Regras_de_Derivacao

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CÁLCULO I – 2014A 
Prof. Adriana Belmonte Bergmann 
Prof.ª Adriana Magedanz 
Prof.ª Karina Corbellini B. de Azambuja 
Profª Rosane Fátima Postal 
Profª Viviane Raquel Backendorf 
 
 
Técnicas de Diferenciação 
 
Teorema 1 - Derivada de uma constante 
A derivada de uma função constante é 0, isto é, se c for um número real qualquer, e 
���� = �, então: 
 ���	� = 0						�
					 [ ] 0=c
dx
d
 
Notação funcional: [�]′ = � 
Exemplo: ��	� = 5	 → [5]� = 0 ; ��	� = 3	 → [3]� = 0 . 
 
 
Teorema 2 - Derivada de potência de x 
Se n for um número real, e ���� = 	� , então: 
 [	�]� = �	��� ou [ ] 1−= nn nxx
dx
d
 
Notação funcional: [��]� = ����� . 
Exemplos: [	�]� = 3	� , [	�]� = 5	� , [	��]� = −6	�" 
 
 
Teorema 3 - Derivada do produto de uma constante por uma função 
Se f for diferenciável em x e c for um número real qualquer, então c.f também 
é diferenciável em x e: 
 [#. ��	�]� = #. ���	� ou [ ] [ ])()( xf
dx
d
cxcf
dx
d
=
 
Notação funcional: ��. ��� = �. �� 
Exemplos: %�	�4	��� = 4. �	��� = 4.3	� = 12	�, 
 ii) �−8	��� = �−8�. �	��� = �−8�.5	� = −40	� 
 iii) [ ]
pipipi
11
==





x
dx
dx
dx
d
 
 
 
 
Teorema 4 - Derivada de somas e de diferenças 
Se f e g forem funções diferenciáveis em x, então f + g e f – g também o são, e: 
 [ ] [ ] [ ])()()()( xg
dx
d
xf
dx
d
xgxf
dx
d
+=+ 
[ ] [ ] [ ])()()()( xg
dx
d
xf
dx
d
xgxf
dx
d
−=− 
2 
 
Notação funcional: (f + g)´ = f ´ + g´ e (f - g)´ = f ´ – g´ 
Exemplos: i) (x3 + x5)´ = (x3)´ + (x5)´ = 3x2 + 5x4 
 
 ii) (3x5 – 10)´ = (3x5)´ – (10)´ = 15x4 
 
 
 
Exercício I 
1) Encontre a função derivada de cada uma das funções a seguir: 
a) ��	� = −3	� + 6	� − 15 
b) +�	� = 3	�� − 9	� + 12	 − 4 
c) ��	� = 	� − �
-.
 
d) /�0� = 30�� + √0 − 90 
e) +�	� = 2	
2
3 − 8	�� + 5	� − 4	 
f) ��	� = −5	� + 12	�� + √	2 
 
 
 
Teorema 5 - Derivada do produto de duas funções 
Se f e g forem funções diferenciáveis em x, então o produto f.g também o é, e: 
 [ ] [ ] [ ] )(.)()().()()( xg
dx
d
xfxgxf
dx
d
xgxf
dx
d
+=⋅ 
Notação funcional: (f.g)´ = f ’.g + f .g’ 
Exemplo: Usando o teorema 5, encontrar a derivada de ℎ�	� = �5	� − 2�. �	� + 2	�: 
 ��	� = �5	� − 2� 			→ 			 ���	� = 15	� 
 g�	� = �	� + 2	� 			→ 			+��	� = 4	� + 2 
então: 
ℎ��	� = 15	�. �	� + 2	� + �5	� − 2�. �4	� + 2� 
ℎ��	� = 15	� + 30	� + 20	� + 10	� − 8	� − 4 
���	� = 35	� + 32	� − 4 
Obs: Esta derivada também pode ser calculada multiplicando primeiramente os termos de f(x) e 
posteriormente usando o teorema 4: 
��	� = �5	� − 2�. �	� + 2	� = 5	" + 10	� − 2	� − 4	 = 5	" + 8	� − 4	 
���	� = 35	� + 32	� − 4 
 
 
 
Teorema 6 - Derivada do quociente de duas funções 
Se f e g forem funções diferenciáveis em x e g´(x) ≠ 0, então 5
6
 é diferenciável em x e: 
 
[ ] [ ]
[ ] 2 ) (
)( .)( ) (.)( 
) (
) ( 
xg 
xg
dx 
d
x f xg xf 
dx 
d
xg
xf 
dx 
d − 
=


 
 
 
3 
 
Notação funcional: 
'






g
f
 = 2
´´.
g
gfgf ⋅−
 
Exemplo: Usando o teorema 6, encontrar a derivada de 
�	� = -
37�-
�-2��
 : 
 ��	� = �	� + 4	� 			→ 			 ���	� = 2	 + 4 
 +�	� = �2	� − 5� 			→ 			 +��	� = 6	� 
 então: 	
��	� =
�2	 + 4�. �2	� − 5� − �	� + 4	�. 6	�
�2	� − 5��
 
��	� =
4	� − 10	 + 8	� − 20 − 6	� − 24	�
�2	� − 5��
 
��	� =
−2	� − 16	� − 10	 − 20
�2	� − 5��
 
 
Exercício II 
1) Encontre a função derivada de cada uma das funções a seguir: 
a) 8�	� = �2	� − 3	��	� + 2� 
b) 9�	� = �−2	� + 3	��2	� + 	� 
c) #�	� = ��-
27�-3�
��-37�-�
 
d) :�	� = ���-
.7-3�
�-27�-�
 
e) ��	� = ��-
;��-2�
�-
 
f) ��	� = �−5	� + 2	���	� − 3	�� 
 
 
Derivadas Sucessivas 
 
 Se a derivada ���	� de uma função ��	� for ela mesma diferenciável, então a derivada de ���	� 
será denotada por ��′�	�, sendo chamada de derivada segunda de f(x). Na medida do possível, podemos 
continuar o processo de obtenção de derivadas de derivadas, ou seja, de derivadas sucessivas, para 
obtermos as derivadas terceira, quarta, e assim sucessivamente. As derivadas mais altas serão assim 
denotadas: 
���	� , �′′�	� = ����	��′ , �����	� = �����	��′ , �����	� = ������	��′ , �����	� = ������	��′ , ... 
 
onde f (n) indica a derivada n-ésima de f, ou a derivada de ordem n. 
Exemplo: Se f (x) = 4x3 – 5x2 + 3x – 8, então: 
f ‘(x) = 12x2 – 10x + 3. 
f ‘‘(x) = 24x – 10. 
f ‘‘‘(x) = 24. 
f (4) (x) = 0. 
 ... 
 f (n) (x) = 0, n ≥ 4. 
 
4 
 
Derivadas das Funções Trigonométricas 
 
 As derivadas das funções trigonométricas sen(x) e cos(x) também são deduzidas da definição de 
derivada (pelo limite) e, a partir delas, as demais derivadas para as funções tg(x), cotg(x), sec(x) e 
cossec(x), lembrando que: 
tg(x) = )( cos
)( 
x
xsen
, cotg(x) = )( 
)( cos
xsen
x
, sec(x) = )cos(
1
x
, cossec(x) = )(
1
xsen
, então: 
 
dx
d [sen(x)] = cos(x) [ ])sec(x
dx
d
= sec (x) . tg(x) 
dx
d [cos(x)] = – sen(x)
 
dx
d [cotg(x)] = – cossec2(x) 
dx
d [tg(x)] = sec2 (x)
 
dx
d [cossec(x)] = – cossec(x). cotg(x) 
 
Exemplo: 
Encontre a função derivada de ��	� = 3	�0+�	�. 
 
Solução: Esta função deve ser interpretada como um produto, onde: 
�	� = 3	� 				→ 				 
��	� = 6	 
/�	� = 0+�	� 				→ 				 /��	� = <=#��	� 
logo, pelo teorema 5: ���	� = 6	. 0+�	� + 3	�. <=#��	� 
 
 
 
Derivadas de Funções Compostas - Regra da Cadeia 
 
 Se g for diferenciável em x e f for diferenciável em g(x), então a composição gf o é 
diferenciável em x. Além disso, se 
 y = f (g(x)) e g(x) = u então y = f (u) e 
 
du
dy
dx
dy
= . 
dx
du
 
 
Notação funcional: f ’(x) = f ’(u) . u’ 
 
Exemplo: Calcule 
dx
df
 se ��	� = 3	<=��	��. 
Solução: Seja 
 = 	� , assim, ��
� = 3	<=��
� 
 
Pela regra da cadeia: 
dx
du
du
df
dx
df
.= = [ ].sen 3 u
du
d [ ]2x
dx
d
 
=
dx
df 3cos(u).2x = 6x.cos(u) , 
Voltando a substituição inicial 
 = 	�, temos que: =
dx
df 6x cos(x2) 
 
5 
 
Exercício III 
1) Encontre a função derivada de cada uma das funções a seguir: 
a) ��	� = �	 − 4	��� 
b) +�	� = 5<=��	�� 
c) +�	� = 2#�<�	�� + 5�2	� − 3�� 
d) ��	� = >�	� − 	�� 
e) ��	� = �
�
0+�	�� + 8�	� − 3	�� 
f) ��	� = >�3	� − 2	��� 
g) ��	� = �2	 + 3	��� 
h) ��	� = �	� − 3	���� − √	2 
 
 
 
Derivadas das Funções Logarítmicas 
 
 Para este estudo, admitimos que logB 		
 
é diferenciável, e portanto contínua para x > 0. 
[ ] =x
dx
d
b log bx ln
1
, x > 0. 
 
No caso especial, onde b = e, temos eb log = ln e = 1, logo a fórmula torna-se: 
[ ] =x
dx
d
 ln
x
1
, x > 0. 
 
 
 
 
Derivadas das Funções Exponenciais 
 
 Para obter uma fórmula para a derivada de funções exponenciais tais como y = bx, reescrevemos 
esta equação como x = yb log . 
Derivando ambos os lados da igualdade em relação à x e usando a regra da cadeia: 
 [ ] [ ]y
dx
d
x
dx
d
b log= 
 1 = 
by ln
1
dx
dy
 
dx
dy
= by ln = bx b ln , ou seja: 
 
[ ]xb
dx
d
 = bx. b ln
 
 
No caso especial onde b = e, temos ln e = 1: [ ]xe
dx
d
 = e
x
. 
 
 
6 
 
Exercício IV 
1. Calcule a derivada 
dx
df
 para cada uma das funções abaixo: 
a) f (x)= 4x3 b) f (x) = 7x4 – 2x +3 c) f (x)= (2x – 3)(3x2 +2x) 
d) f (x)= 
32
14 2
+
−
x
x
 
e) f (x) = 3 sen x 
 
f) f (x) = x2 cos x 
 
g) f (x) = 2
 cot
x
xg
 h) f(x) = cos x3 i) f (x) = 4x2 sen x3 
j) f (x)= x4log k) f (x) = ln x2 l) f (x) = 2x ex 
m) f (x)= 3xe n) f (x) = 3x o) f (x) = 34 sen x 
p) f (x) = (1 – x3)5 q) f (x) = 42 xx + r) f (x) = ( )235 +x 
s) f (x) = ( )x2sen t) f (x) = xx ee sen u) f (x) = 
x
1
 
v) f (x) = 3cos(2x)+e2x. sen(x) w) f(x) = (2x
-3+5x)2.e3x 
 
x) ��	� = �0+�3	�. =��-�� 
 
2. Calcule as derivadas f ´´(x) e f ´´´(x) para as funções: 
a) f(x) = 4x3 b) f(x) = 7x4 – 2x +3 c) f(x) = (2x – 3)(3x2 +2x) d) f(x) = ex 
 
3. Encontre a equação da reta tangente à ��	� no ponto 	 = 8 em cada caso: 
i) ��	� = 	�; 8 = 0; ii) ��	� = 2	� + 1; 8 = −1 iii) ��	� = 	�; 8 = −2 
 
4. Um estudo de eficiência do turno da manhã em uma fábrica indica que um trabalhador médio, que 
chega ao trabalho às 8 horas, monta ��	� = −	� + 6	� + 15	 rádios, x horas após ter iniciado o 
trabalho. 
a) Deduza a expressão da taxa segundo a qual o operário montará rádios após x horas de trabalho. 
b) A que taxa o operário estará montando rádios às 10 horas da manhã? 
c) Quantos rádios serão realmente montados pelo trabalhador entre 10 e 11 horas da manhã? 
 
5. Calcula-se que, daqui a x meses, a população de uma comunidade será de D�	� = 	� + 20	 + 8.000 
habitantes. Qual será a taxa de variação da população desta comunidade daqui a 12 meses? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA INDICADA 
ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman, 2000. 
LARSON, Roland E.; HOSTETLER, Robert P.; EDWARDS, Bruce H. Cálculo com geometria analítica. 
Rio de Janeiro: LTC, 1998.