Pré-Cálculo - Série de Exercícios (Limites)

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1 
 
 
UNIFRAN 
UNIVERSIDADE DE FRANCA 
 
 
 
PRÉ-CÁLCULO 
 
 
 
 
SÉRIE DE EXERCÍCIOS 
2º. BIMESTRE 
 
II. LIMITES 
 
5. Limites e Continuidade 
6. Cálculo de Limites 
7. Limites e Gráficos 
 
 
 
 
 
 
 
 
Docente: 
MAURÍCIO CHIARELLO 
 
2 
 
 
UNIFRAN 
Disciplina: Pré-Cálculo 
Docente: Maurício Chiarello 
 
 
SÉRIE DE EXERCÍCIOS N. 5 
Limites e Continuidade 
 
Gráficos de funções descontínuas 
Determinação de limites pelo gráfico 
 
1) Seja a função dada por intervalos: 
2 3 1
( ) 1 1 2
2 4 2
se
se
se
x x
f x x
x x
   

   

  
 
a) Esboce seu gráfico e responda se a função é contínua em 
1x 
 e 
2x 
; 
b) Dê os valores de 
(1)f
 e de 
(2)f
; 
c) Determine o valor dos limites laterais: 
1
lim ( )
x
f x

; 
1
lim ( )
x
f x

; 
2
lim ( )
x
f x

; 
2
lim ( )
x
f x

. 
 
2) Seja a função dada por intervalos: 









mxxx
mxx
xx
xf
se
se
se
44
042
04
)(
2
2
 
a) Admitindo 
2m
, esboce seu gráfico, verifique se é contínua em 
mx 
 e 
determine os limites 
)(lim xf
mx 
, 
)(lim xf
mx 
 e 
)(lim xf
mx
, se existente. 
b) Faça o mesmo pedido no item a considerando agora 
3m
; 
c) Observe os gráficos e responda se, independentemente do valor de m, a função é 
contínua ou descontínua em x = 0. 
 
3) O gráfico abaixo representa o comportamento da função 
( )y f x
. 
 
 
3 
 
 
Considere o gráfico e responda: 
a) a função é contínua ou descontínua nos pontos 
0x 
, 
1x  e 2x  ? 
b) dê os valores de 
(0)f
, 
(1)f
 e de 
(2)f
; 
c) determine o valor dos limites laterais: 
1
lim ( )
x
f x

; 
1
lim ( )
x
f x

; 
2
lim ( )
x
f x

; 
2
lim ( )
x
f x

; 
d) existem os limites: 
0
lim ( )
x
f x

, 
1
lim ( )
x
f x

 e 
2
lim ( )
x
f x

? Caso o limite inexista, 
explique por que; caso exista, dê o seu valor. 
 
4) Seja a função dada por intervalos: 
2
2
5 1
2 1 3
( )
5 3
10 24 3
se
se
se
se
x x
x x x
f x
x
x x x
    

   
 
 
    
 
a) Esboce seu gráfico e responda se a função é contínua em 
1x
 e 
3x
; 
b) Dê os valores de 
( 1)f 
 e de 
(3)f
; 
c) Determine o valor dos limites laterais: 
)(lim
1
xf
x 
; 
)(lim
1
xf
x 
; 
)(lim
3
xf
x 
; 
)(lim
3
xf
x 
; 
d) Existem os limites 
1
lim ( )
x
f x

 e 
3
lim ( )
x
f x

? Caso o limite inexista, explique por 
que; caso exista, dê o seu valor. 
 
5) Seja a função racional 
1
33
)(
34



x
xxx
xf
. Esboce seu gráfico e responda: 
a) 
)(xf
 é contínua em 
1x
? 
b) Qual o valor dos limites laterais 
1
lim ( )
x
f x

 e 
1
lim ( )
x
f x

? 
c) Existe o limite 
1
lim ( )
x
f x

? 
 
6) Seja a função: 










3
3
3
3
)(
23
xL
x
x
xx
xf
se
se 
Esboce seu gráfico e calcule 
L
 para que 
( )f x
seja contínua em 
3x
. Qual o valor 
do limite 
)(lim
3
xf
x
, se existente? 
 
7) Seja a função: 
2
2
( ) 2
2
se
se
x
x
f x x
L x
 
 
 
  
 
Esboce seu gráfico e calcule 
L
 para que 
( )f x seja contínua em 2x  . Qual o valor 
do limite 
2
lim ( )
x
f x

, se existente? 
 
 
4 
 
Respostas 
 
1) a) Contínua em x = 1 e descontínua em x = 2; 
b) 
(1) 1f 
 e 
(2) 0f 
; 
c)
1
lim ( ) 1
x
f x


; 
1
lim ( ) 1
x
f x


; 
2
lim ( ) 1
x
f x


; 
2
lim ( ) 0
x
f x


. 
 
 
2) a) Contínua em x = 2; 
2
lim ( ) 0
x
f x


; 
2
lim ( ) 0
x
f x


 e 
2
lim ( ) 0
x
f x


; 
b) Descontínua em x = 3; 
3
lim ( ) 2
x
f x

 
; 
3
lim ( ) 1
x
f x


; não existe 
3
lim ( )
x
f x

; 
c) Contínua em x = 0. 
a) b) 
 
3) a) Contínua em 
0x 
; descontínua em 
1x 
 (descontinuidade do tipo salto); 
descontínua em 
2x 
 (descontinuidade do tipo interrupção local) 
b) 
(0) 0f 
; 
(1) 2f 
; 
(2) 5f 
. 
c) 
1
lim ( ) 1
x
f x


; 
1
lim ( ) 3
x
f x


; 
2
lim ( ) 4
x
f x


; 
2
lim ( ) 4
x
f x


 
d) existe o 
0
lim ( )
x
f x

 e seu valor é: 
0
lim ( ) 0
x
f x


. 
Não existe o limite 
1
lim ( )
x
f x

 e isto porque 
1 1
lim ( ) lim ( )
x x
f x f x
  

. 
Existe o 
2
lim ( )
x
f x

 e seu valor é: 
2
lim ( ) 4
x
f x


. 
5 
 
Observe que 
0
lim ( ) (0)
x
f x f


, pois a função é contínua em 
0x 
, mas que 
2
lim ( ) (2)
x
f x f


, pois a função apresenta uma descontinuidade em 
2x 
 do tipo 
interrupção local. 
 
4) a) Descontínua (do tipo salto) em 
1x  
e descontínua (do tipo interrupção local) em 
3x 
; 
b) 
( 1) 3f  
 e 
(3) 5f 
; 
c)
1
lim ( ) 4
x
f x


; 
1
lim ( ) 3
x
f x


; 
3
lim ( ) 3
x
f x


; 
3
lim ( ) 3
x
f x


; 
d) não existe o 
1
lim ( )
x
f x

 porque 
1 1
lim ( ) lim ( )
x x
f x f x
  

; existe o 
3
lim ( )
x
f x

 e 
3
lim ( ) 3
x
f x


 porque 
3 3
lim ( ) lim ( ) 3
x x
f x f x
  
 
. 
 
 
5) a) Descontínua em x = 1 (descontinuidade do tipo interrupção local); 
b) 
1 1
lim ( ) lim ( ) 4
x x
f x f x
  
 
; 
c) Sim, 
1
lim ( ) 4
x
f x


. 
 
 
6 
 
6) 
3
lim ( ) 9
x
L f x

 
 
 
 
7) 
2
1 2
lim ( )
42 2x
L f x

  
 
 
 
 
7 
 
UNIFRAN 
Disciplina: Pré-Cálculo 
Docente: Maurício Chiarello 
 
 
SÉRIE DE EXERCÍCIOS N. 6 
Cálculo de Limites 
 
Cálculo algébrico de Limites 
 
 
I. Calcule o valor dos seguintes limites: 
1) 
2
lim
x
x x
x x


 2) 2
0
9
lim
3x
x
x


 
3) 2
3
9
lim
3x
x
x


 4) 
43
56
lim
2
2
1 

 xx
xx
x
 
5) 3
2
8
lim
2h
h
h


 
 
II. Calcule o valor dos seguintes limites: 
6) 4
0
(2 ) 16
lim
h
h
h
  7) 
0
9 9
lim
x
x x
x
  
 
8) 
49
32
lim
27 

 x
x
x
 9) 2
0
4 5
lim
1x
x
x
 
 
10)
 11
11
lim
30 

 x
x
x
 11) 
1
253
lim
2
3
1 

 x
x
x
 
 
III. Calcule os seguintes limites no infinito: 
 
12) 2 1
lim
1x
ax
bx


 13) 2
lim
2x
x
x


 
14) 
 xaxx
x


)(lim
 15) 
 2 2lim 5
x
x x x x

  
 
 
 
8 
 
Respostas1) 
3 2 2
 2) 3 3) 6 4) 
4 5
 
5) 
12 6) 32 7) 
1 3
 8) 
1 56
 
9) 
2 5
 10) 3/2 11) 
1 8
 
 
A título de ilustração da questão 11, apresentamos abaixo o gráfico da função 
3
2
3 5 2
( )
1
x
f x
x
 


. Note a descontinuidade do tipo interrupção pontual em 
1x 
, cuja 
ordenada é 
1 8y 
. 
 
 
 
 
 
12) a
b

 13) 
1
 14) 
2a
 15) 2 
 
A título de ilustração da questão 15, apresentamos abaixo o gráfico da função 
2 2( ) 5f x x x x x   
, em que se vê a assíntota 
2y  correspondente ao limite 
no infinito calculado. 
9 
 
 
Observe ainda que o gráfico também mostra que: 
 2 2lim 5 2
x
x x x x

    
. 
Demonstre isso fazendo o cálculo algébrico do limite infinito negativo. 
10 
 
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Disciplina: Pré-Cálculo 
Docente: Maurício Chiarello 
 
 
SÉRIE DE EXERCÍCIOS N. 7 
Limites e Gráficos 
 
Esboço de gráfico de funções racionais a partir do cálculo de limites 
 
 
I. Para cada uma das funções racionais abaixo: 
a) calcule os seguintes limites: 
)(lim xf
x 
; 
)(lim
4
xf
x 
; 
)(lim
4
xf
x 
 e 
)(lim
4
xf
x
, se 
existentes; 
b) em seguida, esboce o gráfico das funções utilizando os valores dos limites obtidos. 
1) 
4
1
3)(


x
xf
 2) 
 
16
4
1
)(
4



x
xf
 
 
3) Seja a função: 
2
72
)(



x
x
xf
. 
a) Calcule os limites: 
)(lim
2
xf
x 
; 
)(lim
2
xf
x 
 e 
)(lim xf
x 
; 
b) Esboce seu gráfico utilizando os valores dos limites calculados. 
 
II. Para cada uma das funções racionais abaixo, calcule seus pontos notáveis, os limites 
laterais à esquerda e à direita dos pontos de descontinuidade e os limites no infinito. 
Por fim, esboce seus gráficos. 
4) 
2
)(
2 

xx
x
xf
 5) 
1
2
)(
2
2



x
xx
xf
 
6) 
1
2
)(
2
23



x
xx
xf
 7) 3
2
1
( )
4
x
f x
x



 
8) 
2 2
1
( )
( 2)
x
f x
x x


 
 
 
III. Para as funções racionais abaixo, calcule seus pontos notáveis, os limites laterais à 
esquerda e à direita dos pontos de descontinuidade e os limites no infinito. Por fim, 
esboce seu gráfico. 
9) 2
2
2 1
( )
1
x x
f x
x
 


 
Note que esta função admite simplificação algébrica: 
2 1
( ) ( 1)
1
x
f x x
x

  

 
 
10) 3
2
1
( )
1
x
f x
x



 
Note que esta função admite simplificação algébrica: 2 1
( ) ( 1)
1
x x
f x x
x
 
 

 
11 
 
Respostas 
 
 
1) a) 
lim ( ) 3
x
f x


; 
4
lim ( )
x
f x

 
; 
4
lim ( )
x
f x

 
; não existe 
)(lim
4
xf
x
; 
b) 
 
 
 
 
2) a)
lim ( ) 16
x
f x

 
; 
4 4
lim ( ) lim ( )
x x
f x f x
  
 
, portanto 
4
lim ( )
x
f x

 
. 
 
b) 
 
 
12 
 
 
3) a) 
2
lim ( )
x
f x

 
; 
2
lim ( )
x
f x

 
 e 
lim ( ) 2
x
f x


. 
 
b) 
 
 
 
 
4) 
(0) 0f 
; zero de 
( )f x
: 
0x 
. 
Limites laterais: 
1
lim ( )
x
f x

 
 ; 
1
lim ( )
x
f x

 
 ; 
2
lim ( )
x
f x

 
 ; 
2
lim ( )
x
f x

 
. 
Limites no infinito: 
lim ( ) 0
x
f x


. 
 
 
 
13 
 
5) 
(0) 0f 
 ; zeros de 
( )f x
: 
0x 
 e 
2x 
. 
Limites laterais: 
1
lim ( )
x
f x

 
 ; 
1
lim ( )
x
f x

 
 ; 
1
lim ( )
x
f x

 
 ; 
1
lim ( )
x
f x

 
. 
Limites no infinito: 
lim ( ) 1
x
f x


. 
 
6) 
(0) 0f 
 ; zeros de 
( )f x
: 
0x 
 e 
2x 
. 
Limites laterais: 
1
lim ( )
x
f x

 
 ; 
1
lim ( )
x
f x

 
 ; 
1
lim ( )
x
f x

 
 ; 
1
lim ( )
x
f x

 
. 
Limites no infinito: 
lim ( )
x
f x

 
 ; 
lim ( )
x
f x

 
. 
 
14 
 
7) 
(0) 1 4f 
; zero de 
( )f x
: 
1x 
. 
Limites laterais: 
2
lim ( )
x
f x

 
 ; 
2
lim ( )
x
f x

 
 ; 
2
lim ( )
x
f x

 
 ; 
2
lim ( )
x
f x

 
. 
Limites no infinito: 
lim ( )
x
f x

 
 ; 
lim ( )
x
f x

 
. 
 
 
 
 
8) 
(0) 1 4f  
 ; zeros de 
( )f x
: 
1x 
. 
Limites infinitos: 
1
lim ( )
x
f x

 
 ; 
2
lim ( )
x
f x

 
. 
Limites no infinito: 
lim ( ) 0
x
f x


. 
 
15 
 
9) 
(0) 1f 
 ; zero de 
( )f x
: 
1 2x 
 
Limites laterais em 
1x 
: 
1
lim ( )
x
f x

 
 ; 
1
lim ( )
x
f x

 
. 
Limite em 
1x  
: 
1
lim ( ) 3 2
x
f x


. 
Limites no infinito: 
lim ( ) 2
x
f x


. 
 
 
10) 
(0) 1f 
 ; 
( )f x
não possui zero real. 
Limites laterais em 
1x  
: 
1
lim ( )
x
f x

 
 ; 
1
lim ( )
x
f x

 
. 
Limite em 
1x 
: 
1
lim ( ) 3 2
x
f x


. 
Limites no infinito: 
lim ( )
x
f x

 
 ; 
lim ( )
x
f x

 
.