ap3 métodos deterministicos 1

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AP3 – Me´todos Determin´ısticos I – 1/2018
ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE
Orientac¸o˜es gerais:
I
1. Voceˆ esta´ recebendo do aplicador o Caderno com os enunciados das Questo˜es e uma Folha
de Resposta, para desenvolver suas resoluc¸o˜es.
2. Confira se o Caderno de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a prova.
Caso contra´rio verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel.
3. Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, assine o Caderno de Questo˜es no local indicado
para este fim.
4. Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es,
preencha (pintando os respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF,
o co´digo da disciplina (indicado no cabec¸alho da pro´xima folha) e o nu´mero da folha.
PADRA˜O DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
5. Confira e assine cada Folha de Respostas solicitada.
6. Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova!
7. E´ expressamente proibido o uso de aparelho celular e qualquer outro aparelho com
conexa˜o a` Internet durante a aplicac¸a˜o da prova. Qualquer irregularidade sera´ reportada
pelo aplicador a` Direc¸a˜o do Polo e a` Coordenac¸a˜o para aplicac¸a˜o das sanc¸o˜es devidas.
8. Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas,
devidamente assinadas, o Caderno de Questo˜es e rascunhos.
Orientac¸o˜es para o preenchimento da(s) Folha(s) de Respostas:
I
1. Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, para registro das resoluc¸o˜es
das questo˜es nas Folhas de Respostas.
2. Apresente as resoluc¸o˜es de forma clara, leg´ıvel e organizada. Na˜o se esquec¸a de numera´-las
de acordo com as questo˜es.
3. As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o. Por-
tanto, quaisquer anotac¸o˜es feitas fora deste espac¸o, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o
ignoradas.
4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
5. NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar
a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
Orientac¸a˜o espec´ıfica:
I1. E´ expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para ca´lculo comotambe´m qualquer material que sirva de consulta.
ATENC¸A˜O: O descumprimento de quaisquer das orientac¸o˜es podera´ implicar em preju´ızo na sua
avaliac¸a˜o, o que sera´ de sua inteira responsabilidade.
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Me´todos Determin´ısticos I – 17/06/2018
Co´digo da disciplina EAD 06075
Nome: Matr´ıcula:
Polo:
Atenc¸a˜o!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es, preencha (pintando os
respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF, o co´digo da disciplina (indicado acima em
negrito) e o nu´mero da folha.
PADRA˜O DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
• Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula e
Polo.
• E´ expressamente proibido o uso de qualquer instru-
mento que sirva para ca´lculo como tambe´m qualquer
material que sirva de consulta.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao apli-
cador.
• Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta
para registro das resoluc¸o˜es nas Folhas de Respostas.
• As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado
para correc¸a˜o. Quaisquer anotac¸o˜es feitas fora deste espac¸o,
mesmo que em folha de rascunho, sera˜o ignoradas.
• Na˜o amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, pois
isto pode inviabilizar a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 1 a 3 e a seguir.)
Um distribuidor de produtos adquire um item por R$200,00, e o distribui para ser vendido por outra
pessoa, que recebera´, a t´ıtulo de comissa˜o, 20% do valor da venda.
Questa˜o 1 (1.0 pt) Deˆ a expressa˜o da comissa˜o recebida pelo vendedor em func¸a˜o do prec¸o V de
venda.
Soluc¸a˜o: A comissa˜o C do vendedor corresponde a 20% do prec¸o de venda, logo
C = 20% · V = 20100 · V =
V
5 .
Questa˜o 2 (1.0 pt) Deˆ a expressa˜o do lucro L obtido pelo fornecedor com a venda de uma unidade
do produto, apo´s descontar o custo de aquisic¸a˜o e a comissa˜o do vendedor.
Soluc¸a˜o: O lucro L do fornecedor e´ o prec¸o da venda menos a comissa˜o do vendedor e o custo de
aquisic¸a˜o (os 200 reais). Assim,
L = V − 200− V5 =
4V
5 − 200.
Questa˜o 3 (1.0 pt) Se o comerciante desejar obter um lucro de no m´ınimo 30% sobre o valor de
aquisic¸a˜o do produto, qual devera´ ser o prec¸o de venda V ?
Me´todos Determin´ısticos I AP3 3
Soluc¸a˜o: Se o valor de aquisic¸a˜o do produto e´ de 200 reais, 30% deste valor e´ 30% · 200 =
30
100 · 200 = 60 reais. Para que o lucro seja enta˜o maior que este valor, temos
L = 4V5 − 200 > 60⇔
4V
5 − 200 > 60⇔
4V
5 > 260⇔ V >
5
4 · 260 = 325.
Assim, o prec¸o de venda V deve ser maior que 325 reais.
Questa˜o 4 (1.5 pt) Determine todos os valores de a ∈ R tais que |a− 17| < 8.
Soluc¸a˜o: A desigualdade |a− 17| < 8 e´ equivalente a
−8 < a− 17 < 8,
ou ainda
−8 + 17 < a− 17 + 17 < 8 + 17,
que equivale a
9 < a < 25.
Assim, a desigualdade vale para a ∈ (9, 25).
Questa˜o 5 (1.5 pt) Dado r > 0, sabemos que o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem a
desigualdade (x−x0)2 +(y− y0)2 < r2 e´ formado pelos pontos interiores a` circunfereˆncia de centro
(x0, y0) e raio r, como mostra a Figura 1 abaixo. De forma semelhante, o conjunto dos pontos (x, y)
que satisfazem (x − x0)2 + (y − y0)2 > r2 e´ o conjunto de pontos exteriores ao c´ırculo, como na
Figura 2.
Figura 1 Figura 2
Esboce o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem a equac¸a˜o∣∣∣(x− 1)2 + (y − 2)2 − 17∣∣∣ < 8
Dica: Fac¸a (x− 1)2 + (y − 2)2 = r2 e use a questa˜o anterior.
Soluc¸a˜o: Fazendo (x− 1)2 + (y − 2)2 = r2, a desigualdade se transforma em∣∣∣r2 − 17∣∣∣ < 8,
que, pela questa˜o 4, e´ satisfeita para 9 < r2 < 25.
Assim, temos
9 < (x− 1)2 + (y − 2)2 < 25,
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 4
ou seja, {
(x− 1)2 + (y − 2)2 > 9
(x− 1)2 + (y − 2)2 < 25,
ou ainda {
(x− 1)2 + (y − 2)2 > 32
(x− 1)2 + (y − 2)2 < 52.
Pelo que foi dito no enunciado, a primeira desigualdade representa o conjunto dos pontos exteriores
ao c´ırculo de centro (1, 2) e raio 3, e o segundo representa os pontos interiores ao c´ırculo de centro
(1, 2) e raio 5. Assim, a intersec¸a˜o destes conjuntos e´ dada abaixo:
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 6 a 9 a seguir.)
Considere que as func¸o˜es de demanda e de oferta de um determinado produto sa˜o dadas, respecti-
vamente, por
D(P ) = −16P 2 − 16P + 221 e Q(P ) = 16P + 12, 1 6 P < 3, 25
onde P e´ o prec¸o do produto em reais e D e Q sa˜o a demanda e a oferta, respectivamente, em
milho˜es de unidades.
Questa˜o 6 (0.5 pt) Qual a demanda pelo produto quando seu prec¸o for R$2,00?
Soluc¸a˜o: Quando P = 2, temos
D(2) = −16 · 22 − 16 · 2 + 221 = −64− 32 + 221 = 125.
Assim, quando P = 2 reais, a demanda e´ de 125 milho˜es de unidades.
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Me´todos Determin´ısticos I AP3 5
Questa˜o 7 (1.0 pt) Qual o prec¸o do produto quando sua demanda e´ de 29 milho˜es de unidades?
Soluc¸a˜o: Temos
D(P ) = 29⇔ −16P 2 − 16P + 221 = 29⇔ −16P 2 − 16P + 192 = 0⇔ −P 2 − P + 12 = 0⇔
⇔ P = −(−1)±
√
(−1)2 − 4(−1)12
2(−1) ⇔ P =
1± 7
−2 ⇔ P =
8
−2 = −4 ou P =
−6
−2 = 3.
Questa˜o 8 (1.0 pt) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio para este produto?
Soluc¸a˜o: O ponto de equil´ıbrio ocorre quando D(P ) = Q(P ), ou equivalentemente
D(P ) = Q(P )⇔ −16P 2 − 16P + 221 = 16P + 12⇔ −16P 2 − 16P + 221− 16P− 12⇔
⇔ −16P 2−32P+209 = 0⇔ P = 32±
√
322 − 4(−16)(209)
−32 ⇔ P =
32±√32 · 2 · 16 + 64 · 209
−32 ⇔
⇔ P = 32±
√
64 · (16 + 209)
−32 ⇔ P =
32±√64 · 225
−32 =
32± 8 · 15
−32 =
32± 120
−32 ⇔
⇔ P = −88−32 ou P =
152
−32 ⇔ P =
11
4 ou P = −
19
4 .
Como o prec¸o deve ser positivo, temos P = 114 .
Questa˜o 9 (1.5 pt) Determine o prec¸o para o qual a demanda e´ ma´xima e calcule esta demanda.
Soluc¸a˜o: Desprezando a restric¸a˜o P > 1, a demanda e´ uma func¸a˜o quadra´tica de expressa˜o
D(P ) = −16P 2 − 16P + 221. Seu ve´rtice esta´ no ponto em que o valor de P e´ dado por
P = − b2a = −
−16
2 · (−16) = −
1
2 = −0, 5.
Este valor de P , pore´m, e´ negativo. Esboc¸ando o gra´fico de D com a restric¸a˜o 1 6 P < 3, 25 temos
algo como abaixo:
Com isso, o maior valor de D acontece para P = 1. O valor da demanda sera´
D(1) = −16 · 12 − 16 · 1 + 221 = −31 + 221 = 189.
Assim, a demanda ma´xima sera´ de 189 milho˜es de unidades, com o prec¸o de R$1,00.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
RASCUNHO
Nome: Matr´ıcula:
Polo:
Atenc¸a˜o!
• Resoluc¸o˜es feitas nesta folha na˜o sera˜o corrigidas. • Devolver esta folha ao aplicador.