Aula 2 Determinantes_2013_2

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Determinantes
Geometria 
Analítica
Aula Teórica 2
Prof. M. Sc. Éverton Rafael Breitenbach
O que veremos hoje ?
1.Determinantes
2.Cálculo de Determinantes de 2ª e 3ª ordem
3.Propriedades dos Determinantes
4.Cálculo de Determinantes de qualquer ordem
5. Inversão de Matrizes
É a soma algébrica dos produtos que se 
obtém efetuando todas as permutações 
dos segundos índices do termo principal, 
fixados os primeiros índices, e fazendo-se 
proceder os produtos do sinal + ou -, 
conforme a permutação dos segundos 
índices seja de classe par ou ímpar. 
Determinante de uma Matriz
Como entender isto ?
• Classe de uma permutação
• Termo principal
• Termo secundário
• Ordem de um determinante
Consideremos três elementos: a b c
Classe de Permutação
Consideremos a permutação: a c b
Diz-se que ocorreu uma inversão, se dois elementos 
de uma permutação, estão em ordem inversa ao 
original. 
Inversão é de CLASSE PAR ou CLASSE ÍMPAR, 
conforme o número par ou ímpar de inversões. 
No exemplo acima, temos 1 inversão!
Classe ímpar 
Permutação dos números 1 e 2
Permutação 
principal
Permutação Número de 
inversões
Classe de 
permutação
Sinal que 
precede o 
produto
12 12 0 Par +
12 21 1 Impar -
Termo Principal
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, ao 
produto dos elementos da diagonal principal, dá-se o 
nome de termo principal.
a11 . a22 . a33 . ann
.
331
051
243
A










−
−=
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, ao produto 
dos elementos da diagonal secundária, dá-se o nome 
de termo secundário.
Termo Secundário
a1n . a2 n-1 . a3 n-2 . an1
a13 . a2 2 . a3 1
Exemplo: Se n = 3










−
−=
331
051
243
A
E, se n = 5
a15 . a24 . a33 . a42 . a51
















−−
−
−−
=
12112
12331
22225
12132
21541
A
Chama-se a ordem de um determinante a 
ordem da matriz a que o mesmo corresponde.
Assim, se a Matriz é de ordem 3, o 
determinante será de mesma ordem. 
Ordem de um Determinante
Representação de um Determinante
nn3n2n1n
n2232221
n1131211
a...aaa
...............
...............
a...aaa
a...aaa
Adet =
Cálculo de um Determinante de 2ª Ordem






=
2221
1211
aa
aa
A
2221
1211
aa
aa
Adet =
1º Passo: Escrever os elementos que compõem o termo 
principal, um após o outro, somente com os primeiros índices 
(deixando lugar para colocar depois os segundos índices), 
tantas vezes quantas forem as permutações dos números 1 e 
2 (no caso, duas vezes):
a1 a2 a1 a2
2º Passo: Colocar nas duas expressões anteriores, como 
segundo índices, as permutações 1 2 e 2 1, uma permutação 
em cada expressão e não necessariamente nesta ordem.
a11 a22 a12 a21
3º Passo: Fazer preceder cada um dos dois produtos assim 
formados dos sinais + ou -, conforme a permutação dos 
segundos índices for de classe par ou de classe ímpar. No 
caso, se pode ver que o sinal que precede o 1º produto é +, 
porque a permutação 1 2 é de classe par e, que o sinal que 
precede o 2º produto é –, porque a permutação 2 1 é de 
classe impar.
+ a11 a22 - a12 a21
4º Passo: Efetuar a soma algébrica dos produtos assim 
obtidos, com o que se terá:
21122211
2221
1211 a.aa.a
aa
aa
Adet −==
No caso de matrizes de 2ª ordem, o 
determinante é igual ao termo principal 
menos o termo secundário.
Exercício
42
57
Adet =
25
82
Adet
−−
−−
=
10
01
Adet =
...cálculo de um Determinante de 3ª Ordem
Determinante pela 1ª linha.
• Multiplicar o elemento a11 pelo determinante 
menor da submatriz de A, que se obtém 
eliminando a 1ª linha e a 1ª coluna.
)a.aa.a.(a
aa
aa
.a ;
aaa
aaa
aaa
3223332211
3332
2322
11
333231
232221
131211
−=















• Multiplicar o elemento a12 pelo determinante menor da submatriz de A, 
que se obtém eliminando a 1ª linha e a 2ª coluna.
)a.aa.a.(a
aa
aa
.a ;
aaa
aaa
aaa
3123332112
3331
2321
12
333231
232221
131211
−=

























=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
• Multiplicar o elemento a13 pelo determinante menor da submatriz de A, 
que se obtém eliminando a 1ª linha e a 3ª coluna.
)a.aa.a.(a
aa
aa
.a ;
aaa
aaa
aaa
3122322113
3231
2221
13
333231
232221
131211
−=















• Fazer os três produtos obtidos anteriormente serem precedidos 
alternadamente pelos sinais + e -, iniciando pelo sinal +;
)...()...()...(det 312232211331233321123223332211 aaaaaaaaaaaaaaaA −+−−−=
Esta maneira de escrever a fórmula é comumente chamada 
de desenvolvimento do determinante pela 1ª linha.
Exemplo
Para vocês fazerem !!!
286
413
752
det =A










=
286
413
752
Adet






+





−





=
86
13
.7
26
43
.5
28
41
.2Adet
156det
1269060det
)18.(7)18(5)30.(2det
)624.(7)246.(5)322.(2det
)6.18.3.(7)6.42.3.(5)8.42.1.(2det
=
++−=
+−−−=
−+−−−=
−+−−−=
A
A
A
A
A
• Observação !!!!
• Assim como se pode calcular um determinante desenvolvendo-
se pela 1ª linha, pode-se também calculá-lo desenvolvendo-o 
por qualquer linha e coluna, devendo ter cuidado dos sinais + 
ou – que precedem os produtos formados. 
• No caso do determinante de 3ª ordem, a alternância de sinais + 
e – fica da seguinte forma.
+−+
−+−
+−+Determinante pela 1ª linha/coluna:
Determinante pela 2ª linha/coluna:
Determinante pela 3ª linha/coluna:
Exemplo
Desenvolvendo o 
determinante pela 2ª coluna
286
413
752
Adet =










=
286
413
752
Adet






−





+





−=
43
72
.8
26
72
.1
26
63
.5Adet
156det
1043890det
)13(8)38.(1)18(5det
)3.74.2(8)6.72.2.(1)6.42.3.(5det
=
+−=
−−−+−−=
−−−+−−=
A
A
A
A
= determinante da 1ª linha já calculado !!!
4
Será que o mesmo 
raciocínio eu posso 
usar para um 
determinante de 4ª
ordem ?
NÃOSIM
SIM
+−+−
−+−+
+−+−
−+−+
Deve seguir o mesmo 
procedimento da matriz 
de 3ª ordem !!!
Determinante pela 1ª linha/coluna:
Determinante pela 2ª linha/coluna:
Determinante pela 3ª linha/coluna:
Determinante pela 4ª linha/coluna:
6413
2765
8910
4123
Adet =
Exemplo
413
765
910
.4
613
265
810
.1
643
275
890
.2
641
276
891
.3Adet −+−=
• O mesmo procedimento pode ser feito para 
calcular um determinantes de ordem n = 5, 6, 
7, ..., 10, ..., 40, ...., etc.
Propriedades um Determinante 1
I) O determinante de uma matriz não se altera quando se 
trocam as linhas pelas colunas:
321
321
321
333
222
111
ccc
bbb
aaa
cba
cba
cba
=
293565.73.2
35
72
293567.53.2
37
52
−=−=−=
−=−=−=
Exemplo:
II) Se uma matriz A possui uma linha ou uma coluna 
constituída por elementos todos nulos, o determinante é
nulo;
Propriedades um Determinante 2
0
0ba
0ba
0ba
Adet
33
22
11
==
III) Se a Matriz A tem duas linhas (ou duas colunas) iguais, o 
determinante é nulo;
Propriedades um Determinante 3
0det
333
222
111
==
caa
caa
caa
A
IV) Se na Matriz A duas linhas (ou colunas) tem seus 
elementos correspondentes proporcionais,o determinante 
é nulo (numa Matriz A, dois elementos são 
correspondentes quando, situados em linhas diferentes, 
estão na mesma coluna, ou quando, situados em colunas 
diferentes, estão na mesma linha).
Propriedades um Determinante 4
0
kaa
kaa
Adet
22
11
==
V) Se na Matriz A cada elemento de uma linha (ou coluna) é
uma soma de duas parcelas, o determinante de A pode ser 
expresso sob a forma de uma soma dos determinantes de 
duas matrizes:
Propriedades um Determinante 5
22
11
22
11
222
111
ca
ca
ba
ba
cba
cba
+=
+
+
Propriedades um Determinante
22
11
22
11
222
111
ca
ca
ba
ba
cba
cba
+=
+
+
67
52
47
32
647
532
+=
+
+
36562078102
107
82
647
532
−=−=×−×==
+
+
5
Exemplo:
233512756267
52
−=−=×−×=
132187342
47
32
−=−=×−×=
36231367
52
47
32
−=−−=+
Mas:
VI) O determinante de uma matriz diagonal A (Superior ou 
Inferior) é igual ao termo principal, isto é, é igual ao 
produto dos elementos da diagonal principal.
Propriedades um Determinante 6
332211
33
2322
131211
..
00
0det aaa
a
aa
aaa
A ==
VII) Trocando-se entre si duas linhas (ou colunas) da matriz A, o 
determinante muda de sinal, isto é, fica multiplicado por -1. 
Propriedades um Determinante 7
222
333
111
333
222
111
cba
cba
cba
cba
cba
cba
−=
VIII) Quando se multiplicam por um número real todos os 
elementos de uma linha (ou de uma coluna) da Matriz A, o 
determinante fica multiplicado por um número.
Propriedades um Determinante 8
333
222
111
333
222
111
cba
cba
cba
.k
cba
c.kb.ka.k
cba
=
IX) Um determinante não se altera quando se somam aos 
elementos de uma linha (coluna) da matriz A, os elementos 
correspondentes de outra linha (coluna) previamente 
multiplicados por um número real diferente de zero.
Propriedades um Determinante 9
1
333
21212
111
333
222
111
... ck
cba
cbkbaka
cba
cba
cba
cba
+++=
Cálculo de um Determinante de Ordem n
• Processo da Triangulação (n ≥ 5)
• [A]n, se procederão com as linhas (ou colunas) de seu determinante as 
operações adequadas para transformar a matriz A numa triangular 
superior (ou inferior), ao mesmo tempo que se efetuarão o det A as 
necessárias compensações, quando for o caso, para manter inalterado 
seu valor, tudo de acordo com as propriedades dos determinantes já
vistas e revisadas.
• O objetivo é colocar todos os elementos da diagonal principal, exceto o 
último, o número 1;
• Obtido o número 1 na 1ª linha e na 1ª coluna, isto é a11=1, substituem-se, 
por meio das operações competentes, todos os demais elementos da 1ª
coluna por zeros, da mesma forma, depois para o elemento a22=1, 
situados abaixo e acima de a22 por zeros e, assim por diante.
• Quanto aos elementos da diagonal principal pode ocorrer as 
seguintes situações:
– Elemento igual a zero: Deve-se proceder a operação de 
troca de linhas e multiplicar o det A por -1, como 
compensação, isto é, para que o det A conserve o seu 
valor.
– O elemento é igual a k: Deve-se multiplicar todos os 
elementos da linha por 1/k, com o que se obtém o número 1 
como elemento da diagonal principal dessa linha. Por outro 
lado, para compensar, isto é, para que o det A mantenha o 
seu valor, deve-se multiplicá-lo pelo inverso de 1/k, isto é, 
por k.
– O elemento é igual a 1: Neste caso, nada a fazer no que 
diz respeito à diagonal principal.
)
2
1(L
435
231
712
Adet
1→
=
Exemplo
435
231
712
Adet =
)1('
435
231
272
11
.2det 122 −+=→= LLLA
)5('435
2
3
2
50
2
7
2
11
.2det
133 −+=→
−=
LLL
A
)21('''227210
10
610
2
7
2
11
.
2
5
.2det
233 −+=→−
−=
LLL
A
10
13200
10
610
2
6
2
11
.
2
5
.2Adet
−
−=
)52(''
2
27
2
10
2
3
2
50
2
7
2
11
.2det 2LA →
−
−=
10
132)
10
1321.1.(- T :é principal termo O −==
66)
2
132()
10
132
.(
2
10)
10
132
.(
2
5
.2Adet
:Logo
−=−=−=−=
10
13200
10
610
2
6
2
11
.
2
5
.2Adet
−
−=
6684612)12.(7)6.(16.2Adet
)153.(7)104.(1)612.(2Adet
35
31
.7
45
21
1
43
23
.2
435
231
712
Adet
−=−+=−+−−=
−+−−−=
+−==
Desenvolvendo o 
determinante pela 
1ª linha !!!
)
2
1(L
127
895
642
Adet
1→
=
Exemplo
127
895
642
Adet =
)5('
127
895
321
.2det 122 −+=→= LLLA
)7('127
710
321
.2det
133 −+=→
−−=
LLL
A
)1(''
20120
710
321
.2det 2 −→
−−
−−= LA
)12(''20120
710
321
).1.(2det
233 LLL
A
+=→−−
−=
6400
710
321
).1.(2Adet −=
64 64 1. 1. T :é principal termo O ==
12864).1.(2det
:
−=−=A
Logo
Inversão de Matrizes
• Se existir uma Matriz A e B tal que:
A.B = B.A = I
• B é inversa de A e se representa por A-1:
A. A-1 = A-1 . A = I
• Matriz Singular – Matriz A com determinante nulo.
021243Adet
)1512.(7)2418.(4)4845.(1Adet
63
52
.7
93
82
4
96
85
.1
963
852
741
Adet
=−+−=
−+−−−=
+−==
A Matriz Singular não tem inversa.
• Matriz Não Singular ou Regular – Matriz A com 
determinante diferente de zero.
A Matriz Não Singular SEMPRE tem inversa.
Propriedades da Matriz Inversa
1. Se a matriz A admite inversa (det A ≠ 0), 
esta é única;
Propriedades da Matriz Inversa
2. Se matriz A é não singular, sua inversa A-1
também é. A matriz inversa de A-1 é A;
Propriedades da Matriz Inversa
3. A matriz unidade I é não singular (det I = 1) 
e é sua própria inversa: I = I-1
Propriedades da Matriz Inversa
4. Se a matriz A é não singular, sua 
transposta AT também é. A matriz inversa 
de AT é (A-1)T.
Propriedades da Matriz Inversa
5. Se as matrizes A e B são não singulares e 
de mesma ordem, o produto AB é uma não 
singular. A matriz inversa de AB é a matriz 
B-1. A -1.
Operações Elementares
1. Permutação de duas linhas (ou de duas colunas);
2. Multiplicação de todos os elementos de uma linha (ou 
coluna) por um número real diferente de zero;
3. Substituição dos elementos de uma linha (coluna) pela 
soma deles com os elementos correspondentes de outra 
linha (coluna) previamente multiplicados por um número 
real diferente de zero.
Equivalência de Matrizes
Dada duas matrizes A e B, diz-se que a matriz B é
equivalente à matriz A, e se representa B ~ A , se for possível 
transformar A em B por meio de uma sucessão finita de 
operações elementares.
Notação:
L23→ Quando se deseja permutar a 2ª linha pela 3ª linha;
L2 (1/4) → Quando se deseja multiplicar todos os elementos de 
uma linha por uma constante.
Transformação de uma Matriz na Matriz 
Identidade (I)
Qualquer matriz quadrada A, não singular, pode ser 
transformada na matriz equivalente I, de mesma 
ordem, por meio de uma sucessão finita de operações 
elementares, isto é, I ~ A.
Para transportar uma Matriz Quadrada A, na 
matriz I, se procederão com operações 
elementares.
Inversão de uma Matriz por Meio de 
Operações Elementares
A mesma sucessão finita de operações elementares que 
transforma a matriz A na matriz unidade I, transforma a matriz 
I na matriz A-1, inversa de A.
PROCEDIMENTO
• Coloca-se ao lado da Matriz A a Matriz I, separada por traço vertical;
• Transforma-se a matriz A na matriz I, aplicando-se ao mesmo tempo 
as operações elementares.










=
352
224
312
A
Exemplo: 1. Determinar a matriz inversa da matriz.
Solução:
)21(L
100
010
001
352
224
312 1→










)4('
100
010
0021
352
224
2
3
2
11
122 −+=→










LLL
)2('100
012
002
1
352
400
2
3
2
11
133 −+=→










−−
LLL
23
101
012
002
1
040
400
2
3
2
11
L→










−
−−
)41(''
012
101
002
1
400
040
2
3
2
11
2L→










−
−
−
)41(''012
4
104
1
002
1
400
010
2
3
2
11
3 −→











−
−
− L
)21(''
04
1
2
1
4
104
1
002
1
100
010
2
3
2
11 211 −+=→












−
−
LLL
)23('''
04
1
2
1
4
114
1
8
108
5
100
010
2
301 311 −+=→












−
−
− LLL












−
−
−−
04
1
2
1
4
104
1
8
1
8
3
8
1
100
010
001
 A.de inversa , Amatriz a é 
04
1
2
1
4
104
1
8
1
8
3
8
1
B 1-












−
−
−−
=
Verificação:
A.B = I










=
352
224
312
A
B=












−
−
−−
08
2
8
4
8
208
2
8
1
8
3
8
1










=












100
010
001
8
800
08
80
008
8
FIM.
Bons estudos!
Prof. M.Sc. Éverton Rafael Breitenbach