Cálculo 1 - MATERIAL COMPLETO

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Cálculo 1 Módulo 1 – Retas Tangentes e Taxas de Variação 
 
1 
 
 
CENTRO UNIVERSITÁRIO IESB 
Centro Universitário Instituto de Educação Superior de Brasília 
Coordenação de Engenharia / Ciência da Computação 
 
Módulo 1 – Retas Tangentes e Taxas de Variação 
 
 
Retas Tangentes e Normais 
 
As retas tangentes e gráficos têm muitas aplicações no cálculo. Estamos interessados 
em definir o coeficiente angular da tangente em um ponto P, pois, conhecido o coeficiente 
angular, podemos estabelecer uma equação para a reta tangente. 
 
 y 
 f(a+h) Q 
 
 t 
 P 
 f(a) 
 
 
 
 
 a a+h x 
 
Se uma curva C tiver uma equação )(xfy = e quisermos encontrar a tangente a C em 
um ponto ))(,( afaP , consideramos um ponto vizinho ))(,( hafhaQ ++ e vemos que o 
declive da reta secante PQ é dado por: 
h
afhaf
aha
afhaf
mPQ
)()()()( −+
=
−+
−+
= 
que chamamos de razão incremental. 
 
Então fazemos Q aproximar-se de P ao longo da curva C ao obrigar h tender a 0. Se 
PQm tender a um número m, então definimos a tangente t como sendo a reta que passa 
por P e tem inclinação m. (Isso implica dizer que a reta tangente é a posição limite da reta 
secante PQ quando Q tende a P). 
 
Definição: A reta tangente a uma curva )(xfy = em um ponto ))(,( afaP é a reta t que 
passa por P que tem inclinação 
h
afhaf
m
h
)()(
lim
0
−+
=
→
 
 desde que esse limite exista. 
 
Cálculo 1 Módulo 1 – Retas Tangentes e Taxas de Variação 
 
2 
 
OBS: Podemos considerar o ponto Q com coordenadas ))(,( xfx . Temos, assim, que à 
medida que 0→h , x se aproxima de a. Podemos calcular o coeficiente angular da 
reta tangente por 
ax
afxf
m
ax −
−
=
→
)()(
lim 
 desde que esse limite exista. 
 
 
 
Definição: A reta normal a uma curva )(xfy = , em um de seus pontos, é a reta n que passa 
por P e que é perpendicular à tangente à curva nesse ponto. 
t
n
m
m
1
−= 
 
 
 
Exemplo 1: Encontre uma equação da reta tangente e da reta normal à parábola 2xy = 
no ponto (1, 1). 
 
Temos que 2)( xxf = . Logo 222 .1.21)1()1( hhhhf ++=+=+ . 
 
Pela definição, sabemos que o declive da reta tangente no ponto x=1 é dado 
por 
 
22lim
)2(
lim
)1()21(
lim
)1()1(
lim
00
2
00
=+=
+
=
−++
=
−+
=
→→→→
h
h
hh
h
hh
h
fhf
m
hhhh
 
 
 
 
 
Obtemos a equação da reta tangente, uma vez que o declive é 2. 
 
12122)1(21 −=⇔+−=⇔−=− xyxyxy 
 
 
 
 
Colocando h em evidência no 
numerador e cancelando o 1. 
Cancelando o h do numerador 
com o do denominador. 
Lembre-se que a equação da reta é dada 
por y-y0=m(x-x0) 
Cálculo 1 Módulo 1 – Retas Tangentes e Taxas de Variação 
 
3 
 
Obtemos a equação da reta normal cujo declive é 
2
1
− . 
 
2
3
2
1
2
1
2
)1(
2
1
1 +−=⇔++−=⇔−−=−
x
y
x
yxy 
 
Exercício 1: Encontre a equação da reta tangente e da reta normal à curva no ponto dado. 
Esboce o gráfico da curva e da tangente no ponto dado. 
 
a) 
x
xf
3
)( = em (1,3) b) xxf =)( em (4, 2) 
c) 
x
xf
1
)( = em x=1 d) 2)1()( −= xxf em x=3 
e) 3)( −= xxf em x=7 f) 3)( xxf = em x=2 
 
 
Exercício 2: Ache a equação da reta tangente ao gráfico de 3)( xxf = e é paralela à reta 
013 =+− yx 
 
 
OBS: Se f é contínua em a e ∞=
−+
→ h
afhaf
h
)()(
lim
0
, então a reta x=a é chamada de uma 
tangente vertical ao gráfico de f. 
 
 
 
Exemplo 2: Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de 3)( xxf = em (0, 0). 
 
Pela definição, o declive da reta tangente no ponto x=0 é dado por 
 
∞==
−
=
−+
=
→→→ 3
20
3
00
1
lim
0
lim
)0()0(
lim
hh
h
h
fhf
m
hhh
 
 
Pela observação acima, x=0 é uma tangente vertical ao gráfico de f. 
 
 
 
 
 
Cálculo 1 Módulo 1 – Retas Tangentes e Taxas de Variação 
 
4 
 
Taxas de Variação 
 
O limite estudado, 
h
afhaf
h
)()(
lim
0
−+
→
, surge em diversas aplicações; uma das mais 
familiares é a determinação da velocidade de um móvel. 
Suponha um objeto movendo-se sobre uma linha reta de acordo com a equação 
)(tfs = , onde s é o deslocamento do objeto a partir do origem no instante t. a função f 
que descreve o movimento é chamada de função posição do objeto. No intervalo de tempo 
entre at = e hat += a variação de posição será de )()( afhaf −+ . 
 
 posição no posição no 
 tempo t=a tempo t=a+h 
 
 
 
 0 f(a) f(a+h) s 
 
 f(a+h) – f(a) 
 
A velocidade média neste intervalo é 
 
h
afhaf
tempo
todeslocamen
vm
)()( −+
== 
 
Suponha agora que a velocidade média seja calculada em intervalos cada vez menores 
[a, a+h]. Em outras palavras, fazemos h tender a 0. Definimos velocidade (ou velocidade 
instantânea) )(av no instante t=a como sendo o limite dessas velocidades médias. 
 
Definição: Suponhamos que um ponto P percorra uma reta de modo que sua coordenada 
no instante t seja )(tf . A velocidade )(av de P no instante a é 
 
h
afhaf
av
h
)()(
lim)(
0
−+
=
→
 
 
 
Exemplo 3: Suponha que uma bola foi deixada cair do posto de observação de uma torre, 
450 m acima do solo. A distância )(tfs = do solo à bola, após t segundos, é 
dada por 
29,4)( ttf = 
 
a) Qual a velocidade da bola após 5 segundos? 
b) Com qual velocidade a bola chega ao solo? 
 
Cálculo 1 Módulo 1 – Retas Tangentes e Taxas de Variação 
 
5 
 
Primeiro, vamos encontrar a velocidade v(a) após a segundos: 
 
 
aha
h
hah
h
hah
hhh
8,9)2(9,4lim
)2(9,4
lim
)2(9,4
lim
00
2
0
=+=
+
=
+
=
→→→
 
 
a) Basta fazermos a=5 na equação de v(a), ie, v(5) = (9,8)(5)=49 m/s 
 
b) Uma vez que o posto de observação está 450 m acima do solo, a bola irá 
atingir o chão em 1t quando 450)( 1 =ts , ie, 
4509,4 21 =t ⇔ 9,4
4502
1 =t ⇔ 6,99,4
450
1 ≈=t s 
A velocidade com que a bola atinge o chão é, portanto, 
94
9,4
450
8,98,9)( 11 ≈== ttv m/s 
Suponha que y é uma quantidade que depende de outra quantidade x. Assim, y é uma 
função de x e escrevemos )(xfy = . Se x variar de 1x para 2x , então a variação de x 
(também chamada de incremento de x) é 
12 xxx −=∆ 
e a variação correspondente de y é 
)()( 12 xfxfy −=∆ 
O quociente de diferenças 
12
12 )()(
xx
xfxf
x
y
−
−
=
∆
∆
 
é chamado de taxa média de variação de y em relação a x no intervalo [ ]21 , xx . 
 
Por analogia com a velocidade, consideramos a taxa média de variação em intervalos 
cada vez menores fazendo 2x tender a 1x e portanto fazendo 0→∆x . 
 
Definição: O limite dessas taxas médias de variação é chamado de taxa (instantânea) de 
variação de y em relação a x em 1xx = , que é interpretada como a inclinação da 
tangente à curva )(xfy = em ))(,( 11 xfxP : 
h
ahaha
h
aha
h
afhaf
av
hhh
)2(9,4
lim
9,4)(9,4
lim
)()(
lim)(
222
0
22
00
−++
=
−+
=
−+
=
→→→
Cálculo 1 Módulo 1 – Retas Tangentes e Taxas de Variação 
 
6 
 
 
Taxa instantânea de variação
12
12
0
)()(
limlim
12 xx
xfxf
x
y
xxx −
−
=
∆
∆
=
→→∆
 
 
 
 
Exemplo 4: A voltagem em um circuito elétrico é do 100 volts. Se a corrente (em ampères) 
é I e a resistência (em ohms) é R, então, pela lei de Ohm, 
R
I
100
= . Se R está 
aumentando, ache a taxa instantânea de variação de I em relação a R em: 
a) qualquer resistência R 
b) uma resistência de 20 ohms. 
 
a) Fazendo y= I, x=R e 
R
Rf
100)( = , obteremos a taxa instantânea de variação 
de I em relação a R para uma resistência de R ohms: 
h
hRR
hRR
h
RhR
h
RfhRf
I
hhh
R
)(
)(100100
lim
100100
lim
)()(
lim
000
+
+−
=
−
+=
−+
=
→→→
 
 
200
100
)(
100
lim
)(
100100100
lim
RhRRhhRR
hRR
hh
−=
+
−
=
+
−−
=
→→
 
 
O sinal negativo indica que a corrente está decrescendo. 
b) Aplicando a fórmula obtida da parte (a), obtemos a taxa instantânea de 
variação de I em relação a R para R=20: 
4
1
20
100
220
−=−=I 
Assim, quando R=20, a corrente está decrescendo à taxa de 
4
1
de ampère 
por ohm. 
 
 
Exercício 3: Um balonista deixa cair, de um balão, um saco de areia, de 100 m acima do 
solo. Após t segundos, o saco de areia está a 29,4100 t− do solo. 
a) Ache a velocidade do saco de areia em t=1. 
b) Com que velocidade o saco de areia atinge o solo? 
Cálculo 1 Módulo 1 – Retas Tangentes e Taxas de Variação 
 
7 
 
 
Exercício 4: Um projétil é lançado verticalmente do solo com uma velocidade inicial de 112 
m/s. Após t segundos, sua distância do solo é de 29,4112 tt − metros. 
a) Ache a velocidade do projétil para t=2, t=3 e t=4. 
b) Quando o projétil atinge o solo? 
c) Ache a velocidade no momento em que ele atinge o solo. 
 
Exercício 5: A Lei de Boyle afirma que se a temperatura permanece constante, a pressão p 
e o volume v de um gás confinado estão relacionados por 
v
c
p = , para 
alguma constante c. Se, para certo gás, c=200 e v está aumentando, 
determine a taxa instantânea de variação de p em relação a v para 
 
a) um volume v b) um volume de 10 
 
 
Cálculo 1 Módulo 1 – Retas Tangentes e Taxas de Variação 
 
8 
 
 
Respostas 
 
Exercício 1: a) 
2
3
x
mt
−
= b) 
x
mt
2
1
= c) 
32
1
x
mt
−
= 
 d) 22 −= xmt e) 
32
1
−
=
x
mt f) 
23xmt = 
 
Exercício 2: )1(31 −=− xy e )1(31 +=+ xy 
 
Exercício 3: a) –9,8 m/s b) –44,27 m/s 
 
Exercício 4: a) t=2 , 92,4 m/s, t=3, 82,6 m/s, t=4, 72,8 m/s 
b) em t=22,86 s c) –112 m/s 
 
Exercício 5: a) 
2
200
v
pv
−
= b) –2 
 
 
 
 
Cálculo 1 Módulo 2 – Derivadas 
 
9 
 
 
 
CENTRO UNIVERSITÁRIO IESB 
Centro Universitário Instituto de Educação Superior de Brasília 
Coordenação de Engenharia / Ciência da Computação 
 
 
Módulo 2 – Derivadas 
 
 
Definição: A derivada de uma função f é a função f’ definida por 
 
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)('
0
−+
=
→
 
 
 desde que esse limite exista. 
 
Notação: 
dx
df
, 
dx
dy
, )(' xf , )(xDf , 
•
y , 'y , )(xfDx , )(xf
dx
d
 
 
 
 
OBS:(1) Quando )(' xf existe, dizemos que f é diferenciável em x, ou que f tem uma derivada 
em x. Se o limite não existe, então f não é diferenciável em x. 
 
 (2) Uma definição alternativa de derivada em um ponto x=a é 
ax
afxf
af
ax −
−
=
→
)()(
lim)(' 
 
 (3) Uma função é diferenciável em um intervalo aberto (a, b) se )(' xf existe pra todo 
x em (a, b). 
 
 (4) Uma função é diferenciável em um intervalo fechado [a, b] se )(' xf existe pra todo 
x em (a, b) e se os limites existem: 
 
h
afhaf
h
)()(
lim
0
−+
+→
 e 
h
bfhbf
h
)()(
lim
0
−+
−→
 
 
 
 
 
Cálculo 1 Módulo 2 – Derivadas 
 
10 
 
Exemplo 1: Calcule a derivada )(' xf de 
2
1
)(
−
=
x
xf . 
Pela definição 
h
hxx
hxx
h
xhx
h
xfhxf
xf
hhh
)2)(2(
)2(2
lim2
1
2
1
lim
)()(
lim)('
000
−+−
−+−−
=−
−
−+=
−+
=
→→→
 
 
 =
)2)(2(
1
lim
)2)(2(
lim
)2)(2(
22
lim
000 −+−
−
=
−+−
−
=
−+−
+−−−
→→→ hxxhxxh
h
hxxh
hxx
hhh
 
 
2)2(
1
−
−
=
x
 
 
 
 
Exercício 1: Calcule a derivada da função dada usando a definição. Encontre os domínios 
da função e da derivada. 
 
a) 35)( += xxf b) 2345)( xxxf +−= 
c) xxxxf 2)( 23 +−= d) xxxf +=)( 
e) xxf 21)( += f) 
1
1
)(
−
+
=
x
x
xf 
 
Definição: Derivadas Laterais 
 
 (1) 
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)('
0
−+
=
+→
+ é chamada de derivada à direita de f. 
 
 (2) 
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)('
0
−+
=
−→
− é chamada de derivada à esquerda de f. 
 
 
OBS: Uma função f é derivável 




 −+
=∃
→ h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)('
0
 quando as derivadas laterais 
existem e são iguais. 
 
 
Definição: Quando as derivadas laterais existem e são distintas em determinado ponto, 
dizemos que este é um ponto anguloso do gráfico da função. 
 
Cancelando o h do numerador 
com o do denominador. 
Cálculo 1 Módulo 2 – Derivadas 
 
11 
 
 
Exemplo 2: Verificar os pontos onde ||)( xxf = é derivável. 
 
Sabemos que f(x) = � �,			��	� ≥ 0−�,			��	� < 0 
Logo, se x > 0 temos, 
1limlim
)()(
lim)('
000
==
−+
=
−+
=
→→→ h
h
h
xhx
h
xfhxf
xf
hhh
 
 
Se x < 0 temos, 
1lim
)()(
lim
)()(
lim)('
000
−=
+−−
=
−−+−
=
−+
=
→→→ h
xhx
h
xhx
h
xfhxf
xf
hhh
 
 
Se x=0 temos, 
 
1
0
lim
)0()0(
lim)0('
00
=
−
=
−+
=
→→
+
+ h
h
h
fhf
f
hh
 
 
1
0
lim
)0()0(
lim)0('
00
−=
−−
=
−+
=
→→
−
− h
h
h
fhf
f
hh
 
 
Logo, a função não é derivável em x=0. Além disso, podemos dizer que x=0 é um 
ponto anguloso do gráfico da função. Vejamos o gráfico de f: 
 
 y 
 f(x) 
 
 
 
 
 0 x 
 
 Ponto anguloso do gráfico de f(x) 
 
 
OBS: Se o gráfico de uma função f apresenta um “bico”, então neste ponto a função não é 
derivável. 
 
 
 
Como as derivadas laterais são diferentes, não 
existe derivada em x=0. 
Cálculo 1 Módulo 2 – Derivadas 
 
12 
 
 
Definição: Um ponto do gráfico de uma função f é chamado ponto de reversão ou ponto 
cuspidal, se f é contínua em a e as duas condições seguintes são satisfeitas: 
 
 (i) ∞→)(' xf quando x tende para a por um lado 
 (ii) −∞→)(' xf quando x tende para a pelo outro lado. 
 
 
Exemplo 3: Determine se 5
2
)( xxf = tem 
(a) tangente vertical em (0, 0) 
(b) ponto de reversão em (0, 0). 
 
(a) Para determinar se o gráfico de f(x) tem uma tangente vertical precisamos 
calcular se ∞=
−+
→ h
fhf
h
)0()0(
lim
0
. 
∞===
−+
→→→
5
30
5
2
0
5
2
5
2
0
1
limlim
)0()0(
lim
h
h
h
h
h
hhh
 
 
∴ x=0 é uma tangente vertical do gráfico. 
 
(b) Para determinar se o gráfico de f(x) tem um ponto de reversão em (0,0) 
precisamos calcular se ∞→)(' xf quando x tende a 0 por um lado e 
−∞→)(' xf quando x tende a 0 pelo outro lado. 
+∞==
−
=
−
−
=
+++ →→→
+
5
30
5
2
00
1
lim
0)(
lim
0
)0()(
lim)0('
x
x
x
x
fxf
f
xxx
 
−∞==
−
=
−
−
=
−−− →→→
−
5
30
5
2
00
1
lim
0)(
lim
0
)0()(
lim)0('
x
x
x
x
fxf
f
xxx
 
 ∴x=0 é um ponto de reversão do gráfico de f(x). 
 
 
Cálculo 1 Módulo 2 – Derivadas 
 
13 
 
Exercício 2: Determine se f(x) tem 
 (i) tangente vertical em (0, 0) 
 (ii) ponto de reversão em (0, 0) 
 
a) 3
1
)( xxf = b) 2
3
5)( xxf = 
 
Podemos também considerar derivadas de derivadas. Especificamente, se 
diferenciamos uma função f , obtemos outra função 'f . Se 'f admite uma derivada, esta 
é denotada por ''f(f duas linhas) e é chamada derivada segunda de f. 
De modo geral, se n é um número inteiro positivo, então )(nf denota a derivada de 
ordem n de f, e se obtém partindo de f e diferenciando sucessivamente n vezes. 
 
Notação para derivadas superiores: 
 
),(' xf ),('' xf )(''' xf , ),()4( xf K , )()( xf n 
,yDx yD x
2 , ,3 yDx ,
4 yD x K , yD
n
x
 
,'y ,''y ,'''y ,)4(y K , )(ny 
,
dx
dy
 ,
2
2
dx
yd
 ,
3
3
dx
yd
 ,
4
4
dx
yd
 K , 
n
n
dx
yd
 
 
Teorema: Se f é diferenciável em a, então f é contínua em a. 
 
Dem: Seja f derivável em a, então 
ax
afxf
af
ax −
−
=
→
)()(
lim)(' existe. 
Podemos escrever )(xf da seguinte forma: 
)()(
)()(
)( afax
ax
afxf
xf +−
−
−
= se ax ≠ 
)(lim)(lim
)()(
lim)(lim afax
ax
afxf
xf
axaxaxax →→→→
+−
−
−
= 
 = )()(0).(' afafaf =+ 
 
Acabamos de mostrar que )()(lim afxf
ax
=
→
 e, portanto, f é contínua em a. 
 
Cálculo 1 Módulo 2 – Derivadas 
 
14 
 
OBS: A recíproca do teorema acima é falsa, ie, há funções que são contínuas, mas não são 
diferenciáveis. 
 Ex: A função xxf =)( é contínua em 0, porém já mostramos no exemplo 2 que f não 
é diferenciável em x=0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas 
 
Exercício 1: a) 5)(' =xf ; == )'()( fDomfDom R 
b) ;46)(' −= xxf == )'()( fDomfDom R 
c) ;223)(' 2 +−= xxxf == )'()( fDomfDom R 
d) ;
2
1
1)('
x
xf += += RfDom )( ; += *)'( RfDom 
e) ;
21
1
)('
x
xf
+
= ;,
2
1
)( 



 ∞
−
=fDom 




 ∞
−
= ,
2
1
)'( fDom 
 f) ;
)1(
2
)('
2−
−=
x
xf }1{)'()( −== RfDomfDom 
 
 
Exercício 2: a) i) Sim ii) Não 
 b) i) Não ii) Não 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo 1 Módulo 3 – Regras de Diferenciação 
 
15 
 
 
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Coordenação de Engenharia / Ciência da Computação 
 
Módulo 3 – Regras de Diferenciação 
 
 
Teorema 1: Função Constante 
 Se cxf =)( , onde c é uma constante, então 0)(' =xf 
 
 
Dem: Como cxf =)( então chxf =+ )( e, pela definição de derivada, temos 
 
00limlim
)()(
lim)('
000
==
−
=
−+
=
→→→ hhh h
cc
h
xfhxf
xf 
 
 
Teorema 2: Regra da Potência 
 Se nxxf =)( então 1)(' −= nnxxf , para todo número real n. 
 
 
Dem: Vamos demonstrar que o teorema é válido para todo n inteiro positivo. 
A fórmula 
 
))(( 1221 −−−− ++++−=− nnnnnn axaaxxaxax L 
 
pode ser verificada multiplicando-se o lado direito. Se nxxf =)( , podemos usar a 
seguinte definição de )(' af 
 
)(limlim
)()(
lim)(' 1221 −−−−
→→→
++++=
−
−
=
−
−
= nnnn
ax
nn
axax
axaaxx
ax
ax
ax
afxf
af L 
11221 −−−−− =++++= nnnnn naaaaaaa L 
 
Na verdade, mais tarde mostraremos que este Teorema é válido para todo número 
real n. 
 
 
Exemplo 1: Calcule a derivada de 2)( =xf . 
 
Como a função dada é uma constante, então pelo Teorema 1, 0)(' =xf . 
 
Cálculo 1 Módulo 3 – Regras de Diferenciação 
 
16 
 
Exemplo 2: Calcule a derivada de 4)( xxf = . 
 
Usando a regra da potência (Teorema 2), 314 44)(' xxxf == − . 
 
OBS: Lembre-se que: 
 (1) 1
1 −= x
x
 (3) nmnm xxx +=. (5) mnnm xx =)( 
 (2) n
m
n m xx = (4) nm
n
m
x
x
x −= 
 
 
Exemplo 3: Calcule a derivada de 
x
xf
1
)( = . 
Podemos escrever a função acima como 1)( −= xxf . Aplicando a regra da 
potência, 
22
211 11.111)('
xx
xxxf
−
=−=−=−= −−− . 
 
Exemplo 4: Calcule a derivada de xxf =)( . 
Podemos escrever a função acima como 2
1
)( xxf = . Aplicando a regra da 
potência, 
xx
xxxf
2
1
2
1
2
1
2
1
)('
2
1
2
1
1
2
1
====
−
−
. 
 
Exercício 1: Calcule a derivada da função dada. 
 
a) 5)( =xf b) 4 3)( xxf = 
c) 
7
1
)(
x
xf = d) xxxf =)( 
e) 
3 4
2
)(
x
x
xf = f) 
5
5
)(
x
x
xf = 
 
Exercício 2: Ache a equação da reta tangente à curva xxy = no ponto ( )1,1 . 
 
 
Teorema 3: Regra do Múltiplo Constante 
 Se c for uma constante e f uma função diferenciável, então 
 
)()]([ xf
dx
d
cxcf
dx
d
= 
 
Cálculo 1 Módulo 3 – Regras de Diferenciação 
 
17 
 
Dem: Seja )()( xcfxg = . Então, pela definição de derivada, temos 
 
h
xfhxfc
h
xcfhxcf
h
xghxg
xg
hhh
))()((
lim
)()(
lim
)()(
lim)('
000
−+
=
−+
=
−+
=
→→→
 
)('
)()(
lim
)()(
lim
00
xcf
h
xfhxf
c
h
xfhxf
c
hh
=
−+
=


 −+
=
→→
 
 
 )(' xf 
 
 
 
 
 
Exemplo 5: Calcule a derivada de 43)( xxf = . 
Pelo Teorema 3, vemos que 334 12)4(3)'(3)(' xxxxf === . 
 
Exercício 3: Calcule a derivada da função dada. 
 
a) xxf 5)( = b) xxf −=)( 
c) 
33
2
)(
x
xf = d) 52)( xxf = 
e) 
3 5
2
5
4
)(
x
x
xf
−
= f) 
6 5
3
)(
x
xf
−
= 
 
Teorema 4: Regra da Soma 
 Se f e g forem ambas diferenciáveis, então 
 
)()()]()([ xg
dx
d
xf
dx
d
xgxf
dx
d
+=+ 
 
 
Dem: Seja F(x)=f(x)+g(x). Então, pela definição de derivada, temos 
 
h
xgxfhxghxf
h
xFhxF
xF
hh
)]()([)]()([
lim
)()(
lim)('
00
−−+++
=
−+
=
→→
 
h
xghxg
h
xfhxf
h
xghxg
h
xfhxf
hhh
)()(
lim
)()(
lim
)()()()(
lim
000
−+
+
−+
=


 −+
+
−+
=
→→→
 
 
)(')(' xgxf += f’(x) g’(x) 
 
 
 
Como c é uma constante, 
podemos colocá-la para fora 
do limite 
Pois f é diferenciável 
f e g são diferenciáveis 
Cálculo 1 Módulo 3 – Regras de Diferenciação 
 
18 
 
OBS:(1) A Regra da Soma pode ser estendida para a soma de qualquer número de funções. 
Por exemplo, 
'''')'(]'}[()'( hgfhgfhgfhgf ++=++=++=++ 
 (2) Escrevendo gf − como gf )1(+ e aplicando a Regra da Soma e a Regra do 
Múltiplo Constante obtemos a seguinte fórmula, 
 
)()()]()([ xg
dx
d
xf
dx
d
xgxf
dx
d
−=− 
 
 
Exemplo 6: Calcule a derivada de 4261043)( 34568 +−−++−= xxxxxxxf . 
Usando os Teoremas acima, vemos que 
)'4()'(2)'(6)'(10)'(4)'(3)'()(' 34568 +−−++−= xxxxxxxf 
0)1(2)3(6)4(10)5(4)6(38)(' 23457 +−−++−= xxxxxxf 
2184020188)(' 23557 −−++−= xxxxxxf 
 
Exercício 4: Calcule a derivada da função dada. 
 
a) 43)( 2 −+= xxxf b) 7
3
2
3
2
)( 5
5
−+−=
x
x
x
xf 
c) 3
3
4
)( rrf π= d) 
x
xxf
1
)( −= 
e) )13()( 23 −+= xxxxf f) 
3 2
3 243
)(
x
xx
xf
−+−
= 
g) 210)( π=xf h) 
xx
xxxf
2
2
)( += 
 
 
Exercício 5: Ache os pontos sobre a curva 46 24 +−= xxy onde a reta tangente é 
horizontal. 
 
 
Teorema 5: Regra do Produto 
 Se f e g forem ambas diferenciáveis, então 
 
)]([)()]([)()]()([ xg
dx
d
xfxf
dx
d
xgxgxf
dx
d
+= 
 
 
 
Cálculo 1 Módulo 3 – Regras de Diferenciação 
 
19 
 
Dem: Seja )()()( xgxfxF = . Então, pela definição de derivada, temos 
 
h
xgxfhxghxf
xF
h
)()()()(
lim)('
0
−++
=
→
 
 
Para que o limite possa ser calculado, subtraímos e adicionamos ao 
numerador a expressão )()( xghxf + . Assim, 
 
h
xgxfxghxfxghxfhxghxf
xF
h
)()()()()()()()(
lim)('
0
−+++−++
=
→
 



 −+
+
−+
+=
→ h
xfhxf
xg
h
xghxg
hxf
h
)()(
)(
)()(
).(lim
0
 
h
xfhxf
xg
h
xghxg
hxf
hhhh
)()(
lim).(lim
)()(
lim).(lim
0000−+
+
−+
+=
→→→→
 
 
 )(' xg )(' xf 
)(')()(')( xfxgxgxf += 
 
 
 
 
Exemplo 7: Calcule a derivada de )34)(3()( 352 −−= xxxxf . 
Usando o Teorema acima, vemos que 
)'34)(3()34()'3()(' 352352 −−+−−= xxxxxxxf 
)12)(3()34)(152()(' 25234 xxxxxxxf −+−−= 
74474 3612456068)(' xxxxxxxf −++−−= 
xxxxf 66596)(' 47 −+−= 
 
 
Exercício 6: Calcule a derivada da função dada. 
 
a) )32)(7()( 23 +−= xxxf b) )4()( 2 −+= xxxxf 
c) )413)(58()( 22 +−= xxxxf d) 





+−=
x
xxxxf
1
323)( 43 
 
 
 
Pois f e g são diferenciáveis. 
Cálculo 1 Módulo 3 – Regras de Diferenciação 
 
20 
 
 
Teorema 6: Regra do Quociente 
 Se f e g forem ambas diferenciáveis, então 
 
[ ]2)(
)]([)()]([)(
)(
)(
xg
xg
dx
d
xfxf
dx
d
xg
xg
xf
dx
d
−
=





 
 
 
Dem: Seja 
)(
)(
)(
xg
xf
xF = . Então, podemos escrever )()()( xgxFxf = e aplicar a Regra do 
Produto: 
 
)(')()(')()(' xFxgxgxFxf += 
 
Resolvendo essa equação para )(' xF , obtemos 
 
)(')()(')()(' xgxFxfxgxF −= 
[ ]2)(
)(')()()('
)(
)('
)(
)(
)('
)('
xg
xgxfxgxf
xg
xg
xg
xf
xf
xF
−
=
−
= 
 
 
 
Exemplo 8: Calcule a derivada de 
6
2
)(
3
2
+
−+
=
x
xx
xf . 
Usando o Teorema acima, vemos que 
 
23
2332
)6(
)2()'6()6()'2(
)('
+
−++−+−+
=
x
xxxxxx
xf 
23
223
)6(
)2)(3()6)(12(
)('
+
−+−++
=
x
xxxxx
xf 
23
23434
)6(
)633()6122(
)('
+
−+−+++
=
x
xxxxxx
xf 
23
234
)6(
61262
)('
+
+++−−
=
x
xxxx
xf 
 
Cálculo 1 Módulo 3 – Regras de Diferenciação 
 
21 
 
 
Exercício 7: Calcule a derivada da função dada. 
 
a) 
23
54
)(
+
−
=
x
x
xf b) 
1
1
)(
3
3
+
−
=
x
x
xf 
c) 
321
1
)(
xxx
xf
+++
= d) 
7
853
)(
2 +−
=
xx
xf 
 
 
 
Exercício 8: Calcule 
2
2
dx
yd
 em 
1
43
+
+
=
x
x
y 
 
 
 
 
 
Cálculo 1 Módulo 3 – Regras de Diferenciação 
 
22 
 
Respostas 
 
Exercício 1: a) 0)(' =xf ; b) 
44
3
)('
x
xf = 
c)
8
7
)('
x
xf
−
= ; d) xxf
2
3
)(' = 
e)
33
2
)('
x
xf = ; f) 
72
5
)('
x
xf
−
= 
 
Exercício 2: Eq da reta tangente: 
2
1
2
3
−= xy 
 
Exercício 3: a) 5)(' =xf ; b) 1)(' −=xf 
c)
4
2
)('
x
xf
−
= ; d) 35)(' xxf = 
e)
3 215
4
)('
x
xf
−
= ; f) 
6 112
5
)('
x
xf = 
 
Exercício 4: a) 32)(' += xxf ; b) 
2
4
7 3
2
15
5
)('
x
x
x
xf −−
−
= 
c) 24)(' rrf π= ; d) 
32
1
)('
x
x
xf
+
= 
e)
3 2
33 4
3
1
4
3
7
)('
x
xxxf −+= ; f) 
3 53 2
3 4
3
4
3
4
7)('
xx
xxf ++−= 
g) 0)(' =xf ; h) 
7
5
2
3
)('
x
xxf −= 
 
Exercício 5: Pontos: ( )4,0 , ( )5,3 − , ( )5,3 −− 
 
Exercício 6: a) xxxxf 28910)(' 24 −+= ; b) 2
1
2
1
2
3
2
2
3
2
5
)('
−
−+= xxxxf 
c) 2064195416)(' 23 −+−= xxxxf ; d) xxxxf 63642)(' 36 +−= 
 
Exercício 7: a) 
2)23(
23
)('
+
=
x
xf ; b) 
23
2
)1(
6
)('
+
=
x
x
xf 
c)
232
2
)1(
321
)('
xxx
xx
xf
+++
++
−= ; d) )56(
7
1
)(' −= xxf 
Exercício 8: 
3)1(
2
''
+
=
x
y 
Cálculo 1 Módulo 4 – Regra da Cadeia 
 
23 
 
 
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Centro Universitário Instituto de Educação Superior de Brasília 
Coordenação de Engenharia / Ciência da Computação 
 
 
Módulo 4 – Regra da Cadeia 
 
 
Teorema: Regra da Cadeia 
 Se )(ufy = , )(xgu = , e as derivadas 
du
dy
 e 
dx
du
 existem, ambas, então a função 
composta definida por ))(( xgfy = tem derivada dada por 
 
)('))((')(')(' xgxgfxguf
dx
du
du
dy
dx
dy
=== 
 
 
Dem: Se ))(()( xgfxF = , pela definição alternativa de derivada, temos 
 
ax
agfxgf
xF
ax −
−
=
→
))(())((
lim)(' 
 
Iremos multiplicar o numerador e o denominador por )()( agxg − , obtendo, 
 
ax
agxg
agxg
agfxgf
agxg
agxg
ax
agfxgf
xF
axax −
−
−
−
=
−
−
−
−
=
→→
)()(
.
)()(
))(())((
lim
)()(
)()(
.
))(())((
lim)(' 
 
Como )(xgu = e )(1 agu = , podemos escrever o limite acima como, 
 
)(')).((')(').('
)()(
lim.
)()(
lim)('
1
1
1
xgxgfxguf
ax
agxg
uu
ufuf
xF
axuu
==
−
−
−
−
=
→→
 
 
 
 
Exemplo 1: Calcule a derivada de 53)( 2 −= xxf . 
 
Observando a função f dada podemos escrever 
53 2 −= xu e uy = , e, pela Regra da Cadeia, 
53
3
6.
2
1
.
2 −
===
x
x
x
udx
du
du
dy
dx
dy
 
Cálculo 1 Módulo 4 – Regra da Cadeia 
 
24 
 
 
Exemplo 2: Calcule a derivada de 10)23()( −= xxf . 
 
99 )23(303)23(10)(' −=−= xxxf 
 
 
 
 
 
OBS: Lembre-se que você deve derivar a função de “fora para dentro”, ie, da função mais 
externa, para mais interna. 
 
 
 
Exercício 1: Calcule a derivada da função dada. 
 
a) 3 2 45)( +−= xxxf b) 74 )44()( +−= xxxf 
c) 
32 )764(2
3
)(
−+
=
xx
xf d) 42 )67()( ++= xxxf 
e) 223 )98()76()( +−= xxxf f) 
6
2
2 1)( 




 −=
x
xxf 
g) 
5 5 32
5
)(
−
=
x
xf h) 233 )32()24()( xxxxf ++= 
 
 
Exercício 2: (i) Determine equações da tangente e da normal ao gráfico da equação em P; 
(ii) Determine a coordenada-x no gráfico em que a tangente é horizontal. 
a) ;)384( 42 +−= xxy )81,2(P b) ;
1
)(
5





 +=
x
xxf )32,1(P 
 
Exercício 3: Calcule a primeira e a segunda derivadas. 
 
a) 13)( += xxf b) 5)74()( += xxf 
 
 
Exercício 4: Se um objeto de massa m tem velocidade v, então sua energia cinética K é dada 
por 2
2
1
mvK = . Se v é uma função do tempo t, use a regra da cadeia para 
estabelecer uma fórmula para 
dt
dK
. 
 
Derivando da função mais externa 
(potência 10) para mais interna (3x-2) 
Cálculo 1 Módulo 4 – Regra da Cadeia 
 
25 
 
Diferenciação Implícita 
 
Dada a equação 12 += xy , costumamos dizer que y é uma função explícita de x, pois 
podemos escrever )(xfy = com 1)( 2 += xxf . 
A equação 0222 2 =+− yx , define a mesma função f, pois, resolvendo em relação a 
y, temos 222 2 −−=− xy , ou 12 += xy . 
Para o caso 0222 2 =+− yx , dizemos que y (ou f) é uma função implícita de x, ou 
que f é definida implicitamente pela equação. 
 
Podemos ter uma equação em x e y que define mais de uma função implícita. Por 
exemplo, seja a equação 122 =+ yx . Resolvendo em relação a y em termos de x, obtemos 
21 xy −±= 
 
Logo, temos duas funções f e g definidas implicitamente pela equação que são 
21)( xxf −= e 21)( xxg −−= 
 
Se a equação 1543 34 +=−+ xxyy define uma função implícita f, então 
154)]([3)]([ 34 +=−+ xxxfxf 
 
para todo x no domínio de f; todavia, não existe uma maneira óbvia para resolver em 
relação a y em termos de x de forma a obter f(x). Pode-se achar a derivada de f pelo método 
da diferenciação implícita, segundo o qual diferenciamos cada termo da equação em 
relação a x. 
 
Exemplo 3: Supondo que 1543 34 +=−+ xxyy defina, implicitamente, uma função 
diferenciável f tal que )(xfy = , determine sua derivada. 
 
Derivando ambos os lados da equação, obtemos: 
)'1()'(5)'(4)'(3)'()'15()'43( 3434 +=−+⇔+=−+ xxyyxxyy 
De onde segue que, 
512'3'4 23 =−+ xyyy 
Resolvendo agora em relaçãoa y’, obtemos 
23 125')34( xyy +=+ 
ou 
34
512
'
3
2
+
+
=
y
x
y , desde que .034 3 ≠+y 
 
Cálculo 1 Módulo 4 – Regra da Cadeia 
 
26 
 
Exercício 5: Admitindo que a equação determine uma função diferenciável f tal que 
)(xfy = , calcule '.y 
 
a) 108 22 =+ yx b) 12 323 =++ yyxx 
c) 100=+ yx d) 72 =+ xyx 
 
 
Exercício 6: Determine o coeficiente angular da tangente ao gráfico da equação em P. 
 
a) 016 =+xy ; )8,2(−P b) 012 323 =−+− yyxx ; )3,2( −P 
 
 
Exercício 7: Admitindo que a equação determine uma função diferenciável f tal que 
)(xfy = , calcule ,''y se existir. 
 
a) 443 22 =+ yx b) 133 =− yx 
 
 
 
 
Cálculo 1 Módulo 4 – Regra da Cadeia 
 
27 
 
Respostas 
 
Exercício 1: a) 
3 22 )45(3
110
)('
+−
−
=
xx
x
xf ; b) 643 )44)(1(28)(' +−−= xxxxf 
c)
42 )764(
)34(9
)('
−+
+−
=
xx
x
xf ; 
d) 







+
+++=
6
7)67(4)('
2
32
x
x
xxxf ; 
e) )81112168)(98()76(2)(' 222 +−+−= xxxxxf ; 
f) 
5
2
2 3
1 1
'( ) 12f x x x
x x
   = − +   
   
; 
g) 5
6
54 )32(5)('
−
−−= xxxf ; 
h) )1526)(32()24(12)(' 2332 +++++= xxxxxxxf 
 
 
Exercício 2: a) (i) );2(86481 −=− xy )2(
864
1
81 −
−
=− xy ; (ii) 
2
3
,1,
2
1
 
 b) (i) 32=y ; 1=x ; (ii) 1± 
 
 
Exercício 3: a) 
2
1
)13(2
3
)('
+
=
x
xf ; 
2
3
)13(4
9
)(''
+
−
=
x
xf 
b) 4)74(20)(' += xxf ; 3)74(320)('' += xxf 
 
 
Exercício 4: 
dt
dv
mv
dt
dK
= 
 
 
Exercício 5: a) 
y
x
y
8
'
−
= ; b) 
22
2
3
26
'
yx
xyx
y
+
+
−= 
c)
x
y
y −=' ; d) 
x
yxyx
y
−−
=
4
' 
 
Exercício 6: a) 4; b) 
23
36
− 
 
Exercício 7: a) 
34
3
''
y
y −= ; b) 
5
2
''
y
x
y −= 
 
Cálculo 1 Módulo 5 – Derivadas de Funções Trigonométricas 
 
 - 28 - 
 
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Centro Universitário Instituto de Educação Superior de Brasília 
Coordenação de Engenharia / Ciência da Computação 
 
 
Módulo 5 – Derivadas de Funções Trigonométricas 
 
 
 
 D 
 
 C 
 
 
 1 
 
 x 
 
 0 A B(1,0) 
 
 
Pela figura, vemos também que sen x = AC
AC
=
1
 e cos x = OA
OA
=
1
. 
 
====
x
senx
OA
AC
OB
BD
BD
cos
tg x 
 
 
 
 
Substituindo os resultados em (1), obtemos, 
 
sen x < x < 
x
senx
cos
 ⇔ 
senx
x
xsenx
cos11
>> , multiplicando todos os membros por sen x, 
 
x
x
senx
cos1 >> ⇔ x
x
senx
xxx
coslimlim1lim
000 →→→
>> 
 
 1 1 
Logo, pelo Teorema do Sanduíche, 1lim
0
=
→ x
senx
x
 
 
 
Pela figura, 
2
0
π
<< x 
Área <∆OBC Área setor OBC < Área OBD∆ 
bh
2
1
 < xr 2
2
1
 < bh
2
1
 
AC)1(
2
1
 < x2)1(
2
1
 < BD)1(
2
1
 
Multiplicando todos os membros por 2, 
obtemos, 
AC < x < BD (1) 
 
Por semelhança de triângulos 
 
Cálculo 1 Módulo 5 – Derivadas de Funções Trigonométricas 
 
 - 29 - 
 
Teorema 1: 
1lim
0
=
→ x
senx
x
 
 
 
Vamos calcular agora 
x
x
x
1cos
lim
0
−
→
. Para calcular este limite, multiplicaremos o numerador 
e o denominador por (cos x +1), 
 






+
−





=
+
−
=
+
−
=
+
+−
→→→→ x
senx
x
senx
xx
xsen
xx
x
x
x
x
x
xxxx cos1
lim
)1(cos
lim
)1(cos
1cos
lim
1cos
1cos
.
1cos
lim
0
2
0
2
00
= 0 
 
 1 0 
 
Teorema 2: 
0
1cos
lim
0
=
−
→ x
x
x
 
 
 
 
Teorema 3:Derivadas das Funções Trigonométricas 
 
 
dx
d
(sen x) = cos x 
dx
d
(cossec x) = xseccos− cotg x 
 
 
dx
d
(cos x) = senx− =)(sec x
dx
d
sec x tg x 
 
 
dx
d
(tg x) = x2sec 
dx
d
(cotg x) = x2seccos− 
 
 
Dem: Seja f(x)= sen x, assim, 
 
=
−+
=
−+
=
→→ h
xsenhxsen
h
xfhxf
senx
hh
)()(
lim
)()(
lim)'(
00
 
h
xsenxhsenhxsen
h
)()cos()()cos()(
lim
0
−+
=
→
 
)cos(
)(
lim
1)cos(
)(lim
00
x
h
hsen
h
h
xsen
hh →→
+
−
= = cos x 
 0 1 
 
Cálculo 1 Módulo 5 – Derivadas de Funções Trigonométricas 
 
 - 30 - 
Seja f(x)= cos x, assim, 
 
=
−+
=
−+
=
→→ h
xhx
h
xfhxf
x
hh
)cos()cos(
lim
)()(
lim)'(cos
00
 
h
xxsenhsenhx
h
)cos()()()cos()cos(
lim
0
−−
=
→
 
)()(
)(
lim
1)cos(
)cos(lim
00
xsenxsen
h
hsen
h
h
x
hh
−=−
−
=
→→
 
 0 1 
 
Pela regra do quociente, podemos mostrar as derivadas das funções trigonométricas 
que restaram. 
 
 
Exemplo 1: Calcule a derivada de )62()( 3 xxsenxf −= . 
 
Pela Regra da Cadeia, 
 
)62cos()1(6)66)(62cos()(' 3223 xxxxxxxf −−=−−= 
 
Exemplo 2: Calcule a derivada de )3()( 43 xtgxf = . 
 
Pela Regra da Cadeia, 
 
)3(sec)3(3612)3(sec)3(3)(' 4242334242 xxtgxxxxtgxf == 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Para quais valores de x o gráfico de 
tgx
x
xf
+
=
1
sec
)( tem uma tangente horizontal? 
 
Pela Regra do Quociente, temos, 
 
2
22
2
2
)1(
)sec(sec
)1(
secsec)1(sec
)('
tgx
xxtgtgxx
tgx
xxtgxxtgx
xf
+
−+
=
+
−+
= 
2)1(
)1(sec
tgx
tgxx
+
−
= 
 
Derivando da função mais externa 
(potência 3), para mais interna (3x4) 
Lembre-se que 1+tg2x=sec2x 
 
Cálculo 1 Módulo 5 – Derivadas de Funções Trigonométricas 
 
 - 31 - 
Para encontrar os valores de x onde a tangente é horizontal, f’(x)=0. Daí, como xsec nunca é 
zero, vemos que tgx=1, e isso ocorre quando 
4
π
π += nx , onde n é um número inteiro. 
 
 
Exercício 1: Calcule a derivada da função dada. 
 
a) xxf cos4)( = b) xxxf seccos5)( = 
c) 
x
senx
xf =)( d) senxxxf 3)( = 
e) 
x
x
xf
cos1
cos1
)(
+
−
= f) xxf 3cos)( 5= 
g) 2)12sec()( += xxf h) xxxf 3cos)3cos()( 22 += 
i) 5)5cos5()( xxsenxf −= j) xxf 83cos)( 2 −= 
k) 
xsenx
x
xf
cos
)(
+
= l) 
2
)(
x
senx
xf = 
 
 
Exercício 2: (i) Determine equações da tangente e da normal ao gráfico da equação em P; 
(ii) Determine a coordenada-x no gráfico em que a tangente é horizontal. 
 
)3(3 xsenxy += )0,0(P 
 
 
Exercício 3: Calcule a primeira e a segunda derivadas de xsenxf 3)( = 
 
Exercício 4: Admitindo que a equação determine uma função diferenciável f tal que 
),(xfy = calcule '.y 
 
a) 132 −+= yxysen b) )sec(cos xyy = 
c) yxy cos2 = d) 122 =−+ ysenyx 
 
Exercício 5: Determine o coeficiente angular da tangente ao gráfico de π22 =+ senyyx em 
P( π2,1 ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo 1 Módulo 5 – Derivadas de Funções Trigonométricas 
 
 - 32 - 
 
Respostas 
 
Exercício 1: a) senxxf 4)(' −= ; b) )cot1(seccos5)(' xxxxf −= 
c)
2
cos
)('
x
senxxx
xf
−
= ; d) )3cos()(' 2 senxxxxxf += 
e) 
2)cos1(
2
)('
x
senx
xf
+
= ; f) xxsenxf 33cos15)(' 4−= 
g) 22 )12()12sec()12(4)(' +++= xtgxxxf ; 
h) xxsenxxsenxf 33cos6)3(6)(' 2 −−= ; 
i) )55(cos)5cos5(25)(' 4 xsenxxxsenxf +−= ; 
j) 
x
xsenx
xf
83
8383cos8
)('
−
−−
= ; 
k) 
)21(
coscos
)('
xsen
xxxsenxxsenx
xf
+
−++
= ; 
l) 
3
2cos
)('
x
senxxx
xf
−
= 
 
 
Exercício 2: a) (i) ;6xy = (ii) xy
6
1−
= ; (b) n
3
2
3
ππ
+ 
 
Exercício 3: ;cos3)('2 xxsenxf = ; xsenxsenxxf 32 3cos6)('' −= 
 
Exercício 4: a) 
1)6(3
1
1)3cos()3(6
1
'
−
=
−
=
ysenyysen
y 
 b) 
)sec(cos)cot(1
)sec(cos)cot(
'
xyxyx
xyxyy
y
+
−
= 
 c) 
yxseny
y
y
2
cos
'
+
= ; d) 
ysenyy
senyx
y
cos4
4
'
−
= 
 
 
Exercício 5: π2− 
 
 
 
Cálculo 1 Módulo 5 – Derivadas de Funções Trigonométricas 
 
 - 33 - 
 
CENTRO UNIVERSITÁRIO IESB 
Centro Universitário Instituto de Educação Superior de Brasília 
Coordenação de Engenharia / Ciência da Computação 
 
 
Módulo 5 – Derivadas de Funções Trigonométricas 
 
 
 
 D 
 
 C 
 
 
 1 
 
 x 
 
 0 A B(1,0) 
 
 
Pela figura, vemos também que sen x = AC
AC
=
1
 e cos x = OA
OA
=
1
. 
 
====
x
senx
OA
AC
OB
BD
BD
cos
tg x 
 
 
 
 
Substituindo os resultados em (1), obtemos, 
 
sen x < x < 
x
senx
cos
 ⇔ 
senx
x
xsenx
cos11
>> , multiplicando todos os membros por sen x, 
 
x
x
senx
cos1 >> ⇔ x
x
senx
xxx
coslimlim1lim
000 →→→
>> 
 
 1 1 
Logo, pelo Teorema do Sanduíche, 1lim
0
=
→ x
senx
x
 
 
 
Pela figura, 
2
0
π
<< x 
Área <∆OBC Área setor OBC < Área OBD∆ 
bh
2
1
 < xr 2
2
1
 < bh
2
1
 
AC)1(
2
1
 < x2)1(
2
1
 < BD)1(
2
1
 
Multiplicando todos os membros por 2, 
obtemos, 
AC < x < BD (1) 
 
Por semelhança de triângulos 
 
Cálculo 1 Módulo 5 – Derivadas de Funções Trigonométricas 
 
 - 34 - 
 
Teorema 1: 
1lim
0
=
→ x
senx
x
 
 
 
Vamos calcular agora 
x
x
x
1cos
lim
0
−
→
. Para calcular este limite, multiplicaremos o numerador 
e o denominador por (cos x +1), 
 






+
−





=
+
−
=
+
−
=
+
+−
→→→→ x
senx
x
senx
xx
xsen
xx
x
x
x
x
x
xxxx cos1
lim
)1(cos
lim
)1(cos
1cos
lim
1cos
1cos
.
1cos
lim
0
2
0
2
00
= 0 
 
 1 0 
 
Teorema 2: 
0
1cos
lim
0
=
−
→ x
x
x
 
 
 
 
Teorema 3:Derivadas das Funções Trigonométricas 
 
 
dx
d
(sen x) = cos x 
dx
d
(cossec x) = xseccos− cotg x 
 
 
dx
d
(cos x) = senx− =)(sec x
dx
d
sec x tg x 
 
 
dx
d
(tg x) = x2sec 
dx
d
(cotg x) = x2seccos− 
 
 
Dem: Seja f(x)= sen x, assim, 
 
=
−+
=
−+
=
→→ h
xsenhxsen
h
xfhxf
senx
hh
)()(
lim
)()(
lim)'(
00
 
h
xsenxhsenhxsen
h
)()cos()()cos()(
lim
0
−+
=
→
 
)cos(
)(
lim
1)cos(
)(lim
00
x
h
hsen
h
h
xsen
hh →→
+
−
= = cos x 
 0 1 
 
Cálculo 1 Módulo 5 – Derivadas de Funções Trigonométricas 
 
 - 35 - 
Seja f(x)= cos x, assim, 
 
=
−+
=
−+
=
→→ h
xhx
h
xfhxf
x
hh
)cos()cos(
lim
)()(
lim)'(cos
00
 
h
xxsenhsenhx
h
)cos()()()cos()cos(
lim
0
−−
=
→
 
)()(
)(
lim
1)cos(
)cos(lim
00
xsenxsen
h
hsen
h
h
x
hh
−=−
−
=
→→
 
 0 1 
 
Pela regra do quociente, podemos mostrar as derivadas das funções trigonométricas 
que restaram. 
 
 
Exemplo 1: Calcule a derivada de )62()( 3 xxsenxf −= . 
 
Pela Regra da Cadeia, 
 
)62cos()1(6)66)(62cos()(' 3223 xxxxxxxf −−=−−= 
 
 
Exemplo 2: Calcule a derivada de )3()( 43 xtgxf = . 
 
Pela Regra da Cadeia, 
 
)3(sec)3(3612)3(sec)3(3)(' 4242334242 xxtgxxxxtgxf == 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Para quais valores de x o gráfico de 
tgx
x
xf
+
=
1
sec
)( tem uma tangente horizontal? 
 
Pela Regra do Quociente, temos, 
 
2
22
2
2
)1(
)sec(sec
)1(
secsec)1(sec
)('
tgx
xxtgtgxx
tgx
xxtgxxtgx
xf
+
−+
=
+
−+
= 
Derivando da função mais externa 
(potência 3), para mais interna (3x4) 
 
Cálculo 1 Módulo 5 – Derivadas de Funções Trigonométricas 
 
 - 36 - 
2)1(
)1(sec
tgx
tgxx
+
−
= 
 
Para encontrar os valores de x onde a tangente é horizontal, f’(x)=0. Daí, como xsec nunca é zero, vemos que tgx=1, 
e isso ocorre quando 
4
π
π += nx , onde n é um número inteiro. 
 
 
Exercício 1: Calcule a derivada da função dada. 
 
a) xxf cos4)( = b) xxxf seccos5)( = 
c) 
x
senx
xf =)( d) senxxxf 3)( = 
e) 
x
x
xf
cos1
cos1
)(
+
−
= f) xxf 3cos)( 5= 
g) 2)12sec()( += xxf h) xxxf 3cos)3cos()( 22 += 
i) 5)5cos5()( xxsenxf −= j) xxf 83cos)( 2 −= 
k) 
xsenx
x
xf
cos
)(
+
= l) 
2
)(
x
senx
xf = 
 
 
Exercício 2: (i) Determine equações da tangente e da normal ao gráfico da equação em P; 
(ii) Determine a coordenada-x no gráfico em que a tangente é horizontal. 
 
)3(3 xsenxy += )0,0(P 
 
 
Exercício 3: Calcule a primeira e a segunda derivadas de xsenxf 3)( = 
 
Exercício 4: Admitindo que a equação determine uma função diferenciável f tal que 
),(xfy = calcule '.y 
 
a) 132 −+= yxysen b) )sec(cos xyy = 
c) yxy cos2 = d) 122 =−+ ysenyx 
 
Exercício 5: Determine o coeficiente angular da tangente ao gráfico de π22 =+ senyyx em 
P( π2,1 ). 
 
 
 
 
Lembre-se que 1+tg2x=sec2x 
 
Cálculo 1 Módulo 5 – Derivadas de Funções Trigonométricas 
 
 - 37 - 
 
 
Respostas 
 
Exercício 1: a) senxxf 4)(' −= ; b) )cot1(seccos5)(' xxxxf −= 
c)
2
cos
)('
x
senxxx
xf
−
= ; d) )3cos()(' 2 senxxxxxf += 
e) 
2)cos1(
2
)('
x
senx
xf
+
= ; f) xxsenxf 33cos15)(' 4−= 
g) 22 )12()12sec()12(4)(' +++= xtgxxxf ; 
h) xxsenxxsenxf 33cos6)3(6)(' 2 −−= ; 
i) )55(cos)5cos5(25)(' 4 xsenxxxsenxf +−= ; 
j) 
x
xsenx
xf
83
8383cos8
)('
−
−−
= ; 
k) 
)21(
coscos
)('
xsen
xxxsenxxsenx
xf
+
−++
= ; 
l) 
3
2cos
)('
x
senxxx
xf
−
= 
 
 
Exercício 2: a) (i) ;6xy = (ii) xy
6
1−
= ; (b) n
3
2
3
ππ
+ 
 
Exercício 3: ;cos3)(' 2 xxsenxf = ; xsenxsenxxf 32 3cos6)('' −= 
 
Exercício 4: a) 
1)6(3
1
1)3cos()3(6
1
'
−
=
−
=
ysenyysen
y 
 b) 
)sec(cos)cot(1
)sec(cos)cot(
'
xyxyx
xyxyy
y
+
−
= 
 c) 
yxseny
y
y
2
cos
'
+
= ; d) 
ysenyy
senyx
y
cos4
4
'
−
= 
 
 
Exercício 5: π2− 
 
 
 
Cálculo 1 Módulo 6 – Funções Inversas 
 
 - 38 - 
CENTRO UNIVERSITÁRIO IESB 
Centro Universitário Instituto de Educação Superior de Brasília 
Coordenação de Engenharia / Ciência da Computação 
 
 
Módulo 6 – Funções Inversas 
 
 
Def: Duas funções f e g são inversas, se as quatro condições seguintes são satisfeitas 
 
a) Im g ⊂ Dom f c) Im f ⊂ Dom g 
 
b) f og(x) = x d) g o f(x) = x 
 
Notação: Denotamos g por 1−f para dizer que g é a inversa de f. 
 
 
Exemplo 1: Sejam 3)( xxf = e 3)( xxg = . 
 
Dom f = R e Dom g = R, 
 
( ) xxxfxgf === 333 )())(( 
 f e g são inversas. 
xxxgxfg === 3 33 )())(( 
 
 
Método algébrico para determinar 1−f 
 
 1) Escreva a equação )(xfy = que define f 
 2) Resolva essa equação para x em função de y para obter )(1 yfx −= . Esta equação 
define 1−f . 
 3) Troque x por y na equação obtida em (2). 
 
 
 
Cálculo 1 Módulo 6 – Funções Inversas 
 
 - 39 - 
Exemplo 2: Seja 12)( 5 −= xxf . Encontre 1−f 
 
Resolvendo pelo método algébrico, escrevemos 12 5 −= xy . 
 
Vamos isolar x, para encontrar uma função de y, 
555
2
1
2
1
12
+
=⇔
+=⇔+=
y
x
y
xyx 
Trocando x por y temos a função inversa de f 
51
2
1
)(
+
=−
x
xf 
 
 
OBS: O gráfico de f contém o ponto (a,b) ⇔ o gráfico de 1−f contém o ponto (b,a). 
 
 
Dem: De fato, suponha que f possui uma inversa 1−f . Se (a,b) pertence ao gráfico da f então 
a ∈Dom f e 
 
f(a) = b é equivalente a a = 1−f (b). 
 
Isto implica que (b,a) pertence ao gráfico de 1−f . 
 
 
OBS: Isto significa que o gráfico da função 1−f é o simétrico do gráfico de f em relação à 
reta y = x. 
 y y = x 
 • (b,a) 
 
 
 • (a,b) 
 
 0 x 
 
 
 
 
Cálculo 1 Módulo 6 – Funções Inversas 
 
 - 40 - 
Exemplos 
 
 
 
 
 
OBS: (1) Nem toda função é invertível. (Para ser invertível tem que ser 1-1) 
 
 (2) Se uma função é inversível então existe uma e somente uma g tal que g = 1−f 
 
 
Exercício 1: Verifique o domínio onde f é inversível e encontre a função inversa 1−f de cada 
função dada. Esboce o gráfico de f e de 1−f . 
 
a) 2)( xxf = b) xxf −= 3)( 
c) 3)( xxf = d) 53)( += xxf 
 
 
Funções Trigonométricas Inversas 
 
Sabemos que a função sen(x) não é 1-1, mas se tomarmos 
22
),()(
ππ
≤≤
−
= xxsenxf 
é 1-1. A função inversa dessa função seno restrita f existe e é denotada por arcsen ou 1−sen
. Ela é chamada de inversa da função seno, ou função arcsen. 
 
 
Cálculo 1 Módulo 6 – Funções Inversas 
 
 - 41 - 
 
 
 
Podemos usar a diferenciação implícita para encontrar as derivadas das funções 
trigonométricas inversas. Sabemos que 
xsenxarcseny 1)( −== significa xysen =)( e 
22
ππ
≤≤
−
y 
 
Diferenciando xysen =)( implicitamente em relação a x obtemos, 
y
yyy
cos
1
'1'.cos =⇔= 
Agora 0cos ≥y , uma vez que 
22
ππ
≤≤
−
y , logo: 
222222 11cos1cos1cos xysenyysenyyysen −=−=⇔−=⇔=+ 
Portanto: 
21
1
cos
1
'
xy
y
−
== 
 
 
21
1
))((
x
xarcsen
dx
d
−
= 1|| <x 
 
 
O traço verde esboça o gráfico de 
arcsen(x) enquanto o traço vermelho 
esboça o gráfico de sen(x). 
Dom sen(x) = 


−
2
,
2
ππ
 
Dom arcsen(x) = [ ]1,1− 
 
Cálculo 1 Módulo 6 – Funções Inversas 
 
 - 42 - 
Exercício 2: Analogamente, defina a inversa da função cos(x) em π≤≤ x0 como arccos ou 
1cos − e determine seu domínio. Esboce o gráfico de arccos(x) e mostre que 
21
1
))(arccos(
x
x
dx
d
−
−= 1|| <x 
 
A função tangente pode ser tornada 1-1 restringindo-a ao intervalo 
22
ππ
<<
−
x . 
Assim, a função inversa da tangente é definida como sendo a inversa da função 
),()( xtgxf = 
22
ππ
<<
−
x . Ela é denotada por arctg ou 1−tg . 
 
 
A derivada da função arco tangente é deduzida de maneira similar. Sabemos que 
xtgxarctgy 1)( −== significa xytg =)( e 
22
ππ
≤≤
−
y 
 
Diferenciando xytg =)( implicitamente em relação a x obtemos, 
222
2
1
1
1
1
sec
1
'1'.sec
xxtgy
yyy
+
=
+
==⇔= 
 
 
 
21
1
))((
x
xarctg
dx
d
+
= 
 
 
O traço verde esboça o gráfico de tg(x) 
enquanto o traço vermelho esboça o 
gráfico de arctg(x). 
Dom tg(x) = 




 −
2
,
2
ππ
 
Dom arctg(x) = R 
 
Cálculo 1 Módulo 6 – Funções Inversas 
 
 - 43 - 
Exercício 3: Analogamente, defina a inversa da função cotg(x) em π<< x0 como arccotg 
ou 1cot − e determine seu domínio. Esboce o gráfico de arcotg(x) e mostre que 
21
1
))cot((
x
xarc
dx
d
+
−= 
 
A função secante pode ser tornada 1-1 restringindo-a ao intervalo 
2
3
2
0
π
π
π
<≤∪<≤ xx . Assim, a função inversa da secante é definida como sendo a inversa 
da função ),sec()( xxf = 
2
0
π
<≤ x ou 
2
3π
π <≤ x . Ela é denotada por arcsec ou 1sec− . 
 
 
 
 
 
 
A derivada da função arco secante é deduzida de maneira similar. Sabemos que 
xxarcy 1sec)sec( −== significa xy =)sec( e 
2
0
π
<≤ y ou 
2
3π
π <≤ y 
 
Diferenciando xy =)sec( implicitamente em relação a x obtemos, 
1
1
1)(sec)sec(
1
)()sec(
1
'1').()sec(
22 −
=
−
==⇔=
xxyyytgy
yyytgy 
 
 
 
1
1
))sec((
2 −
=
xx
xarc
dx
d
 1|| >x 
 
 
 
Exercício 4: Analogamente, defina a inversa da função cossec(x) em 
2
0
π
≤< x ou 
2
3π
π ≤< x como arccossec ou 1csc − e determine seu domínio. Mostre que 
1
1
))sec((arccos
2 −
−=
xx
x
dx
d
 1|| >x 
 
 
Dom sec(x) = 



∪




2
3
,
2
,0
π
π
π
 
Dom arcsec(x) = ( ] [ )∞∪−∞− ,11, 
 
Cálculo 1 Módulo 6 – Funções Inversas 
 
 - 44 - 
Exercício 5: Encontre a derivada da função. Simplifique onde possível. 
 
a) )()( 2xarcsenxf = b) )()1()( 2 xarctgxxf += 
c) 




=
x
xf
4
arccos)( d) )3(cot)( 12 xxxf −= 
e) ))3sec(sec()( xarcxf = f) )))23(cot(cot()( 2 += xsenarcxf 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas 
 
 
Exercício 1: a) Dom f = R + ; xf =−1 ; Dom 1−f = R + 
b) Dom f = ( ∞− ,3]; 21 3 xf −=− ; Dom 1−f = R + 
c) Dom f = R; 31 xf =− ; Dom 1−f = R 
d) Dom f = R; 
3
51 −=−
x
f ; Dom 1−f = R 
 
Exercício 5: a) 
41
2
)('
x
x
xf
−
= ; b) )()2(1)(' xarctgxxf += 
c) 
24 16
4
)('
xx
xf
−
= ; d) 
2
2
1
91
3
)3(cot2)('
x
x
xxxf
+
−= − 
e) 3)(' =xf ; f) )23cos(6)(' 2 += xxxf 
 
 
 
 
Cálculo 1 Módulo 7 – Derivadas das Funções Exponencial e Logaritmo 
 
 - 45 - 
 
CENTRO UNIVERSITÁRIO IESB 
Centro Universitário Instituto de Educação Superior de Brasília 
Coordenação de Engenharia / Ciência da Computação 
 
 
Módulo 7 – Derivadas das Funções Exponencial e Logaritmo 
 
 
Derivada do logaritmo 
 
 
 
 
 
 1/x C D 
 
 
 1/(x+h) E F 
 
 A B 
 x x+h 
 
 h 
Tomando o limite em todos os membros, 
 
xh
xhx
hx hhh
1
lim
)ln()ln(
lim
1
lim
000 →→→
<
−+
<
+
 
 
x
x
x
1
)'(ln
1
<< ⇔ 
x
x
1
)'(ln = 
 
 
Analogamente, podemos mostrar para h < 0. 
Observe que, 
 
|)'(|
||
1
|)'|(ln x
x
x = . Mas =|'| x 1 , se x > 0. Logo 
x
x
x
||
|'| = . 
 -1, se x < 0 
 
Então, 
 
xx
x
x
x
1||
||
1
|)'|(ln == ⇔ 
x
x
1
|)'|(ln = 
Seja h > 0. 
 
Pela Figura, temos, 
 
área ABEF < ln (x+h) – ln (x) < área ABCD 
 
x
h
xhx
hx
h
<−+<
+
)ln()ln( 
 
xh
xhx
hx
1)ln()ln(1
<
−+
<
+
 
 
Cálculo 1 Módulo 7 – Derivadas das Funções Exponencial e Logaritmo 
 
 - 46 - 
Exemplo 1: Calcule a derivada de )442ln()( 2 −+= xxxf 
 
Pela Regra da Cadeia, 
 
22
)1(2
)('
)22(2
)1(4
)44(
442
1
)('
222 −+
+
=⇔
−+
+
=+
−+
=
xx
x
xf
xx
x
x
xx
xf 
 
 
Exercício 1: Determine o domínio das funções dadas e calcule suas derivadas: 
 
a) )ln()( senxxf = b) 2ln)( xxf = 
c) )53ln()( xxf −= d) )1ln()( 2 += xxf 
e) xxxxf −= ln)( f) xxf lnln)( = 
 
Exemplo 2: Calcule a derivada de 





+
+
=
1
4
ln)(
2
2
x
x
xf 
 
Pela propriedade (c) )1ln()4ln(
1
4
ln 22
2
2
+−+=





+
+
xx
x
x
 
Pela Regra da Cadeia, 
1
2
4
2
)('
22 +
−
+
=
x
x
x
x
xf 
 
 
Exercício 2: Usando as propriedades do logaritmo, calcule as derivadas das funções dadas: 
 
a) )3cosln()( 22 xxxf = b) 
21
)(
ln)(
x
xsen
xf
+
= 
c) ))1(ln()(2xxxf += d) 
1
cos)1(
ln)(
2 +
−
=
x
xx
xf 
 
 
Podemos usar o logaritmo para facilitar o cálculo da derivada de certos produtos ou 
quocientes (diferenciação logarítmica), como ilustram os exemplos seguintes. 
 
 
Cálculo 1 Módulo 7 – Derivadas das Funções Exponencial e Logaritmo 
 
 - 47 - 
Exemplo 3: Calcule a derivada de )1)(1()( 232 −+= xxxxf 
 
Primeiro tomamos o logaritmo em ambos os lados da equação e usamos a propriedade (a) 
 
|1|ln|1|ln||ln|)(|ln 232 −+++= xxxxf 
 
Daqui obtemos, por derivação, 
 
1
2
1
32
)(
)('
23
2
2 −
+
+
+=
x
x
x
x
x
x
xf
xf
 
 
Segue-se que, 






−
+
+
+−+=
1
2
1
32
)1)(1()('
23
2
232
x
x
x
x
x
xxxxf 
 f(x) 
 
Exemplo 4: Calcule a derivada de 
22
322
)1(
)1()1(
)(
+
+−
=
x
xx
xf 
 
Primeiro tomamos o logaritmo em ambos os lados da equação e usamos as 
propriedades (a), (c) e (d) 
 
|1|ln2|1|ln3|1|ln2|)(|ln 22 +−++−= xxxxf 
 
Daqui obtemos, por derivação, 
 
1
2
2
1
1
3
1
2
2
)(
)('
22 +
−
+
+
−
=
x
x
xx
x
xf
xf
 
 
Segue-se que, 






+
−
+
+
−+
+−
=
1
4
1
3
1
4
)1(
)1()1(
)('
2222
322
x
x
xx
x
x
xx
xf 
 
 f(x) 
 
Cálculo 1 Módulo 7 – Derivadas das Funções Exponencial e Logaritmo 
 
 - 48 - 
Exercício 3: Calcule as derivadas das funções dadas por derivação logarítmica: 
 
a) 
3223 )1()2()( +−= xxxxf b) 
1
)1(
)(
2
23
−
+
=
x
xx
xf 
c) 
1
1
)(
−
+
=
x
x
xf d) 
1
1
)(
2
2
+
−
=
x
x
xf 
e) 
xxxf =)( f) )()( xsenxxf = 
g) 
xxxf )(ln)( = h) xxxf cos)(ln)( = 
 
 
Exercício 4: Determine a equação da reta tangente ao gráfico de )1ln( xy −= em 0=x . 
 
Exercício 5: Determine a equação da reta tangente ao gráfico de 
x
y
1
ln= em 2=x . 
 
Exercício 6: Determine a equação da reta normal ao gráfico de )3ln( −= xy em 4=x . 
 
Exercício 7: Determine a equação da reta normal ao gráfico da função )1ln()( += xxf , 
paralela à reta .52 =+ yx 
 
Derivada da função exponencial 
 
Sabemos que xe x =ln . Diferenciando cada membro desta equação, obtemos, 
 
1)'(
1
=x
x
e
e
 ⇔ xx ee =)'( 
 
 
)(')'( )()( xfee xfxf = 
 
 
OBS: 
1lnlnln 1)'()'()'( −===== nnxnxnxn nx
x
n
x
x
neeex
n
 
Daí, 1)'( −= nn nxx 
 
 
Cálculo 1 Módulo 7 – Derivadas das Funções Exponencial e Logaritmo 
 
 - 49 - 
 
Exemplo 1: Calcule a derivada de 
23)( xexf = 
 
Pela Regra da Cadeia, 
22 33 6)6()(' xx xexexf == 
 
Exercício 8: Calcule as derivadas das funções dadas: 
 
a) xexf cos)( = b) xexxf 22)( −= 
c) 
1
)(
2 +
=
x
e
xf
x
 d) 34 )5()( −= xexf 
e) 
xx
xx
ee
ee
xf
−
−
+
−
=)( f) xexf −= cosln)( 
 
Exercício 9: Esboce os gráficos das funções dadas: 
 
a) xexf −=)( b) ||)( xexf = 
c) 3)( −= xexf d) 1)( 2 += +xexf 
 
 
Exercício 10: Use a diferenciação implícita para obter 'y . 
 
a) 113 23 =+− yxe xy b) yx xeye 2cot = 
 
Exercício 11: Determine a reta tangente à curva 1−= xey em x = 1. 
 
Exercício 12: Determine a reta normal à curva 4+= xey em 4−=x . 
 
Exercício 13: A corrente )(tI em um circuito elétrico no instante t é dada por 
LRteItI −= 0)( , onde R é a resistência, L a indutância e 0I é a corrente no 
instante t = 0. Mostre que a taxa de variação da corrente no instante t é 
proporcional a )(tI . 
 
Exercício 14: Resolver xx ee −=+12 
 
Cálculo 1 Módulo 7 – Derivadas das Funções Exponencial e Logaritmo 
 
 - 50 - 
 
Derivada de xa 
 
aaaeea xaxaxx lnln.)'()'( lnln === 
 
 
aaa xx ln)'( = 
 
 
 
 
Exemplo 2: Calcule a derivada de xxf 2cos3)( = 
 
Pela Regra da Cadeia, 
 
xx xsenxsenxf 2cos2cos 3)2(3ln22)).2((3ln3)(' −=−= 
 
 
Def: A função logarítmica de base a, é 
y
a axxy =⇔= log 
 
 
 
Consideremos xy alog= ou 
yax = . Tomando o logaritmo natural de ambos os lados 
os membros da última equação, obtemos 
 
⇔=⇔=
a
x
yayx
ln
ln
lnln 
a
x
xa ln
ln
log = 
 
 
Diferenciando ambos os membros da última equação, obtemos, 
 
 
ax
xa ln
1
)'(log = 
 
 
 
 
 
 
Cálculo 1 Módulo 7 – Derivadas das Funções Exponencial e Logaritmo 
 
 - 51 - 
Exemplo 3: Calcule a derivada de |9|log)( 22 −= xxf 
 
Pela Regra da Cadeia, 
 
)9(2ln
2
2
9
1
2ln
1
)('
22 −
=
−
=
x
x
x
x
xf 
 
 
Exercício 15: Calcule as derivadas das funções dadas: 
 
a) xsenxxf 5)( = b) ( )tgxxf 2)( = 
c) 
xxxf 2)( = d) xxsenxexf π=)( 
e) )13(log)( 2410 ++= xxxf f) xxf lnlog)( = 
 
 
 
 
Respostas 
 
Exercício 1: a) Dom f = ( )ππ )12(,2 +nn ; xxf cot)(' = 
b) Dom f = R * ; 
x
xf
2
)(' = 
c) Dom f = 




 ∞−
5
3
, ; 
35
5
)('
−
=
x
xf 
d) Dom f = R; 
1
2
)('
2 +
=
x
x
xf 
e) Dom f = R +* ; xxf ln)(' = 
f) Dom f = ),1( ∞ ; 
xx
xf
ln
1
)(' = 
 
Exercício 2: a) 
xx
xxsenx
xf
3cos
)3(63cos2
)('
−
= ; b) 
)()1(
)(2cos)1(
)('
2
2
xsenx
xxsenxx
xf
+
−+
= 
c) 
)1(2
51
)('
2
2
xx
x
xf
+
+
= ; d) 
1
2
)(
1
1
)('
2 +
−−
−
=
x
x
xtg
x
xf 
 
 
 
 
Cálculo 1 Módulo 7 – Derivadas das Funções Exponencial e Logaritmo 
 
 - 52 - 
Exercício 3: a) )612710()1)(2()(' 23222 −−++−= xxxxxxxf ; 
b) 
22
242
)1(
)343(
)('
−
−−
=
x
xxx
xf ; c) 
2
3
)1(1
1
)('
−+
−
=
xx
xf ; 
d) 
2
32
2
4
)1(
1
1
)('
+
−
−
−
=
x
xx
x
x
xf ; 
e) )1(ln)(' += xxxf x ; 
f) 





+=
x
xsen
xxxxf xsen
)(
lncos)(' )( ; 
g) 




 +=
x
xxxf x
ln
1
lnln)(ln)(' ; 
h) 




 +−=
xx
x
xxsenxxf x
ln
cos
lnln)()(ln)(' cos 
 
Exercício 4: xy −= 
 
Exercício 5: 02ln222 =+−+ yx 
 
Exercício 6: 04 =−+ yx 
 
Exercício 7: 04ln
2
1
2 =+++ yx 
 
 
Exercício 8: a) xexsenxf cos)()(' −= ; b) xexxxf 22 )22()(' −−= 
 c) 
22
2
)1(
)1(
)('
+
−
=
x
xe
xf
x
; d) 244 )5(12)(' −= xx eexf 
 e) 
2)(
4
)('
xx ee
xf
−+
= ; f) )()(' xx etgexf −−= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo 1 Módulo 7 – Derivadas das Funções Exponencial e Logaritmo 
 
 - 53 - 
Exercício 9: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
Exercício 10: a) 
yxe
yex
y
xy
xy
6
3
'
2
+
−
= ; b) 
yexe
eye
y
xy
yx
22
2
csc2
cot
'
+
−
= 
 
Exercício 11: xy = 
 
Exercício 12: 03 =++ yx 
 
Exercício 14: 2ln−=x 
 
Exercício 15: a) )cos(5ln5)(' xxsenxxf xsenx += 
 b) 
( )
x
xf
tgx
2cos2
2ln2
)(' = 
 c) )1(ln2ln2)(' += xxxf xx
x
 
 d) ]ln)cos(1[)(' ππ xxsenxexf xxsenx ++= 
 e) 
10ln)13(
64
)('
24
3
++
+
=
xx
xx
xf 
 f) 
10lnln
1
)('
xx
xf = 
 
Cálculo 1 Módulo 8 – Regra de L´Hôpital 
 
 - 54 - 
 
CENTRO UNIVERSITÁRIO IESB 
Centro Universitário Instituto de Educação Superior de Brasília 
Coordenação de Engenharia / Ciência da Computação 
 
 
Módulo 8 – Regra de L’Hôpital 
 
Teorema: (Teorema de ValorMédio de Cauchy) 
 
 Se f e g são contínuas em [a, b] e diferenciáveis em (a, b) e se g’(x) ≠ 0 para todo 
x em (a, b), então existe um número w em (a, b) tal que 
 
)('
)('
)()(
)()(
wg
wf
agbg
afbf
=
−
−
 
 
 
Dem: Note que g(b)- g(a) ≠ 0, pois, de outra forma g(b) = g(a) e, pelo Teorema de Rolle, 
∃ c tal que g’(c) = 0, o que seria absurdo pois g’(x) ≠ 0 para todo x em (a, b). 
 
Seja h como segue: 
)()]()([)()]()([)( xfagbgxgafbfxh −−−= ∈∀x R 
h é contínua em [a, b] e diferenciável em (a, b), e além disso )()( bhah = . 
Logo, pelo Teorema de Rolle, ∃ ∈w (a, b) tal que h’(w) = 0. 
 
0)(')]()([)(')]()([)(' =−−−= wfagbgwgafbfwh 
)(')]()([)(')]()([ wfagbgwgafbf −=− 
 
Logo, 
)('
)('
)()(
)()(
wg
wf
agbg
afbf
=
−
−
 
 
Teorema: (Regra de L’Hôpital) 
 
 Sejam f e g diferenciáveis em um intervalo aberto (a, b) contendo c, exceto 
possivelmente no próprio c. Se 
)(
)(
xg
xf
 tem a forma indeterminada 
0
0
 ou 
∞
∞
 em 
x = c e se g’(x) ≠ 0 para x ≠ c, então 
 
)('
)('
lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
cxcx →→
= 
 se o limite do lado direito existir (ou é ∞ , ou ∞− ). 
 
 
Cálculo 1 Módulo 8 – Regra de L´Hôpital 
 
 - 55 - 
Dem: Suponha que 0)(lim =
→
xf
cx
, 0)(lim =
→
xg
cx
 que L
xg
xf
cx
=
→ )('
)('
lim . 
Devemos mostrar que L
xg
xf
cx
=
→ )(
)(
lim . Definimos 
 )(xf , se ax ≠ )(xg , se ax ≠ 
F(x) = G(x) = 
 0 , se ax = 0 , se ax = 
 
)(lim xF
cx→
 = 0)(lim =
→
xf
cx
= F(c) ⇒ F é contínua em c e daí é contínua em todo (a, b), 
uma vez que f é contínua em { axbax ≠∈ |),( }. 
Analogamente, G(x) é contínua em (a, b). 
Em todo cx ≠ temos )(')(' xfxF = e )(')(' xgxG = 
Seja ),( bax∈ e cx > . Então F e G são contínuas em [c, x] e diferenciáveis em (a, x) e 
0'≠G lá (uma vez que )(')(' xfxF = e )(')(' xgxG = ). 
Portanto, pelo Teorema anterior (Cauchy), ∃ ∈w (c, x) tal que 
 
)(
)(
)()(
)()(
)('
)('
xG
xF
cGxG
cFxF
wG
wF
=
−
−
= 
 
Aqui usamos o fato de que, por definição, 0)( =cF e 0)( =cG . 
Agora, se fizermos +→ cx , então +→ cw (uma vez que xwc << ). 
Portanto, 
 
)(
)(
lim
)(
)(
lim
xG
xF
xg
xf
cxcx
++ →→
= = L
wg
wf
wG
wF
cwcw
==
++ →→ )('
)('
lim
)('
)('
lim 
 
Um argumento análogo mostra que o limite lateral esquerdo é também L. 
Logo, 
L
xg
xf
cx
=
→ )(
)(
lim 
Isto prova a Regra de L’Hôpital quando c é finito. 
Se c for infinito, vamos fazer 
x
t
1
= . 
Então +→ 0t quando ∞→x ; assim temos 
 
=
∞→ )(
)(
lim
xg
xf
x
=
+→ )1(
)1(
lim
0 tg
tf
t
=
−
−
+→ )1)(1('
)1)(1('
lim
2
2
0 ttg
ttf
t
=
+→ )1('
)1('
lim
0 tg
tf
t )('
)('
lim
xg
xf
x ∞→
 
 
Aplicando a Regra de 
L’Hôpital para c finito 
 
Cálculo 1 Módulo 8 – Regra de L´Hôpital 
 
 - 56 - 
Exemplo 1: Calcular os limites abaixo: 
 
a) 
x
x
x
sen
lim
0→
 
RL
= 1
1
cos
lim
0
=
→
x
x
 
b) 
21 )1(
)1sen(ln
lim
−
−−
→ x
xx
x
 
RL
= 
)1(2
)1cos(
1
lim
1 −
−−
→ x
x
x
x
 
RL
=
2
1
2
)1sen(
1
lim
2
1
−=
−+−
→
x
x
x
 
c) 
3
lim
x
e x
x ∞→
 
RL
= 
23
lim
x
e x
x ∞→
 
RL
= 
x
e x
x 6
lim
∞→
 
RL
= ∞=
∞→ 6
lim
x
x
e
 
 
 
Exercício 1: Calcular os limites abaixo: 
 
 a) 
)1(
ln
lim
1 −→ x
x
x
 b) 
30
lim
x
xtgx
x
−
→
 
 c) 
x
e x
x sen
1
lim
0
−
→
 d) 
x
x
x
lnln
lim
∞→
 
 e) 
23lim x
x
ex −
∞→
 f) 
2
3)(ln
lim
x
x
x ∞→
 
 
Indeterminação do tipo ∞ .0 
 
1) Escrever (f . g) como 
g
f
1
 ou 
f
g
1
 
2) Aplicar L’Hôpital 
 
 
Exemplo 2: Calcular o limite abaixo: 
 
xx
x
lnlim 2
0+→
 = 
2
0 1
ln
lim
x
x
x
+→
RL
=
3
0 2
1
lim
x
x
x −+→
 = 0
2
lim
2
0
=
−+→
x
x
 
Exercício 2: Calcular os limites abaixo: 
 
 a) xx
x
lnlim
0+→
 b) x
x
ex 2lim
−∞→
 
 c) xx
x
cot)(lim π
π
−
→
 d) xx
x
3cos7seclim
)2( −→ π
 
 e) 
23lim x
x
ex −
∞→
 
Aplicando a Regra de 
L’Hôpital 
O limite fica da forma - ∞/ ∞ e 
podemos aplicar L’Hôpital 
 
Cálculo 1 Módulo 8 – Regra de L´Hôpital 
 
 - 57 - 
Indeterminação do tipo ∞ - ∞ 
 
Em geral, reduzimos ao mesmo denominador. 
 
 
Exemplo 3: Calcular o limite abaixo: 
 





 −
→ x
x
x
1
csclim
0
 = 




 −
→ xxx
1
sen
1
lim
0
= 




 −
→ xx
xx
x sen
sen
lim
0
RL
= 





+
−
→ xxx
x
x cossen
cos1
lim
0
 
RL
= 
0
2
0
sencoscos
sen
lim
0
==





−+→ xxxx
x
x
 
 1 1 0 
 
 
Exercício 3: Calcular os limites abaixo: 
 
 a) 




 −
→ 240
11
lim
xxx
 b) 





−
−
→ 1
1
ln
1
lim
1 xxx
 
 c) ( )xx
x
cotcsclim
0
−
→
 d) ( )1lim 2 −−
∞→
xx
x
 
 e) ( )xxxx
x
−−++
∞→
22 1lim f) 





−
−
∞→ 1
11
lim
xx ex
 
 
 
Indeterminações do tipo 00, ∞0, 1∞ 
 
1) Fazer gfy = 
2) Aplicar Logaritmo em ambos os lados da equação e temos fgy lnln = 
3) Calcular y
cx
lnlim
→
 
4) Aplicar exponencial no resultado obtido em (3) 
 
 
O limite fica da forma 0/0 e 
podemos aplicar L’Hôpital 
 
Cálculo 1 Módulo 8 – Regra de L´Hôpital 
 
 - 58 - 
Exemplo 4: Calcular o limite abaixo: 
 
x
x x





 +
∞→
1
1lim Temos um limite da forma 1∞ , fazemos então 
x
x
y 




 +=
1
1 
Aplicando a função logaritmo natural nos dois lados da equação, temos: 





 +=⇔




 +=
x
xy
x
y
x
1
1lnln
1
1lnln 
Resolvendo y
x
lnlim
∞→
 
 0 . ∞ 
y
x
lnlim
∞→
= 




 +
∞→ x
x
x
1
1lnlim = 




 +
∞→ x
x
x
x
1
lnlim = 
x
xx
x 1
ln)1ln(
lim
−+
∞→
 
RL
= 
RL
=
2
1
1
1
1
lim
x
xx
x −
−
+
∞→
 = 
2
1
)1(
)1(
lim
x
xx
xx
x −
+
+−
∞→
 
= 





−+
−−
∞→ 1)1(
1
lim
2x
xx
xx
x
 = 





−+
−
∞→ 1)1(
1
lim
x
xx
 
RL
= 1
1
1
lim =
−
−
∞→x
 
Aplicando a função exponencial no resultado acima, temos: 
exp( y
x
lnlim
∞→
) = exp 1 ⇔ eey
x
==
∞→
1lim 
 
 
 
Exercício 4: Calcular os limites abaixo: 
 
 a) 
x
x
x
cos
)2(
5
2
5
lim 




 −
−→
π
π
 b) ( ) x
x
x
sen
0
csclim
+→
 
 c) ( ) x
x
x
1
0
21lim −
→
 d) 
bx
x x
a





 +
∞→
1lim 
 e) x
x
x1lim
∞→
 f) ( ) xx
x
xe
1
lim +
∞→
 
 
 
 
Lembrando que ln ab = b ln a 
Lembrando que ln (a/b) = ln a – ln b 
Aplicamos agora a Regra de 
L’Hôpital porque temos um limite do 
tipo 0/0 
Pois sabemos que exp(ln y) = y 
 
Cálculo 1 Módulo 8 – Regra de L´Hôpital 
 
 - 59 - 
Respostas 
 
 
Exercício 1: a) 1 b) 
3
1
 c) 1 
 d) 0 e) 0 f) 0 
 
 
 
Exercício 2: a) 0 b) 0 c) 1 
 d) 
7
3
 e) 0 
 
 
Exercício 3: a) ∞ b) 
2
1
 c) 0 
 d) 0 e) 1 f) 0 
 
 
Exercício 4: a) 1 b) 1 c) 
2
1e
 
 d) abe e) 1 f) e 
 
 
Cálculo 1 Módulo 9 – Extremos das Funções 
 -60 - 
CENTRO UNIVERSITÁRIO IESB 
Centro Universitário Instituto de Educação Superior de Brasília 
Coordenação de Engenharia / Ciência da Computação 
 
Módulo 9 – Extremos das Funções 
 
Algumas das aplicações mais importantes do cálculo diferencial são os problemas de 
otimização, em que devemos encontrar a melhor maneira de fazer alguma coisa, por 
exemplo: 
− Qual é a aceleração máxima de um ônibus? 
− Qual é o lucro máximo de uma empresa? 
− Qual é a forma de uma lata que minimiza o custo de manufatura? 
 
Esses problemas podem ser reduzidos a encontrar valores máximo e mínimo de uma 
função. 
Def: (a) Uma função f possui um máximo relativo (ou máximo local) em um ponto c se existe 
um intervalo I contendo c tal que f seja definida em I e Ixxfcf ∈∀≥ ),()( . 
 (b) Uma função f possui um mínimo relativo (ou mínimo local) em um ponto c se existe 
um intervalo I contendo c tal que f seja definida em I e Ixxfcf ∈∀≤ ),()( . 
 
 OBS: Cada máximo ou mínimo local é chamado em extremo local de f. 
 
 
Def: Dizemos máximo absoluto (ou máximo global) ou mínimo absoluto (ou mínimo global) 
para indicar o máximo e o mínimo da função em todo o seu domínio. 
 
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 d f h 
 a b 0 c e g i x 
 
 
 
 
 
Máximo Local 
Máximo Global 
Mínimo Local e 
Global 
Mínimo Local 
Mínimo Local 
Cálculo 1 Módulo 9 – Extremos das Funções 
 -61 - 
Teorema: Se f for uma função contínua em um intervalo fechado [a,b], então f possui pelo 
menos um ponto de máximo e um ponto de mínimo em [a,b]. 
 
 
Exemplo 1: Seja 1)( 2 += xxf nos intervalos indicados: 
 
 
(a) [-1,2] (b) [-1,2) 
 
 
 
 
 
 
 -1 2 -1 2 
 
 Máximo: 5)2( =f Máximo: não há 
 Mínimo: 1)0( =f Mínimo: 1)0( =f 
 
 
(c) (-1,2] (d) (1,2) 
 
 
 
 
 
 
 -1 2 1 2 
 
 Máximo: 5)2( =f Máximo: não há 
 Mínimo: 1)0( =f Mínimo: não há 
 (o intervalo não é fechado) 
 
Exemplo 2: Seja a função abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta função não possui extremos, pois 
omitimos as hipóteses do teorema 
(continuidade ou intervalo fechado) 
Cálculo 1 Módulo 9 – Extremos das Funções 
 -62 - 
Teorema: Se uma função f tem um extremo local em um número c em um intervalo aberto, 
então 0)(' =cf ou )(' cf não existe. 
 
 
Dem: Suponha que f tem um extremo local em c. Se )(' cf não existe, então não há mais 
nada a demonstrar. Se )(' cf existe, então ocorrerá um dos casos abaixo: 
 
(i) 0)(' >cf 
(ii) 0)(' <cf 
(iii) 0)(' =cf 
Suponha que 0
)()(
lim)('0)(' >
−
−
=⇒>
→ cx
cfxf
cfcf
cx
 
⇒ existe um intervalo aberto (a,b) contendo c tal que 
 
0
)()(
>
−
−
cx
cfxf
 cxbax ≠∈∀ ),,( 
 
 )()(00)()( cfxfcxcfxf >⇔>−⇒>− se cx > 
⇒ ou 
 )()(00)()( cfxfcxcfxf <⇔<−⇒<− se cx < 
 
Portanto, )(cf não é nem máximo e nem mínimo de f, contrariando a hipótese. 
Então, os casos (i) e (ii) não podem ocorrer. 
Logo, 0)(' =cf . 
 
 
Exemplo 3: Seja a função 3)( xxf = : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23)(' xxf = 
0)0(' =f 
 
Mas, f não tem mínimo nem 
máximo em 0, como podemos ver 
em seu gráfico. O fato de que 
0)0(' =f significa simplesmente 
que a curva 3xy = tem uma 
tangente horizontal em (0,0). 
Cálculo 1 Módulo 9 – Extremos das Funções 
 -63 - 
Exemplo 4: Seja a função ||)( xxf = : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: Devemos ter muito cuidado no uso do Teorema acima. O Exemplo 3 demonstra que 
mesmo quando 0)(' =cf não é necessário existir o máximo ou o mínimo em c. (Em 
outras palavras, o inverso do Teorema em geral é falso). Além disso, pode existir um 
valor extremo mesmo quando )(' cf não existe, como no Exemplo 4. 
 
 
Def: Um ponto crítico de uma função f é um número c no domínio de f onde 0)(' =cf ou 
)(' cf não existe. 
 
 
OBS: Se f tiver um máximo ou mínimo local em c, então c é um ponto crítico de f. 
 
 
 
Exemplo 5: Encontre os pontos críticos de 53)( 23 +−= xxxf : 
 
 y 
 5 
 
 
 
 1 
 
 0 2 x 
 
 
 
 
A função tem seu valor mínimo 
(local e absoluto) em 0, mas esse 
valor não pode ser encontrado 
equacionando-se 0)(' =xf , pois, 
)0('f não existe. 
Máximo local 
Mínimo local 
Calculando a derivada: 
)2(363)(' 2 −=−= xxxxxf 
 
00)(' =⇔= xxf pontos 
 2=x críticos 
 
Não há pontos onde a derivada )(' xf 
não exista. 
 
Observe no gráfico que o ponto (0,5) é 
um máximo local e o ponto (2,1) é um 
mínimo local. 
Mínimo local 
Cálculo 1 Módulo 9 – Extremos das Funções 
 -64 - 
Exercício 1: 
a) Esboce o gráfico de uma função que tenha um máximo local em 2 e é 
diferenciável em 2. 
b) Esboce o gráfico de uma função que tenha um máximo local em 2 e é 
contínua, mas não é diferenciável, em 2. 
c) Esboce o gráfico de uma função que tenha um máximo local em 2 e não seja 
contínua em 2. 
 
Exercício 2: 
a) Esboce o gráfico de uma função em [-1,2] que tenha um máximo absoluto, 
mas não tenha mínimo absoluto. 
b) Esboce o gráfico de uma função em [-1,2] que seja descontínua, mas tenha 
tanto máximo absoluto como mínimo absoluto. 
 
Exercício 3: Encontre os pontos críticos da função. 
 
a) xxxf 45)( 2 += b) 4632)( 23 +++= xxxxf 
c) 
1
)(
2 +
=
x
x
xf d) |32|)( += xxf 
e) 3
5
3
2
5)( xxxf += f) )2()( 2 xsenxf = 
g) xxxf ln)( = h) 32 52)( −= xxxf 
i) xxsenxxf 6)2(3cos8)( 3 −−= j) xxxf csccot)( += 
l) xxexf 2)( = 
 
 
Processo para encontrar extremos absolutos de uma função contínua em um intervalo 
fechado [a,b] 
 
1. Encontre os pontos críticos c para a função f em (a,b). 
2. Calcule os valores de f para cada um dos valores encontrados em (1). 
3. Encontre os valores de f nos extremos do intervalo, )(af e )(bf . 
4. O maior valor das etapas (2) e (3) é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor 
desses valores é o valor mínimo absoluto. 
 
 
 
Cálculo 1 Módulo 9 – Extremos das Funções 
 -65 - 
Exemplo 6: Encontre os valores absolutos máximo e mínimo da função 
 
 13)( 23 +−= xxxf 4
2
1
≤≤− x 
 
Uma vez que f é contínua em 


− 4,
2
1
, podemos usar o método do intervalo fechado: 
 )2(363)(' 2 −=−= xxxxxf 
 
Uma vez que )(' xf existe para todo x, os únicos pontos críticos de f ocorrem quando 
0)(' =xf , isto é, 0=x ou 2=x . Observe que cada um desses pontos críticos está no 
intervalo 




− 4,
2
1
. Os valores de f nesses pontos críticos são 
 1)0( =f 3)2( −=f 
 
Os valores de f nos extremos do intervalo são 
 
 




−
2
1
f =
8
1
 17)4( =f 
 
Comparando esses quatro números, vemos que o valor máximo absoluto é 17)4( =f 
e o valor mínimo absoluto é 3)2( −=f . 
 
Exercício 4: Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado. 
 
a) ,5123)( 2 +−= xxxf [ ]3,0 b) ,432)( 23 ++= xxxf [ ]1,2− 
c) ,24)( 24 +−= xxxf [ ]2,3− d) ,2)( 2
x
xxf += 



2,
2
1
 
e) ,
1
)(
2 +
=
x
x
xf [ ]2,0 f) ),cos()()( xxsenxf += 



3
,0
π
 
g) ,)( xxexf −= [ ]2,0 h) ,ln3)( xxxf −= [ ]4,1 
 
Exercício 5: Entre 0 ºC e 30 ºC, o volume V (em centímetros cúbicos) de 1 kg de água a 
uma temperatura T é aproximadamente dado pela fórmula 
 32 0000679,00085043,006426,087,999 TTTV −+−= 
Encontre a temperatura na qual a água tem sua densidade máxima. 
 
Cálculo 1 Módulo 9 – Extremos das Funções 
 -66 - 
Exercício 6: Prove que a função 1)( 51101 +++= xxxxf não tem nem máximo nem 
mínimo locais. 
 
Exercício 7: Uma função