Derivada parte 1

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 26 
DERIVADA 
 
INTRODUÇÃO 
 
 Consideremos a função f contínua em x1. Queremos definir a inclinação da reta tangente ao 
gráfico de f em 
))(,( 11 xfxP
. Seja I o intervalo aberto que contém x1 e no qual f está definida e 
seja 
))(,( 22 xfxQ
 outro ponto do gráfico de f, tal que x2 também esteja em I. 
Tracemos uma reta através de P e Q. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A RETA TANGENTE 
 
Def: Suponhamos que a função f seja contínua em x1. A reta tangente ao gráfico de f no ponto 
))(,( 11 xfxP
 é a reta que passa por P tendo inclinação m(x1), dada por 
 
 
 
x
xfxxf
xm
x 



11
0
1
)(
lim
, se o limite existir. 
 
TAXA DE VARIAÇÃO 
 
Def.: A taxa média de variação de y em relação à x no intervalo 
 21 , xx
 é dada por 
 
12
12 )()(
xx
xfxf
x
y





 
 
 Quando consideramos a taxa média de variação em intervalos cada vez menores fazendo 
2x
 
tender a 
1x
 e, portanto fazendo 
x
 tender a 0. O limite da taxa média de variação é chamado de 
taxa instantânea de variação de y em relação à x em x = 
1x
, e é dada por 
 
 
x
xfxxf
x
y
iaçãovardetâneataninstaxa
xx 






11
00
)(
limlim
 
 f 
 
 f(x2) Q(x2,f(x2)) 
 
 
 
 f(x1) Δx=x2-x1 
 P(x1,f(x1)) 
 
 x1 x 2 
 
 
 
 
 
Portanto, a inclinação é dada por: 
12
12 )()(
xx
xfxf
mPQ



 
 
Como 
12 xxx 
 
 
Logo 
xxx  12
 
 
Então 
x
xfxxf
mPQ



)()( 11
 
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 27 
Exemplos: 
 
1- Dada à parábola 
2xy 
, 
 
a) ache a inclinação da reta secante, nos pontos (2,4) e (3,9). 
b) ache a inclinação da reta tangente no ponto (2,4). 
c) faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da reta tangente em (2,4). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Um empresário calcula que quando x unidades de certo produto são fabricadas, a receita bruta 
associada ao produto é dada por 
235,0)( 2  xxxR
 milhares de reais. 
 
a) Qual é a taxa de variação da receita com o nível de produção x quando 3 unidades estão sendo 
fabricadas? 
b) Para esse nível de produção, a receita aumenta ou diminui com o aumento da produção? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 28 
DERIVADA 
 
Def: A derivada de uma função f é a função denotada por f’, tal que seu valor em qualquer 
número x do domínio de f seja dado por: 
 
 
x
xfxxf
xf
x 



)(
lim)('
0
, se ele existir. 
 
Ex.: Ache a derivada de f se 
123)( 2  xxf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Com a função f definida pela equação y = f(x), podemos expressar 
)()( xfxxfy 
, 
onde 
y
 é chamado de incremento de y e denota a variação no valor da função quando x varia de 
x
. 
 Escrevendo-se 
dx
dy
 em lugar de f’(x), a fórmula torna-se 
x
y
dx
dy
x 


 0
lim
 
 
Exemplos: 
 
1- Ache 
dx
dy
 se 
3 xy
: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Calcule 








x
x
dx
d
3
2
: 
 
 
 
 
 
 
 
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 29 
Exercícios 
 
 
I- Resolva os exercícios abaixo, utilizando a definição de derivada: 
 
1- Ache a inclinação da reta tangente ao gráfico, no ponto (x1, y1), das funções abaixo: 
 
a) 
8123)( 2  xxxf
 
 
b) 
xxf  4)(
 
 
c) 
296)( 23  xxxxf
 
 
 
2- Ache a derivada indicada: 
 
a) 
37)(  xxf
 
 
b) 
4)( xf
 
 
c) 
224)( xxf 
 
 
d) 
  38 x
dx
d
 
 
e) 






1
1
x
Dx
 
 
 
3- Ache a inclinação da reta tangente ao gráfico da função definida por 
433  xxy
 no ponto 
(x1, y1). 
 
 
4- Ache uma equação da reta tangente à curva do exemplo anterior no ponto (2,6). 
 
 
5- Calcule a derivada da função 
xxf )(
, no ponto x = 4. 
 
 
RESPOSTAS 
 
1- a) 6x1-12; b) 
1421 x
; c) 3x12 – 12x1 + 9. 2- a) 7; b) 0; c) - 4x; d) – x2; e)
 211  x
. 3- m(x1) = 3x12 – 3. 
4- y = 9x – 12. 5- 1/4. 
 
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 30 
PROPRIEDADES SOBRE DERIVAÇÃO DE FUNÇÕES ALGÉBRICAS 
 
1- Se c for uma constante e se f(x) = c para todo x1, então 
0)(' xf
 
 
2- Se n for um inteiro positivo, e se 
nxxf )(
, então 
1)('  nxnxf
 
 
Ex.: 
8)( xxf 
 
 
3- Se f for uma função, c uma constante e g uma função definida por 
)()( xfcxg 
, então se 
)(' xf
 existir, 
)(')(' xfcxg 
 
 
Ex.: 
75)( xxf 
 
 
4- Se f e g forem funções e se h for à função definida por 
)()()( xgxfxh 
, então se 
)(' xf
 e 
)(' xg
 existirem, 
)(')(')(' xgxfxh 
. 
 
5- A derivada da soma de um inteiro finito de funções é igual à soma de suas derivadas, se elas 
existirem. 
 
Ex.: 
5827)( 34  xxxxf
 
 
6- Se f e g forem funções e se h for à função definida por 
)()()( xgxfxh 
, então se 
)(' xf
 e 
)(' xg
 existirem, 
)(')()()(')(' xgxfxgxfxh 
. 
 
Ex.: 
)1(2)( 2  xxxh
 
 
 
7- Se f e g forem funções e se h for à função definida por 
)(
)(
)(
xg
xf
xh 
, onde 
0)( xg
, então se 
)(' xf
 e 
)(' xg
 existirem, 
 2)(
)(')()()('
)('
xg
xgxfxgxf
xh


. 
 
Ex.: 
xx
x
xh
4
42
)(
2
3



 
 
 
 
8- Se 
nxxf )(
, onde –n é um inteiro negativo e 
0x
, então 
1)('  nxnxf
 
 
Ex.: 
5
3
)(
x
xf 
 
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 31 
Exercícios 
 
1- Calcule a derivada das funções abaixo: 
 
a) 
253)( 23  xxxxf
 
b) 
4
3
4
)(
3

x
xf
 
c) 
48
8
1
)( xxxf 
 
d) 
24
2
1
4
1
)( tttF 
 
e) 
)(3)( 23 sssf 
 
f) 
   xxxxf 6512)( 34 
 
g) 
 22 34)(  xxf
 
h) 
 2337)( yyG 
 
i) 
   tttttF 3212)( 23 
 
j) 
1
1
)(


x
xf
 
l) 









12
12
)(
2
2
xx
xx
xf
 
m) 
221
5
)(
t
t
tf


 
n) 
8
8
)(
3
3



y
y
yf
 
o) 












x
x
x
xh
11
)( 2
 
p) 
 








 13
5
12
x
x
x
y
 
q) 






 

 12)(f
 
r) 
1
1
)(



s
s
sf
 
 
RESPOSTAS 
 
1- a) 
5623  xx
; b) 
24x
; c) 
37 4xx 
; d) 
tt 3
; e) 
ss 3233 2 
; f) 
6156070 246  xxx
; g) 
xx 4864 3 
; 
h) 
52 54126 yy 
; i) 
38121210 234  tttt
; j) 
 211  x
; l) 
   3114  xx
; m) 
   222 21215 tt 
; 
n) 
 232 848 yy
; o) 
 2112 3  x
; p) 
   22 51106  xxx
; q) 
 11 3 
; r) 
 211 ss
. 
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 32 
DERIVADA DAS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA 
 
1- 
xaxf )(
 
 
aaxf x ln.)(' 
 
 
Ex.: 
xxf 5)( 
 
 
 
 
2- 
xxf alog)( 
 
 
ax
xf
ln
1
)(' 
 
 
Ex.: 
xxf 2log)( 
 
 
 
 
 
DERIVADA DAS FUNÇÕES EXPONENCIAL NATURAL E LOGARÍTMICA NATURAL 
 
1- 
xexf )(
 
 
xexf )('
 
 
Ex.: 
xsen
e
xf
x
)(
 
 
 
 
 
2- 
xxf ln)( 
 
 
x
xf
1
)(' 
 
 
Exemplos: 
 
1- f(x) = x.ln x 
 
 
 
 
2-
xxcosxf ln.)( 
 
 
 
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 33 
DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
1- 
xsenxf )(
 
 
xcosxf )('
 
 
Ex.: 
xsenxxf  2)(
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- 
xcosxf )(
 
 
xsenxf )('
 
 
Ex.: 
xcos
xsen
xf
21
)(


 
 
 
 
 
 
 
 
 
3- 
xtgxf )(
 
 
xsecxf 2)(' 
 
 
 
4- 
xsecxf )(
 
 
xtgxsecxf )('
 
 
 
5- 
xcossecxf )(
 
 
xcotgxcossecxf )('
 
 
 
6- 
xcotgxf )(
 
 
xcossecxf 2)(' 
 
 
 
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 34 
DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE 
 
 
DERIVADA À DIREITA 
 
Def: Se a função f for definida em x1, então a derivada à direita de f em x1, denotada por 
)( 1
' xf
, 
será definida por: 
 
   
1
1
1
'11
0
1
' )(lim)(
)(
lim)(
1 xx
xfxf
xf
x
xfxxf
xf
xxx 





 



, se o limite existir. 
 
 
DERIVADA À ESQUERDA 
 
Def: Se a função f for definida em x1, então a derivada à esquerda de f em x1, denotada por 
)( 1
' xf
, será definida por: 
 
   
1
1
1
'11
0
1
' )(lim)(
)(
lim)(
1 xx
xfxf
xf
x
xfxxf
xf
xxx 





 



, se o limite existir. 
 
 
Ex.: Seja f definida por 
21)( xxf 
 
 
a) Faça um esboço do gráfico de f; 
b) Prove que f é contínua em 1; 
c) Determine se f é derivável em 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 35 
Teorema: Se uma função f for derivável em x1, então f será contínua em x1. 
 
Prova: Se f’(x) existe, devemos mostrar que 
)()(lim 1
1
xfxf
xx


 ou, de maneira equivalente, 
 
 que 
)()(lim 11
0
xfxxf
x


. Se h 

 0, então 
 
 
))()(()()( 1111 xfxxfxfxxf 
 
 
x
x
xfxxf
xfxxf 



))()((
)()( 1111
. 
 
Calculando os limites quando 
x
 

 0, temos 
 
x
x
xfxxf
xfxxf
xxxx




 0
11
0
1
0
1
0
lim
))()((
lim)(lim)(lim
 
 
 
0)(')( 11  xfxf
 
 
 
)( 1xf
 
 
Ex.: Seja 
3
1
)( xxf 
 
 
a) Ache f’(x). 
b) Mostre que f’(0) não existe, mesmo que f seja contínua nesse número. 
c) Faça um esboço do gráfico de f. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 36 
Exercícios 
 
I- Faça o que se pede nos itens abaixo: 
 
a) Trace um esboço do gráfico da função. 
b) Determine se f é contínua em x1. 
c) Calcule 
)( 1
' xf
 e 
)( 1
' xf
 se existirem. 
d) Determine se f é derivável em x1. 
 
1- 






46
42
)(
xsex
xsex
xf
; 
41 x
. 
 
 
 
 
 
 
 
2- 
3)(  xxf
; 
31 x
. 
 
 
 
 
 
 
 
3- 






01
01
)(
xsex
xse
xf
; 
01 x
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4- 






0
0
)(
2
2
xsex
xsex
xf
; 
01 x
. 
 
 
 
 
 
 
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 37 
II- Resolva os problemas: 
 
1- Um dos elevadores mais rápidos do mundo, localizado no Taipei Financial Center, subia com 
velocidade constante de 10 m/s, quando subitamente, após 5 segundos de sua partida, suas cordas 
de sustentação se partem e ele começa cair sob a ação da gravidade. Felizmente, neste momento, 
não há ninguém em seu interior. A função que descreve a altura do elevador em relação ao solo é 
dada então pela seguinte expressão. 






Attsett
tset
ts
5)5(5)5(10150
5010010
)(
2
 
onde tA é o tempo de aterrizagem, a altura é dada em metros e o tempo é dado em segundos. 
 
a) Utilizando limites laterais, verifique se a função s é contínua em t = 5. 
b) Através de derivadas laterais, verifique se a função s é derivável em t = 5. 
c) Determine a função velocidade instantânea v. 
 
2- Suponha que um fio retilíneo, de seção transversal circular de raio r0, seja percorrido por uma 
corrente estacionária. A corrente gera um campo magnético cuja intensidade I, em um ponto do 
espaço, depende da distância r do ponto ao eixo do fio. Assim, I = I(r), e pode-se mostrar que, em 
um sistema de unidades apropriado, a função I(r) é dada por 









0
02
0
,
1
0,
)(
rrse
r
rrse
r
r
rI 
 
a) Utilizando limites laterais, verifique se I é contínua em r = r0. 
b) Calcule o limite lateral 
0
0 )()(lim
0 rr
rIrI
rr 


. O que é este limite lateral por definição? 
c) Verifique se a função I(r) é derivável em r = r0. 
d) Obtenha a função I’, a função derivada de I. 
e) Calcule o limite de I’(r) com r tendendo a infinito. 
 
3- Em um determinado processador, a quantidade de x Gb de dados, com 
10x
, é processada 
em 
2802)(  xxT
 segundos. Para uma quantidade x > 10 Gb, o tempo de processamento é 
igual a 
300)10()( 22  xKxT
 segundos, em que K é uma constante positiva. Isso define a 
função: 
),0[:T
IR, em que T(x) é o tempo de processamento de uma quantidade x de dados. 
Determineo valor de K para o qual a função T(x) seja derivável em x = 10. 
 
 
RESPOSTAS 
 
I- 1- b)sim; c)1;-1; d)não; 2- b)sim; c)-1;1; d)não; 3- b)sim; c)0;1; d)não; 4- b)sim; c)0;0; d)sim. 
II- 1-a) sim; b) sim; c) v(t) = s’(t) = 10, se 0 < t 

 5 e 10 – 10(t - 5), se 5 < t < tA. 2- a) sim; b) -1/
2
0r
. Por definição, 
este limite é I’(

0r
), a derivada lateral direita de I em 
0r
; c) não; d) I’(r) = 1/
2
0r
, se 0 

 r < 
0r
 e -1/
2r
, se r 

 
0r
; 
e) 0. 3- a) K = 1/10. 
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 38 
DERIVADA DE ORDEM SUPERIOR 
 
 Se uma função f for derivável, então f’ será chamada de derivada primeira de f. Se a 
derivada de f’ existir, então ela será chamada de derivada segunda de f e poderá ser denotada por 
f’’ (lê-se f duas linhas). Da mesma forma, a derivada terceira de f é definida como a derivada de 
f’’, se ela existir. A derivada terceira de f é denotada por f’’’ (lê-se f três linhas). 
 A derivada enésima da função f, onde n é um número inteiro positivo maior do que 1, é a 
derivada primeira da derivada (n - 1)ésima de f. Denotamos a derivada enésima de f por f(n). 
 De forma análoga, a notação de Leibniz para a derivada primeira é 
dx
dy
. Para a derivada 
segunda é 
2
2
dx
yd
 e o símbolo 
n
n
dx
yd
 é uma notação para a derivada enésima de y em relação a x. 
 Outros símbolos para derivada enésima de f são 
  xf
dx
d
n
n e 
  xfDnx
. 
 
Exemplos: 
 
1- Determine a primeira e a segunda derivada de 
53 35 tts 
 
 
 
 
 
 
 
2- Determine as primeiras quatro derivadas de 
23 23  xxy
. 
 
 
 
 
 
 
3- Encontre a derivada de todas as ordens de 
120
5x
y 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 39 
A DERIVADA COMO TAXA DE VARIAÇÃO 
 
Aplicação em Física 
 
VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA 
 
0
0
tt
)t(s)t(s
t
s
vm






 
 
 
VELOCIDADE ESCALAR INSTANTÂNEA 
 
Def.: É a derivada da função s em relação ao tempo. Se a posição de um corpo no instante t é 
s = s(t), então sua velocidade no instante t = t0 é 
 
)t(s
t
s
lim
tt
)t(s)t(s
limvlim)t(v
ttt
m
tt
0
0
0
0
0
00








 
 
MÓDULO DA VELOCIDADE 
 
Def.: É o valor absoluto da velocidade. 
 
)t(s)t(v 00 
 
 
ACELERAÇÃO ESCALAR MÉDIA 
 
0
0
tt
)t(v)t(v
t
v
am






 
 
ACELERAÇÃO ESCALAR INSTANTÂNEA 
 
Def.: É a derivada da velocidade em relação ao tempo. Se a velocidade de um corpo no instante t 
é v = v(t), então sua aceleração no instante t é 
 
)t(s)t(v
t
v
lim
tt
)t(v)t(v
limalim)t(a
ttt
m
tt
00
0
0
0
0
00








 
 
TORQUE 
 
Def.: É a derivada da aceleração em relação ao tempo: 
 
)t(s)t(v)t(a)t(j 000 
 
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 40 
Exemplos: 
 
1- Um ponto percorre uma curva obedecendo à equação horária s = t2 + t – 2. Calcule a sua 
velocidade no instante t0 = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Um ponto material em movimento sobre uma reta tem velocidade 
3 tv 
 no instante t. 
Calcule a sua aceleração no instante t0 = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3- Uma bola pesada cai em queda livre partindo do repouso no instante t = 0s. Dada a equação de 
queda livre 
29,4 ts 
, calcule: 
 
a) Quantos metros a bola cai nos primeiros 2s? 
b) Qual sua velocidade instantânea e o módulo de sua velocidade? 
c) Qual sua aceleração nesse instante? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 41 
Exercícios 
 
1- Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada, onde 
s(cm) é a distância orientada da partícula a partir do ponto 0 em t(s). Ache a velocidade 
instantânea v(t) cm/s em t(s) e então ache v(t1) para todo valor t1 dado. 
 
a) 
3;13 1
2  ttS
. 
 
b) 
2
1
;
4
1
1  t
t
S
. 
 
c) 
1;52 1
23  tttS
. 
 
d) 
0;
4
2
1 

 t
t
t
S
. 
 
2- Uma bola de bilhar é atingida e movimenta-se em linha reta. Se s(cm) for à distância da bola 
de sua posição inicial após t(s), então 
ttS 100100 2 
. Com qual velocidade a bola atingirá a 
tabela da posição inicial que está a 39 cm. 
 
3- Calcule no instante t0 = 3 a velocidade de uma partícula que se move obedecendo à equação 
horária s = 1/t. 
 
4- Calcule a aceleração de uma partícula no instante t0 = 5, sabendo que sua velocidade obedece à 
equação v = 2 + 3t + 5t2. 
 
5- Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o 
número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do 
primeiro dia da epidemia) é dado, aproximadamente, por f (t) = 64t – t3/3. 
 
a) Qual a taxa da expansão da epidemia após 4 dias? 
b) Qual a taxa da expansão da epidemia após 8 dias? 
 
6- Suponha que um corpo em movimento retilíneo tenha função horária definida por s(t) = 12t – 
2t2 e no instante t = 0 ele inicia o movimento. Considere o espaço medido em metros e o tempo 
em segundos. Determine: 
 
a) a velocidade média do corpo no intervalo de tempo [1, 3]; 
b) a velocidade do corpo no instante t = 1; 
c) a aceleração média do corpo no intervalo de tempo [1, 3]; 
d) a aceleração do corpo no instante t = 1. 
 
RESPOSTAS 
1- a) 6t; 18; b) 
241 t
; -1; c) 
tt 26 2 
; 8; d) 
 248 t
;1/2. 2- 160 cm/s. 3- -1/9 m/s. 4- 53 m/s2. 5- a) 48; b) 0. 
6- a) 4m/s; b) 8 m/s; c) -4m/s2; d) -4m/s2. 
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 42 
REGRA DA CADEIA 
(DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA) 
 
Teorema (A Regra da Cadeia): Se a função g for derivável em x e a função f for derivável em 
g(x), então a função composta 
gf 
 será derivável em x, e 
 
 
)('))((')()'( xgxgfxgf 
 
 
Exemplos: 
 
1- Sejam 
10)( xxf 
 e 
452)( 23  xxxg
, encontre f(g(x)) e calcule f ’(g(x)). 
 
 
 
 
 
 
 
2- Suponha 5
1
2
)( 







x
xh
, e calcule a derivada de h(x). 
 
 
 
 
 
 
 
3- Ache 
dx
dy
 se y = ln






1x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
4- Derive 
2
)( xexf 
 em relação à x. 
 
 
 
 
 
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 43 
Exercícios 
 
1- Ache à derivada da função dada: 
 
a) 
 312)(  xxf
 
b) 
 42 54)(  xxxF
 
c) 
 234 1272)( ttttf
 
d) 
  22 4)(  xxf
 
e) 
3
10 1
x
xy 
 
f) 
tty ln
 
g) 
x
e
y
x

 
h) 
xexf 3)( 
 
i) 
13  xy
 
j) 
 12ln)(  ttg
 
k) 
xexy 3
 
l) 
 1ln 2  xy
 
m) 
 xey x  1ln2
 
n) 
  3235)( xxg 
 
o) 
 13ln
)(
2



t
et
tf
t 
p) 
16
43
)(
2



x
x
xh
 
q) 
13
52
)(



x
x
xg
 
 
2- Mostre que o coeficiente angular de qualquer reta tangente à curva 
3
)21(1 xy 
 é positivo. 
 
RESPOSTAS 
 
1- a) 6(2x+1)2; b) 8(x+2)(x2+4x-5)3; c) 
)2218()1272(2 2334  ttttt
; d) 
 32 44  xx
; e)
49 310 xx 
; 
f) ln t + 1; g) 
  2/1 xxe x 
; h) 
xe33
; i) 
1323 x
; j) 
 122 t
; k) 
 xe x 313 
; l)
)1(2 2 xx
; 
m)










)(2
1
)1(ln2
2
xx
xxe x
; n)
3 35
2
x

; o)
 2
2
)13ln(
13
3
)13ln()21(









t
t
t
tte t ; p) 
 2
2
2
16
43
43
16
3





x
xx
x
x
; 
q) 
  52132
1317
2


xx
x
. 
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 44 
DERIVADA IMPLÍCITA 
 
Se 
 153/),( 2  xxyyxf
, então a equação 
153 2  xxy
 define a função f 
explicitamente. Mas, nem todas as funções estão definidas dessa forma. Por exemplo, se tivermos 
a equação 
 
2566 32 yyyxx 
 
 
não podemos resolver y em termos de x; além disso, podem existir uma ou mais funções f, para as 
quais se y = f (x), a equação acima estará satisfeita, isto é, tais que a equação 
 
        2566 32 xfxfxfxx 
 
 
seja válida para todos os valores de x no domínio de f. Nesse caso, a função f está definida 
implicitamente pela equação dada. 
 Derivando a função acima, temos: 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1- Considere a equação 
yxyyx 8473 324 
 e suponha que exista pelo menos uma função 
derivável f, tal que se y = f (x), a equação estará satisfeita. 
 
 
 
 
 
 
2- Dada 
    4422 yxyxyx 
, ache 
dx
dy
: 
 
 
 
 
 
 
3- Ache uma equação da reta tangente à curva 
933  yx
, no ponto (1, 2). 
 
 
 
 
 
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 45 
DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA 
 
Teorema: Suponha que a função f seja monótona e contínua no intervalo fechado [a, b] e seja y = 
f (x). Se f for diferenciável em [a, b], e f’(x) 

 0 para todo x em [a, b], então a derivada da função 
inversa f -1, definida por x = f -1(y) será dada por 
 
dx
dydy
dx 1

 
 
Ex.: Determine se as funções abaixo têm inversa. Se tiver, ache a derivada da função inversa. 
 
a) 
xy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
1
32



x
x
y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
1)( 3  xxf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 46 
Exercícios 
 
1- Ache 
dx
dy
 por derivação implícita: 
 
a) 
yxyx 833 
 
b) 
1
11

yx
 
c) 
4 yx
 
d)
2222 yxyx 
 
e) 
    3322 yxyxyx 
 
f) 
1cos  xyysenx
 
 
2- Dada x . cos y + y . cos x = 1, ache 
dx
dy
: 
 
3- Ache uma equação da reta tangente à curva 
3216 44  yx
 no ponto (1,2). 
 
4- Ache a taxa de variação de y em relação a x no ponto (3,2), se 
47 32  xyy
. 
 
5- Dada 
3694 22  yx
, ache 
2
2
dx
yd
 por derivação implícita. 
 
6- Nos itens abaixo, seja y = f (x) e x = f -1(y), verifique que 
dx
dydy
dx 1

. 
 
a) f (x) = 4x – 3 
b) 
5
)(
5x
xf 
 
c) 
3 8)(  xxf
 
d) 
2
32
)(



x
x
xf
 
 
 
RESPOSTAS 
 
1- a) 
xy
yx
dx
dy
83
83
2
2



; b) 
2
2
x
y
dx
dy 

; c) 
x
y
dx
dy 

; d) 
yyx
xyx
dx
dy



2
2
; e) 
xy
yx
dx
dy
43
43
2
2



; f) 
xcosycosx
ysenxseny
dx
dy



. 
2- 
xcosysenx
ycosxseny
dx
dy



. 3- 2x + y = 4. 4- (-1). 5- 
3
22
2
2
81
1636
y
xy
dx
yd 

. 
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 47 
A REGRA DE L’HÔPITAL 
 
Esta regra é utilizada para calcular limites de frações cujos numeradores e denominadores 
tendem a zero. 
 
Forma Indeterminada 
 
 Se as funções contínuas f(x) e g(x) são zero em x = a, então 
)(
)(
lim
xg
xf
ax
 não pode ser 
encontrado com a substituição x = a. A substituição gera 
0
0
, uma expressão sem significado 
conhecida como uma forma indeterminada. 
 Vamos considerar um método mais geral para encontrar o limite, se existir, de uma função 
em um número onde ela tem a forma indeterminada 
0
0
. O método é conhecido como regra de 
L’Hôpital. 
 
Teorema (Regra de L’Hôpital): Sejam duas funções f e g, onde f (a) = g(a) = 0 e que f’(a) e g’(a) 
existam e g’(a) 

 0. Então 
)('
)('
)(
)(
lim
ag
af
xg
xf
ax


 
 
Prova: Partindo de trás para frente de f’(a) e g’(a), que são limites, temos 
 
)(
)(
lim
0)(
0)(
lim
)()(
)()(
lim
)()(
)()(
lim
)()(
lim
)()(
lim
)('
)('
xg
xf
xg
xf
agxg
afxf
ax
agxg
ax
afxf
ax
agxg
ax
afxf
ag
af
axaxaxax
ax
ax



















 . 
 
 Ás vezes, após a derivação, o denominador e o numerador novos são iguais a zero em 
x = 0. Nesses casos, aplicamos uma forma mais avançada da Regra de L’Hôpital. 
 
Teorema: Suponha que f (a) = g(a) = 0 e que f e g sejam deriváveis em um intervalo aberto I 
contendo a e que g’(x) 

 0 em I se x 

 a. Então 
 
)('
)('
lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
axax 

 
 
Ex.: Use a regra de L’Hôpital para encontrar o limite das funções abaixo: 
 
a) 



 43
12
lim
2
2
4 xx
xx
x
 
b) 

 xx e
x
1
lim
0
 
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 48 
TAXAS RELACIONAIS 
 
 Um problema envolvendo taxas de variação de variáveis relacionadas é chamado de 
problema de Taxas Relacionais. 
 
Exemplos: Encontrando Equações de Taxas Relacionais 
 
1- Dada x cos y = 5, onde x e y são funções de uma terceira variável t. Se 
dt
dx
 = - 4, ache 
dt
dy
 
quando 

3
1
y
. 
 
 
 
 
 
2- Um estudo ambiental realizado em certa cidade revela que haverá 
9004)( 2  pppQ
 
unidades de um perigoso poluente no ar quando a população for de p mil habitantes. Se a 
população atualmente é de 50.000 habitantes e está aumentandoà razão de 1.500 habitantes por 
ano, qual é a taxa de aumento da poluição causada pelo produto? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estratégias para Resolução de Problemas de Taxas Relacionais 
 
Passo 1. Desenhe uma figura e identifique as variáveis e as constantes. Use t para tempo. 
Considere que todas as variáveis são funções deriváveis de t. 
 
Passo 2. Escreva as informações numéricas (em termos dos símbolos que você escolheu). 
 
Passo 3. Escreva aquilo que você deve encontrar (geralmente uma taxa, expressa como uma 
derivada). 
 
Passo 4. Escreva uma equação que relacione as variáveis. Talvez você possa combinar duas ou 
mais equações para conseguir uma única, relacionando a variável que você quer com 
as variáveis que você conhece. 
 
Passo 5. Derive em relação à t. Em seguida, expresse a taxa que você quer em termos das taxas 
e variáveis cujos valores você conhece. 
 
Passo 6. Calcule. Use os valores conhecidos para encontrar a taxa desconhecida. 
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 49 
Exemplos: 
 
1- Quando o preço de um certo produto é p reais a unidade, a demanda é de x centenas de 
unidades, onde 75x2 + 17p2 = 5.300. Qual é a taxa de variação da demanda com o tempo quando 
o preço é R$ 7,00 e está diminuindo à razão de 75 centavos por mês (ou seja, dp/dt = 0,75)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- A lei de Boyle para a expansão de um gás é PV = C, onde P é o número de quilos por unidade 
quadrada de pressão, V é o número de unidades cúbicas do volume do gás e C é uma constante. 
Num certo instante, a pressão é de 150 kg/m2, o volume é 1,5 m3 e está crescendo a uma taxa de 1 
m3/min. Ache a taxa de variação da pressão nesse instante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3- Uma certa quantidade de areia é despejada a uma taxa de 10 m3/min, formando um monte 
cônico. Se a altura do monte for sempre o dobro do raio da base, com que taxa a altura estará 
crescendo quando o monte tiver 8 m de altura? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 50 
Exercícios 
 
1- Calcule o limite, se ele existir: 
 
a) 

 xtg
x
x 0
lim
 
b) 

x
x
sen
x 1
2
lim 
c) 
 


2
2
2
)ln(
lim
x
xsen
x 
 
d) 



 23
ln1
lim
31 xx
xx
x
 
e) 
ycos
y
y  1
lim
2
0
 
 
2- Para estimar a quantidade de madeira que existe no tronco de uma árvore, é razoável supor que 
a árvore é um cone truncado. Se o raio superior do tronco é r, o raio inferior é R e a altura é H, o 
volume de madeira é dado por 
 22
3
rrRRHV 
 . As taxas de aumento de r, R e H são 
respectivamente 10 cm/ano, 12,5 cm/ano e 22,5 cm/ano. Qual é a taxa de aumento de V no 
instante em que r = 60 cm, R = 90 cm e H = 4,5 m? 
 
3- Uma mancha de óleo de forma circular se espalha de tal forma que seu raio aumenta à razão de 
6 m/h. Qual é a taxa de variação da área da mancha no momento em que o raio é 60m? 
 
4- Nos processos adiabáticos, não existe troca de calor com o ambiente. Suponha que um balão 
de oxigênio seja submetido a um processo adiabático. Nesse caso, se a pressão do gás é P e o 
volume é V, pode-se demonstrar que 
CPV 4,1
, onde C é uma constante. Em certo instante, V = 
5 m3, P = 0,6 kg/m2 e P está aumentando à razão de 0,23 kg/m2s. 
 
a) Qual é a taxa de variação do volume V nesse instante? 
b) O volume está aumentando ou diminuindo? 
 
5- Uma certa quantidade de óleo está sendo despejado num tanque com a forma cônica invertida, 
a uma taxa de 2 m3/min. Se o tanque tiver um raio de 2,5 m no topo e 10 m de profundidade, 
com que velocidade a profundidade do óleo estará variando quando ela estiver com 8 m de 
profundidade? 
 
RESPOSTAS 
 
1- a) 1; b) 2; c) -1/8; d) -1/6; e) 2. 2- 3.817.800cm3/ano. 3- 2.261,95 m2/h. 4- a) -1.369 m3/s; b) Diminuindo. 5- ½ 
m/min.