i}, {i, -1} 
 
 
 8
a
 Questão 
 
 Sejam G um grupo e H,J subrgrupos normais de G. Podemos afirmar que: 
 
 H∩J é um subgrupo cíclico de G. 
 H∩J não é um subgrupo de G. 
 H∩J é um subgrupo abeliano de G. 
 H∩J é um subgrupo de G, mas não é normal. 
 H∩J é um subgrupo normal de G. 
 
Disciplina: CEL0687 - FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA EX_Aula 5 – A5 2018.1 EAD 04/06/2018 09:21:52 
 
1a Questão 
 
 
 
 (12344213) 
 (12341432) 
 (12343124) 
 (12343241) 
 (12342314) 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 
 (12342413) 
 (12343124) 
 (12344213) 
 (12341432) 
 (1234 3241) 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 
 
 (12343124) 
 (1234 3241) 
 (12342413) 
 (12344213) 
 (12341432) 
 
 4a Questão 
 
 Considere G = ZxZ com a seguinte operação adição: 
(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d). f: G →G, f(x,y) = (0,3x + 5y) é um homomorfismo, determine seu 
núcleo. 
 
 N(f) = {(x,y) ∈ RxR / 3x + y = 0} 
 N(f) = {(x,y) ∈ RxR / 3x - 5y = 0} 
 N(f) = {(x,y) ∈ RxR / 3x + 5y = 0} 
 N(f) = {(x,y) ∈ RxR / x + y = 0} 
 N(f) = {(x,y) ∈ RxR / x + 5y = 0} 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 Marque a alternativa que indica a definição correta de homomorfismo de anéis. 
 
 Sejam (A, +, .) um anel. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A se, e somente se, são 
válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). 
 Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um 
homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição: f(xy) = 
f(x)f(y). 
 Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um 
homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, são válidas as seguintes condições: 
f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). 
 Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um 
homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição: 
f(x + y) = f(x) + f(y). 
 Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis. Dizemos que f é um homomorfismo do anel se, e 
somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 
 
 1234 4213 
 12343124 
 12341432 
 12342413 
 12343241 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 Analise as proposições sobre isomorfismo de grupos e marque a alternativa correta. 
 (I) Os grupos G = (Z3,+) e H = (Z6,+) são isomorfos. 
(II) Os grupos G = (S3,o) e H = (Z6,+) não são isomorfos. 
(III) Os grupos G = (R*,.) e H = (R,+) são isomorfos. 
 
 II e III , apenas 
 II , apenas 
 I e II , apenas 
 III , apenas 
 I , apenas 
 
 8a Questão 
 
 
 
 
 (12342413) 
 (12343124) 
 (1234 4213) 
 (12343241) 
 (12341432) 
 
Disciplina: CEL0687 - FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA EX_Aula 6 – A6 2018.1 EAD 04/06/2018 09:21:52 
 
1a Questão 
 
 Com as operações induzidas pelas operações de Z, identifique o anel que não possui elemento neutro 
para a operação de multiplicação usual: 
 Z 
 nZ 
 Q 
 Z_ 
 Zn 
 
 2a Questão 
 
 
 
 ∀x∈ℤ,∃(-2-x)∈ℤ 
 ∀x∈ℤ,∃(-1-x)∈ℤ 
 ∀x∈ℤ,∃(-2+ x)∈ℤ 
 ∀x∈ℤ,∃(2+ x)∈ℤ 
 ∀x∈ℤ,∃(1-x)∈ℤ 
 
 3a Questão 
 
 Encontre a solução do sistema de equações determinado pela equações 3x+2y=1 e 4x+6y=2 no Anel 
Z7 . 
 
 X= 2 e y=4 
 X= 2 e y=3 
 X= 2 e y=2 
 X= 3 e y=3 
 X= 5 e y=6 
 
 4a Questão 
 
 Com as operações induzidas pelas operações de Z, identifique o anel que não possui elemento neutro 
para a operação de multiplicação usual: 
 
 Z_ 
 Z 
 Zn 
 nZ 
 Q 
 
 5a Questão 
 
 O conjunto das matrizes (Mn(A), +, .) é um anel. Considerando essa informação marque a alternativa 
que indica a existência do elemento simétrico para a adição. 
 
 Existe o simétrico -xij que pertence ao anel A tal que xij + (-xij) = (-xij) + xij = 0. Então tomemos - 
X = [- xij] em (Mn(A)), então X + (+X) = [xij] + [xij] = [xij + xij] . 
Logo, X = [- xij] é o simétrico de X = [xij]. 
 Seja X = [xij] em (Mn(A), +, .), onde xij é um elemento do anel A. Sendo assim, existe o simétrico 
-xij que pertence ao anel . Então tomemos - X = [ xij] em (Mn(A)), 
então X + (-X) = [xij] + [-xij] = [xij -xij] = [0] = e. Logo, - X = -[ xij] é o simétrico 
de X = [xij]. 
 Seja X = [xij] em (Mn(A), +, .), onde xij é um elemento do anel A. Sendo assim, existe o simétrico 
-xij que pertence ao anel A tal que xij + (-xij) = (-xij) + xij = 0. Então 
 tomemos - X = [- xij] em (Mn(A)), então X + (-X) = [xij] + [-xij] = [xij -xij] = [0]. 
 
 
Seja X = [xij] em (Mn(A), +, .), onde xij é um elemento do anel A. Sendo assim, existe o simétrico 
-xij que pertence ao anel A tal que xij + (-xij) = (-xij) + xij = 0. Então tomemos - X =[- xij] em 
(Mn(A), então X + (-X) = [xij] + [-xij] = [xij -xij] = [0] = e. Logo, - X = [- xij] é o simétrico de X = 
[xij]. 
 Seja X = [xij] em (Mn(A), +, .), onde xij é um elemento do anel A. Sendo assim, existe o simétrico 
-xij que pertence ao anel A tal que xij + (-xij) = (-xij) + xij = 0. 
Então tomemos - X = . Logo, - X = [- xij] é o simétrico de X = [xij]. 
 
 6a Questão 
 
 Julgue as proposições abaixo e marque a alternativa correta. 
(I) (A, +, .) é um anel de funções de Z em Z. 
(II) Vamos considerar dois anéis A e B. O produto cartesiano A x B não é um anel. 
(III) Seja K um conjunto não vazio e (A, +, .) um anel. Denotamos por AK o conjunto de todas as 
funções de K em A 
 
 II , apenas 
 III , apenas 
 I e II , apenas 
 I e III , apenas 
 I , apenas 
 
 7a Questão 
 
 
 
 
 e = 1 
 e = -2 
 e = -1 
 e = 2 
 e = 0 
 
 8a Questão 
 
 Indique a opção que representa uma solução para o sistema de equações 6x+5y=7 e 3x + y=2 no 
anel Z12: 
 
 x= 3 e y= 4 
 x= 3 e y= 5 
 x= 3 e y= 8 
 x=5 e y={3,8,9} 
 x= 1 e y= 5