Exercicios De Reforco GEOMETRIA ANALÍTICA

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Exercícios de Reforço 
 
Essa é uma série de exercícios destinados à fixação dos temas estudados em Geometria 
Analítica. A resolução detalhada está nos Cadernos de Exercícios 1 a 5. Bons estudos! 
 
 
Caderno de Exercícios 1: 
 
1. Considere os pontos A, B, C e D localizados nos vértices do quadrado abaixo. 
 
 
 
Dentre as afirmativas a seguir, determine quais são verdadeiras e quais são falsas. 
a) 
CDAB //
 
b) 
ACAB //
 
c) 
BDAC //
 
d) 
CDAC 
 
e) 
BDAC 
 
f) 
BDCD 
 
 
2. Determine o módulo do vetor indicado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Determine a inclinação do vetor 
v
 . 
 
 
 
4. Determine o módulo e a inclinação do vetor 
v
 . 
 
 
 
5. Determine a inclinação do vetor 
u
 . 
 
 
 
6. Qual é a inclinação do vetor 
v
 ? 
 
 
 
7. O que é um vetor nulo? 
 
8. O quadrado abaixo apresenta a posição dos pontos A a P. 
 
 
 
 
 
Determine o vetor associado a cada uma das seguintes operações. 
a) 
AEAB 
 
b) 
FJEG 
 
c) 
NFNP 
 
d) 
DHIL 
 
e) 
MEMN 
 
f) 
CDAC 
 
d) 
KLIJ 
 
h) 
GCIK 
 
i) 
MN3
 
j) 
GH2
 
 
9. Considere os vetores 
u
 e 
v
 representados a seguir. 
 
 e 
 
Determine a soma 
vu


. 
 
10. Calcule a diferença 
vu


 onde 
u
 e 
v
 são dados a seguir. 
 
 e 
 
11. Determine o vetor 
r
 como combinação linear dos vetores 
u
 e 
v
 onde 
vur

32 
 e 
u
 e 
v
 são os 
vetores dados a seguir. 
 
 e 
 
 
 
12. Sabendo que o módulo do vetor 
) ,7( w
 é igual a 12,2066, determine o valor de 

. 
 
13. Determine as componentes do vetor 
v
 sabendo que seu módulo é igual a 17 e sua inclinação é 
igual a 60°. 
 
14. Sejam 
)1 ,1(u

 e 
)2 ,3(v

. Calcule o módulo de 
vu

45 
. 
 
 
Caderno de Exercícios 2: 
 
1. Dado o vetor 
AB
 onde A=(3, 7) e B=(5, 11), determine 
|| AB
. 
 
2. Determine o módulo de um vetor 
v
 cuja origem está no ponto (2, 3) e cuja extremidade está no 
ponto (-1, 1). 
 
3. Dado o vetor 
AB
 onde A=(3, 7) e B=(5, 11), determine a sua direção. 
 
4. Sejam os vetores 
kjiu

472 
 e 
kjiv

365 
. Determine 
vu

.
. 
 
5. O que são vetores equipolentes? 
 
6. Considere os vetores 
)3 ,2(u

 e 
)7 ,5(v

. Determine 
a) 
vu


 
b) 
vu

25 
 
c) 
vu


 
d) 
vu


 
e) 
vu

32 
 
 
7. Sendo 
)3 ,2(A
 e 
)5 ,8(B
, determine as componentes de 
AB
. 
 
8. Calcule o módulo do vetor 
kjiv

572 
. 
 
9. Sejam 
)3 ,1 ,1(M
 e 
)1 ,2 ,3(N
, determine o módulo de 
MN
. 
 
10. Qual é o vetor resultante da multiplicação do escalar 3 pelo vetor 
)6 ,3 ,4( v

? 
 
11. Calcule 
w

5
 onde 
w
 é igual a 
)2 ,4 ,0 ,7 ,1(
. 
 
12. Sejam 
)4 ,10 ,6(P
 e 
)2 ,5 ,2(Q
, calcule 
v

2
 onde 
PQv 
 . 
 
13. Considere os vetores 
)4 ,1 ,5 ,3(u

 e 
)6 ,2 ,0 ,4(v

. Calcule 
vu

34 
. 
 
14. Determine o produto escalar 
vu

.
 onde 
)7 ,3 ,5 ,1 ,2(u

 e 
)1 ,3 ,8 ,2 ,5(v

. 
 
15. Calcule o produto escalar entre os vetores 
)0 ,5(u

 e 
)6 ,0(v

 utilizando a expressão 
cos.||.||. vuvu  
. 
 
16. Dados os vetores 
)2 ,1 ,4(a

 e 
)1 ,4 ,3( b
 , calcule o produto vetorial 
ba


. 
 
17. Dados os vetores 
)2 ,1 ,4(a

 e 
)1 ,4 ,3( b
 , calcule o produto vetorial 
ab


. 
 
 
 
Caderno de Exercícios 3: 
 
1. Sabendo que a equação reduzida da reta r é y=ax+b, encontre a equação da reta que passa pelos 
pontos A=(3, 1) e B=(4, 3). 
 
2. Determine a inclinação da reta r de equação y=2x-5. 
 
3. Verifique se o ponto P=(1, -3) pertence à reta r definida por y=2x-5 apresentada no exercício 
anterior. 
 
4. Considere a reta r dos Exercícios 1 e 2 cuja equação é y=2x-5. Verifique se o ponto Q=(2, 6) 
pertence à reta r. 
 
5. Qual é o ponto de intersecção da reta r de equação y=2x-5 com o eixo y. 
 
6. Considere a reta 
123  xy
. Determine o coeficiente angular e o coeficiente linear dessa reta. 
 
7. Utilizando a expressão 
).( 00 xxmyy 
, determine a equação da reta s que passa pelos pontos 
A=(2, 5) e B=(4, 3). 
 
8. Considere a reta t representada na figura abaixo. 
 
 
 
Com base nas informações apresentadas, escreva a equação reduzida da reta t. 
 
9. Considere a reta t apresentada no exercício anterior. Encontre a equação reduzida de t utilizando a 
expressão 
).( 00 xxmyy 
. 
 
10. Seja a reta r definida pela equação reduzida 
115  xy
. Escreva a equação de r no formato geral. 
 
11. Determine uma equação vetorial da reta r que passa pelos pontos M=(2, 4) e N=(5, 3). 
 
12. Encontre uma equação vetorial para a reta r passando pelos pontos A=(1, 2, 1) e B=(2, 3, 3). 
 
13. Considere o Exercício 11. Obtenha as equações paramétricas da reta r. 
 
14. Determine o ângulo entre as retas r1 e r2 de equações 
 
 








tz
ty
tx
r
32
41
23
:1
 e 








tz
ty
tx
r
4
52
31
:2
 
 
15. Mostre que as retas r e s dadas por 
 








tz
ty
tx
r
31
4
21
:
 e 








tz
y
tx
s
21
5
32
:
 
são ortogonais. 
 
16. Considere as retas g e h definidas pelas equações vetoriais g=(1, 9, 6)+t.(3, -2, 4) e h=(0, 3, -5)+t.(-
6, 4, -8). Mostre que g e h são paralelas. 
 
17. Sejam as retas 








tz
ty
tx
w
23
33
52
:
 e 








hz
hy
hx
s
41
23
21
:
 
Verifique se w e s são concorrentes. Em caso afirmativo, determine o ponto P de intersecção dessas 
retas. 
 
 
Caderno de Exercícios 4: 
 
1. Determine uma equação geral cartesiana do plano 

. Considere o vetor 
n
 normal a 

 e o ponto A 
pertencente a 

 onde 
)2 ,5 ,3(n

 e 
)4 ,2 ,1(A
. 
 
 
 
2. Considere o Exercício 1. Encontre uma equação geral para 

 substituindo a, b e c pelas 
componentes do vetor normal 
n
 e calculando o valor de d a partir da relação 
000 czbyaxd 
. 
 
 
 
3. Considere os pontos 
)2 ,6 ,2(A
, 
)4 ,1 ,3(B
 e 
)3 ,2 ,5(C
. Determine uma equação geral do plano 

 que contém os pontos A, B e C. 
 
 
 
4. Resolva o Exercício 3 substituindo a, b e c pelas componentes do vetor normal 
n
 e calculando o 
valor de d a partir da relação 
000 czbyaxd 
. 
 
5. Encontre uma equação vetorial do plano 

 que passa pelos pontos 
)2 ,6 ,2(A
, 
)4 ,1 ,3(B
 e 
)3 ,2 ,5(C
 dado no Exercício 3. 
 
6. Utilize o produto misto para encontrar uma equação geral do plano 

 que passa pelos pontos 
)2 ,6 ,2(A
, 
)4 ,1 ,3(B
 e 
)3 ,2 ,5(C
 apresentados no Exercício 3. 
 
7. Considere o plano 

 definido por 
020254  zyx
. Determine os pontos A, B e C de 
intersecção do plano 

 com os eixos coordenados x, y e z, respectivamente. 
 
8. Seja o plano 

 definido por 
020254  zyx
 conforme o Exercício 7. Determine as intersecções 
do plano 

 com os planos xy, yz e xz. 
 
9. Encontre um sistema de equações paramétricasdo plano 

 que passa pelos pontos 
)2 ,6 ,2(A
, 
)4 ,1 ,3(B
 e 
)3 ,2 ,5(C
 dados no Exercício 3. 
 
10. Seja r a reta dada pelas equações 








tz
ty
tx
21
5
32
. Verifique se r é paralela ao plano 

 dado por 
)233 ,3 ,21() , ,(: 212121 ttttttzyx  . 
 
11. Considerando o Exercício 10, verifique se r está contida no plano 

. 
 
12. Verifique se o ponto 
)3 ,2 ,4(A
 pertence ao plano 
)233 ,3 ,21() , ,(: 212121 ttttttzyx  
definido no Exercício 10. 
 
 
 
13. Encontre o ângulo formado entre os planos 
05:  zyx
 e 
01232:  zyx
. 
 
 
Caderno de Exercícios 5: 
 
1. Considerando os pontos A e B representados abaixo, determine a distância d(A, B). 
 
 
 
2. Sejam A=(2, 5, -4) e B=(3, 3, 2). Calcule d(A, B) e d(B, A). 
 
3. Determine a distância entre o ponto P=(5, 7) e a reta r:y=2x+2. 
 
4. Sabendo que A=(1, 0, 3) e r:M=(3t+1, 2t, 5t-2), encontre a distância entre o ponto A e a reta r. 
 
5. Encontre a distância entre o ponto D=(4, 1, 6) e o plano :2x+3y+z-2=0. 
 
6. Qual é a equação reduzida de uma circunferência com centro em C=(2, 2) e raio r=4? 
 
7. Determine a equação geral de uma circunferência com centro em C=(1, 3) e raio r=3? 
 
8. Qual é a cônica cuja equação corresponde a x2+y2+2x+6y=8? 
 
9. A figura abaixo apresenta uma elipse com centro na origem, semi-eixo vertical igual a 3 e semi-eixo 
horizontal igual a 4. 
 
 
 
Com base nessas informações, determine a equação canônica dessa elipse. 
 
 
 
10. Determine qual é a cônica de equação 25x2+9y2+100x+18y-116=0. 
 
11. Determine a equação canônica da hipérbole apresentada na figura abaixo. 
 
 
 
12. Determine a equação da parábola apresentada abaixo. 
 
 
 
13. Qual é a cônica cuja equação corresponde a x2+y-10=0? 
 
14. Determine qual é a cônica de equação igual a y2+2x+3y+5=0. 
 
15. Represente graficamente a parábola dada por x2-6x-y+5=0.