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DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – UNESP – IBILCE
2a Lista de Exerc´ıcios – Pr. Dr. Jaime Rezende de Moraes
Ca´lculo II – 2014
1. Marque o ponto cujas coordenadas polares sa˜o dadas. A seguir, encontre dois outros pares de
coordenadas polares desse ponto, um com r > 0 e o outro com r < 0. Encontre as coordenadas
cartesianas do ponto.
a) (2, pi/3).
b) (1, pi).
c) (2,−7pi/6).
2. Encontre as coordenadas polares (r, θ) do ponto, onde r < 0 e 0 ≤ θ ≤ 2pi,
a) (2,−2).
b) (1, 1)
c) (−1,−√3).
3. Encontre a equac¸a˜o cartesiana para a curva descrita pela equac¸a˜o polar dada.
a) r = 2 cos θ.
b) r cos θ = 1.
c) r = tan θ sec θ.
4. Esboce uma curva com a equac¸a˜o polar dada primeiro esboc¸ando o gra´fico de r como func¸a˜o de θ
em coordenadas cartesianas.
a) r = −2 sin θ.
b) r = θ/2, θ ≥ 0.
c) r = 4(1 + cos θ).
5. Calcule a inclinac¸a˜o da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ.
a) r = 2 sin θ, θ = pi/6.
b) r = cos(θ/3), θ = pi.
c) r = 1− 2 cos θ, θ = pi/3.
6. Mostre que a equac¸a˜o polar r = a sin θ + b cos θ, para a qual ab 6= 0, representa um c´ırculo e calcule
seu centro e o raio.
7. Encontre a a´rea da regia˜o que e´ delimitada pelas curvas dadas e esta´ no setor especificado.
a) r = θ2, 0 ≤ θ ≤ pi/4.
1
b) r2 = 9 sin 2θ, r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ pi/2.
c) r = tan θ, pi/6 ≤ θ ≤ pi/3.
8. Encontre a a´rea da regia˜o que esta´ dentro da primeira curva e fora da segunda curva.
a) r = 2 cos θ, r = 1.
b) r = 3 cos θ, r = 1 + cos θ.
9. Encontre a a´rea da regia˜o que esta´ dentro de ambas as curvas.
a) r =
√
3 cos θ, r = sin θ.
b) r = 1 + cos θ, r = 1− cos θ.
c) r = a sin θ, r = b cos θ, a > 0, b > 0.
10. Calcule o comprimento da curva polar.
a) r = 2 cos θ, 0 ≤ θ ≤ pi.
b) r = θ2, 0 ≤ θ ≤ 2pi.
c) r = 5θ, 0 ≤ θ ≤ 2pi.
11. Identifique o tipo de sec¸a˜o coˆnica cuja equac¸a˜o e´ dada e encontre os ve´rtices e os focos.
a) x2 = y + 1.
b) y2 + 2y = 4x2 + 3.
c) 4x2 + 4x+ y2 = 0.
12. Encontre uma equac¸a˜o para a coˆnica que satisfaz as condic¸o˜es dadas.
a) Para´bola, foco (3, 6), ve´rtice (3, 2).
b) Elipse, focos (0,±5), ve´rtices (0,±13).
c) Hipe´rbole, ve´rtices (0,±2), focos (0,±5).
13. Encontre a a´rea da regia˜o delimitada pela hipe´rbole x2/a2 − y2/b2 = 1 e pela reta vertical passando
por um foco.
14. Escreva uma equac¸a˜o polar de uma coˆnica com o foco na origem e com os dados fornecidos.
a) Hipe´rbole, excentricidade 7/4, diretriz y = 6.
b) Elipse, excentricidade 3/4, diretriz x = −5.
c) Para´bola, ve´rtice em (4, 3pi/2).
15. Encontre a excentricidade, identifique a coˆnica, deˆ uma equac¸a˜o da diretriz e esboce a coˆnica.
a) r =
1
1 + sin θ
.
b) r =
12
4− sin θ .
c) r =
3
4− 8 cos θ .
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