1 Aula Arley Probabilidade

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01/03/2018
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Probabilidade e Estatística 
para engenharia
Prof. Dr. Arley Rossi
arleyrossi@yahoo.com.br
Material adaptado Profa. Alyne Toscano
Arley Rossi
• Graduado em Engenharia Química pela UFU
• Pós Graduado em Tecnologias de Extração de Petróleo e 
Gás pela UFAM.
• Mestre em Eng. Química pela UFU (Termodinâmica)
▫ “Calculo de mapas de curvas residuais aplicando 
modelo de equilíbrio com correção por eficiência”
• Doutor em Eng. Química UFU (Operações unitárias)
• “Cinética de aquecimento e secagem, propriedades 
dielétricas e simulação computacional aplicado a 
tratamento de cascalho de perfuração por microondas’’
Ementa
• PROBABILIDADE
• VARIAVÉIS ALEATÓRIAS DISCRETAS E DISTRIBUIÇÕES
• VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS E DISTRIBUIÇÕES
• AMOSTRAGEM E DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGEM 
• ESTATÍSTICA DESCRITIVA
• ESTATÍSTICA INFERENCIAL 
• REGRESSÃO LINEAR
• ANOVA
Avaliação • 3 provas: P1, P2, P3
• Trabalhos: T1, T2,... – Média das notas dos Trabalhos :Trab
(P1+P2+P3+Trab)
Media Final=
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Material de aula:
• A nota do trabalho será composta pela média 
aritmética das notas de todos os trabalhos que serão 
realizados ao longo do semestre.
Trabalho
Pagina do grupo: https://br.groups.yahoo.com/group/materialaulasrossi
Material de aula: materialaulasrossi@yahoogrupos.com.br
Ou
www.4shared.com
Login: arleyrossi17@gmail.com
Senha: 2525
Aula 1
Espaço amostral. Eventos 
aleatórios. Probabilidade. 
Revisão de métodos de 
enumeração.
Modelos Probabilísticos
• Modelos Matemáticos
▫ Determinísticos
▫ Probabilísticos (Estocástico)
Modelo Determinístico: Aquele que se pode determinar. Ex.:
Deslocamento de um carro. Determinação de uma corrente
elétrica.
Modelo Probabilístico: Aquele que se prevê com base em uma
frequência. Ex: Previsão do tempo, Número de Peças
defeituosas produzidas em um período de 24 horas, vida útil
de uma lâmpada.
Exemplos de Modelos Determinísticos
• Um carro se desloca com velocidade constante 
V=100 km/h por uma distância D=19km. Qual é 
o tempo decorrido T?
• Qual a distância percorrida por um carro a uma 
velocidade constante de 100 km/h durante 6 
minutos?
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Exemplos de Modelos Determinísticos
Exemplos de Modelos Probabilísticos
Revisão de Teoria dos Conjuntos
Teoria de Conjuntos - Conceitos
• Conjunto é uma coleção de objetos
▫ Representado por letra maiúscula
▫ EX: de alunos da Engenharia da UFTM
Conjunto Finito A.
• Objeto são os membros que constituem o conjunto
▫ Representado por letra minúscula
▫ EX: um aluno da Engenharia da UFTM o aluno
x pertence ao conjunto A
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Maneiras de escrever um conjunto
• Maneira explícita: A = {1, 2, 3}.
• Indicando um padrão: B = {1, 2, 3, 4, 5, ...}.
• Propriedades em comum dos elementos: 
▫ S1 = {x | 0 ≤ x ≤ 4}
▫ S 2= {x | x5 + 2x + 12 = 0}
Maneiras de escrever membros do conjunto
1 A 20 S
Diagrama de Venn
• São esquemas representativos de conjuntos e
relações matemáticas entre esses conjuntos.
A
B
U
Alguns conjuntos especiais
• N: conjunto dos nos naturais: {0, 1, 2, 3, ...}.
• Z: conjunto dos nos inteiros: {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
• Z*: conjunto dos nos inteiros positivos {1, 2, 3, ...}.
• Q: conjunto dos nos racionais: {a = n/m, n,m ϵ Z, m≠0}.
• R: conjunto dos nos reais: {x | x é um número real}.
• U: conjunto Universo (conjunto fundamental): 
todos os objetos considerados
• Ø: conjunto Vazio: não conter elemento algum
Irracionais
π 2
Igualdade e Desigualdade
• Dois conjuntos A e B são iguais quando todos
elementos de A pertencem também a B e,
reciprocamente, todos elementos de B pertencerem
a A.
• Caso exista elemento de A que não pertença a B ou
elemento de B que não pertença a A então diz-se
que A não é igual a B.
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Subconjunto
• O conjunto A é dito um subconjunto de B se, e somente
se, todo elemento de A é também um elemento de B, em
outras palavras, diz-se que A está contido em B. Se a
afirmação a cima não for verdadeira diz-se que A não está
contido em B.
• Algumas relações possíveis:
A está contido em B B contem A A não está contido em B
Operações
• União: Se A e B são conjuntos, a união é denotada por
A  B e é o conjunto que contém aqueles elementos
que estão em A, ou em B, ou em ambos.
{ / ou }A B x x A x B   
União ( U ) ‘’ou’’ +
Operações
• Intersecção: Se A e B são conjuntos, a interseção é
denotada por A  B e é o conjunto que contém
aqueles elementos que estão em A e em B ao
mesmo tempo.
{ / e }A B x x A x B   
Intersecção ( ) ‘’e’’ x∩
Operações
• Diferença: Se A e B são conjuntos, a diferença é
denotada por A – B e é o conjunto que contém aqueles
elementos que estão em A mas não estão em B.
{ / e }A B x x A x B   
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Operações
• Complemento: Se U é o conjunto Universo, U - A é
chamado de complemento de A e é denotado por .A
{ / }A x x A 
A
CAOutra Notação:
  CA A U A
Operações
• Produto Cartesiano: Se A e B são conjuntos, o produto
cartesiano é denotado por A x B e é o conjunto de todos
os pares ordenados nos quais o primeiro elemento é
tirado de A e o segundo, de B.
Propriedades das Operações
• Comutatividade: A  B = B  A 
• Associatividade: A  (B  C) = (A B)  C
• Distributividade: 
▫ União: A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
▫ Interseção: A (B  C) = (A B) (A C)
Propriedades das Operações - Outras
( )
( )
 
 
  
  
A
A A
A B A B
A B A B
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Exercício 1
• Inscreveram-se num concurso público 700 candidatos
para 3 cargos - um de nível superior, um de nível médio e
um de nível fundamental. É permitido aos candidatos
efetuarem uma inscrição para nível superior e uma para
nível médio. Os candidatos ao nível fundamental somente
podem efetuar uma inscrição. Sabe-se que 13% dos
candidatos de nível superior efetuaram 2 inscrições. Dos
candidatos de nível médio, 111 candidatos efetuaram uma
só inscrição, correspondendo a 74% dos candidatos desse
nível. Qual é então o número de candidatos ao nível
fundamental?
Exercício 2
• Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente
as publicações Helena, Senhora e A Moreninha. Para isto,
efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada
1000 pessoas consultadas: 600 leram A Moreninha; 400
leram Helena; 300 leram Senhora; 200 leram A
Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha e Senhora;
100 leram Senhora e Helena; 20 leram as três obras;
Calcule:
a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras.
b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três
obras.
c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras.
Voltando aos conceitos básicos Experimentos Aleatórios (E)
• Um experimento E é aleatório quando não é
possível determinar seus resultados antes de
realizá-lo. Assim, o experimento deve ser
analisado por intermédio de um modelo
probabilístico.
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Exemplos de Experimentos Aleatórios
• Jogue um dado balanceado e observe a face de 
cima
• Peças são produzidas até que 10 peças resultem 
defeituosas. Conte o número de peças 
produzidas.
• Tempo que um determinado objeto utiliza para 
tocar o chão ao se lançado de uma determinada 
altura.
Espaço Amostral (S)
• Um espaço amostral S associado a um
experimento aleatório E é o conjunto de todos os
possíveis resultados do experimento E.
Exemplo de Espaço Amostral (S)
• Considere os seguintes experimentos:
▫ Jogue um dado balanceado e observe a face de 
cima
▫ Peças são produzidas até que 10 peças resultem 
defeituosas. Conte o número de peças produzidas.
▫ Uma peça é produzida e testada. Conte o tempo 
decorrido (em horas) até a peça falhar.
Eventos(A)
• Um evento A associado a um experimento
aleatório E é um subconjunto do espaço
amostral S.
• Dizemos que o evento A ocorre se, após o
experimento ser realizado, o resultado obtido for
um elemento do conjuntoA.
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Exemplos de Eventos (A)
• Considere os seguintes experimentos:
▫ Jogue um dado balanceado e observe a face de 
cima
 Evento A = “a face é par”
▫ Uma peça é produzida e testada. Conte o tempo 
decorrido (em horas) até a peça falhar.
 Evento A = “a peça falha antes de três minutos”
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
Diagrama em 
árvore
Espaço amostral ?
Evento?
36 combinações 
Resultado cuja soma seja 
igual ou inferior a 4
Noções Fundamentais de probabilidade
• A probabilidade P(A) de um evento é a medida
numérica da chance de que ele ocorra.
• A interpretação mais intuitiva desta quantificação é
considerar a proporção (ou freqüência relativa) das
vezes que o evento ocorre em muitas repetições
idênticas do mesmo experimento aleatório.
• Como a proporção, a probabilidade também deve ser
um número entre 0 e 1.
• Exemplo. Considere um experimento
aleatório que consiste de testar dois
componentes do mesmo tipo e marca, em
que cada componente pode funcionar (Fu)
ou falhar (Fa), independentemente um do
outro. Todos os possíveis resultados podem
ser listados com a ajuda de um diagrama
em árvores.
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• Diagrama em árvore
Fu1 Fa1
Fu2 Fa2 Fu2 Fa2
Componente 1
Componente 2
Fu1
Fu2
(e1)
Fu1
Fa2
(e2)
Fa1
Fu2
(e3)
Fa1
Fa2
(e4)
Eventos que 
compõem 
um espaço 
amostral Ω
• A probabilidade de um evento é a soma das
probabilidades atribuídas a cada elemento
que o compõe.
• Esse resultado é válido para qualquer evento.
• Como o espaço amostral é um evento que inclui
todos os possíveis resultados e a soma das
proporções deve ser igual a 1, então
• P(Ω) = 1.
• Mas como determinar o valor numérico de
uma probabilidade?
• O processo apropriado dependerá:
▫ Da natureza do experimento aleatório.
▫ Do espaço amostral associado.
Modelo probabilístico uniforme
• Exemplo. Sem jogar dados, podemos deduzir as
probabilidades de ocorrência de alguns eventos,
desde que algumas condições sejam verificadas.
• Se o dado for perfeitamente simétrico
(“honesto”), cada face é tão provável de ocorrer
quanto qualquer outra. Assim,
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Modelo probabilístico uniforme
• P[1] = P[2] = P[3] = P[4] = P[5] = P[6] = 1/6,
• Assim, a probabilidade total 1 é uniformemente
distribuída a todos os resultados elementares.
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
1 2 3 4 5 6
Face do dado
P
ro
b
a
b
il
id
a
d
e
Probabilidade de cada face
Modelo probabilístico uniforme
• Exemplo. Considere o exemplo do experimento
aleatório de retirada ao acaso de 1 peça, dentre 8
defeituosas e 42 em conformidade.
• A noção intuitiva de retirada ao acaso é a de não dar
preferência a qualquer um dos componentes. Assim,
cada um é tão provável de ocorrer quanto o outro, o
que está de acordo com o modelo probabilístico
uniforme.
Modelo probabilístico uniforme
• Desta forma, podemos atribuir a cada um dos 50
possíveis resultados elementares a probabilidade
de ser retirado de 1/50. Logo,
• P[componente retirado é defeituoso] = 8/50 =
0,16.
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Definição axiomática de probabilidade
• Definição de probabilidade: A probabilidade pode
ser definida como um número real associado a um
evento com as seguintes propriedades
C
P(A)
P( )
P( )
P(A ) P( ) P(A)
P(A B) P(A) P(B) P(A B)
P(A B) P(A) P(B)
 
 
 
  
    
  
0 1
1
0
Espaço amostral
Se A e B forem eventos quaisquer
Se A e B são eventos mutuamente excludentes
Passo a Passo para determinação de probabilidade 
• Um método para determinar a probabilidade 
dos eventos em um experimento aleatório
Passo 1. Identificar a variável de interesse no 
experimento aleatório.
Passo 1. Identificar a variável de interesse no 
experimento aleatório.
Passo 2. Construir um espaço amostral Ω
associado à variável de interesse, de maneira 
que os elementos de Ω sejam equiprováveis 
(mesma probabilidade de ocorrência).
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Passo 1. Identificar a variável de interesse no 
experimento aleatório.
Passo 2. Construir um espaço amostral Ω
associado à variável de interesse, de maneira 
que os elementos de Ω sejam equiprováveis.
Passo 3. Calcular as probabilidades de um 
evento desejado A pela simples razão
P(A) = |A|/ |Ω|.
Aplicação da técnica
Uma moeda equilibrada é lançada duas 
vezes. Qual a probabilidade de resultar 
apenas uma coroa nos dois 
lançamentos?
Passo 1. A variável de interesse é o n* 
de coroas nos dois lançamentos. Defina 
o evento: 
A = {jogo resultou em apenas uma 
coroa em dois lançamentos}.
Passo 1. A variável de interesse é o # de coroas nos dois 
lançamentos. Defina o evento 
A = {jogo resultou em apenas uma coroa em dois lançamentos}
Passo 2. Um espaço amostral 
equiprovável é:
Ω = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, 
cara), (coroa, coroa)}.
Lembre-se: A = {(cara, coroa), (coroa, 
cara)}
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Passo 1. A variável de interesse é o # de coroas nos dois 
lançamentos. Defina o evento 
A = {jogo resultou em apenas uma coroa em dois lançamentos}
Passo 2. Um espaço amostral equiprovável é:
Ω = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)}.
Passo 3. A probabilidade do evento 
desejado pode ser calculada assim:
P(A) = |A|/|Ω| = 2/4 = 0,5.
• Exercício (Meyer 1.15). Um certo tipo de
motor elétrico falha se ocorrer uma das
situações: emperramento dos mancais,
queima dos rolamentos ou desgaste das
escovas. Suponha que o emperramento seja
duas vezes mais provável do que a queima
dos rolamentos e que este seja quatro vezes
mais provável do que o desgaste das
escovas. Qual é a probabilidade de que a
falha se dê por conta de cada uma dessas
circunstâncias?
• Exercício (Meyer 1.17). Suponha que A, B e C
sejam eventos tais que P(A) = P(B) = P(C) = ¼,
P(A∩B) = P(C∩B) = 0 e P(A∩C) = 1/8. Calcule
as probabilidades de que ao menos um dos
eventos A, B ou C ocorra.
Técnicas de Contagem 
Revisão
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Revisão de Técnicas de Contagem
• Em algumas situações não é trivial descrever e 
enumerar todo o espaço amostral
• Nesses casos as Técnicas de Contagem podem 
ser utilizada. 
Princípio Fundamental da Contagem
Considere uma operação que possa ser descrita como uma 
sequência de k etapas e 
• o número de maneiras de completar a etapa 1 é ��
• o número de maneiras de completar a etapa 1 é ��
• e assim por diante, até que o número de maneiras de 
completar a etapa a etapa � é ��
O número total de maneiras de completar essa operação será:
�� × �� × ⋯ × ��
Permutação
• Uma permutação dos elementos de é uma 
sequência ordenada dos elementos. 
• Por exemplo, considere o conjunto � = {�, �, �}. 
• ���, ���, ���, ���, ��� e ��� são todas as 
permutações dos elementos de �.
O número de permutações de � elementos diferentes é �! :
�! = �! × � − 1 ! × � − 2 ! × ⋯ × 2! × 1!
Lembre-se que por definição: 0! = 1
Arranjo (Permutação de Subconjuntos)
• Em algumas situações estamos interessados no 
número de arranjos de somente alguns elementos 
do conjunto onde a ordem desses elementos é 
importante
O número de permutações (arranjos) de subconjuntos de �
elementos selecionados de um conjunto de � elementos 
diferentes é:
��
� = � × � − 1 × � − 2 × ⋯ × � − � + 1 = 
�!
� − � !
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Combinação
• Outro problema de contagem é o número de subconjuntos de� elementos que pode ser selecionado a partir de � elementos
e nesse caso a ordem não é importante. Esse problemas
são chamados de combinações.
O número de combinações, subconjuntos de tamanho �, 
que pode ser selecionado a partir de um conjunto de �
elementos é dado por:
��
� = 
�
�
= 
�!
�! ��� !
Técnicas de Contagem
• com reposição
A E
I O
U De quantas formas posso formar grupos de 3 letras?
1a
A
E
I
O
U
2a
A
E
I
O
U
3a
A
E
I
O
U
AAA
Técnicas de Contagem
• com reposição
A E
I O
U De quantas formas posso formar grupos de 3 letras?
1a
A
E
I
O
U
2a
A
E
I
O
U
3a
A
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I
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U
AAA
AAE
Técnicas de Contagem
• com reposição
A E
I O
U De quantas formas posso formar grupos de 3 letras?
1a
A
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I
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U
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A
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I
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U
3a
A
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U
AAA
AAE
AAI
•
•
•
IEA
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Técnicas de Contagem
• com reposição
A E
I O
U De quantas formas posso formar grupos de 3 letras?
1a
A
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I
O
U
2a
A
E
I
O
U
3a
A
E
I
O
U
AAA
AAE
AAI
•
•
•
IEA
•
•
•
UUO
UUU
Técnicas de Contagem
• com reposição
A E
I O
U De quantas formas posso formar grupos de 3 letras?
1a
A
E
I
O
U
2a
A
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I
O
U
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A
E
I
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U
AAA
AAE
AAI
•
•
•
IEA
•
•
•
UUO
UUU
? grupos
5 x 5 x 5 = 125 grupos
Técnicas de Contagem
• com reposição
A E
I O
U De quantas formas posso formar grupos de 3 letras?
1a
A
E
I
O
U
2a
A
E
I
O
U
3a
A
E
I
O
U
AAA
AAE
AAI
•
•
•
IEA
•
•
•
UUO
UUU
5 x 5 x 5 = 125 grupos
.  rnun grupos n
Principio 
Fundamental da 
Contagem
Técnicas de Contagem
• sem reposição
A E
I O
U De quantas formas posso formar grupos de 3 letras?
1a
A
E
I
O
U
2a
A
E
I
O
U
3a
A
E
I
O
U
AEI
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Técnicas de Contagem
• sem reposição
A E
I O
U De quantas formas posso formar grupos de 3 letras?
1a
A
E
I
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U
2a
A
E
I
O
U
3a
A
E
I
O
U
AEI
AEO
Técnicas de Contagem
• sem reposição
A E
I O
U De quantas formas posso formar grupos de 3 letras?
1a
A
E
I
O
U
2a
A
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I
O
U
3a
A
E
I
O
U
AEI
AEO
AEU
•
•
•
IEA
Técnicas de Contagem
• sem reposição
A E
I O
U De quantas formas posso formar grupos de 3 letras?
1a
A
E
I
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2a
A
E
I
O
U
3a
A
E
I
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U
AEI
AEO
AEU
•
•
•
IEA
•
•
•
UOE
UOI
Técnicas de Contagem
• sem reposição
A E
I O
U De quantas formas posso formar grupos de 3 letras?
1a
A
E
I
O
U
2a
E
I
O
U
3a
I
O
U
AEI
AEO
AEU
•
•
•
IEA
•
•
•
UOE
UOI
5 x 4 x 3 = 60 grupos
? grupos
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Técnicas de Contagem
• sem reposição
A E
I O
U De quantas formas posso formar grupos de 3 letras?
1a
A
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I
O
U
2a
A
E
I
O
U
3a
A
E
I
O
U
AEI
AEO
AEU
•
•
•
IEA
•
•
•
UOE
UOI
5 x 4 x 3 = 60 grupos
Arranjo a ordem é importante
3
5
5! 5 4 3 2
60
(5 3)! 2
A   

!
( )!
r
n
n
A
n r


1a
A
E
I
O
U
2a
A
E
I
O
U
3a
A
E
I
O
U
Técnicas de Contagem
• sem reposição (ordem não é importante)
A E
I O
U De quantas formas posso formar grupos de 3 letras?
AEI
AEO
AEU
AIO
AIU
AOU
EIO
EIU
EOU
IOU
Combinação
3
5
5! 5 4 3 2
10
3!(5 3)! 3 2 2
C   

!
!( )!
r
n
n n
C
r r n r
 
    