AULA 04 Matrizes [Modo de Compatibilidade]

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03/08/2018
1
AULA 04 – MATRIZES
Prof. Dr. Cícero Manoel dos Santos
Universidade Federal do Pará – UFPA
Campus de Altamira
Matemática Aplicada
 Matriz;
 Definição de matriz;
 Tipos de Matrizes;
 Operações com Matrizes;
 Exemplos;
 Referências.
Tópicos da Aula 
MATRIZ
As matrizes são estruturas matemáticas que podem ser
encontradas em muitos problemas do nosso dia-a-dia.
Para entender melhor - Já pensou que a temperatura que
temos em cada estação do ano pode ser registrada dia a dia e
hora a hora (e até minuto a minuto!), com ajuda de dispositivos
especiais?
oCidade n° 1: São Joaquim (SC) às 3 horas da manhã (-3ºC);
oCidade n° 2: Rio de Janeiro (RJ) às 5 horas da manhã (14ºC);
oCidade n° 3: Turvo (SC) às 7 horas da manhã (5ºC);
oCidade n° 4: Florianópolis (SC) às 9 horas da manhã (16ºC);
oCidade n° 5: São Luís (MA) às 11 horas da manhã (20ºC).
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Essas informações podem ser arranjadas em tabelas de várias
formas:
Colocar as mesmas informações em forma horizontal.
Podemos formular: Em cinco cidades brasileiras, em
determinadas horas, foram registradas as seguintes
temperaturas.
O jeito de arranjar os dados estão nos
fornecendo o que denominaremos como
Matriz.
O crescente uso de computadores tem feito com que a teoria das
matrizes seja cada vez mais aplicada em muitas áreas.
A tabela a seguir mostrar as notas de 3 alunos em uma etapa:
Física
Básica
Física 
Aplicada
Matemática 
Básica
Matemática 
Aplicada
A 9 7 8 7
B 6 6 7 6
C 4 8 5 4
Nota do aluno B em Matemática Básica? Basta procurar o
número que fica na segunda linha e na terceira coluna da
“tabela”. Nota do aluno C em Matemática Aplicada?
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Definição de matriz
Uma matriz é um arranjo de números, símbolos, letras, etc.,
dispostos em linhas e colunas.
Altura (m) Peso (kg) Idade (anos)
Pessoa 1 1,70 70 23
Pessoa 2 1,75 60 45
Pessoa 3 1,60 52 25
Pessoa 4 1,81 72 30












307281,1
255260,1
456075,1
237070,1
Problema em que o número de variáveis muito
grande, utilizar dados em forma de matriz
torna-se indispensável.
(Organizar as notas e conceitos de matemática
aplicada).
Outros exemplos de matrizes são (Além de colchetes,
também são utilizados parênteses ou duas barras para
notação de matriz):






3
1  53
40
12 









 
x0
32
1x2













x3y23
y14
5z3x2
Prod.(t)/ano 93 94 95 96
Milho 5 4 6 4,5
Feijão 2 3 2,5 3
Arroz 0,5 1,5 1 2










215,15,0
35,232
5,4645
Ordem de uma matriz: denotadas por letras maiúsculas
e seus elementos por letras minúsculas. m  linhas e n 
colunas, matriz tem ordem m×n.















 

2011
169
57
145
33
A








2015143
119753
B
Considere a situação problema da
temperatura para diferentes locais.
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Observações: A matriz A tem 5 linhas e 2 colunas, ou seja, é
de ordem 5×2; já a matriz B tem 2 linhas e 5 colunas e é de
ordem 2×5.
O elemento da 2ª linha e 2ª coluna da matriz A é igual a 14,
ou seja: a22 =14.
O elemento da 1ª linha e 4ª coluna da matriz B é igual a 9,
isto é: b14 = 9.
Interpretação: a22 = 14 - “No segundo horário (5 horas da
manhã) o segundo valor da temperatura (no Rio de Janeiro) é
14 graus”.
Interpretação: b14 = 9 “São 9 horas da manhã quando a
temperatura em Florianópolis é 16 graus”.
Dada uma linha i e uma coluna j de uma matriz A, o
elemento na posição (i, j) será denotado por aij. Assim, uma
matriz com m×n elementos pode ser escrita na seguinte
forma estendida:





















mnmjmm
inijii
nj
nj
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A






21
21
222221
111211
Também podemos colocá-la
na forma abreviada:
 
nmij
aA


 
nmij
aA


Muitas vezes é fornecida uma lei de formação para obtermos
os elementos de uma matriz.
Exemplo 1, se A = [aij]2×3 com aij = i + j, com m = 2 e n = 3,
estaremos construindo a seguinte matriz A:















543
432
322212
312111
A
Exemplo 2. Vamos obter a matriz B = (bij)3×4, de ordem 3×4,
cujos elementos são da forma.





 .
3,0
2,1,
i
ii
B
j
ij






















0000
16842
1111
0000
2222
1111
4321
4321
B
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Exemplo. Considere as seguintes matrizes (verifique a
ordem e localize a12, c23, e21, [A]22 e [D]12):







43
21
A 






30
12
B








242
031
C
 231 D












3
4
1
E  3F
As matrizes A e B são 2×2. A matriz C é 2×3, D é 1×3, E é 3×1
e F é 1×1.
Exemplos de elementos de algumas das matrizes dadas acima
são a12 = 2, c23 = -2, e21 = 4, [A]22 = 4, [D]12 = 3.
Tipos de Matrizes
Matriz Retangular - São denominadas assim aquelas matrizes
cujo número de linhas é diferente do número de colunas. Por
exemplo:
      325423 ,   CeBA
Matriz Coluna - A matriz coluna é uma matriz que tem
apenas uma coluna. Por exemplo:
Matriz Linha - A matriz linha é uma matriz que tem apenas
uma linha. Por exemplo:
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Matriz Nula - A matriz nula é uma matriz cujos elementos
são todos nulos. Por exemplo:
Matriz Quadrada - é uma matriz onde o número de
linhas é igual ao número de colunas.









 

654
103
021
A  8C
No caso de matrizes quadradas, é possível definir duas
diagonais:
A diagonal principal de uma matriz quadrada está
dada pelos elementos na posição i = j.
A diagonal secundária está dada pelos elementos da
matriz cujos índices contabilizam o valor i + j = n + 1,
Considere a matriz:
Os elementos {1, -1, 0} formam a diagonal principal e os
elementos {3, -1, 1} formam a diagonal secundária.
Matriz Diagonal - A matriz diagonal é uma matriz
quadrada cujos elementos fora da diagonal principal são
nulos, isto é, aij = 0 se i ≠ j. Por exemplo:
Matriz Identidade - A matriz identidade é uma matriz
diagonal onde todos os elementos da diagonal principal são
iguais a um.
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Matriz Simétrica - Uma matriz quadrada S, de ordem n, é
simétrica se aij = aji, para quaisquer valores dos índices i,j. São
exemplos de matrizes simétricas:
Exemplo. Encontre os valores de t, w, s, z, a, b para
obtermos S simétrica:
x = 2; z = 0; t = -1; z = 0; w = 0.
Igualdades de matrizes - Duas matrizes A e B, de ordem
m× n, são ditas serem iguais se todos os seus elementos são
iguais.
ijij ba 
Exemplo. Forneça condições para estabelecer a igualdade
das matrizes A e S dadas a seguir.












542
0º909
522
1log13
2
2 sen
S11 = 0; y = 0; t = 0
Operações com Matrizes
Ao utilizar matrizes, surge naturalmente a necessidade de
efetuarmos certas operações. Por exemplo:
Produção de grãos (em milhares de toneladas) durante o primeiro ano
soja feijão arroz milho
Região A 3000 200 400 600
Região B 700 350 700 100
Região C 1000 100 500 800
Produção de grãos (em milhares de toneladas) durante o segundo ano
soja feijão arroz milho
Região A 5000 50 200 0
Região B 2000 100 300 300
Região C 2000 100 600 600
03/08/20188
Se quisermos montar uma tabela que dê a produção por
produto e por região nos dois anos:
Produção de grãos (em milhares de toneladas) durante os dois anos
soja feijão arroz milho
Região A 8000 250 600 600
Região B 2700 450 1000 400
Região C 3000 200 1100 1400






















6006001002000
3003001002000
0200505000
8005001001000
100700350700
6004002003000











140011002003000
40010004502700
6006002508000
Podemos considerar – existem muitos incentivos para se
incrementar a produção, condições climáticas favoráveis etc.,
previsão da safra do terceiro ano será o trilho da produção do
primeiro. Logo:






















240015003003000
300210010502100
180012006009000
8005001001000
100700350700
6004002003000
3
Soja feijão arroz milho
Acabamos de efetuar duas operações com matrizes: soma e
multiplicação por um numero, que serão definidas a seguir.
Adição de Matrizes:
A soma de duas matrizes de mesmo tamanho
A = [aij]m×n e B = [bij]m×n, é definida como sendo a matriz
m×n: C = A + B, obtida somando-se os elementos
correspondentes de A e B, ou seja, cij = aij + bij,.
Exemplo: Considere as matrizes:





 

043
321
A 








430
512
B
Calcule C = A +B.

















473
231
)4(03403
5312)2(1
BAC
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Exemplo: Considere as matrizes:































 

53
52
31
01
52
40
52
04
11
BAC











01
52
40
B
Calcule C = A + B.









 

52
04
11
A
Exemplo: Sejam as matrizes, A e S, calcule C = A + S para t,
y e s11, quaisquer número reais.
Exemplo: A radiação fotossinteticamente ativa interceptada
(W/m2) por duas comunidade de plantas de soja (1 m2) foi
medida nos dias 16, 21, 26 e 31 depois da emergência para os
espaçamentos de 25, 50 e 100 cm, respectivamente obtendo-se
as tabelas abaixo. Calcule o total interceptado nas duas
comunidades.
Dias/espaço 25 50 100
16 35,4 70,6 52,2
21 20,8 20,8 16,5
26 18,6 16,2 10,8
31 17,2 15,4 10,1
Dias/espaço 25 50 100
16 30,2 71 58,1
21 22 20 18
26 17,2 15 12
31 17 15 11,1













2,214,302,34
8,222,318,35
5,348,408,42
3,1106,1416,65
BAC
Propriedades das Operações com Matrizes
Considere A = [aij]m×n, B = [bij]m×n e C = [cij]m×n, então temos as
seguintes propriedades:
1) Propriedades da Adição
A1) Comutatividade: A + B = B + A ;
A2) Associatividade: (A + B) + C = A + (B + C);
A3) Elemento Neutro da Soma: A + O = A , O = [0]m×n;
A4) Elemento Simétrico: A + (-A) = O (A – A = O).
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Produto de uma matriz por um escalar:
Dado o escalarα α, o produto da matriz A pelo escalar é uma
matriz da mesma ordem cujos elementos foram multiplicados
pelo valor α. Notação:
C = αA = [αaij]m×n
Exemplo: Considere a matriz A. Calcule o produto pelo
escalar –3:













45
30
12
A




























1215
90
36
)4)(3(5)3(
3)3(0)3(
1)3()2)(3(
3A
Exemplo: Multiplique a matriz I4, pelo escalar –2:
Exemplo: Considere a matriz A, calcule o produto escalar
por -2:








31
102
A








62
204
Exemplo: Calcule a radiação fotossinteticamente ativa média
de C. *multiplique por ½:













2,214,302,34
8,222,318,35
5,348,408,42
3,1106,1416,65
C













6,102,151,17
4,116,159,17
25,174,204,21
15,558,708,32
C
Produto de Matrizes - O produto de duas matrizes, tais
que o número de colunas da primeira matriz é igual ao
número de linhas da segunda, A = (aij)m×p e B = (bij)p×n e
definido pela matriz m×n: C = AB.
Obtida da seguinte forma: cij = ai1b1j + ai2b2j + ... +aipbpj.
*Só podemos efetuar o produto de duas matrizes se o
número de colunas (n) da primeira for igual ao número de
linhas (m) da segunda.
A = (aij)m×p e B = (bij)p×n e definido pela matriz m×n.
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Exemplo: Sejam as Matrizes A e B, obtenha a matriz
produto C = AB.











654
543
432
A











812793
16842
1111
B
Solução. Como o número de colunas de A é igual ao número
de linhas de B, o produto pedido é possível. Matriz produto
será C = AB = [cij]3×4.














816165142768514964514362514
815164132758413954413352413
814163122748312944312342312
ABC











5702067832
4721706426
3741345020
ABC
Exemplo: Considere as matrizes A e B, ache a matriz C a
partir do produto entre as duas matrizes A e B.





 

043
321
A













045
030
012
B

















0156
01917
0)4(034135004)2(3
0)4()3(32115)3(02)1(1
ABC
Exemplo: Sejam as Matrizes A e B, calcule AB e BA.







43
21
A 






30
12
B 







156
72
AB







129
01
BA
Exemplo: Calcule a multiplicação entre as matrizes AB:











35
24
12
A 




 

40
11
B











75
44
22
RESP





 

40
11
A











35
24
12
B
Não é possível efetuar esta
multiplicação, porque o número de
colunas da primeira é diferentes do
numero de linhas da segunda.














10
45
32
01
A








283
160
B
















283
36212
8129
160
RESP
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12
Transposta de uma Matriz - A transposta de uma matriz
A = (aij)m×n é definida pela matriz n×m B = A
t obtida
trocando-se as linhas com as colunas.
Exemplo: Ache a matriz transposta:












41
30
12
A





 

431
102
'A







23
31
B







23
31
'B







2
1
C
 21'C












20
43
21
tD






242
031
D
Potência de uma Matriz: Ap
Seja A uma matriz quadrada e p um número inteiro positivo, 
a potência p da matriz A, denotada por A p está definida por: 
Exemplo: Seja A = [aij]n , com aij = i – j, calcule A
3, para p =
2, 3. considere n = 2
Exemplo: Um construtor tem contratos para construir 3
estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A
quantidade de material empregada em cada tipo de casa é
dada pela matriz:
Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo
Moderno 5 20 16 7 17
Mediterrâneo 7 18 12 9 21
Colonial6 25 8 5 13
(a) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno,
mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades
de cada material são empregadas?
03/08/2018
13
 1275A











1358256
21912187
17716205
B
 388158260526146 BAC
são as quantidades dos materiais ferro, madeira, vidro, tinta
e tijolo empregados na construção, respectivamente.
(b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro,
madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5,
1 e 10 u.c.p. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?
Considere H = [15 8 5 1 10] a matriz cujas entradas
representam o preço por unidade de ferro, madeira, vidro,
tinta e tijolo, respectivamente; e
Temos: F = H×E = [492 528 465], as entradas f11, f12 e
f13 representam o preço unitário das casas dos tipos
moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente.
(c) Qual é o custo total do material empregado?
03/08/2018
14
Exemplo: Considere os dados da tabela a seguir, que
relacionam as quantidades de vitaminas C, D e E a três tipos
de alimentos, I, II e III. Se as quantidades de vitaminas C, D,
e E são ingeridas é representado pela matriz B, qual a
quantidade ingeridos de cada alimento?
Alim.\Vitam. C D E
I 2 0 1
II 3 1 2
III 1 2 4 










1
4
2
B











421
213
102
)(ATabela











15
12
5
RESP
Exemplo: Sejam as matrizes A, B, C, D.
Encontre:
a) A + B
b) A•C
c) B•C
d) C•D
e) D•A
f) D•B
g) -A
h) -D
Exemplo: Dadas as matrizes:
03/08/2018
15
Exemplo: Considere as seguintes matrizes
Se for possível calcule:
a) AB – BA
b) 2C – D
c) (2Dt – 3Et)t
d) D2 – DE.





 

2458
2024
)a









 

1506
2025
271930
)c














123072
45410
223480
)d
Matriz com dimensões
diferentes.
FIM!
REFERÊNCIAS
Ferreira, R. S. Matemática Aplicada às Ciências Agrárias –
Análise de Dados e Modelos. Viçosa: UFV, 2014.
Boldrini, J. L. et al. Álgebra Linear I. 3ª edição. Editora
HARBRA. 411p.
Santos, R. J. Introdução à Álgebra Linear. Belo Horizonte:
Imprensa Universidade da UFMG, 2013. 616p.
Kozakevich, D. et al. Álgebra Linear I. 2. ed. Florianópolis:
UFSC/EAD/CE/CFM, 2011. 250p.