Espaços vetoriais

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PROF. GUSTAVO VIEGAS 
MATEMÁTICA 
 
ÁLGEBRA LINEAR 
 
ESPAÇOS VETORIAIS 
 
Espaço vetorial 
 
Um espaço vetorial é um conjunto cujos elementos são 
chamados de vetores e sobre eles ficam definidas duas 
operações satisfazendo: 
 se ,  , então  
 se  , então   (  ) 
 
Além disso, é necessário que 
 
 , () = ( ) 
 
 
     ,    
 
 
Exemplo 
 , o conjunto das listas , é um espaço 
vetorial com estas operações: 
 
   
 
Exemplo 
 (mn), o conjunto das matrizes  , é um 
espaço vetorial com estas operações: 
 
  
 
Exemplo 
 (I, ), o conjunto das funções f: I  , é um espaço 
vetorial com estas operações: 
 
   
 
Subespaço vetorial 
 
ℍ  é um subespaço vetorial do espaço vetorial se 
  ℍ 
 ,  ℍ, então  ℍ 
  ℍ, então   ℍ (  ) 
 
Exemplo 
Dados os vetores { , ..., }, com m componentes, o 
conjunto de todas as combinações lineares desses vetores 
Span{ , ..., } = { ;  } 
é um subespaço vetorial do . 
 
 
Se os mesmos vetores estiverem dispostos em matriz 
 , chamamos esse conjunto de espaço das 
colunas da matriz, Col(A). 
 
Em , os subespaços vetoriais são , retas pela origem ou 
o plano inteiro. 
 
Em , os subespaços vetoriais são , retas pela origem, 
planos pela origem ou o espaço inteiro. 
 
Exemplo 
Dada  , o conjunto de todos os vetores tais é 
um subespaço vetorial do , chamado de espaço nulo da 
matriz, Nul(A). 
 
Exemplo 
 , o conjunto dos polinômios de grau menor do que ou 
igual a n, é um subespaço vetorial de ( ). 
 
Independência linear 
 
Um conjunto é linearmente independente quando nenhum 
de seus elementos é combinação linear dos demais. Caso 
contrário, o conjunto é linearmente dependente. 
 
{ , ..., } é linearmente independente se, e somente se, a 
combinação linear tem por solução 
apenas . 
 
Um conjunto que contenha mais vetores do que o número 
de componentes de cada vetor é linearmente dependente. 
 
Um conjunto que contenha o vetor nulo é linearmente 
dependente. 
 
Conjunto gerador e base de um espaço vetorial 
 
Conjunto gerador 
{ , } é um conjunto gerador do subespaço vetorial ℍ 
se todo  ℍ pode ser escrito como 
 . 
 
As constantes chamam-se coordenadas de em 
relação ao conjunto { , }. 
 
 
 
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Base 
Uma base de um espaço vetorial é um conjunto gerador 
que seja linearmente independente. 
 
Exemplo 
Uma base para é a base canônica 
 
 
.... 
 
 
Exemplo 
Uma base para é { 
 }. 
 
Exemplo 
As colunas pivôs de uma matriz formam uma base para 
seu espaço das colunas. 
 
Exemplo 
Uma base para o espaço nulo de pode ser obtida 
resolvendo-se o sistema . 
 
Dimensão 
A dimensão de um espaço vetorial é a quantidade de 
vetores em qualquer uma de suas bases. 
 
A dimensão do conjunto { } é zero. 
 
Teorema do Posto 
O posto de uma matriz é a dimensão do seu espaço das 
colunas, que é a sua quantidade de colunas pivôs. 
 
A dimensão do espaço nulo de uma matriz é a sua 
quantidade de colunas não-pivôs. 
 
Se uma matriz tem n colunas, Posto( ) + dim Nul( ) = n