P3 2017 1

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P3 - Probabilidade e Estatística - 2017-1 
Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio. 
Professores: Reinaldo Castro Souza (3VA), Marco Grivet (3VC-3VD), Soraida Aguilar (3VB). 
 
Problema 1 (1.0 pts) 
a) (0.5 pts) Seja “Z” uma v.a. normal com média “0” e variância “1”, e “Y” uma v.a. qui-quadrado (Y = Z2). 
Se compararmos as curvas das funções densidade de probabilidade de uma distribuição qui-quadrado 
com “k” graus de liberdade: k=1 e k=2, qual destas duas curvas variáveis aleatórias está mais próxima de 
ter um coeficiente de assimetria igual a zero, esboce em um mesmo gráfico as três curvas. 
b) (0.5 pts) No teste de hipótese de média para grandes amostras, construa os testes para os 3 casos 
discutidos nas transparências ao nível de confiança de (1-α), testando a hipótese nula e a hipótese 
alternativa, e mostre através de gráficos as regiões de aceitação e de rejeição dos testes. 
 
Problema 2 (1.6 pts) 
Você é contratado para realizar pesquisas de opinião para um determinado candidato que está 
concorrendo a eleição presidencial de um dado sindicato. Cada pesquisa deve ser feita em uma amostra 
de “N” sindicalizados e estão previstas “n” repetições desta pesquisa. Determinar qual o modelo 
probabilístico que você adotaria para estimar a proporção de eleitores favoráveis a este candidato e 
deduza o estimador de máxima verossimilhança para tal parâmetro (proporção), mostrar todos os passos 
da solução. 
 
Problema 3 (1.4 pts) 
Um fabricante de pneus faz dois tipos de pneus. Para o tipo A, o desvio padrão de sua duração vale σ 
=2500 milhas, enquanto que para o tipo B, este valor é de σ =3000 milhas. Um taxi testou 50 pneus do 
tipo A e 40 do tipo B, obtendo 24000 milhas e 26000 milhas de duração média dos respectivos tipos. 
Adotando-se um nível de significância de 4%, teste a hipótese de que a vida média dos dois tipos é a 
mesma. 
Mostre o resultado através do cálculo da estatística do teste. Esboce um gráfico da distribuição do teste 
indicando claramente a área de rejeição e aceitação de H0. 
 
Problema 4 (2.4 pts) 
Seja X uma variável aleatória contínua com distribuição Normal com Média “μ” e Variância “σ2”, ambas 
desconhecidas. 
Seja = (4; 7; 5; 6; 8; 6; 9; 4; 5), uma amostra aleatória de tamanho 9 desta população: 
Pede-se: 
a) (1.2 pts) Calcule o intervalo de confiança ao nível de confiança de 98,0%, para a “Média”. 
b) (1.2 pts) Calcule o intervalo de confiança ao nível de significância de 2,0%, para “Variância”. 
Observação: 
- mostre todos os passos da solução. 
- apresente os resultados considerando 4 casas decimais. 
 
Problema 5 (1.4 pts) 
As condições de mortalidade de uma região são tais que a proporção de nascidos que sobrevivem até 60 
anos é de 0,6. Através do teste bi-caudal, teste essa hipótese ao nível de significância de 5% sabendo-se 
que em 1000 nascimentos amostrados aleatoriamente, verificou-se 530 sobreviventes até 60 anos. 
 
Defina claramente suas hipóteses. Mostre o resultado através do cálculo da estatística do teste. Esboce 
um gráfico da distribuição do teste indicando claramente a área de rejeição e aceitação de H0. 
 
Problema 6 (2.2 pts) 
A performance nominal de uma ferramenta de corte é em média de 980 peças cortadas por vida útil com 
desvio padrão de 10 peças. Uma amostra de 5 destas ferramentas apresentaram performance em suas 
vidas úteis de: média = 1003 e variância = 145. 
Podemos dizer, para o nível de 5% de significância, que a média e a variância da performance nominal 
desta ferramenta aumentaram? Teste as hipóteses. 
Defina claramente suas hipóteses. Mostre o resultado através do cálculo da estatística do teste. Esboce 
um gráfico da distribuição do teste indicando claramente a área de rejeição e aceitação de H0. 
 
 
Observação: apresente os resultados considerando 4 casas decimais. 
 
 
 
 
 
BOA SORTE! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORMULÁRIO PARA PROVA 
 
 
Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas 
 
Distribuição Bernoulli - X ~ Bernoulli(p) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Binomial - X ~ Bin (n,p) 
Função de probabilidade: 
 
Distribuição Geométrica - X ~ Geom (p) 
Função de probabilidade: 
 
Distribuição Binomial Negativa - X ~ NegBin (r,p) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Poisson - ~ Poisson(μ) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Exponencial - ~ Exp(λ) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Normal - ~ N(μ,σ2) 
Função de probabilidade: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  1)Pr()( 1 xx ppxXxf 
  )1(
)!(!
!
)1(Pr)( xnxxnx pp
xnx
n
pp
x
n
xXxf  








 .)Pr()( 1 pqxXxf x
 ..
1
1
)Pr()( rxr qp
r
x
xXxf 








 
!
)Pr()(
x
e
xXxf
x  

  0 e 0 onde .exp.)(  xxxf 
 
R 0 onde .
2
1
)( 22
2
2
2


 



eexf
x
 
 
Intervalo de Confiança e Teste de Hipótese 
 
 
Distribuição t- student 
Sejam duas v.a’s Z ~ N(0,1) e V ~ Qui-Quadrado com k graus de liberdade. Logo: 
 
 
 
 
Pivot Intervalo de Confiança e teste de hipótese 
 
Média: 
 
 
 
 
 
Duas médias: 
 
 
 
 
 
 
Variância: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Proporção: considere que e para grandes amostras pelo TCL a distribuição do Pivot se 
aproxima a uma distribuição . Lembre que e . Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
kV
Z
T
/

2
2
2
2
1
21 ~
2
)1()1(11
)(
2



















 mnt
mn
SnSm
mn
YX
mn
V
Z
T

 1,0~ N
n
X
Z



 
 
Tabelas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.