Estatística - Combinações lineares de variáveis aleatórias independentes

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ECO 1721 – Introdução à Estatística Econômica 
Professor: Juarez da Silveira Figueiredo 
Combinações Lineares de Variáveis Aleatórias Independentes 
 
Definição 
Considerem-se n variáveis aleatórias 
1 2 3 nX ,X ,X , ... ,X
independentes e n números 
reais 
1 2 3 na ,a ,a , ... ,a
. Faça-se 
 n
i i
i=1
Y a X 
 (1) 
A variável aleatória Y denomina-se combinação linear de 
1 2 3 nX ,X ,X , ... ,X
. 
 
Média (Expectância) e Variância da Combinação Linear 
Adotando a notação: 
 
2 2
Y Y i i i iμ E(Y) σ V(Y) μ E(X ) σ V(X ) i 1,2,3,...,n    
 
a média (expectância) de Y é dada por 
 n n n
i i i i i i
i=1 i=1 i=1
E(Y) E a X a E(X ) a μ
 
   
 
  
 (2) 
e a variância de Y é dada por 
 n n n
2 2 2
i i i i i i
i=1 i=1 i=1
V(Y) V a X a V(X ) a σ
 
   
 
  
 (3) 
 
Soma e Média Aritmética de Variáveis Aleatórias Independentes 
Dois importantes casos particulares de combinação linear, que têm muitas aplicações na 
prática, são a soma e a média aritmética de variáveis aleatórias. 
Soma de Variáveis Aleatórias 
Nas mesmas condições anteriormente estabelecidas, considerem-se n variáveis 
aleatórias independentes 
1 2 3 nX ,X ,X , ... ,X
. 
Seja S a soma dessas variáveis 
2 
 
 n
i
i=1
S X 
 (4) 
Assim, a soma consiste no caso particular em que os coeficientes da combinação linear 
são todos iguais a 1; isto é 
 n
i i i
i=1
S a X , com a 1 , para todo i 1,2,3, ..., n  
 
Então, nesse caso, a média (expectância) e a variância são expressas por: 
i) Média (expectância) da Soma: 
 n
i
i=1
E(S) μ 
 (5) 
ii) Variância da Soma: 
 n
2
i
i=1
V(S) σ 
 (6) 
Note-se que as duas expressões acima são obtidas diretamente daquelas expressões 
gerais correspondentes para combinações lineares, indicadas por (2) e (3), apenas 
fazendo 
 
ia 1 , para i 1,2,3, ...,n 
 
 
Média Aritmética de Variáveis Aleatórias 
Nas mesmas condições anteriormente estabelecidas, considerem-se n variáveis 
aleatórias independentes 
1 2 3 nX ,X ,X , ... ,X
. 
Seja 
X
a média aritmética dessas variáveis 
 n
i
i=1
1
X X
n
 
 (7) 
Assim, a média aritmética consiste no caso particular em que os coeficientes da 
combinação linear são todos iguais a 
1
n
; isto é 
 n
i i i
i=1
1
X a X , com a , para todo i 1,2,3, ..., n
n
  
 
Então, nesse caso, a média (expectância) e a variância são expressas por: 
3 
 
i) Média (expectância) da Média Aritmética: 
 n
i
i=1
1
E(X) μ
n
 
 (8) 
ii) Variância da Média Aritmética: 
 n
2
i2
i=1
1
V(X) σ
n
 
 (9) 
Note-se que as duas expressões acima são obtidas diretamente daquelas expressões 
gerais correspondentes para combinações lineares, indicadas por (2) e (3), apenas 
fazendo 
 
i
1
a , para i 1,2,3, ..., n
n
 
 
 
Soma e Média Aritmética de Variáveis Aleatórias Independentes e de Igual 
Distribuição 
Se as variáveis aleatórias componentes da combinação linear, além de independentes, 
forem todas identicamente distribuídas, então as suas médias e suas variâncias são 
iguais, isto é: 
 
i iE(X ) μ μ , para i 1,2,3, ... ,n  
 (10) 
 e 
 
2 2
i iV(X ) σ σ , para i 1,2,3, ... ,n  
 (11) 
 
Disso resultam expressões mais simples para a média (expectância) e a variância, quer 
da soma quer da média aritmética, que são indicadas a seguir: 
a) Soma 
i) Média (expectância) da Soma: 
 n n
i
i=1 i=1
E(S) μ μ nμ   
 (12) 
ii) Variância da Soma: 
 n n
2 2 2
i
i=1 i=1
V(S) σ σ nσ   
 (13) 
4 
 
 
b) Média Aritmética 
i) Média (expectância) da Média Aritmética: 
 n n
i
i=1 i=1
1 1 1
E(X) μ μ n μ μ
n n n
    
 (14) 
ii) Variância da Média Aritmética: 
 n n
2 2 2 2
i2 2 2
i=1 i=1
1 1 1 1
V(X) σ σ n σ σ
nn n n
    
 (15) 
 
 
 
 
Bibliografia: 
Meyer, Paul L.: Probabilidade – Aplicações à Estatística 
Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., Rio de Janeiro, 1978 
Larson, Harold J.: Introduction to Probability Theory and Statistical Inference 
John Wiley & Sons, New York, 1982, Third Edition