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SEÇÃO 2.2 O LIMITE DE UMA FUNÇÃO  1
 1. Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quanti-
dade indicada, se existir. Se não existir, explique por quê.
 (a) 
1
lim ( )
x
f x (b) 
3
lim ( )
-x
f x (c) 
3
lim ( )
+x
f x
 (d) 
3
lim ( )
x
f x (e) f (3) (f) 
2
lim ( )
--x
f x
 (g) 
2
lim ( )
+-x
f x (h) 
2
lim ( )
-x
f x (i) f(–2)
x
y
–2
–3
–3 –2
2
3
1
2 31
 2. Para a função f, cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quan-
tidade indicada, se existir. Se não existir, explique por quê.
 (a) 
3
lim ( )
x
f x (b) 
1
lim ( )
x
f x (c) 
3
lim ( )
-x
f x
 (d) 
2
lim ( )
-x
f x (e) 
2
lim ( )
+x
f x (f) 
2
lim ( )
x
f x
0 x
y
–2
–1
1
2
–2–3 1 2 3
 3. Para a função g cujo gráfico é mostrado, determine o seguinte:
 (a) 
6
lim ( )
-x
g x (b) 
0
lim ( )
-x
g x
 (c) 
0
lim ( )
+x
g x (d) 
4
lim ( )
x
g x
 (e) As equações das assíntotas verticais.
y
x4–5
 4. Para a função f cujo gráfico é mostrado, determine o seguinte:
 (a) 
3
lim ( )
x
f x (b) 
7
lim ( )
x
f x (c) 
4
lim ( )
-x
f x
 (d) 
9
lim ( )
--x
f x (e) 
9
lim ( )
+-x
f x
 (f) As equações das assíntotas verticais.
x–1
–3
–5
y
3
5
–9 1 3 5
 5. Determine o valor do limite, se existir, a partir do gráfico 
dado.
 (a) 
1
lim ( )
x
g x (b) 
0
lim ( )
x
g x (c) 
2
lim ( )
x
g x
 (d) 
2
lim ( )
-x
g x (e) 
1
lim ( )
--x
g x (f) 
1
lim ( )
-x
g x
0 x
g(x)
2
1
–1
–2
23– 2– 1– 1
6-11 Avalie a função nos números dados (com precisão de seis 
casas decimais). Use os resultados para estimar o valor do 
limite, ou explique por que ele não existe.
 6. 
3
31
1
( ) ;
1
0,2, 0,4, 0,6, 0,8, 0,9, 0,99, 1,8 1,6, 1,4, 1,2, 1,1, 1,01;
1
lim
1
-= -
=
-
-x
x
g x
x
x
x
x
 7. 
2
2
2
22
1
( ) ;
3 10
3, 2,1, 2,01, 2,001, 2,0001, 2,00001;
1
lim
3 10x
x
g x
x x
x
x
x x+
-= + -
=
-
+ -
2.2 O LIMITE DE UMA FUNÇÃO Revisão técnica: Eduardo Garibaldi – IMECC – Unicamp
 É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador.
2  SEÇÃO 2.2 O LIMITE DE UMA FUNÇÃO
 8. 
( )
( )
1
5
1
5
25
1/
( ) ;
25
26, 25,5, 25,1, 25,05, 24, 24,5, 24,9,
24,95, 24,99;
1/
lim
25x
x
F x
x
x
x
x
-= -
=
-
-
 9. 
3
3
1
1
( ) ;
1
1,5, 1,2, 1,1, 1,01, 1,001;
1
lim
1t
t
F t
t
t
t
t
-= -
=
-
-
 10. 2
20
1 cos 
( ) ;
1, 0,5, 0,4, 0,3, 0,2, 0,1, 0,05, 0,01;
1 cos 
lim

-=
=
-
x
x
f x
x
x
x
x
 11. 
0
( ) ln ;
1, 0,5 0,1, 0,05, 0,01, 0,005, 0,001;
lim ln 
x
g x x x
x
x x
+
=
=
12-13 Determine o limite infinito.
 12. 
83
1
lim
( 3) -x x
 13. 
1
1
lim
 sen p+
+
x
x
x x
 
 14. (a) A partir do gráfico da função f (x) = (tg 4x)/x e dando 
zoom no ponto em que o gráfico cruza o eixo y, estime o 
valor de limx0 f (x).
 (b) Verifique sua resposta na parte (a) calculando f (x) para 
valores de x que tendam a 0.
 15. (a) Estime o valor de 
0
6 2
lim

-x x
x x
 traçando o gráfico da função y = (6x – 2x)/x. Forneça sua 
resposta com precisão de duas casas decimais.
 (b) Verifique sua resposta na parte (a) calculando f (x) para 
valores de x que tendam a 0.
SEÇÃO 2.2 O LIMITE DE UMA FUNÇÃO  1
 1. (a) 3 (b) 2 (c) –2 (d) Não existe
 (e) 1 (f ) –1 (g) –1 (h) –1 (i) –3
 2. (a) 2 (b) –1 (c) 1 (d) 1
 (e) 2 (f) Não existe 
 3. (a) 0 (b) ¥ (c) –¥ (d) –¥
 (e) x = –5, x = 0, x = 4
 4. (a) ¥ (b) –¥ (c) –¥ (d) ¥ (e) –¥
 (f) x = –9, x = –4, x = 3, x = 7
 5. (a) 0 (b) Não existe (c) 1 (d) 0
 (e) 1 (f ) Não existe
 6. 0,806452, 0,641026, 0,510204, 0,409836, 0,369004, 
0,336689, 0,165563, 0,193798, 0,229358, 0,274725, 
0,302115, 0,330022; 13
 7. –1, –
4,8028, –43,368, –429,08, –4 286,2, –42 858, –¥
 8. –0,003884, –0,003941, –0,003988, –0,003994, –0,003999, 
–0,004124, –0,004061, –0,004012, –0,004006, –0,004001; 
–0,004.
 9. 0,643905, 0,656488, 0,661358, 0,666114, 0,666611; 23
 10. 0,459698, 0,489670, 0,493369, 0,496261, 0,498336, 
0,499583, 0,499896, 0,499996; 0,5
 11. 0, –0,490129, –0,728141, –0,669866, –0,460517, –0,374648, 
–0,218442; 0
 12. ¥
 13. –¥
 14. 4
 15. (a) 1,10s
2.2 RESPOSTAS
SEÇÃO 2.3 CÁLCULOS USANDO PROPRIEDADES DOS LIMITES  1
1-5 Calcule o limite justifi cando cada passagem com as Proprie-
dades dos Limites que forem usadas.
 1. 2
0
lim (5 2 3)

- +
x
x x
 2. 2 2
3
lim ( 2)( 5 )

+ -
x
x x x
 3. 
21
2
lim 
4 3-
-
+ -x
x
x x
 4. 
24 2
41
6
lim 
2 3
æ ö+ - ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç + +è øx
x x
x x
 5. 9 2
2
lim ( 1) ( 1)
-
+ -
t
t t
6-20 Calcule o limite, se existir. 
 6. 
2
3
12
lim
3x
x x
x-
- +
+
 7. 
2
3
12
lim
3x
x x
x-
- -
+
 8. 22
2
lim 
6x
x
x x-
+
- -
 9. 
2
21
2
lim 
3 2x
x x
x x
+ -
- +
 10. 
2
0
( 5) 25
lim 

- -
h
h
h
 11. 
2
1
2
lim 
1x
x x
x-
- -
+
 12. 
2
1
2
lim 
1x
x x
x
- -
+
 13. 
3
21
lim 
1t
t t
t
-
-
 14. 
2
1
3
lim 
1x
x x
x-
- -
+
 15. 
2
22
6
lim 
4
+ -
-t
t t
t
 16. 
0
2 2
lim 

- -
t
t
t
 17. 
21
1 2
lim 
1 1
é ùê ú-ê ú- -ë ûx x x
 18. 
2
1 1
2lim 
2
-
-x
x
x
 19. 
0
lim 
1 3 1 + -x
x
x
 20. 
22
3 2
lim 
4
- -
-x
x x
x
 21. Demonstre que 4
0
lim cos 0
+
=
x
x x
 22. Seja
2 2 2 se 1
( )
3 se 1
x x x
f x
x x
ìï - + <ï= íï - ³ïî
.
 (a) Encontre limx1– f (x) e limx1+ f (x).
 (b) Existe limx1 f (x)?
 (c) Esboce o gráfico de f.
 23. Seja
3
2
se 1
( )
( 2) se 1
x x
g x
x x
ìï- < -ïï= íï + > -ïïî
.
 (a) Encontre limx1– g (x) e limx–1+ g (x).
 (b) Existe limx–1 g (x)?
 (c) Esboce o gráfico de g.
 24. Seja  ( ) /2=g x x .
 (a) Esboce o gráfico de g.
 (b) Calcule cada um dos seguintes limites, se existir.
 (i) 
1
lim ( )
+x
g x (ii) 
1
lim ( )
-x
g x (iii) 
1
lim ( )
x
g x
 (iv) 
2
lim ( )
+x
g x (v) 
2
lim ( )
-x
g x (vi) 
2
lim ( )
x
g x
 (c) Para quais valores de a o lim ( )x a g x existe?
2.3 CÁLCULOS USANDO PROPRIEDADES DOS LIMITES Revisão técnica: Eduardo Garibaldi – IMECC – Unicamp
SEÇÃO 2.3 CÁLCULOS USANDO PROPRIEDADES DOS LIMITES  1
 1. 75
 2. –174
 3. 12
 4. 49
 5. –3
 6. Não existe
 7. –7
 8. 15-
 9. –3
 10. –10
 11. –3
 12. –1
 13. 1
 14. Não existe
 15. 54
 16. 2/4-
 17. 12
 18. 14-
 19. 23
 20. 116
 21. 0
 22. (a) 1,2 (b) Não
 (c) y
x1
1
0
 23. (a) 1,1 (b) Sim
 (c) 
1 x
1
y
0
 24. (a) y
0 x1
1
2 3 4 5 6
2
24
2
 (b) (i) 0 (ii) 0 (iii) 0 (iv) 1 (v) 0
 (vi) Não existe 
 (c) Todos os valores reais exceto os números inteiros pares
2.3 RESPOSTAS