Métodos: Runge Kutta, Lagrange, Trapézio, Simpson.

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DA BAHIA
DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO
PROF: JAILSON FRANÇA DOS SANTOS
ESTUDANTES: CAROLINE PIANI CAMPOS, GLEYSON BUCKER ARRUDA, HINDIRA FEITOZA DE ARAÚJO, ITAYLANE MALTA SANTOS.
MÉTODOS NUMÉRICOS 
Integração Numérica
Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] da qual se conhece a primitiva F. O valor da integral definida de f pode ser calculada usando a fórmula de Newton‐Leibniz:
Os métodos de integração numérica aproximam valores de integrais definidas. Esse métodos são muito úteis quando:
Não se conhece a função f. Tem‐se apenas uma tabela de valores para f;
f é conhecida, mas é muito complexa, o que dificulta a determinação de sua primitiva.
Dessa forma, f é aproximada por uma função p, mais simples, cuja primitiva é mais fácil de obter.
Sendo o erro absoluto calculado pelo módulo da diferença entre o valor exato e o valor numérico.
Os métodos de integração numérica tratados nesse trabalho são: Método dos Trapézios e Método de Simpson.
Método dos Trapézios
Esse método consiste em aproximar a função a ser integrada por retas no intervalo de integração. 
Seja . Considere a subdivisão do intervalo [a, b] em n subintervalos de comprimento h > 0. Assim, temos:
• h = (b – a)/n
• xi = a + ih, i = 0,1,2, ..., n.
Método de Simpson
Seja . Considera-se novamente uma subdivisão do intervalo [a, b] em um número de subintervalos n(par). 
 A Regra de Simpson faz aproximações para pequenos trechos de curvas usando arcos parabólicos. Assim, temos:
Análise
Para o presente trabalho foram desenvolvidos 2 programas computacionais para aproximação da integral definida , usando o Método dos Trapézios e o Método de Simpson. 
Cálculo da Integral definida:
 
Tomando u=8x e dv=cosh(2x)dx. Temos que du=8dx e v=senh(2x)/2.
Utilizando os programas elaborados, obteve-se os seguintes resultados:
	 
	Método dos Trapézios
	Método de Simpson
	 
	I
	Erro Absoluto
	I
	Erro Absoluto
	n=10
	0,988137
	0,000175231
	0,987962
	2,3143E-07
	n=50
	0,987969
	7,23143E-06
	0,987962
	2,3143E-07
	n=100
	0,987964
	2,23143E-06
	0,987962
	2,3143E-07
Observação: O computador utilizado possui uma precisão de 6 casas após a vírgula.
Concluiu-se que o Método de Simpson foi mais eficiente que o Método dos Trapézios. Esse fato já era esperado, haja vista que o Método de Simpson faz aproximações para pequenos trechos usando arcos parabólicos e o Método dos Trapézios faz aproximações utilizando retas.
Interpolação Polinomial
Métodos de interpolação polinomial são utilizados para aproximar uma função f(x), principalmente nas seguintes situações: 
Conhece-se apenas valores de f(x) em apenas pontos discretos;
f(x) é extremamente complicada e de difícil manejo;
f(x) não é conhecida explicitamente. 
Existem diversos métodos para a aproximação de funções polinomiais, entretanto, no presente trabalho foi utilizado o Método de Lagrange.
Método de Lagrange
O Método de Lagrange representa o polinômio interpolador diretamente a partir dos pontos originais. Seja um conjunto de n+1 dados [xi, f(xi)]. O polinômio interpolador p(x), de grau n, que passe por todos os pontos distintos {x0, x1, ..., xn}, é dado pela fórmula genérica:
Onde:
Análise
O método de Lagrange é fácil de ser calculado, mas pode se tornar cansativo, a depender do número de pontos conhecidos da função, haja vista que quanto maior o número de pontos conhecidos, mais próximo o polinômio será da função original. Desta forma, foi desenvolvido um programa computacional que interpola o valor da função no determinado ponto que se deseja a partir de n+1 pontos conhecidos, sendo n>=1. 
A tabela a seguir lista valores de uma determinada função que se deseja interpolar.
	X
	0
	1
	3
	f(x)
	-5
	1
	25
Cálculo do Polinômio:
Para efeito de comparação, utilizando o programa computacional elaborado, interpolou-se o ponto x=2.
Pelo polinômio obtido, P(2)=2*2²+4*2-5=11.
No programa, para x=2 também foi obtido P(2)=11.
Solução de Equações Diferenciais
A busca de uma solução analítica para uma equação diferencial ordinária com problema de valor inicial apresenta alguns problemas:
Os procedimentos para a busca de uma solução analítica não é trivial;
Muitas questões práticas não possuem solução conhecida;
Os coeficientes ou as funções existentes na equação diferencial são dados na forma de um conjunto tabelado de informações experimentais, o que torna impossível o uso de um procedimento analítico para determinar a solução da equação.
Neste trabalho trataremos apenas do Método de Runge Kutta de 4ª ordem para a solução de EDO’s (Equações Diferenciais Ordinárias).
Método de Runge Kutta de 4ª ordem
Dentre os Métodos de Runge Kutta, o de 4ª ordem é o mais popular. A solução de uma EDO é dado pela fórmula:
Onde:
Análise
Para o presente trabalho foi desenvolvido um programa computacional com o Método de Runge Kutta de 4ª ordem para a solução da seguinte EDO:
Onde: 
h=0.1, =1 e q(0)=0. Dessa forma, temos que:
Solução Analítica: 
Método do fator integrante
Vamos procurar um fator integrante que seja função somente de t.
, tomando C=1, tem-se:
Logo:
Integrando com respeito a t, temos:
Utilizando o Problema de Valor Inicial (PVI), q(0)=0, obtemos a constante .
Dessa forma, a solução analítica para o PVI será:
.
Para 6 passos, , dessa forma, temos:
Pela solução analítica, temos:
Utilizando o programa computacional elaborado, obtêm-se q(0,6)=5,47139. Dessa forma, observa-se que o valor é bem próximo, além de levar apenas alguns segundos para o seu cálculo, sendo que resolvendo pela forma analítica poderá ocorrer erros devido ao processo algébrico ser bastante extenso. Lembrando que uma maior precisão poderá ser obtida, a depender do computador utilizado.
Referências 
Ivanovitch Silva. Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO). Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Disponível em: <http://www.dca.ufrn.br/~ivan/DCA0399/edo.pdf>. Acessado em: 14 de novembro de 2014.
 Jorge Cavalcanti. Interpolação Polinomial Parte I. Disponível em: <http://www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti/7CN_Interpolacao_Parte1.pdf>. Acessado em: 14 de novembro de 2014. 
Jorge Cavalcanti. Integração Numérica. Disponível em: <http://www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti/8CN_integracao.pdf>. Acessado em: 14 de novembro de 2014.
Luciana Montera. Integração Numérica. Disponível em: <http://www.facom.ufms.br/~montera/integracao_parte1.pdf>. Acessado em: 14 de novembro de 2014.