Subespaço vetorial

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ
DEPARTAMENTO DE CIEˆNCIAS EXATAS E TECNOLO´GICAS
PROFESSOR: Paulo Gala˜o
1
a
LISTA DE EXERCI´CIOS DE A´LGEBRA LINEAR
1. Mostre que Q(
√
5) = {a+ b√5; a, b ∈ Q} e´ um espac¸o vetorial sobre o corpo Q.
2. Seja S = {(x, y, z) ∈ R3; x+ y + z = 0}. Mostre que S e´ um espac¸o vetorial sobre
R.
3. Verifique se os seguintes subconjuntos de R4 sa˜o subespac¸os, em relac¸a˜o ao corpo
R:
(a) W = {(x, y, z, t) ∈ R4| x+ y = 0 e z − t = 0};
(b) U = {(x, y, z, t) ∈ R4| 2x+ y − t = 0 e z = 0}.
4. O conjunto
W =




a b c
b d e
c e f


∈M(3 × 3;R); a, b, c, d, e, f ∈ R


e´ um subespac¸o vetorial de M3(R)? Justifique.
5. Uma func¸a˜o f : R→ R e´ limitada quando existe K > 0 tal que |f(x)| ≤ K, ∀x ∈ R.
O conjunto W = {f ∈ F(R;R); f e´ limitada} e´ um subespac¸o vetorial de F(R;R)?
Justifique.
6. Verifique se os subconjuntos a seguir sa˜o subespac¸os do R-espac¸o vetorial M2(R).
Em caso afirmativo, exiba os geradores:
(a) V = {A =


a b
c d

 | a, b, c, d ∈ R e b = c};
1
(b) W = {


a b
c d

 | a, b, c, d ∈ R e b = c+ 1}.
7. Verifique que os conjuntos a seguir sa˜o geradores do espac¸o vetorial R3 sobre R:
(a) {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)};
(b) {(−1, 0, 0), (−1,−1, 0), (−1,−1,−1)};
(c) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.
8. Sejam V = {(x, y, z, t) ∈ R4; x− y+3z−4t = 0} e W = {(x, y, z, t) ∈ R4; 5x−4y+
7z + t = 0} subespac¸os vetoriais de R4. Encontre um conjunto de geradores para
V ∩W.
9. Sejam X = {(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)} ⊂ R3 e Y = {(1, 4, 7), (2, 5, 8), (3, 6, 9)} ⊂
R3. Mostre que [X ] = [Y ].
10. O conjunto




1 1
1 0

 ,


1 0
−1 0

 ,


1 −2
1 0

 ,


1 2
3 4




gera o espac¸o vetorial M2(R)?
11. Considere dois vetores (a, b) e (c, d) no plano. Se ad− bc = 0, mostre que os vetores
sa˜o LD. Se ad− bc 6= 0, mostre que eles sa˜o LI.
12. Mostre que os conjuntos a seguir sa˜o bases de C2 sobre C:
(a) {(1, 0), (0, 1)};
(b) {(i, 0), (2,−3)};
(c) {(i, i), (−1, 2i)}.
13. Mostre que o conjunto B = {(1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i)} e´ uma base de C2 sobre R.
2
14. Mostre que {(z1, z2), (w1, w2)} ⊂ C2 e´ linearmente dependente se, e somente se,
z1w2 = z2w1.
15. Seja W = [v1, v2] ⊂ C3, onde v1 = (1, 0, i) e v2 = (1 + i, 1,−1).
(a) Mostre que {v1, v2} e´ uma base de W .
(b) Mostre que w1 = (1, 1, 0) e w2 = (1, i, 1 + i) esta˜o em W e que {w1, w2} e´ base
de W .
16. Para quais valores de α o conjunto B = {1, 1 + αt, 1 + αt2, 2 + t2 + 3α2t3} e´ uma
base de P3(R)?
17. Seja B = {(i, 1 − i, 2), (2, 1,−i), (5 − 2i, 4,−1 − i)} um subconjunto do R-espac¸o
vetorial C3.
(a) B e´ um conjunto LI?
(b) Decida se (3 + i, 4, 2) pertence ao subespac¸o gerado por B.
18. Seja V = P3(R).
(a) Mostre que B = {1, 2 + x, 3x− x2, x− x3} e´ uma base de V .
(b) Escreva as coordenadas de p(x) = 1 + x+ x2 + x3 com relac¸a˜o a` base B.
19. Considere o subespac¸o S = [(1, 1,−2, 4), (1, 1,−1, 2), (1, 4,−4, 8)] do R-espac¸o ve-
torial R4.
(a) O vetor (2
3
, 1,−1, 2) pertence a S?
(b) O vetor (0, 0, 1, 1) pertence a S?
20. Considere o subespac¸o W = {


2a a + 2b
0 a− b

 ; a, b ∈ R} do R-espac¸o vetorial
M2(R).
(a) O vetor


0 −2
0 1

 pertence a W ?
3
(b) O vetor


0 2
3 1

 pertence a S?
21. Mostre que a func¸a˜o sen4x pertence ao subespac¸o de F(R;R) (o espac¸o vetorial das
func¸o˜es reais de R em R ) gerado pelo conjunto
{1, cosx, cos 2x, cos 3x, cos 4x}. Sugesta˜o: Use a fo´rmula cos 2x = 2 cos2 x− 1.
22. Mostre que a func¸a˜o cos 4x pertence ao subespac¸o de F(R;R) gerado pelo conjunto
{1, senx, sen2x, sen3x, sen4x}. Sugesta˜o: Use a fo´rmula cos 2x = 2 cos2 x− 1.
23. Quais as coordenadas de x = (1, 0, 0) em relac¸a˜o a` base β = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0,−1)}?
24. Sejam U = [(1, 0, 0)] e W = [(1, 1, 0), (0, 1, 1)] subespac¸os de R3 em relac¸a˜o ao corpo
R. Mostre que R3 = U ⊕W .
25. Sejam W1 = {(x, y, z, t) ∈ R4| x + y = 0 e z − t = 0} e W2 = {(x, y, z, t) ∈
R4| x− y − z + t = 0} subespac¸os de R4 em relac¸a˜o ao corpo R.
(a) Determine W1 ∩W2;
(b) Exiba uma base para W1 ∩W2;
(c) Determine W1 +W2;
(d) W1 +W2 e´ soma direta? Justifique.
(e) W1 +W2 = R
4? Justifique.
26. Sejam U = {(x, y, z) ∈ R3; x+ 3y + 4z = 0} e W = {(x, y, z) ∈ R3; x− 2y + z = 0}
subespac¸os de R3. Mostre que U + V = R3. A soma e´ direta?
27. Sejam W1 = {


a b
c d

 ; a = d e b = c} e W2 = {


a b
c d

 ; a = c e b = d}
subespac¸os de M2(R).
(a) Determine W1 ∩W2 e exiba uma base;
(b) Determine W1 +W2. E´ soma direta? W1 +W2 = M2(R)?
4
28. Uma func¸a˜o f : R → R e´ par se f(−x) = f(x) para todo x ∈ R. Analogamente,
uma func¸a˜o f : R → R e´ ı´mpar se f(−x) = −f(x) para todo x ∈ R. Mostre que
o conjunto P de todas as func¸o˜es pares e o conjunto I de todas as func¸o˜es ı´mpares
sa˜o subespac¸os vetoriais de F(R;R) e, ale´m disso, F(R;R) = P ⊕ I.
29. Sejam P o espac¸o vetorial de todos os polinoˆmios e
U = {p ∈ P|p(t) = p(−t), ∀t ∈ R},
V = {p ∈ P|p(t) = −p(−t), ∀t ∈ R},
subespac¸os vetoriais de P. Mostre que U ⊕ V = P.
30. Sejam α = {(1, 0), (0, 1)}, β = {(−1, 1), (1, 1)}, γ = {(√3, 1), (√3,−1)} e λ =
{(2, 0), (0, 2)}.
(a) Ache as matrizes de mudanc¸a de base:
(i) [M ]α,β ; (ii) [M ]β,α; (iii) [M ]γ,α; (iv) [M ]λ,α.
(b) Quais sa˜o as coordenadas do vetor v = (3,−2) em relac¸a˜o a` base:
(i)α; (ii) β; (iii)γ; (iv) λ.
(c) As coordenadas de um vetor v em relac¸a˜o a` base β sa˜o dadas por v = (4, 0)β.
Quais sa˜o as coordenadas de v em relac¸a˜o a` base:
(i)α; (ii)γ; (iii) λ.
31. Sejam B = {1, 1 + t, 1 + t2} e C = {5, 2 − 3t, 4 + t + 2t2} bases do espac¸o P2(R).
Determine a matriz de mudanc¸a de bases da base B para a base C.
5