exercicio_resolvido_aula_02

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
FACULDADE DE MATEMÁTICA
TUTORIA À DISTÂNCIA
Tutora: Liliane Silva Nascimento.
Disciplina: Álgebra I.
Exercício Resolvido - Aula 02 - Relações e relações de equivalência
Questão 2: Discuta a validade das propriedades reflexiva, simétrica e transitiva para as relações em
R, definidas de maneira análogas, através dos conjuntos.
(a) Ω = {(x, y) ∈ R2 | x ≤ 0 e y ≥ 0}
Solução:
Neste caso, Ω corresponde ao II quadrante do eixo cartesiano, logo:
• x 6 IRx, pois x ≤ 0 e o par (x, x) /∈ Ω que está no II quadrante e, (x, x) está no III quadrante.
Logo, Ω não é reflexiva.
• Se xRy então (x, y) ∈ II quadrante, porém, (y, x) está no IV quadrante, logo y 6 IRx. Logo, Ω
não é simétrica.
• Se xRy então x ≤ 0 e y ≥ 0 e, se yRz então y ≤ 0 e z ≥ 0, daí, y = 0, x ≤ 0 ez ≥ 0, logo xRz,
pois (x, z) ∈ Ω. Portanto, Ω é transitiva.
(b) Ω = {(x, y) ∈ R2 | xy ≤ 0}
Solução:
Como xy ≤ 0 temos que x tem sinal oposto ao sinal de y, ou, um dos dois ou ambos são nulos:
• Reflexiva:
x 6 IRy, pois x tem mesmo sinal de x, logo x · x não é negativo.
• Simétrica:
Se xRy então x · y ≤ 0, logo, y · x ≤ 0. Portanto yRx.
• Transitiva:
Se xRy então x tem sinal oposto ao sinal de y e, se yRz então y tem sinal oposto ao sinal de
z. Daí, x e z tem o mesmo sinal. Portanto, x 6 IRz.
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(c) Ω = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 1}
Solução:
Como existe x ∈ Ω tal que x 6 IRx, por exemplo, x = 1⇒ 12 + 12 não satisfaz a propriedade de Ω.
• Reflexiva:
x 6 IRx,∀x ∈ Ω.
• Simétrica:
Se xRy então x2 + y2 ≤ 1, logo, y2 + x2 ≤ 1. Portanto, yRx.
• Transitiva:
Se xRy então x2+y2 ≤ 1, e, yRz então y2+z2 ≤ 1⇒ 0 ≤ x2 ≤ 1 e 0 ≤ z2 ≤ 1⇒ 0 ≤ x2+z2 ≤ 2.
Contra Exemplo:
� Se x = 0.9 e y = 0⇒ (0.9)2 + 02 = 0.81 ≤ 1;
� Se y = 0 e z = 0.8⇒ 02 + (0.8)2 = 0.64 ≤ 1.
Porém, para x = 0.9 e z = 0 temos (0.9)2 + (0.8)2 = 0.81 + 0.64 = 1.45 e 1.45 > 1, porém ≤ 2.
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