AP2 metodos deterministicos ii 2018 1

Prévia do material em texto

Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP2 de Me´todos Determin´ısticos II – 27/05/2018
Questa˜o 1 [1,5pts] Considere a func¸a˜o f(x) = 1
4
x4− x3 + 4x + 2. Calcule: (a) o dom´ınio de f(x);
(b) f ′(x) e (c) lim
x→±∞
f(x).
Soluc¸a˜o: (a) Como f(x) e´ uma func¸a˜o polinomial temos D(f) = R.
(b) Derivando obtemos
f ′(x) = x3 − 3x2 + 4.
(c) Vamos calcular os limites
lim
x→+∞
f(x) = +∞ , lim
x→−∞
f(x) = +∞.
Questa˜o 2[1,5pt] Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 1. Fac¸a a ana´lise do sinal de f ′(x) e
calcule e fac¸a a analise do sinal de f ′′(x).
Soluc¸a˜o: Para fazer a ana´lise da f ′(x) = x3 − 3x2 + 4, precisamos fatorar este polinoˆmio.
Inicialmente devemos procurar entre os fatores do termo constante 4, isto e´, ±1,±2,±4. Testando
para x = −1 encontramos uma raiz.
Dividindo x3 − 3x2 + 4 por x− (−1) obtemos
x3 − 3x2 + 4 = (x + 1)(x2 − 4x + 4) = (x + 1)(x− 2)2.
Portanto, os pontos cr´ıticos da f(x) sa˜o x = −1 e x = 2. Ale´m disso, como (x− 2)2 ≥ 0 para todo
x, segue que o sinal da f ′(x) e´ igual ao sinal de x + 1. E x + 1 < 0 se x < −1 e x + 1 > 0 se x > 1.
Derivando mais uma vez obtemos
f ′′(x) = 3x2 − 6x = 3x(x− 2).
Como e´ um polinoˆmio de segundo grau com coeficiente que acompanha o termo de maior grau igual
positivo. Temos que f ′′(x) < 0 se 0 < x < 2 e no restante dos pontos f ′′(x) > 0.
Observe que f ′′(−1) > 0, isto nos diz que x = −1 e´ um ponto de m´ınimo local. Ja´ f ′′(2) = 0 e em
ambos os lados de x = 2 f ′(x) > 0, logo x = 2 e´ um ponto de inflexa˜o.
Questa˜o 3 [1,0pt] Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 1. Explique o comportamento de
f(x) e fac¸a um esboc¸o do gra´fico.
Soluc¸a˜o: Ja´ sabemos o comportamento de f quando x → −∞ assim como quando x → ∞.
Veja que f(1) = −3
4
, f(0) = 2 e f(2) = 6. Observe que em x = −1 a derivada troca de sinal e
este ponto e´ um m´ınimo local. Em x = 2 temos um ponto de inflexa˜o. A concavidade do gra´fico
em 0 < x < 2 boca voltada para baixo e no restante a boca fica voltada para cima. Com estas
informac¸o˜es ja´ e´ o suficiente para fazermos um esboc¸o do gra´fico.
Nome da Disciplina AP1 2
Figura 1: Esboc¸o do gra´fico de f(x) = 1
4
x4 − x3 + 4x + 2
Questa˜o 4[2,4pts] Suponha que uma empresa tem o custo total dado por x2 − 9600x + 5000 para
a produc¸a˜o dia´ria de x unidades de computadores. Suponha que cada unidade do produto e´ vendida
no mercado ao prec¸o de 1 200, 00 Reais por unidade. Ache o nu´mero total de unidades que esta
empresa deve produzir para obter o maior lucro dia´rio poss´ıvel.
Soluc¸a˜o: Vamos definir a func¸a˜o custo por ser c(x) = x2 − 9600x + 5000 e a func¸a˜o receita por
ser r(x) = 1200x. Logo o lucro e´ dado por
L(x) = r(x)− c(x) = 1200x− (x2 − 9600x + 5000) = −x2 + 10800x− 5000
Derivando e igualando a zero, obtemos os pontos cr´ıticos.
L′(x) = −2x + 10800 = 0⇒ x = 5400.
Como L′′(5400) = −2 < 0, segue que x = 5400 e´ um ponto de ma´ximo. Portanto, a produc¸a˜o que
maximiza o lucro e´ de x = 5400 unidades dia´rias.
Questa˜o 5 [1,8pt] Fac¸a o esboc¸o da regia˜o compreendida pelas curvas y = x2 − 4x + 5, y =
−x2 + 4x− 1, e calcule a sua a´rea.
Soluc¸a˜o: Precisamos encontrar os pontos em que os gra´ficos se encontram. Para isso vamos igual
x2 − 4x + 5 = −x2 + 4x− 1⇒ 2x2 − 8x + 6 = 0⇒ x = 1 ou x = 3.
Logo, as func¸o˜es se encontram em x = 1 e x = 3. Para calcular a a´rea precisamos calcular∫
3
1
−x2 + 4x− 1 dx−
∫
3
1
x2 − 4x + 5 dx =
∫
3
1
−2x2 + 8x− 6 dx
=
[
−2
(
x3
3
− 2x2 + 3x
)]3
1
=
8
3
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Nome da Disciplina AP1 3
Questa˜o 6 [1,8pt] Calcule a derivada de h(t) = (t + 1) ln (t3 − 4t).
Soluc¸a˜o: Veja que devemos aplicar a regra do produto seguido da regra da cadeia.
h′(t) = [(t + 1)]′ ln
(
t3 − 4t
)
+ (t + 1)
[
ln
(
t3 − 4t
)]′
= ln
(
t3 − 4t
)
+ (t + 1)
[
4t2 − 4
t3 − 4t
]
= ln
(
t
(
t2 − 4
))
+
(t + 1) (3t2 − 4)
t3 − 4t
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ