Conjuntos finitos e infinitos

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AULA 2 
 
Conjunto finito e conjunto infinito 
 
Quantos elementos tem o conjunto das vogais do alfabeto da língua portuguesa? 
Para contar as vogais, observamos a correspondência biunívoca entre os conjuntos 
{a, e, i, o, u } e { 1, 2, 3, 4, 5 }: 
 
 
54321

uoiea
 
 
O maior número atingido na contagem foi 5; logo, o conjunto das vogais tem 5 elementos. 
Como existe o maior número que se pode atingir na contagem das vogais, dizemos que o 
conjunto das vogais é finito. 
Podemos generalizar esta ideia do seguinte modo: 
Um conjunto A é finito se, e somente se, for vazio ou existir uma correspondência 
biunívoca entre A e um subconjunto de N na forma I = {1, 2, 3, ..., n}. 
 
Note que as reticências na representação do conjunto I indicam que todos os números 
naturais entre 3 e n também pertencem a I. 
Se um conjunto não é finito dizemos que ele é infinito. 
 
Exemplos: 
 O conjunto L das letras do alfabeto é finito, pois existe uma correspondência 
biunívoca entre L e um subconjunto de N da forma I = {1, 2, 3, ..., n}. Neste 
caso, n = 26. 
 O conjunto P dos números naturais pares é infinito, pois não é possível 
estabelecer uma correspondência biunívoca entre P e um subconjunto de N 
na forma I = { 1, 2, 3,... , n}. Representamos o conjunto P por: 
P = {0, 2, 4, 6, ...} 
As reticências no final do conjunto P indicam a infinidade de elementos. 
 
 
Operações com conjuntos 
 
 As principais operações entre conjuntos são a união e a interseção e temos também a 
diferença: 
 A união de A e B é definida por 
}:{ BxouAxxBA 
, portanto é o 
conjunto formado pelos elementos que pertencem pelo menos a um dos conjuntos 
(não excluindo os que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos). 
 Como exemplo, veja que se A = {-1, 0, 2} e B = {0, 3, 4} então 
BA 
 = { -1, 0, 2, 3, 4}. 
 
 
 
Obs: Em Matemática, quando escrevemos 
BAx 
, significa que x é elemento de 
um dos conjuntos dados, podendo pertencer aos dois conjuntos simultaneamente ou 
só a um deles. Observe que na Língua Portuguesa o uso do “ou” exclui a possibilidade 
de simultaneidade (por exemplo: “Quer açúcar ou adoçante?”). 
 
 A interseção de A e B é definida por 
BA 
 = {
}; BxeAxx 
, portanto é 
o subconjunto de A e de B formado pelos elementos que estão simultaneamente 
nos dois conjuntos A e B. 
 
 
Note que a interseção pode ser o conjunto vazio. Assim, a interseção entre o conjunto dos 
números naturais pares e o conjunto dos números naturais ímpares é o conjunto vazio. 
Considerando A e B do exemplo anterior, temos que A ∩ B = {0}, é um conjunto unitário, 
pois é formado somente por um elemento, neste caso o zero. 
 
 A diferença A \ B ou (A – B) dos conjuntos A e B é o conjunto formado pelos 
elementos de A que não pertencem a B, isto é, A – B = { 
BxeAxx ;
}. 
Por exemplo, sejam A = {0,1, 2, 3, 4} e B = {−1, 2, 4}. Então A - B = {0, 1, 3}. 
Também, Z \ N = {−1, −2, −3, −4, −5, ...} = Z - (conjunto dos inteiros negativos). 
 
 
 
Quando B

A, dizemos que A \ B é o complementar de B em relação A e também pode 
ser denotado por 
BC
A
 ou simplesmente por C(B) (ou BC) se A for o conjunto universo. 
Assim, Z \ N = {-1, -2, ..., -5, ...} = Z - é o complementar de N em relação a Z. 
 
Outro Exemplo: 
Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {0, 1, 3, 5} então temos: 
 
Daí: 
BA 
 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 
 
BA 
 = {1, 3} 
 A – B = {2, 4} 
 B – A = {0, 5} 
 
OBS: O símbolo n( ) representa o número de elementos do conjunto indicado entre 
parênteses. Sendo A e B conjuntos finitos e conhecidos n(A) = número de elementos do 
conjunto A, n(B) = número de elementos do conjunto B e n(
BA 
) = número de 
elementos de 
BA 
, podemos determinar n(A
B
) = número de elementos de A
B
. 
 
Observe que A 
B
 é formado pelos elementos que: 
 pertencem só a A: n(A) – n(
BA 
) elementos. 
 
 pertencem só a B: n(B) – n(
BA 
) elementos. 
 
 pertencem a A e a B: n(
BA 
) elementos. 
 
Então: 
)())()(())()(()(
)_()(
BAnBAnBnBAnAnBAn
ABnBAn


    
 
 
Ou seja: n(A

B) = n(A - B) + n(B – A) + n(A

B) 
 
 Em diagrama de Venn temos: 
 
 
 
 
 Ou ainda: n(A

B) = n(A) + n(B) - n(A

B) 
 
Exemplo: Se A, B e 
BA 
 são conjuntos com 90, 50 e 30 elementos, respectivamente 
então o número de elementos do conjunto A 
B
 será: 
n(A 
B
) = n(A) + n(B) - n(
BA 
) = 90 +50 -30 = 110 elementos.