Lista de Exercicios TC

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1 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS – TEORIA DE CONTROLE 
 
 
1. LAPLACE ....................................................................................................................................1 
2. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA.................................................................................................5 
3. DIAGRAMA DE BLOCOS .........................................................................................................11 
4. ESTABILIDADE.........................................................................................................................14 
5. ANÁLISE DA RESPOSTA TRANSITÓRIA................................................................................19 
6. ERRO EM REGIME PERMANENTE..........................................................................................25 
 
 
 
1. LAPLACE 
 
1- Determine a Transformada de Laplace das funções abaixo: 
a) 
0para12cos)(
0para0)(
≥⋅=
<=
− ttetf
ttf
at
 
Resposta: Da Tabela de Transformadas: te at ωcos− → 22)( ω++
+
as
as
 
Portanto: [ ] =
++
+
=⋅=
−
22 12)4,0(
4,012cos)(
s
s
teLsF at
16,1448,0
4,0
2 ++
+
ss
s
 
 
b) 
0para
3
4sen)(
0para0)(
≥





+=
<=
tttf
ttf
pi 
Resposta: Lembrando da relação trigonométrica: abbaba cossencossen)(sen ⋅+⋅=+ 
tt,tttf 4cos866,04sen504cos
3
sen
3
cos4sen)( ⋅+⋅=⋅+⋅= pipi 
Da Tabela de Transformadas: tωsen → 22 ω
ω
+s
 e tωcos → 22 ω+s
s
 
 
 2 
Portanto: [ ] [ ] =
+
⋅+
+
⋅=⋅+⋅= 2222 4
866,0
4
45,04cos866,04sen50)(
s
s
s
tLt,LsF 
16
866,02
2 +
+
s
s
 
 
c) tt eetf 23)( −− −= 
Resposta: Da Tabela de Transformadas: ate− → 
as +
1
 
Portanto: [ ] [ ] =
++
+−+
=
+
−
+
⋅=−=
−−
)2)(1(
)1()2(3
2
1
1
133)( 2
ss
ss
ss
eLeLsF tt
23
52
2 ++
+
ss
s
 
 
2- Determine a Transformada Inversa de Laplace das funções abaixo: 
a) 
2
3
1
2)( 2 +−+= sssF 
Resposta: Da Tabela de Transformadas: tωsen → 22 ω
ω
+s
 e ate− → 
as +
1
 
Portanto: =



+
⋅−



+
⋅=



+
−
+
=
−−−
2
13
1
12
2
3
1
2)( 12121 sLsLssLtf
tet 23sen2 −−
 
 
b) )7520(
75)( 2 ++= ssssF 
Resposta: Usando a fórmula de Baskara para 75202 ++ ss temos: 
acb 42 −=∆ e 
a
b
x
2
∆±−
= → raízes da equação: – 5 e – 15. 
Portanto: )15)(5(
75
)7520(
75)( 2 ++=++= sssssssF . O denominador tem 3 pólos: 0, – 5 e – 15. 
 
Pólos Reais e Distintos: 1° Caso do Método da Expan são em Frações Parciais 
155)15)(5(
75)( 321
+
+
+
+=
++
=
s
a
s
a
s
a
sss
sF 
Os valores dos coeficientes podem ser determinados por: [ ]
kpskk
sFpsa
−=
+= )()( : 
1)15)(5(
75
0
1 =





++
⋅=
=s
sss
sa 
2
3
)15)(5(
75)5(
5
2 −=





++
⋅+=
−=s
sss
sa 
2
1
)5(
75
15
3 =





+
=
−=s
ss
a 
Portanto: 
15
2/1
5
2/31)(
+
+
+
−
+=
sss
sF 
Da Tabela de Transformadas: )(tu ou 1 → 
s
1
 e ate− → 
as +
1
 
Assim: =



+
+



+
−
+



=
−−−
15
2/1
5
2/31)( 111
s
L
s
L
s
Ltf tt ee 155
2
1
2
31 −− +−
 
 
 3 
 
c) )2)(1(
795)(
23
++
+++
=
ss
sss
sG 
Resposta: Sempre que o grau do numerador for maior ou igual ao grau do denominador devemos dividir o 
numerador pelo denominador: 
3
462
772
223
23|795
2
2
23
223
+
++
++
+++
+++++
s
ss
ss
ssss
sssss
 
Lembrando que na divisão temos a seguinte propriedade: 
)()(
)(|)(
xQxR
xBxA
 → )(
)()()(
)()()()()(
xB
xR
xQ
xB
xA
ouxRxQxBxA +=+⋅= 
Utilizando o 1º método da expansão em frações parciais, a função será reescrita para: 
21
2)2)(1(
32)2)(1(
795)( 21
23
+
+
+
++=
++
+
++=
++
+++
=
s
a
s
a
s
ss
s
s
ss
sss
sG 
2
2
3
1
1 =



+
+
=
−=ss
s
a 1
1
3
2
2 −=



+
+
=
−=ss
s
a 
Portanto: 
2
1
1
22)(
+
−
+
++=
ss
ssG 
Da Tabela de Transformadas: )(tδ → 1 e 
dt
td )(δ
 → s e ate− → 
as +
1
 
Assim: [ ] [ ] =



+
−



+
++= −−−−
2
1
1
22)( 1111
s
L
s
LLsLtg tt eetdt
td 22)(2)( −− −++ δδ
 
 
d) 3
2
)1(
32)(
+
++
=
s
ss
sF 
Resposta: O polinômio 3)1( +s tem três pólos repetidos: – 1, – 1 e – 1. 
 
Pólos Múltiplos: 2° Caso do Método da Expansão em F rações Parciais 
Para esse caso utilizamos a expressão: ir
ir
ps
k
ps
k
ps
k
ps
k
sF
−
−
+
++
+
+
+
+
+
= )(.....)()()( 3
3
2
21
 
Em que: r = quantidade de pólos múltiplos 
 i = índice do coeficiente com valores 0, 1, 2, ... 
Os coeficientes k são desenvolvidos pela equação: [ ]
ps
r
i
i
ir sFpsds
d
i
k
−=
−






⋅+= )()(
!
1
 
 
 4 
No exercício temos r = 3, resultando na expressão: 3
3
2
21
)1()1(1)( +++++= s
k
s
k
s
k
sF 
Para i = 0 → [ ] 232)1(
32)1(
!0
1
31
2
1
3
2
3
0
0
03 =⇒++=












+
++
⋅+=
−=
−=
−
kss
s
ss
s
ds
dk s
s
 
Para i = 1 → [ ] 022)1(
32)1(
!1
1
21
1
3
2
3
1
1
13 =⇒+=












+
++
⋅+=
−=
−=
−
ks
s
ss
s
ds
dk s
s
 
Para i = 2 → 12
2
1)22(
2
1
)1(
32)1(
!2
1
1
11
3
2
3
2
2
23 =⇒⋅=


 +
=












+
++
⋅+=
−=
−=
−
k
ds
sd
s
ss
s
ds
dk
ss
 
Portanto: 32 )1(
2
)1(
0
1
1)(
+
+
+
+
+
=
sss
sF 
Da Tabela de Transformadas: ate− → 
as +
1
 e atn et
n
−−
⋅⋅
−
1
)!1(
1
 →
nas )(
1
+
 
A Transformada Inversa de Laplace será: 
=++=





+
+





+
+



+
=
−−−−− tt ete
s
L
s
L
s
Ltf 231211 0)1(
2
)1(
0
1
1)( )1( 2te t +− 
 
e) 
52
122)( 2 ++
+
=
ss
s
sF 
Resposta: Usando a fórmula de Baskara, o denominador possui um par de pólos complexos conjugados: 
)21)(21(522 jsjsss −+++=++ . 
 
Pólos Complexos Conjugados: 3° Caso do Método da Ex pansão em Frações Parciais 
Lembrando que o vértice de uma equação do 2º grau é dado pelo ponto 




 ∆
−−
aa
b
4
;
2
, podemos fatorar o 
polinômio da seguinte forma: 
aa
b
scbsas
42
2
2 ∆
−





+=++ 
Portanto: 22
2
2 2)1(
14
16
12
252 ++=
⋅
−
−





⋅
+=++ ssss 
A função pode ser reescrita como: 222 2)1(
122
52
122)(
++
+
=
++
+
=
s
s
ss
s
sF 
Da Tabela de Transformadas: te at ωsen− → 22)( ω
ω
++ as
 e te at ωcos− → 22)( ω++
+
as
as
 
Para utilizar esse par de transformadas, devemos alterar a função para: 
222222 2)1(
12
2)1(
25
2)1(
)1(210)(
++
+
⋅+
++
⋅=
++
++
=
s
s
ss
s
sF 
 
 5 
=+=





++
+
⋅+





++
⋅=
−−−− tete
s
sL
s
Ltf tt 2cos22sen5
2)1(
12
2)1(
25)( 221221 )2cos22sen5( tte t +− 
 
3- Determine a Transformada de Laplace da função abaixo: 
a) tt ettetf 34 610cos2)( −− +−= 
Resposta: 
3
624
1012
22)( 52 ++−++
+
=
ssss
s
sF4- Determine a Transformada Inversa de Laplace das funções abaixo: 
a) )2)(1(
3)(
++
+
=
ss
s
sF 
Resposta: tt eetf 22)( −− −= 
 
b) )1(
5432)(
234
+
++++
=
ss
ssss
sF 
Resposta: tett
dt
d
t
dt
d
tf −−+++= 35)(2)()()( 2
2
δδδ 
 
c) )3)(1(
)2(5)( 2 ++
+
=
sss
s
sF 
Resposta: tt eettf 3
18
5
2
5
3
10
9
25)( −− +++−= 
 
d) )22(
1)( 2 ++= ssssF 
Resposta: tetetf tt cos
2
1
sen
2
1
2
1)( −− −−= 
 
 
2. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
 
1- Qual é a função de transferência de um sistema cujas entradas e saídas estão relacionadas pela seguinte 
equação diferencial, com termos iniciais nulos? 
xxyyy &&&& +=++ 23 
Resposta: ⇒+=++ )()()(2)(3)(2 ssXsXsYssYsYs
23
1
)(
)()( 2 ++
+
==
ss
s
sX
sY
sF
 
 
 6 
 
2- A posição y de um objeto em movimento, de massa constante M , está relacionada à força total f , 
aplicada ao objeto pela equação diferencial fyM =&& . Determine a função de transferência relacionando a 
posição à força aplicada. 
Resposta: ⇒= )()(2 sFsYMs 2
1
)(
)()(
MssF
sY
sG ==
 
 
3- Um motor ligado a uma carga, com inércia J e atrito viscoso B, produz um torque que é proporcional à 
corrente de entrada i . Determine a função de transferência entre a corrente de entrada i e a posição do eixo 
θ , sabendo que a equação diferencial para o motor e a carga é: 
Ki
dt
dB
dt
dJ =+ θθ2
2
 
Resposta: ⇒=Θ+ )()()( 2 sKIsBsJs )()(
)()(
BJss
K
sI
s
sF
+
=
Θ
=
 
 
4- Um impulso é aplicado na entrada de um sistema e a saída é observada como sendo a função do tempo 
te 2− . Determine a função de transferência. 
Resposta: A transformada de Laplace da função impulso é: 1)( →tδ . A transformada de Laplace da função 
exponencial é: 
2
12
+
→−
s
e t . Portanto, a FT será: ⇒+==
1
2
1
)( s
entrada
saída
sF
2
1)(
+
=
s
sF
 
 
5- A resposta ao impulso de um sistema é o sinal senoidal tsen . Determine a função de transferência do 
sistema e a equação diferencial. 
Resposta: A FT é a transformada de Laplace da sua resposta ao impulso, ou seja, 
1
1)( 2 += ssF . 
A equação diferencial será: ⇒
+
==
1
1)( 2Dx
y
sF xyyxy
dt
yd
xyyD =+=+=+ &&ouou 2
2
2
 
 
6- (Transpetro) Um determinado sistema físico pode ser modelado através da seguinte equação diferencial 
ordinária: 
 
onde u(t) e y(t) representam, respectivamente, os sinais de entrada e de saída do sistema. A função de 
transferência deste sistema é 
 
Resposta: C 
 
 7 
 
7- Qual é a função de transferência de um sistema que tem fator de ganho de 2 e o mapa pólo-zero mostrado 
na figura? 
 
Resposta: O mapa possui pólos na origem e em – 2 e um zero em – 1. Portanto: )2(
)1(2)(
+
+
=
ss
s
sF . 
 
8- Determine a função de transferência de um sistema com ganho 3 e mapa pólo-zero mostrado na figura. 
 
Resposta: )1)(1)(3(
)2)(2(3)( jsjss
jsjs
sF
−++++
−+++
= 
 
9- Um circuito RC de um compensador de avanço é mostrado na figura. Sabendo que o circuito não está 
carregado, determine a sua função de transferência. 
 
Resposta: A lei de Kirchhoff das correntes para o nó de saída (entre o resistor R1 e o resistor R2) é: 
21
21
)()(
R
v
R
vv
dt
vvdCiii ooioiRRC =
−
+
−
⇒=+ 
A transformada de Laplace para condições iniciais nulas é: 
)(1)]()([1)]()([
21
sV
R
sVsV
R
sVsVCs ooioi =−+− 
== )(
)()(
sV
sV
sF
i
o
21
1
/1/1
/1
RRCs
RCs
++
+
 
 
10- A figura seguinte mostra o circuito de um compensador de atraso. Determine sua função de transferência. 
 
 8 
 
Resposta: A lei de Kirchhoff para as tensões nos dá as equações: 
- Malha de entrada: )()(1)()(1 2121 sIRsICssIRsViRidtCiRv ii ++=→++= ∫ 
- Malha de saída: )()(1)(1 22 sIRsICssViRidtCv oo +=→+= ∫ 
- Função de Transferência: =






++






+
==
)(1
)(1
)(
)()(
21
2
sIR
Cs
R
sIR
Cs
sV
sV
sF
i
o
 
21
2
1
1
RR
Cs
R
Cs
++
+
 
 
11- Determine a função de transferência da rede de retardamento simples mostrada na figura seguinte. 
 
Resposta: Essa rede é um caso especial da rede de compensação de atraso vista no exercício anterior, com 
R2 fixado em zero. 
=
+
=
+
=
+
==
Cs
RCs
Cs
Cs
R
Cs
sI
Cs
sRI
sI
Cs
sV
sV
sF
i
o
1
1
1
1
)(1)(
)(1
)(
)()(
1
1
+RCs
 
 
12- A força contra eletromotriz gerada pela armadura de uma máquina cc é proporcional à velocidade angular 
do seu eixo. Este princípio é usado no tacômetro cc, mostrado esquematicamente na figura, onde bv é a 
tensão gerada pela armadura, L é a indutância da armadura, aR é a resistência da armadura e ov é a tensão 
de saída. Se fK é a constante de proporcionalidade entre bv e a velocidade do eixo [ )/( dtdKvb θ= ], 
determine a função de transferência entre a posição do eixo Θ e a tensão de saída oV . Considere que a carga 
de saída é representada por uma resistência LR , em que aL RRR +≡ . 
 
Resposta: 
 
 9 
- Lei de Kirchhoff para a malha de entrada: )()()( tiR
dt
tdiLtiR
dt
dKvvvv LafRLLRab ++=⇒++=
θ
 
Laplace: 
sLR
ssK
sIsIRsLRssK fLaf +
Θ
=⇒++=Θ
)()()()()( 
- Lei de Kirchhoff para a malha de saída: )(tiRv Lo = 
Laplace: =
Θ
=⇒
+
Θ
== )(
)()()()()(
s
sV
sF
sLR
ssK
RsIRsV ofLLo sLR
sKR fL
+
 ou 





+ LRs
s
L
KR fL
/
 
 
13- Obtenha as funções de transferência )(/)(1 sUsX e )(/)(2 sUsX do sistema mecânico mostrado na 
figura seguinte, considerando condições iniciais nulas. 
 
Resposta: As equações do movimento são: 
11xm &&
11xk
12xk
1xb&
22xk
2xb&
u
1m
 
2m
22 xm &&
22xk
23xk
2xb&
12xk
1xb&
 
uxbxkxbxkxkxm ++=+++ 2221121111 &&&& 1122232222 xbxkxbxkxkxm &&&& +=+++ 
 
Transformando por Laplace: 
)()()()()()()( 22211211121 sUsbsXsXksbsXsXksXksXsm ++=+++ 
)()()()()( 2212121 sUsXbsksXbskksm ++=+++ Equação A 
 
)()()()()()( 11222322222 sbsXsXksbsXsXksXksXsm +=+++ 
)()()()( 1223222 sXbsksXbskksm +=+++ Equação B 
 
Resolvendo a equação B para )(2 sX : 
)()(
)()( 1
32
2
2
2
2 sXbskksm
bsk
sX
+++
+
= 
 
Substituindo na equação A, temos: 
 
 10 
)()()(
)()()()( 1
32
2
2
2
2121
2
1 sUsXbskksm
bskbsksXbskksm +
+++
+
+=+++ 
)()()())(()())(( 3222122121213222 sUbskksmsXbskbsksXbskksmbskksm ++++++=++++++ 
)()()()])(())([( 322212221213222 sUbskksmsXbskbskbskksmbskksm +++=++−++++++ 
2
232
2
221
2
1
32
2
21
)())(()(
)(
kbskkbssmkkbssm
kkbssm
sU
sX
+−++++++
+++
=
 
 
A partir desse resultado e utilizando a equação B temos: 
2
232
2
221
2
1
22
)())(()(
)(
kbskkbssmkkbssm
kbs
sU
sX
+−++++++
+
=
 
 
14- Um motor c.c. (corrente contínua) é mostrado esquematicamente no diagrama seguinte. L e R 
representam a indutância e resistência do circuito da armadura do motor e a tensão bv representa a força 
contra-eletromotriz gerada, que é proporcional à velocidade )(tω . O torque T gerado pelo motor é 
proporcional à corrente da armadura i . A inércia J representa a inércia combinada da armadura do motor e 
da carga e B é o atrito viscoso total atuando sobre o eixo de saída. Determine a função de transferência entre 
a tensão de entrada e a velocidade angular do eixo de saída. 
)(tv )(1 tkvb ω=
 
)(2 tikT =
J
θ
b
 
Resposta: Equação diferencial e transformada de Laplace do circuito da armadura do motor:)()()()( 1 tvtkdt
tdiLtRi =++ ω → )()()()( 1 sVsksLsIsRI =Ω++ → RLs
sksV
sI
+
Ω−
=
)()()( 1 
 
Equação diferencial e transformada de Laplace da carga inercial: 
)()()( 2 tiktbdt
tdJ =+ ωω → )()()( 2 sIksbsJs =Ω+Ω 
 
Resolvendo essas equações para a função de transferência )(/)( sVsΩ temos: 
RLs
sVk
RLs
skK
sbsJs
RLs
skK
RLs
sVk
sbsJs
RLs
sksVksbsJs
+
=
+
Ω
+Ω+Ω⇒
+
Ω
−
+
=Ω+Ω⇒





+
Ω−
=Ω+Ω )()()()()()()()()()()()( 21212212 
RLs
sVk
RLs
kKRLsbJs
s
RLs
sVk
RLs
kKbJss
+
=





+
+++Ω⇒
+
=





+
++Ω )())(()()()( 212212 
12
2
2
12
2
12
2
))(())(()(
)(
kKbRbLsJRsJLs
k
kKRLsbJs
k
RLs
kKRLsbJs
RLs
k
sV
s
++++
=
+++
=
+
+++
+
=
Ω
 
 
 11 
)()()(
)(
12
2
2
kKbRsbLJRJLs
k
sV
s
++++
=
Ω
 
 
 
3. DIAGRAMA DE BLOCOS 
1- Qual a função de transferência global para o sistema mostrado? 
 
Resposta: A realimentação é negativa, portanto: 
111
2
5
1
21
1
2
)()(1
)()(
+
=
⋅
+
+
+
=
+
=
s
s
s
s
sHsG
sG
sF 
 
2- Reduzir o sistema em um bloco único e determinar sua função de transferência. 
 
Resposta: A figura seguinte mostra as etapas, utilizando as seguintes transformações da tabela: 
(a) Transformação 1 
(b) Transformação 2 
(c) Transformação 3 
(d) Transformação 1 
(e) Transformação 2 
 
 
 12 
 
 
3- Determinar uma equação relacionando as entradas )(siθ , )(1 sdθ e )(2 sdθ com a saída )(soθ . 
 
Resposta: Fazendo )(1 sdθ e )(2 sdθ iguais a zero temos: 
2121
21
1)(
)(
HHGG
GG
s
s
i
o
+
=
θ
θ
 
Fazendo )(siθ e )(2 sdθ iguais a zero, o diagrama fica: 
2121
2
1 1)(
)(
HHGG
G
s
s
d
o
+
=
θ
θ
 
 
 13 
 
Fazendo )(siθ e )(1 sdθ iguais a zero, o diagrama fica: 
2121
121
2 1)(
)(
HHGG
HGG
s
s
d
o
+
−=
θ
θ
 
 
Portanto a saída total do sistema é: 
2121
2121
2121
12
2121
21
111
)(
HHGG
HGG
HHGG
G
HHGG
GG
s ddio +
−
+
+
+
=
θθθθ 
 
4- Dado o diagrama de blocos, determine os pólos de malha fechada. 
+
−
)3(
6
+ss
 
Resposta: Função de Transferência de Malha Fechada: 
63
6
)3(
61
)3(
6
)( 2 ++=
+
+
+
=
ss
ss
ss
sG 
Pólos: jp 18,25,11 +−= e jp 18,2152 −−= 
 
5- Dado o sistema da figura (a) seguinte, simplifique o diagrama. 
Resposta: Movendo o somador da malha de realimentação negativa que contém 2H para fora da malha de 
realimentação positiva que contém 1H , obtemos a figura (b). Eliminando a malha de realimentação positiva, 
obtemos a figura (c). A eliminação da malha que contém 12 / GH resulta na figura (d). Por fim, eliminando a 
malha de realimentação, o resultado é a figura (e). 
 
 14 
 
 
 
4. ESTABILIDADE 
 
1- Quais dos seguintes sistemas são estáveis? 
a) Uma função degrau produz uma saída descrita pela equação to 2=θ . 
b) Uma função degrau produz uma saída descrita pela equação 5=oθ . 
 
 15 
c) Uma função impulso produz uma saída descrita pela equação to e−=θ . 
d) Uma função impulso produz uma saída descrita pela equação to e=θ . 
Resposta: A figura seguinte mostra as formas de onda dos itens solicitados. Portanto: 
a) Sistema Instável 
b) Sistema Estável. 
c) Sistema Estável. 
d) Sistema Instável. 
 
 
2- Quais dos seguintes sistemas são estáveis, criticamente estáveis e instáveis? 
a) Pólo – 4; zero + 1. 
b) Pólos + 1; nenhum zero. 
c) Pólos 0, – 1, – 2; zero + 1. 
d) Pólos (– 2 ± j3); nenhum zero. 
e) Pólos (1 ± j2); zero – 2. 
Resposta: Os valores dos zeros são irrelevantes. Para estabilidade, todos os pólos devem ter partes reais 
negativas. Assim, (a) e (d) são estáveis. Para estabilidade crítica, um ou mais pólos devem ter parte real zero e 
nenhuma pode ser positiva. Assim, (c) é criticamente estável. Para instabilidade, um ou mais pólos devem ter 
parte real positiva. Assim (b) e (e) são instáveis. 
 
3- São dados os denominadores de algumas funções de transferência. Por simples inspeção, quais poderiam 
ser estáveis, instáveis ou criticamente estáveis? 
a) 323 34 +++ sss 
b) 132 23 +++ sss 
c) 25234 2345 ++++− sssss 
d) 2325 2345 +++++ sssss 
e) 5432 235 ++++ ssss 
Resposta: (b) e (d) podem ser estáveis, pois todos os coeficientes são positivos e nenhum é zero. (c) é 
instável, já que existe um termo negativo. (a) e (e) são no máximo criticamente estáveis. 
 
 
 16 
4- Determine se os sistemas são estáveis. 
a) 
1432
12)( 234 ++++
+
=
ssss
s
sG b) 
14
12)( 234 ++++
+
=
ssss
s
sG 
Resposta: 
a) Utilizando o denominador da função de transferência, as duas primeiras linhas do arranjo ficam: 
42
131
3
4
s
s
 
Cálculo dos elementos da terceira linha: 
1
2
4132
1
3021
1 =
⋅−⋅
=
⋅−⋅
=
a
aaaab 1
2
0112
1
5041
2 =
⋅−⋅
=
⋅−⋅
=
a
aaaab 
Assim o arranjo fica: 
11
42
131
2
3
4
s
s
s
 
Cálculo da quarta linha: 
2
1
1241
1
2131
1 =
⋅−⋅
=
⋅−⋅
=
b
baab
c 0
1
0201
1
3151
2 =
⋅−⋅
=
⋅−⋅
=
b
baab
c 
Resultando no arranjo: 
2
11
42
131
1
2
3
4
s
s
s
s
 
Cálculo da quinta linha: 
1
2
0112
1
3121
1 =
⋅−⋅
=
⋅−⋅
=
c
cbbcd 
Finalizando: 
1
2
11
42
131
0
1
2
3
4
s
s
s
s
s
 
A primeira coluna tem todos os elementos positivos, e assim o sistema é estável. 
 
b) Após os cálculos necessários, o arranjo final fica: 
 
 17 
1
3/13
13
41
111
0
1
2
3
4
s
s
s
s
s
−
 
A primeira coluna tem um elemento negativo e então o sistema é instável. Existem duas trocas de sinal, de 
positivo para negativo (1 para – 3) e de negativo para positivo (– 3 para 13/3), então o sistema tem dois pólos 
com partes reais positivas. 
 
5- Qual a faixa de variação do ganho K para que os sistemas com denominadores dados a seguir sejam 
estáveis? 
a) Kssss ++++ 233 234 b) Ksss +++ 84 23 
Resposta: a) A matriz de coeficientes é: 
Ks
Ks
Ks
s
Ks
0
1
2
3
4
7/92
3/7
023
31
−
 
Para que haja estabilidade, todos os coeficientes da primeira coluna devem ser positivos, portanto: 
9
140
7
92 <⇒>− KK 
0>K 
O ganho K pode ter a seguinte faixa de variação: 0
9
14
>> K . 
 
b) A matriz fica: 
Ks
Ks
Ks
s
0
1
2
3
04/8
4
81
−
 
Portanto: 032 >> K 
 
6- Determine o intervalo de valores de K para a estabilidade do sistema de controle com realimentação unitária 
cuja função de transferência de malha aberta vale: 
)2)(1()( ++= sss
K
sG 
Resposta: A equação característica fica: Ksss +++ 23 23 . A matriz de Routh fica: 
 
 18 
Ks
K
s
Ks
s
0
1
2
3
3
6
3
21
−
 
Portanto: 06 >> K 
 
7- Considere o sistema de controle dotado de realimentação unitária com a seguinte função de transferência: 
)32)(1(
10)(
+−
=
sss
sG 
Esse sistema é estável? 
Resposta: A equação característica fica: 1032 23 +−+ sss . A matriz de Routh fica: 
10
23
101
32
0
1
2
3
s
s
s
s
−
−
 
Portanto o sistema é instável. 
 
8- Considere a seguinte equação característica: 259)4(2 234 +++++ ssKss . Utilizando o critério de 
estabilidade de Routh, determine o intervalo de K para a estabilidade. 
Resposta: Pela matriz de Routh a seguir, 
18
109
>K . 
25
012
10918
25
2
12
092
2541
0
1
2
3
4
s
K
K
s
K
s
s
ks
−
−
−
+
 
 
9- Para o sistema mostrado, qual a faixa de K que resulta em estabilidade? 
 
Resposta: A função de transferência do ramo direto é: 
sss 45
10
23 ++
 
A função de transferência do sistema é dada por: 
KssssHsG
sG
sF
1045
10
)()(1
)()( 23 +++=+= 
 
 19 
O arranjo de Routh para o denominador fica: 
Ks
Ks
Ks
s
10
24
105
41
0
1
2
3
−
 
Portanto: 02 >> K 
 
10- O sistema que tem uma função de transferência com o denominador 484 23 +++ sss tem alguma raiz 
mais próxima do eixo zero do que – 1? 
Resposta: Primeiro, vamos testar se o sistema é estável: 
4
7
44
81
0
1
2
3
s
s
s
s
 
Pela matriz percebemos que o sistema é estável. Deslocando o eixo para – 1, devemos substituir s por (r – 1): 
134)1(8)1(4)1(484 232323 −++⇒+−+−+−⇒+++ rrrrrrsss 
O arranjo de Routh para essa equação: 
1
4
11
31
0
1
2
3
−
−
r
r
r
r
 
O sistema é instável. Se existe apenas uma troca de sinal, existe apenas uma raiz à direita de – 1. 
 
 
5. ANÁLISE DA RESPOSTA TRANSITÓRIA 
 
1- Um termopar tem uma função de transferência relacionando sua saída em volts com sua entrada em °C de: 
110
1030)(
6
+
⋅
=
−
s
sG 
Qual será (a) o tempo gasto para a saída do termopar alcançar 95 % de seu valor final e (b) o valor final 
quando existe uma entrada degrau de 100 °C? 
Resposta: a) Comparando a função de transferência de um sistema de 1º ordem temos: CVK °⋅= − /1030 6 
e segundosT 10= . Através do gráfico da curva de resposta, para se atingir 95 % da saída é necessário 3 
constantes de tempo, ou seja, T3 . O tempo total é 30 s. 
b) Aplicando o Teorema do Valor Final da Transformada de Laplace: )(lim)(lim
0
tfssF
ts ∞→→
= . 
Transformada de Laplace da entrada: 
s
iθ
 Transformada de Laplace da saída: 
sTs
K
s
sG ii θθ ⋅
+
=⋅
1
)( 
 
 20 
VK
sTs
K
s i
i
s
µθθ 3001001030
1
lim 6
0
=⋅⋅==⋅
+
−
→
 
 
2- O gráfico seguinte mostra a variação no tempo da temperatura de um forno. Qual será a temperatura após 
20 minutos de funcionamento? 
Temp (°C)
T (s)
180
900
400
 
Resposta: O gráfico é a resposta de um sistema de 1º ordem à entrada degrau. Portanto: )1()( /TteKtc −−= . 
Para st 400= : 
8,012,0)1(900180 /400/400/400 =⇒−=⇒−= −−− TTT eee 
Lembrando da relação aeca c =↔=ln , temos: 
sT
TT
18,181840022,04008,0ln =⇒−=−⇒−= 
A equação temporal do sistema vale: )1(900)( 18,1818/tetc −−= . 
Para st 1200min20 == : 
⇒−=−=−= −− )5168,01(900)1(900)1(900)( 66,018,1818/1200 eetc Ctc °= 88,434)( 
 
3- Um termômetro requer 1 minuto para indicar 98 % da resposta a uma entrada em degrau. Supondo que o 
termômetro seja um sistema de primeira ordem, determine a constante de tempo. Se o termômetro for imerso 
em um banho, cuja temperatura muda linearmente a uma taxa de 10 °C/min, qual será o erro apresentado p elo 
termômetro? 
Resposta: Um sistema de 1º ordem atinge 98% da resposta a um degrau em 4 constantes de tempo, ou seja, 
4T = 1 min → T = 0,25 min. 
Para uma entrada rampa com ganho 10 °C/min, o erro será: )1()( /TteATte −−= . Conforme t tende ao 
infinito, Tte /− se aproxima de zero, portanto: CATe °=⋅==∞ 5,225,010)( . 
 
4- Um termopar tem uma função de transferência relacionando sua saída em volts com sua entrada em °C de: 
110
1030)(
6
+
⋅
=
−
s
sG 
Quando o termopar estiver sujeito a uma entrada de temperatura uniformemente crescente de 5 °C/s, qual será 
a saída do termopar após 12 s e de quanto ela estará atrasada em relação à saída que teria sido indicada se o 
termopar houvesse respondido instantaneamente à entrada? 
Resposta: Como o sistema é de 1º ordem e a entrada é uma rampa, a saída é )]1([)( / TteTtKAtc −−−= . 
Como a constante de tempo do sistema é de 10s e CVK °⋅= − /1030 6 , então, para uma rampa de 5°C/s: 
Vetc µ750105,7)]1(1012[51030)( 410/126 =⋅=−−⋅⋅⋅= −−− 
 
 21 
Se o termopar tivesse uma resposta instantânea à entrada, a constante de tempo seria zero. Portanto: 
VKAtetKAeTtKAtc tTt µ180010181251030)]1(0[)]1([)( 460// =⋅=⋅⋅⋅==−−=−−= −−−− 
O atraso seria: Vµ10507501800 =− 
 
5- Um termopar tem uma função de transferência relacionando sua saída em volts com sua entrada em °C de: 
110
1030)(
6
+
⋅
=
−
s
sG 
Qual será a saída do termopar 5 segundos depois que foi sujeito a um impulso de temperatura de 100 °C? 
Resposta: A saída de um sistema de 1º ordem submetido a um impulso é: 
Vee
T
KA
tc Tt µ1800108,1
10
1001030)( 410/5
6
/
=⋅=
⋅⋅
==
−−
−
−
 
 
6- Um sistema tem a seguinte relação entre sua saída oθ e sua entrada 
s
iθ
. Qual o estado de amortecimento 
do sistema? 
168
1
)(
)(
2 ++
=
sss
s
i
o
θ
θ
 
Resposta: O denominador pode ser escrito como )4)(4(1682 ++=++ ssss . O sistema tem dois pólos reais 
e iguais, portanto é criticamente amortecido. 
 
7- Um sistema de segunda ordem é subamortecido com um fator de amortecido de 0,4 e uma freqüência 
angular de 10 Hz. Qual é a relação entre a saída e a entrada no domínio s. 
Resposta: a) 
1008
100
10104,02
10
2)(
)()( 222
2
22
2
++
=
+⋅⋅+
=
++
==
sssssssR
sC
sG
nn
n
ωζω
ω
 
b) 








−
+
−
−=
−
−
ζ
ζ
ωζ
ζω 2
1
2
1
tgsen
1
1)( tetc d
tn
 dn ωζω =− 21 
⇒








−
+−
−
−=
−
⋅⋅−
4,0
4,01
tg4,0110sen
4,01
1)(
2
12
2
104,0
t
e
tc
t
 
( )°+−= − 4,662,9sen
92,0
1)(
4
t
e
tc
t
 
 
8- Dada a função de transferência de um sistema de segunda ordem, determine: nω , ζ , st , pt e (%)pM . 
6412
64)( 2 ++= sssG 
Resposta: Comparando com a forma padrão do sistema de 2º ordem temos: 
sradn /864
2
==ω 
75,0122 =⇒= ζζωn 
st
n
s 67,0
4
== ζω 
 
 22 
st
nd
p 59,0
1 2
=
−
== ζω
pi
ω
pi
 
%84,2100100(%) )/()/( =⋅=⋅= −− piωζωpiωσ dnd eeM p 
 
9- Considere o sistema de malha fechada dado como: 
22
2
2)(
)(
nn
n
sssR
sC
ωζω
ω
++
= 
Determine os valores de ζ e de nω de modo que o sistema responda a uma entrada em degrau com 
aproximadamente 5% de sobre-sinal e com um tempo de acomodação de 2 segundos (utilize o critério de 2%). 
Resposta: 14,3)1/()1/()1/()/(
222
1005100100100(%) ζζpiζζpiζωζωpiωσ −−−−−−− ⋅=⇒⋅=⋅=⋅= eeeeM nndp 
Lembrando da relação aeca c =↔=ln , temos: 
( ) ⇒
−
=⇒








−
−=−⇒
−
−= 2
2
2
2
2
2 1
86,99
1
14,33
1
14,305,0ln ζ
ζ
ζ
ζ
ζ
ζ
 
69,0=ζ
 
⇒
⋅
=⇒=
nn
st ωζω 69,0
424 sradn /90,2=ω 
 
10- A relação entre o sinal de entrada para um captador de um radiotelescópio e a direção na qual ele aponta é 
dada pela função de transferência: 
22
2
2 nn
n
ss ωζω
ω
++
 
Com ζ igual a 0,4 e nω igual a 10 Hz. Qual é o erro em regime permanente quando o sinal de entrada para o 
telescópio é um sinal rampa? 
Resposta: Erro em regime permanente = s
n
08,0
10
4,022
=
⋅
=
ω
ζ
 
 
11- (ENADE) Alguns tipos de balança utilizam, em seu funcionamento, a relação entre o peso P e a 
deformação elástica δ que ele provoca em uma mola de constante elástica K, ou seja, δ⋅= KP (Lei de 
Hooke). Ao se colocar certa mercadoria no prato de uma balança desse tipo, a deformação δ não ocorre 
instantaneamente. Existe um movimento transiente que depende de outro parâmetro: o nível de amortecimento 
no mecanismo da balança, dado pelo parâmetro adimensional ζ , denominado fatorde amortecimento. O 
movimento transiente, a partir do instante em que a mercadoria é colocada no prato da balança, pode ser 
descrito por 3 equações diferentes (e tem comportamentos diferentes), conforme o valor de ζ . 
 
A figura seguinte exemplifica o gráfico da função quando 1,0=ζ : 
 
 23 
 
 
O gráfico seguinte ilustra o caso 1=ζ : 
 
 
A figura seguinte exemplifica o gráfico da função quando 2=ζ : 
 
 
Com base nessas informações, conclui-se que a balança indica o valor da massa mais rapidamente quando: 
(A) ζ < 0. (B) ζ = 0. (C) 0 < ζ < 1. (D) ζ = 1. (E) ζ > 1. 
Resposta: D 
 
12- A figura ao lado mostra um sistema de segunda ordem de um líquido 
em um tubo em U. A função de transferência relacionando uma entrada de 
pressão p em uma das entradas do tubo com a saída de uma variação 
na altura h é dada por: 
gRsLsss
K
sP
sH
nn γγωζω 2
1
2)(
)(
222 ++
=
++
= . 
Onde γ é a densidade do líquido, L é o comprimento da coluna de 
líquido, R é a resistência hidráulica e g é a aceleração da gravidade. 
Qual é (a) a freqüência natural não amortecida, (b) o coeficiente de 
amortecimento. 
 
 24 
Resposta: (a) [ ]LgsLRsLLgsLRs
L
L
L
gRsLssP
sH
/2)/(
1
/2)/(
/1
/1
/1
2
1
)(
)(
222 ++
=
++
=⋅
++
=
γγγγγ
γ
γ
γ
γγ
 
Portanto: 
L
g
L
g
nn
222
=⇒= ωω 
(b) 
LgL
R
L
R
L
R
n
n /222
2
γωγ
ζ
γ
ζω ==⇒= 
 
13- Considere um sistema de 2º ordem com ζ = 0,6 e sradn /5=ω . Determine o tempo de subida, o tempo 
de pico, o máximo sobre-sinal e o tempo de acomodação quando o sistema for submetido a uma entrada 
degrau unitário. 
Resposta: Freqüência natural amortecida: sradnd /46,0151 22 =−=−= ζωω 
radtgtgtg
n
dd 93,013,53
56,0
4111
=°=
⋅
===
−−−
ζω
ω
σ
ωβ 
Tempo de subida: ⇒
−
=
−
=
4
93,014,3
d
rt ω
βpi
str 55,0= 
Tempo de pico: ⇒==
4
14,3
d
pt ω
pi
st p 785,0= 
Máximo sobre-sinal: ⇒== −− 14,3)4/3()/( eeM dp
piωσ 095,0=pM ou %5,9 
Tempo de acomodação: 
- Para o critério de 2%: ⇒==
3
44
σs
t sts 33,1= 
- Para o critério de 5%: ⇒==
3
33
σs
t sts 1= 
 
14- Considere o sistema mostrado na figura seguinte. Determine o valor de K de modo que o coeficiente de 
amortecimento ζ seja 0,5. Então, obtenha o tempo de subida, o tempo de pico, o máximo sobre-sinal e o 
tempo de acomodação da resposta ao degrau unitário (critério de 2 %). 
 
Resposta: Simplificando o diagrama de blocos, a função de transferência será: 
16)168,0(
16
)(
)(
2 +++
=
skssR
sC
. 
 
 25 
Por simples inspeção, sradnn /416
2
=⇒= ωω . Além disso, 
⇒+=⋅⋅⇒+= kkn 168,045,02168,02ζω 2,0=k 
sradnd /46,31
2
=−= ζωω 
3
866,0sensen 11 pi
ω
ωβ === −−
n
d
 
⇒
−
=
−
=
46,3
3/pipi
ω
βpi
d
rt str 605,0= 
⇒==
46,3
14,3
d
pt ω
pi
st p 907,0= 
⇒===== −−⋅−−−−−− 814,1)5,01/14,35,0()1/()1/()/(
222
eeeeeM nndp
piζζpiζωζωpiωσ 163,0=pM 
⇒
⋅
==
45,0
44
n
st ζω sts 2= 
 
 
6. ERRO EM REGIME PERMANENTE 
 
1- Um sistema de controle de um motor deve operar com erro zero em regime permanente quando sujeito a um 
sinal rampa. Qual deve ser o tipo desse sistema? 
Resposta: O sistema deve ser do tipo 2 ou maior. 
 
2- Um braço de um robô tem uma função de transferência de malha aberta para sua posição angular de: 
)2)(5(
100)(
++
=
sss
sG 
Qual é o erro em regime permanente quando a entrada é 
como indicada na figura ao lado? 
 
Resposta: O sistema é do tipo 1 e a entrada é uma rampa de 
10 graus/s. 
1
00
10)20)(50(
100
)2)(5(
100lim)(lim −
→→
=
++
=
++
== s
sss
sssGK
ss
v
O erro em regime para a rampa unitária ( t ) é vK/1 . A figura 
mostra uma rampa At em que 10=A . Portanto o erro vale vKA / , isto é, 10/10 = 1 grau. Assim, a saída é 
sempre atrasada da entrada em 1 grau. 
 
3- Determinar o erro em regime permanente que ocorre em um sistema linear que tem a função de 
transferência de malha aberta de: 
)4(
)1(2)( 2 +
+
=
ss
s
sG 
Quando sujeito a uma entrada de: 
 
 26 
32
221)(
sss
si ++=θ 
Resposta: O sistema é do tipo 2. Como o sistema é linear, o princípio da superposição pode ser aplicado, e 
então o erro em regime permanente total será a soma dos erros devidos a cada parte do sinal de entrada. 
Para a entrada s/1 , uma entrada em degrau unitário, o erro será zero. 
Para a entrada 2/2 s não existirá erro, sendo esta uma entrada em rampa. 
Para a entrada 3/2 s : 5,0)40(
)10(2
)4(
)1(2lim)(lim 220
2
0
=
+
+
=
+
+
==
→→ ss
s
ssGsK
ss
a . 
Assim o erro será: 4
5,0
1212 =⋅=⋅=
a
ss K
e 
 
4- Considere um sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha 
fechada seja: 
bass
bKs
sR
sC
++
+
= 2)(
)(
 
Determine a função de transferência de malha aberta. Qual o erro estacionário na resposta à rampa unitária? 
Resposta: )()()](1)[()()()(1
)(
)(
)( 2
2 Kass
bKs
sGsGbKssGbass
bass
bKs
sG
sG
sR
sC
−+
+
=⇒++=++⇒
++
+
=
+
= 
Ka
b
Ka
b
Kass
bKs
sssGK
ss
v
−
=
−+
=
−+
+
==
→→ )0()(lim)(lim 00 
Portanto: 
b
Ka
Ka
bK
e
v
ss
−
=
−
==
11