Propagação Eletromagnética - Equações de Maxwell

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Propagação Eletromagnética
Prof. Daniel Humberto Garcia Espinosa
Unidade 1
Ondas eletromagnéticas em plano uniforme
Equações de Maxwell
Unidade 1 – Ondas EM em Plano Uniforme
As equações de Maxwell descrevem o comportamento do campo elétrico E e do 
campo magnético H em um meio com permissividade elétrica  e permeabilidade 
magnética . 
∇⋅E⃗=ρϵ
1
∇⃗⋅H⃗=0
∇×E⃗=−μ ∂ H⃗
∂ t
∇×H⃗= J⃗ +ϵ ∂ H⃗
∂ t
Sendo, a densidade de carga elétrica e a 
densidade de corrente elétrica.
A permissividade elétrica  e a permeabilidade 
magnética  são de um material são expressas como 
múltiplos de seus valores no espaço livre, na forma:
r e r são a permissividade e permeabilidade relativas, 
do material onde essas equações estão sendo 
aplicadas.
ρ J⃗
ϵ=ϵr ϵ0 μ=μrμ0
ϵ0=
1
36π
×10−9F/m μ0=4π×10
−7N /A2
Equações de Maxwell
Unidade 1 – Ondas EM em Plano Uniforme
Exercício 1) Sabendo que , encontre as 
equações de onda para os campos elétrico e magnético em um meio sem carga 
líquida e sem corrente líquida ( ). 
Encontre também a expressão da velocidade dessa onda e seu valor para o espaço 
livre. 
Dado: equação de uma onda que se propaga com velocidade v: 
Respostas:
Equação de onda para E:
Equação de onda para H:
Velocidade da onda: No espaço livre: 
2
∇ 2 A⃗− 1
v2
∂2 A⃗
∂ t 2
=0
ρ= J⃗=0
∇×(∇× A⃗)=∇ (∇⋅A⃗)−∇2 A⃗
∇ 2 E⃗−ϵμ ∂
2 E⃗
∂ t 2
=0
v= 1√ϵμ
∇ 2 H⃗−ϵμ ∂
2 H⃗
∂ t 2
=0
v=c= 1√ϵ0μ0=3×10
8m /s
Aproximação de Ondas Planas Uniformes
Unidade 1 – Ondas EM em Plano Uniforme
Se uma onda se propaga em um meio uniforme (homogêneo), em uma posição 
longe o suficiente da fonte que a originou, a mesma é equivalente a uma onda plana. 
Na figura abaixo, são representadas frentes de onda circular (a) e plana (b). Observe 
que, para a porção da onda que entra na abertura do receptor, ambos os casos são 
equivalentes. 
3
Aproximação de Ondas Planas Uniformes
Unidade 1 – Ondas EM em Plano Uniforme
Uma onda plana se propaga apenas em uma direção. Digamos que seja a direção z;
Suponha que o campo elétrico da onda plana oscile na direção x, teremos:
Utlizando as equações de Maxwell, chega-se que o campo magnético deve oscilar 
na direção y: 
Pelas equaçõe de Maxwell, as ondas planas em um meio homogênio possui E e H 
perpendiculares à direção de propagação da onda. Por isso, essas ondas são 
chamadas Transveral Eletromagnéticas (TEM):
4
E⃗=E x( z , t) x^
H⃗=H y ( z , t) y^
E⃗=η H⃗×n^
H⃗= 1η n^×E⃗
 é um vetor unitário na direção de propagação da 
onda.
 é a impedância intrínseca do meio. 
No espaço livre:
n^
η
η=η0=120πΩ
η=√μϵ= EH
Aproximação de Ondas Planas Uniformes
Unidade 1 – Ondas EM em Plano Uniforme
As ondas eletromagnéticas transportam energia de um ponto a outro do espaço.
Utilizando-se as equações de densidade volumétrica de energia do campo elétrico 
(we) e do campo magnético (wm), chega-se à energia da onda eletromagnética:
O vetor de Poynting, por sua vez, expressa a energia carregada pela onda 
eletromagnética por unidade de tempo e de área, ou seja, a potência da onda por 
unidade de área. A direção do vetor de Poynting é a direção de propagação da onda. 
Ele é calculado por:
, onde é o vetor velocidade da onda eletromagnética.
5
we=
1
2
ϵ E2
wm=
1
2
μH 2
wem=we+wm=ϵE
2=μH 2
P⃗= E⃗× H⃗= v⃗ wem
Aproximação de Ondas Planas Uniformes
Unidade 1 – Ondas EM em Plano Uniforme
6
E⃗=η H⃗×n^
Resumo: ondas TEM planas uniformes
H⃗= 1η n^×E⃗
η=√μϵ= EH
∇ 2 E⃗−ϵμ ∂
2 E⃗
∂ t 2
=0
∇ 2 H⃗−ϵμ ∂
2 H⃗
∂ t 2
=0
v= 1√ϵμ
wem=we+wm=ϵE
2=μH 2
P⃗= E⃗× H⃗= v⃗ wem
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