Exercício de Derivadas

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - UFRPE
MATEMÁTICA L1 - TURMA LQ1
2a LISTA DE EXERCÍCIOS - 2017.2
Profo. Gilson Simões
Exercício 0.1. Calcule a derivada das seguintes funções.
a) f(x) =
√
4 + 3x
b) f(x) = cos(ex)
c) f(x) = 3
√
1 + tan(x)
d) f(x) = e−x sin(x)
e) f(x) = e−x2 + ln(2x+ 1)
f) g(t) = et−e−t
et+e−t
g) h(x) = (e−x + ex2)3
h) g(t) = ln(t+
√
t2 + 1)
i) f(x) =
√
x2 + e
√
x
j) f(x) = cos3(x3)
k) g(x) = ln(tan(ex) + 1)
l) f(x) = sin(4x)e
√
x
m) f(x) = ln(sec(x) + tan(x))
n) f(x) = ex2 ln(1 +
√
x)
o) f(x) =
√
ex + e−x
p) f(x) = sin(2x) 3
√
(x3 + 2x)2
q) g(u) = u3−3u2
(u4+1)
5
4
r) G(r) = 5
√
2r2−2
r−1
s) M(x) =
√
x+
√
x+
√
x
t) f(x) = ln(x
√
x2 + 1)
u) f(x) =
4√2x4+2x
cos2(x)
w) f(x) = x2 tan(x3−x2)sec(x)
x) g(x) = 2x3√x+√x
y) h(x) = 3
√
x sin(x)
x2 cos(x2)
z) f(x) =
3√
x2 cos(x)
(x4+tan2(x)+1)2
Exercício 0.2. Calcule a derivada das seguintes funções;
a) f(x) = 5x + log3(x) b) f(x) = xx sin(x) c) f(x) = (2x+ 1)x
Exercício 0.3. Prove: se y = cos(
√
x)− sin(√x) então 4xy′′ + 2y′ + y = 0.
Exercício 0.4. Se a e b são constantes quaisquer, verifique que a função y = ae−x + be2x
é solução da equação y′′ + 3y′ + 2y = 0.
Exercício 0.5. As funções trigonométricas hiperbólicas - seno hiperbólico, cosseno hiper-
bólico, tangente hiperbólica e cotangente hiperbólica - denotadas, respectivamente, por sinh,
cosh, tanh e coth, são definidas pelas expressões:
sinh(x) = e
x − e−x
2 cosh(x) =
ex + e−x
2 tanh(x) =
ex − e−x
ex + ex coth(x) =
ex + e−x
ex − ex
Com base nessas definições, mostre que:
a) cosh2(x)−sinh2(x) = 1
b) d
dx
(sinh(x)) = cosh(x)
c) d
dx
(cosh(x)) = sinh(x)
d) d
dx
(tanh(x)) = 1cosh2(x)
e) d
dx
(coth(x)) = 1sinh2(x)
Exercício 0.6. Em cada caso, calcule y′ em termos de x e y, onde y = f(x) é uma função
diferenciável dada implicitamente pela equação;
a) x2 − y2 = 4
b) xy2 + 2y = 3
c) y3 + x2y = x+ 4
d) xy + y3 = x
e) x2y3 + xy = 2
f) xey + xy = 3
g) y + ln(x2 + y2) = 4
h) y5 + x2y3 = 1 + yex2
i) 1 + x = sin(xy2)
j) √x+ y = √y + 1
k) xy = cot(xy)
l) √xy = 1 + x2y
m) y
x−y = x
2 + 1
n) x2 − x√xy + 2y2 = 10
o) sec2(x+ y) + xy5 = 32
p) x
x−y +
x
y
=
√
x
Exercício 0.7. Se y = x2 −√1 + u2 e u = x+1
x−1 , calcule
dy
dx
Exercício 0.8. Um ponto move-se ao longo da elipse x2 + 4y2 = 1. A abscissa x está
variando a uma velocidade dx
dt
= 4 sin(t). Mostre que
a) dy
dt
= −x sin(4t)4y b) d
2y
dt2 =
sin2(4t)+16xy2 cos(4t)
16y3
Exercício 0.9. A curva de equação y2 = 5x4 − x2 é chamada Kampyle de Exodus.
Encontre uma equação para a reta tangente a Kampyle de Exodus no ponto (1, 2).
Exercício 0.10. A curva com equação y2 = x3+3x2 é chamada cúbica de Tschirnhau-
sen. Encontre uma equação para a reta tangente a cúbica de Tschirnhausen no ponto
(1,−2). Sobre quais pontos da cúbica de Tschirnhausen a reta tangente é horizonal?
Exercício 0.11. Considere a curva conhecida por Diocles cuja equação é (2− x)y2 = x3.
Obtenha uma equação para a reta tangente a esta curva no ponto P = (1, 1).
Exercício 0.12. Considere a lemniscata de equação (x2 + y2)2 = x2 − y2. Determine os
quatro pontos da lemniscata em que as retas tangente são horizontais.