Matemática Financeira (41)

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MATEMÁTICA FINANCEIRA 1 RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRAS DE TRES e PORCENTAGEM 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO ............................................................................. 1 
JUROS SIMPLES ......................................................................... 1 
MONTANTE E VALOR ATUAL .................................................... 3 
CONVERSÃO DE TAXAS ............................................................ 4 
CONVERSÃO DE PERÍODOS ..................................................... 4 
TAXA PROPORCIONAL .............................................................. 7 
TAXAS EQUIVALENTES ............................................................. 7 
JURO EXATO COMERCIAL ........................................................ 7 
DESCONTO SIMPLES .............................................................. 10 
DESCONTO RACIONAL (ou POR DENTRO)............................ 11 
DESCONTO COMERCIAL (ou POR FORA) .............................. 12 
DESCONTO BANCÁRIO ........................................................... 14 
TAXA EFETIVA DE UM DESCONTO SIMPLES ........................ 15 
RESPOSTAS ............................................................................. 16 
 
 
INTRODUÇÃO 
Fundamentalmente, a Matemática 
Financeira estuda os procedimentos utilizados 
em pagamentos de empréstimos, bem como os 
métidos de análise de investimentos em geral. 
 
Quando uma pessoa empresta a outra 
um valor monetário, durante um certo tempo, 
essa quantia é chamada capital (ou principal) 
é indicaremos, neste material didático, por 𝑪. O 
valor que o credor (aquele que empresta) cobra 
pelo uso do dinheiro, ou seja, o valor pago pelo 
tomador do empréstimo, é chamado de juros e 
indicaremos por 𝑱. 
 
A taxa de juros, que indicaremos por i 
(do inglês: interest, que significa juros) é 
expressa como uma porcentagem do capital. Ela 
representa os juros numa certa unidade de 
tempo, normalmente indicada por a.d. (ao dia), 
a.m. (ao mês), a.b. (ao bimestre), a.t. (ao 
trimestre), a.a. (ao ano), etc. 
 
JUROS SIMPLES 
Consideremos um capital 𝐶 aplicado a 
juros simples, a uma taxa 𝑖 por período e durante 
𝑛 períodos de tempo. Os juros do 1º período são 
iguais a 𝐶 ∙ 𝑖 e, de acordo com a definição de 
capitalização simples, em cada um dos períodos 
os juros são iguais a 𝐶 ∙ 𝑖, conforme ilustrado 
abaixo: 
 
CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
 
 Assim, os juros simples da aplicação 
serão iguais à sona de 𝑛 parcelas iguais a 
𝐶 ∙ 𝑖, ou seja: 
𝑱 = 𝐶 ∙ 𝑖 + 𝐶 ∙ 𝑖 + 𝐶 ∙ 𝑖 +⋯+ 𝐶 ∙ 𝑖⏟ 
𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠
 
e, portanto: 
Juros Simples 𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
 Os juros simples são resultados do 
produto do capital pela taxa e pela quantidade 
de períodos (prazo) da aplicação. Observamos 
que nessa fórmula, o prazo 𝑛 deve estar 
expresso na mesma unidade de tempo da taxa 
𝑖, isto é, se a taxa for definida em meses, o prazo 
também deve vir em meses, se a taxa estiver em 
anos, o prazo também deve ser anual. 
 
 
Ex.1: Um capital de $8.000 é aplicado a juros 
simples, à taxa de 2% a.m., durante 5 meses. 
Quanto, de juros, é auferido da aplicação? 
Resolução: Do enunciado, temos 𝐶 = 8.000, 
𝑖 = 0,02 e 𝑛 = 5. Como a taxa e o tempo estão 
na mesma unidade (meses) podemos aplicar 
diretamente a fórmula 
𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
𝐽 = 8.000 ∙ 0,02 ∙ 5 
𝐽 = 8.000 ∙ 0,1 
𝐽 = 800 
Resp.: $ 800. 
 
Ex.2: Obter os juros de uma aplicação de 
R$5.000,00 a juros simples e à taxa de 3% a.m., 
durante 2 anos. 
Resolução: do enunciado, temos 𝐶 = 5.000, 
𝑖 = 0,03 e 𝑛 = 24 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠. 
Para calcular os juros, fazemos: 
𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
𝐽 = 5.000 ∙ 0,03 ∙ 24 = 3.600 
Resp.: O juros da aplicação é R$3.600,00 
 
Ex.3: Uma geladeira é vendida à vista por 
R$1.200,00 ou a prazo com 20% de entrada 
mais uma parcela de R$1.100,00 após 3 meses. 
Qual a taxa mensal de juros simples do 
financiamento? 
 
Resolução: Para calcular a taxa de juros, 
precisamos determinar: 
 A entrada: 
20
100
∙ 1.200 = 240 
 O capital financiado: 1.200 − 240 = 960 
 O montante do capital financiado: 1.100 
 O juro do financiamento: 1.100 − 960 = 140 
 
Assim, chamando de 𝑖 a taxa mensal de 
juros, podemos escrever: 
𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
140 = 960 ∙ 𝑖 ∙ 3 
𝑖 =
140
2880
 
𝑖 = 0,0486 = 4,86% 
 
Resp.: a taxa do financiamento é 4,86%a.m. 
Ex.4: Um capital de R$12.000,00 é aplicado 
a juros simples durante 72 dias. Qual o valor 
dos juros simples para: 
a) taxa de 3% a.m.? e b) taxa de 45% a.a.? 
Resolução: em situações como esta, 
quando o prazo é dado em dias, para efeito 
de cálculo, utilizamos o calendário comercial 
de 360 dias. Por convenção, todos os meses 
são considerados com 30 dias e o ano com 
360. Dessa forma, temos: 
a) 𝑛 =
72
30
= 2,4 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 
𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
𝐽 = 12.000 ∙ 0,03 ∙ 2,4 = 864 
Resp.: R$864,00 
 
b) 𝑛 =
72
360
= 0,2 𝑎𝑛𝑜 
𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
𝐽 = 12.000 ∙ 0,45 ∙ 0,2 = 1.080 
Resp.: R$1.080,00 
 
 
01) Calcule os juros simples recebidos em 
cada uma das aplicações: 
 Capital Taxa Prazo 
a) $5.000 2,5% a.m. 8 meses 
b) $4.000 4% a.t. 1 ano e meio 
c) $7.000 1,7% a.m. 1 ano e meio 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 3 RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRAS DE TRES e PORCENTAGEM 
 
02) Um capital de $20.000 é aplicado a juros 
simples, durante 2 anos, à uma taxa de 2% a.m. 
qual o juro obtido? 
 
03) Qual o capital que, aplicado a juros 
simples, à taxa de 2% a.m., durante 8 
meses, gera um juro de R$6.000,00? 
 
04) Determine o capital que, aplicado a juros 
simples de 2,5% a.m., durante 2 anos, resulta 
em um juro de R$ 6.000,00? 
05) Calcule o capital que, aplicado a juros 
simples durante 11 meses e à taxa de 1,5% 
a.m., proporciona juros de R$700,00. 
 
06) O banco Canguru empresta 
R$2.000.000,00 a uma firma pelo prazo de 
120 dias cobrando juros simples de 3% a.m. 
Simultaneamente ele paga aos aplicadores 
dessa quantia, juros simples com prazo de 
120 dias, à taxa de 2% a.m. 
a) Qual a diferença entre os juros recebidos e os 
pagos após os 120 dias? 
 
b) qual o valor dos juros pagos aos aplicadores? 
 
07) Roberto pretende comprar um carro 
usado cujo preço é R$12.000,00 para 
pagamento daqui a 4 meses. Se ele 
conseguir aplicar seu dinheiro a juros 
simples e à taxa de 2% a.m.: 
a) quanto deverá aplicar no ato da compra 
para fazer frente ao pagamento? 
 
b) Se o preço do pagamento a vista for de 
R$11.200,00, é melhor ele pagar a vista ou 
a prazo? 
 
MONTANTE E VALOR ATUAL 
Chama-se montante de um principal 
(ou valor atual) à soma desse principal com 
os juros auferidos durante o período em que 
o principal esteve investido. 
Assim, 
Montante 
𝑀 = 𝐶 + 𝑗 
 
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖 ∙ 𝑛) 
 
Ex.1: Qual o montante obtido a partir da 
aplicação de um capital de R$5.000,00 
durante 10 meses a uma taxa de 4% a.m.? 
Resolução: 
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖𝑛) 
𝑀 = 5.000 ∙ (1 + 0,04 ∙ 10) 
𝑀 = 5.000 ∙ 1,4 
𝑀 = 7.000 
R: R$7.000,00. 
 
08)O Sr. Marcelo quer dividir seu capital de 
R$30.000,00 em duas partes, uma pra er 
aplicada no Banco Canguru, que paga juros 
simples à taxa de de 1,8% a.m., e a outra n 
Banco Marsupial, que paga também juros 
simples à taxa de 2,2% a.m.. A aplicação no 
banco Canguru é por 2 anos e no Banco 
Marsupial é por 1 ano e meio. Calcule o 
valor aplicado em cada banco sabendo que 
os juros auferidos em cada aplicação foram 
iguais. 
 
09) Uma TV é vendida à vista por 
R$1.800,00 ou então co R$400,00 de 
entrada mais uma parcela de R$1.500,00 
após dois meses. Qual a taxa mensal de 
juros simples do financiamento? 
 
10) Uma maquina de lavar 
roupa é vendida à vista por 
R$1.500,00 ou então com 30% 
de entrada mais uma parcela 
de R$1.200,00 após3 meses. 
Qual a taxa mensal de juros 
simples do financiamento? 
 
11) Um televisor é vendido a 
vista por R$1.000,00 ou a prazo com 10% de 
entrada e mais uma parcela de R$1.080,00 após 
4 meses. Neste caso, a taxa mensal de juros 
simples do financiamento é de 4,5%. 
Classifique a assertiva acima como Verdadeira 
ou Falsa. 
 
12) Carlos adquiriu uma televisão usada 
pagando uma entrada de R$200 e mais uma 
parcela de R$450,00 dois meses após a 
CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
compra. Se tivesse pago a vista o aparelho 
sairia por R$600,00. 
a) Qual a taxa mensal de juros simples do 
financiamento? 
 
b) Após quantos meses da compra deveria 
vencer a parcela de R$450,00 para que a taxa 
de juros simples do financiamento fosse de 2,5% 
ao mês? 
 
13) O preço à vista de uma mercadoria é 
R$130,00. O comprador pode pagar 20% no ato 
da compra e o restante em uma única parcela 
de R$128,96 vencível em 3 meses. Admitindo-
se o regime de juros simples, qual a taxa anual 
cobrada na venda a prazo? 
 
14) Um aparelho de som é vendido por $1.200 
para pagamento em 3 meses após a compra. Se 
o pagamento for feito à vista, há um desconto de 
9% sobre o preço de $1.200. Qual a taxa mensal 
de juros simples cobrada na compra a prazo? 
 
15) Resolva o mesmo exercício anterior 
considerando um desconto de 5% sobre o preço 
de $1.200. 
 
16) Um banco condedeu a uma empresa, 
um empréstimo a juros simples por 15 
meses. Qual a taxa mensal sabendo que o 
montante é igual a 160% do capital 
emprestado? 
 
17) Durante quanto tempo um capital de 
R$25.000,00 deve ser aplicado a juros 
simples e à taxa de 2% a.m. para se obter 
um montante de R$30.000,00? 
 
18) Um capital aplicado a juros simples e à taxa 
de 8% a.a. triplica em qual prazo? 
 
CONVERSÃO DE TAXAS 
Para Converter taxas de períodos maiores para 
períodos menores ( por exemplo, de ano para 
mês), deve-se dividir a taxa pela quantidade de 
períodos menores equivalentes ao do maior 
 
Ex.1: Converter 15% ao ano em taxa semestral. 
Resolução 
Se em um ano tem 2 semestres, então devemos 
dividir 15 por 2. Assim 15% a.a = 7,5%a.s. 
 
Ex.2: Converter 15% ao ano em taxa mensal. 
Resolução: 
Como em um ano tem 12 meses, temos que 
dividir 15 por 12. Assim, 15%a.a = 1,25%a.m. 
___________________ 
Para converter taxas de períodos menores para 
períodos maiores ( por exemplo de mês para 
ano), deve-se multiplicar a taxa pela quantidade 
de períodos menores equivalentes ao maior. 
 
 
Ex.1: Converter 2% ao trimestre em taxa 
semestral. 
Resolução: 
Como em um semestre existem 2 trimestres , 
então devemos multiplicar 2% por 2. Assim 
2%a.t = 4%a.s. 
 
Ex.2: Converter 2% ao trimestre em taxa anual. 
Resolução: 
Como em um ano existem 4 trimestres , então 
devemos multiplicar 2% por 4. Assim 
2% a.t. = 8%a.a. 
 
CONVERSÃO DE PERÍODOS 
 Para converter períodos (anos, 
semestres, meses, dias...) devemos utilizar 
regras de três simples e direta tendo como base 
a seguinte tabela de conversão: 
 
1 ano = 2 semestres 
1 semestre = 2 trimestres 
1 trimestre = 3 meses 
1 bimestre = 2 meses 
1 mês = 30 dias 
 
 
Ex.1: Converter 2 anos em dias. 
Resolução 
2
1
=
𝑥
360
→ 𝑥 = 720 
Assim, 2 anos equivale a 720 dias. 
 
Ex.2: Converter 3 anos e meio em semestres. 
Resolução 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 5 RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRAS DE TRES e PORCENTAGEM 
 
1
2
=
3,5
𝑥
→ 𝑥 = 7 
Assim, 3,5 anos equivale a 7 semestres 
___________________________ 
 
Nos exemplos a seguir, veremos situações 
envolvendo cálculo de juros e montante 
envolvendo casos de conversões de taxas e/ou 
de períodos. 
 
 
Ex.1: Um capital de $12.000 foi aplicado durante 
3 meses à taxa de 5% a.t.. Qual o montante 
recebido após o final do período? 
Resolução: 
J = 12.000 ∙
5
100
= 600 
M = 12.000 + 600 = 12.600 
 
Resp.: Ao final do trimestre será recebido, pelo 
credor, $12.600. 
 
Ex.2: Uma empresa recebeu um empréstimo 
bancário de $60.000 por 1 ano, pagando um 
montante de $84.000. qual foi a taxa anual de 
juros desta operação? 
Resolução: 
𝑀 = 𝐶 + 𝐽 
84.000 = 60.000 + 𝐽 
𝐽 = 84.000 − 60.000 
𝐽 = 24.000 
 
𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 
24.000 = 60.000 ∙ 𝑖 
𝑖 =
24.000
60.000
 
𝑖 = 0,4 = 40% 
Resp.: A taxa de juros foi de 40% a.a.. 
 
Ex.3: Um investidor aplicou $30.000 numa 
caderneta de poupança e $20.000 num fundo de 
investimento, pelo prazo de 1 ano. A caderneta 
de poupança rendeu 9% e o fundo, 12%. Qual a 
taxa global de juros recebido pelo investidor? 
Resolução: 
CP: 𝐽𝐶𝑃 = 30.000 ∙
9
100
= 2700 
FI: 𝐽𝐹𝐼 = 20.000 ∙
12
100
= 2400 
Juros total: 𝐽 = 2.700 + 2.400 = 5.100 
𝑖 =
𝐽
𝐶
=
5.100
50.000
= 0,1020 = 10,2% 
 
Resp.: A taxa de juros global fi de 10,2%a.a. 
 
 
Ex.4: Um investidor aplicou 80% de seu capital 
no fundo A e o restante num fundo B, pelo prazo 
de 1 ano. Neste período, o fundo A rendeu 16% 
equanto o fundo B rendeu 10%. Qual a taxa 
global recebida pelo investidor? 
Resolução: Chamaremos de 𝐶 o capital total,𝐶𝐴 
é o capital aplicado no fundo A e 𝐶𝐵 é o capital 
aplicado no fundo B. Então: 
 
𝐶𝐴 = 0,8𝐶 e 𝐶𝐵 = 0,2𝐶 
 
Juros oriundos do fundo A: 
𝐽𝐴 = 𝐶𝐴 ∙
16
100
= 0,8𝐶 ∙ 0,16 = 0,128𝐶 
 
Juros oriundos do fundo B: 
𝐽𝐵 = 𝐶𝐵 ∙
10
100
= 0,2𝐶 ∙ 0,1 = 0,02𝐶 
 
Juros total obtido: 
𝐽 = 𝐽𝐴 + 𝐽𝐵 = 0,128𝐶 + 0,2𝐶 = 0,148𝐶 
 
Agora, para determinar a taxa global de juros, 
fazemos 𝑖 =
𝐽
𝐶
 
𝑖 =
𝐽
𝐶
=
0,148𝐶
𝐶
= 0,148 = 14,8% 
 
Resp.: A taxa global recebida pelo investidor foi 
de 14,8% a.a.. 
 
18) Um capital de $4.000 foi aplicado durante 2 
meses à taxa de 3% a.b.. Calcule os juros e o 
montante recebido. 
 
19) Manoel aplicou $15.000 durante 6 meses 
num fundo que rendeu 10% a.s.. Qual o 
montante recebido? 
 
20) Luiz aplicou $25.000 numa caderneta de 
poupaça pelo prazo de 1 ano. Sabendo-se que 
a taxa era de 9% a.a., qual o valor do montante? 
 
21) Sueli aplicou $4.800 num fundo de 
investimento e recebeu, 3 meses depois, $500 
de juros. Qual foi a taxa trimestral de juros da 
aplicação? 
 
CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
22) Uma empresa tomou um empréstimo de 
$100.000 por 1 dia à taxa de 0,2% a.d.. Qual o 
valor do montante pago? 
 
23) Robert aplicou $12.000 num fundo e 
recebeu, 1 ano depois, um montante de 
$17.000. Qual foi a taxa anual de juros 
recebida? 
 
24) Em um empréstimo de $50.000, feito por 1 
mês, uma empresa pagou um montante de 
$51.200. qual a taxa mensal do empréstimo? 
 
25) Um investidor dobrou seu capital numa 
aplicação por 2 anos. Qual a taxa de juros bienal 
no período da aplicação? 
 
26) O preço de tabela de um determinado 
produto é $1.000. O produto tem um desconto 
de 10% para pagamento a vista e um desconto 
d 7,2% para pagamento em 30 dias. Admitindo-
se que o valor desembolsado no pagamento a 
vista possa ser aplicado pelo comprador em 
uma aplicação de 30 dias, com rendimento de 
3% a.m., determine: 
a) Quanto o comprador teria ao final da 
aplicação? 
 
b) Qual a operação mais vantajosa para o 
comprador: pagar a vista ou aplicar o recurso e 
pagar 30 dias depois? Por quê? 
 
27) Um investidor estrangeiro, traz para o Brasil 
X$50.000 (50 mil unidades da moeda do seu 
pais), faz a conversão dessa moeda para reais, 
aplica os reais por um ano à uma taxa de 18% 
ao ano. No resgate, converte os reais recebidos 
para a moeda de seu pais e reenvia o dinheiro 
para sua família. No dia da aplicação, X$1,00 
valia R$1,10 e um ano depois, no dia do resgate, 
X$1,00 valia R$1,20. 
a) Qual a taxa de rendimento dessa aplicação 
considerando os valores expressos na moeda 
X? 
b) Quanto deveria valer X$1,00 na data do 
resgate (um ano após a aplicação) para quea 
taxa de rendimento na moeda X tivesse sido de 
12% ao ano? 
 
28) Pedro aplicou $25.000 num fundo A e 
$45.000 num fundo B pelo prazo de três meses. 
Nesse período, o fundo A rendeu 15% e o B 
rendeu 12%. Qual a taxa global de rendimento 
no trimestre? 
 
29) Jair aplicou 60% de seu capital na caderneta 
de poupança e o restante num fundo de 
investimento, pelo prazo de 6 meses. Nesse 
período, a caderneta de poupança rendeu 5% e 
o fundo, 8%. Qual a taxa global de rendimento 
auferido por Jair nesse período? 
 
30) Leandro aplicou 30% de seu capital num 
fundo A, 30% num fundo B e o restante num 
fundo C, pelo prazo de 8 meses. Nesse período, 
o fundo A rendeu 8%, o fundo B, 12% e o C, 6%. 
Qual a taxa global de rendimento obtida por 
Leandro? 
 
31) Vitor tem $12.000 para investir pelo prazo de 
um ano. Ele pretende investir parte na aplicação 
A que tem rendimento esperado de 15% ao ano 
sobre o valor investido, e parte numa outra 
aplicação B que dá um rendimento esperado de 
20% sobre o valor investido. 
a) Qual o rendimento anual esperado, se ele 
aplicar $7.000 em A e $5.000 em B? 
b) Qual o máximo que ele deve investir em A 
para auferir um ganho esperado de, no mínimo, 
$2.200 daqui a um ano? 
 
32) Uma pessoa investiu certo capital, por um 
período de 5 anos, da seguinte maneira: com 
2
5
 
do capital, comprou ações da Bolsa de Valores; 
do restante, aplicou metade em imóveis e 
metade em caderneta de poupança. Ao final de 
5 anos, ela contabilizou um prejuízo de 2% na 
aplicação de ações, um ganho de 20% na 
aplicação imobiliária e um ganho de 26% na 
aplicação em poupança. Calcule, em relação ao 
capital inicial, o percentual ganho pelo 
investidor. 
 
33) (Cespe/UnB – 2002) Uma pessoa recebeu 
R$ 6.000,00 de herança, sob a condição de 
investir todo o dinheiro em dois tipos particulares 
de ações, X e Y. As ações do tipo X pagam 7% 
a.a e as ações do tipo Y pagam 9% a.a. A 
quantia que a pessoa pode investir nas ações x, 
de modo a obter R$ 500,00 de juros em um ano, 
é 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 7 RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRAS DE TRES e PORCENTAGEM 
 
 R$ 1.200,00 
 R$ 1.600,00 
 R$ 2.000,00 
 R$ 2.300,00 
 R$ 2.500,00 
 
34) (ENEM-2011) Um jovem investidor precisa 
escolher qual investimento lhe trará maior 
retorno financeiro em uma aplicação de 
R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e 
o imposto a ser pago em dois investimentos: 
poupança e CDB (certificado de depósito 
bancário). As informações obtidas estão 
resumidas no quadro: 
 
Para o jovem investidor, ao final de um mês, a 
aplicação mais vantajosa é 
 a poupança, pois totalizará um montante de 
R$ 502,80. 
 a poupança, pois totalizará um montante de 
R$ 500,56. 
 o CDB, pois totalizará um montante de R$ 
504,38. 
 o CDB, pois totalizará um montante de R$ 
504,21. 
 o CDB, pois totalizará um montante de R$ 
500,87. 
 
TAXA PROPORCIONAL 
 
 Uma taxa 𝑖1 aplicada num período 𝑛1 é 
proporcional à uma taxa 𝑖2 por um período 𝑛2 se: 
𝑖1
𝑛1
=
𝑖2
𝑛2
 
 
e isto é equivalente a dizer que: 
 
𝑖1 ∙ 𝑛2 = 𝑖2 ∙ 𝑛1 
 
Ex.1: Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e 
de 20% ao ano são proporcionais. 
Resolução: 
𝑖1 = 5% 𝑎. 𝑡 = 0,05 𝑎. 𝑡. 
𝑖2 = 20% 𝑎. 𝑎 = 0,2 𝑎. 𝑎. 
𝑛1 = 1 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 = 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 
𝑛2 = 1 𝑎𝑛𝑜 = 12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 
 
𝑖1
𝑛1
=
𝑖2
𝑛2
→
0,05
3
=
20
12
 
 
Como o produto dos meios (3 ∙ 0,20) é igual ao 
produto dos extremos (0,05 ∙ 12), então a 
proporção é válida e assim concluímos que as 
taxas, nos períodos referentes, são 
proporcionais. 
 
Ex.2: Qual a taxa bimestral equivalente à taxa 
de 12% ao trimestre? 
Resolução: 
𝑖1 = 12% 𝑎. 𝑡. = 0,12 𝑎. 𝑡. 
𝑖2 = 𝑥 
𝑛1 = 1 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 = 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 
𝑛2 = 1 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 = 2 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 
 
𝑖1
𝑛1
=
𝑖2
𝑛2
→
0,12
3
=
𝑥
2
→ ⋯ → 𝑥 = 0,08 = 8% 
 
Resp.: 8% 
TAXAS EQUIVALENTES 
 Duas taxas de juros são chamadas 
de “equivalentes” se aplicadas ao mesmo 
capital, pelo mesmo intervalo de tempo, 
produzem os mesmos juros. No regime de 
juros simples, as taxa de juros proporcionais 
são, também, equivalentes. 
JURO EXATO COMERCIAL 
O Juro comercial é obtido 
considerando o mês e o ano comercial, ou 
seja, um mês com 30 dias e um ano com 360 
dias. O juro exato, por sua vez, é obtido 
considerando o mês com 28, 29, 30 ou 31 
dias, conforme o caso e o ano com 365 ou 
366 dias. 
 É pouco comum utilizar o Juro Exato. 
Esta situação fica restrita a contratos com 
datas de início e término explícitas. 
 Para contar a quantidade de dias 
entre duas datas específicas, utilizamos a 
tabela abaixo 
 
CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
Dias Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez 
1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 
2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 
3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 
4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 
5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 
6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 
7 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 
8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 
9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 
10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 
11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 
12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 
13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 
14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 
15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 
16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 
17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 
18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 
19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 
20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 
21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 
22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 
23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 
24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 
25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 
26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 
27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 
28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 
29 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 
30 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 
31 31 90 151 212 243 304 365 
 
Para encontrar a quantidade de dias 
exatos entre duas datas utilizando a tabela 
da página anterior, seguimos três passos: 
I) procuramos o número relativo à data 
inicial do período; 
II) procuramos o número relativo à data final 
do período; 
III) Fazemos a diferença entre os números 
encontrados; 
 
Vamos ver agora três exemplos de 
utilização da tabela. 
 
 
 
Ex.1: Quantos dias exatos existem entre 29 
de junho e 16 de novembro de um mesmo 
ano? 
Resolução: 
i) Número relativo à 29 de junho: 180 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 9 RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRAS DE TRES e PORCENTAGEM 
 
ii) Número relativo à 16 de novembro: 320 
iii) 320 – 180 = 140 
 
Resp.: Entre 29 de junho e 16 de novembro 
existem 140 dias. 
 
Ex.2: Quantos dias exatos existem entre 05 
de janeiro e 28 de maio de um mesmo ano? 
Resolução: 
i) Número relativo à 05 de janeiro: 5 
ii) Número relativo à 28 de maio: 148 
iii) 148 – 5 = 143 
 
Obs.: Como o final do mês de fevereiro está 
entre as datas indicadas e cientes de que 
fevereiro pode ter 28 ou 29 dias, temos que 
avaliar esta situação. Se o ano em questão 
for bissexto1, devemos somar um dia ao 
resultado encontrado. Neste problema, 
como não foi especificado o ano, podemos 
dar como resposta: 
 
Resp.: 143 ou 144 dias conforme o caso. 
Ex.3: Quantos foram os dias entre 21 de 
novembro de 2010 e 15 de Março de 2012? 
Resolução: 
Para resolver a questão vamos ter que 
encontrar quantos dias faltam pra terminar 
o ano de 2010 (de 21/nov a 31/dez), a 
quantidadede dias em 2011 e a quantidade 
de dias de 01/jan a 15/mar em 2012. 
Em 2010: 
i) Número relativo à 21 de novembro: 325 
ii) Número relativo à 31 de dezembro: 365 
iii) 365 – 325 = 40 
 
Em 2011 
Como é um ano completo (e não bissexto), 
são 365 dias. 
 
Em 2012 
i) Número relativo a 01 de Janeiro: 1 
ii) Número relativo a 15 de Março: 74 
iii) 74 – 1 = 73 
 
 
1 Pesquise ou discuta com seus colegas sobre quais anos 
são bissextos. Converse com seu professor de Geografia 
ou pesquise sobre porque há anos com um dia a mais. 
Agora somamos os valores encontrados em 
cada ano: 
40 + 365 + 73 = 478 
 
Resp,: 478 dias. 
 
 
 
35) Qual o juro simples devido ao capital de 
$ 5.000,00 calculado sobre a taxa de 6% ao 
semestre, durante 5 anos e 9 meses? 
 
36) Qual o valor dos juros correspondentes 
a um empréstimo de R$10.000,00 pelo 
prazo de 5 meses sabendo-se que a taxa 
cobrada é de 2% ao mês? 
 
37) um capital de R$25.000,00, aplicado 
durante 7 meses, rende juros de 
R$7.875,00. Determinar a taxa mensal de 
juros. 
38) Uma aplicação de R$30.000,00 pelo 
prazo de 210 dias obteve um rendimento de 
R$6.300,00. Qual a taxa anual 
correspondente a essa aplicação? 
 
40) Qual capital que, à taxa de 2% ao mês, 
rende juros de R$2400,00 em um ano? 
 
41) Um empréstimo de R $ 23.000,00 é 
liquidado por R $29.200,00 no final de 152 
dias. Calcular a taxa MENSAL DE juros. 
 
42) Determine o valor dos juros de uma 
aplicação de R $10.000,00 feita a taxa de 
4% a.m. Pelo prazo de 96 dias. 
 
43) Qual quantia de juros simples é obtida 
de um capital de R$1.250,00 durante 48 
meses a uma taxa de 14% ao ano? 
 
44) Qual quantia de juros simples é obtida 
de um capital de R$1.250,00 durante 4 anos 
a uma taxa de 2% a.m.? 
CÁSSIO VIDIGAL 10 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
45 ) Qual quantia de juros simples é obtida 
de um capital de R$1.250,00 durante 6 
meses a uma taxa de 0,02% ao dia? 
 
46) Qual quantia de juros simples exatos é 
obtida de um capital de R$1.250,00 durante 
os 6 primeiros meses de 2016 a uma taxa 
de 0,02% ao dia? 
 
47) Uma aplicação de R$50.000,00 pelo 
prazo de 180 dias obteve um rendimento de 
R$8.250,00. Determine a taxa anual 
correspondente a esta aplicação. 
 
48) Calcular o montante da aplicação de 
R$4.000,00 pelo prazo de 12 meses à taxa 
de 3% a.m. 
 
49) Qual capital deve ser investido à uma 
taxa de 5% a.m. para que se obtenha um 
montante de R$20.000,00 em 8 meses? 
 
50) Determinar o valor atual de um título 
cujo valor de resgate é de R$60.000,00 
sabendo-se que a taxa de juros é de 5% ao 
mês e que faltam 4 meses para seu 
vencimento. 
 
51) Sabendo-se que um certo capital, 
aplicado durante 10 meses, à taxa de 36% 
ao ano, rende R$6.000,00 de juros, 
determinar o montante. 
 
52) Um empréstimo de R$80.000,00 deverá 
ser quitado com R$160.000,00 no final de 
12 meses. Determinar a taxa mensal e 
anual da operação. 
 
53) Um empréstimo de R$30.000,00 deverá 
ser quitado com R$60.000,00 no final de 12 
meses. Determinar a taxa mensal e anual 
da operação. 
 
54) Em que prazo, uma aplicação de 
R$35.000,00 pode gerar um montante de 
R$53.375,00, considerando-se uma taxa de 
30% ao ano? 
 
55) Determine o montante de uma 
aplicação de um capital de R$10.000,00 
pelo prazo de 360 dias, às taxa de 3% a.m. 
 
56) Determine o valor atual de um título cujo 
valor de resgate é de R$500.000,00 
sabendo-se que a taxa de juros é de 3% 
a.m. e que faltam 210 dias para o seu 
vencimento. 
 
57) Calcular o valor de resgate de uma 
aplicação de R$50.000,00 pelo prazo de 2 
anos e 6 meses à taxa simples de 24% a.a. 
 
58) Em juros simples, qual a taxa anual 
equivalente a 1,5% a.m.? 
 
59) Em juros simples, qual a taxa trimestral 
equivalente a 4,4% a.b.? 
 
60) Calcule os juros simples auferidos em 
uma aplicação de R$ 4.000,00 à taxa de 
35% a.a. pelo prazo de 7 meses. 
 
61) Um investidor que aplicou um capital 
durante 25 meses, à taxa de juros simples 
de 2,0% ao mês, resgatou, no final da 
operação, R$ 25.000,00 de juros. Qual o 
valor, em reais, aplicado por esse 
investidor? 
 32.500,00 
 37.500,00 
 42.500,00 
 50.000,00 
 52.500,00 
 
DESCONTO SIMPLES 
A ideia de desconto está associada 
com o abatimento dado a um valor 
monetário em determinadas condições. 
Assim, por exemplo, quando uma compra é 
feita em grande quantidade é comum o 
vendedor conceder algum desconto no 
preço por unidade. No comércio é bastante 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 11 RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRAS DE TRES e PORCENTAGEM 
 
comum também o vendedor conceder um 
prazo para pagamento; caso o comprador 
queira pagar à vista, geralmente é 
proporcionado um desconto sobre o preço 
oferecido. 
Quando se faz uma aplicação com 
vencimento pré-determinado, aquele que 
aplica recebe um compromisso de 
aplicação a qual denomina-se nota 
promissória ou letra de câmbio. Quando 
uma empresa vende um produto ou serviço 
a prazo e emite uma duplicata que lhe dará 
o direito de receber do comprador ou 
contratante do serviço, numa data futura, o 
valor combinado. A partir deste momento 
em que o investidor aplicou seu dinheiro ou 
a empresa que vendeu o produto ou serviço 
poderá ir ao banco e efetuar um desconto 
de duplicata. Em outras palavras, a 
empresa cede ao bando o direito do 
recebimento da duplicata em troca de 
dinheiro recebido antecipadamente. 
A operação desconto pode ser 
descrita como o custo financeiro do dinheiro 
pago em função da antecipação de recurso, 
ou seja, podemos dizer que desconto é o 
abatimento feito no valor da dívida, quando 
ela é negociada antes do seu vencimento. 
 
O desconto simples é aquele obtido 
em função de cálculos lineares. Neste tipo 
de capitalização existem três tipos de 
desconto: o desconto comercial ou por 
dentro, o desconto racional ou por fora e 
o desconto bancário. Nas próximas 
sessões desta apostila veremos estes três 
tipos de descontos. 
 
DESCONTO RACIONAL (ou POR 
DENTRO) 
 
O desconto simples racional 
(também chamado de desconto por dentro 
ou desconto real) é equivalente ao juro 
produzido pelo valor atual do título numa 
taxa dada e durante n períodos. Para obtê-
lo, fazemos a diferença entre o valor 
nominal e o valor atual do compromisso que 
será saldado n períodos antes de seu 
vencimento. 
 
Pela definição acima temos: 
𝑉𝑛 = 𝑉𝑃(1 + 𝑑 ∙ 𝑛); e 
𝐷𝑅 = 𝑉𝑛 − 𝑉𝑃. 
De : 
𝑉𝑃 =
𝑉𝑛
1 + 𝑑 ∙ 𝑛
 
 
Substituindo 𝑉𝑝 em , temos: 
𝐷𝑅 = 𝑉𝑛 −
𝑉𝑛
1 + 𝑑 ∙ 𝑛
 
 
𝐷𝑅 =
𝑉𝑛(1 + 𝑑 ∙ 𝑛) − 𝑉𝑛
1 + 𝑑 ∙ 𝑛
 
 
𝐷𝑅 =
𝑉𝑛 + 𝑉𝑛 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛 − 𝑉𝑛
1 + 𝑑 ∙ 𝑛
 
 
Assim: 
𝐷𝑅 =
𝑉𝑛 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛
1 + 𝑑 ∙ 𝑛
 
 
Desta forma, as três fórmulas que 
utilizaremos quando tratarmos de Desconto 
Racional são: 
Desconto Racional 
(Desconto por dentro) 𝐷𝑅 =
𝑉𝑛 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛
1 + 𝑑 ∙ 𝑛
 
 
Valor Presente 
𝑉𝑝 = 𝑉𝑛 − 𝐷𝑅 
 
𝑉𝑃 =
𝑉𝑛
1 + 𝑑 ∙ 𝑛
 
Onde: 
𝐷𝑅 é o Desconto Racional; 
𝑉𝑛 é o valor nominal (ou valor futuro); 
𝑛 é o prazo até o vencimento do título; 
𝑑 é o desconto; e 
𝑉𝑝 é o valor presente (valor atual comercial) 
 
CÁSSIO VIDIGAL 12 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
Ex.1: Uma pessoa pretende saldar um título 
de R$12.000,00, 4 meses antes de seu 
vencimento. Sabendo-se que a taxa de 
juros corrente é de 2,7% a.m., a) quanto 
será o desconto e b) quanto pagará? 
Resolução: 
a) desconto: 
𝐷𝑅 =
𝑉𝑛 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛
1 + 𝑑 ∙ 𝑛
 
𝐷𝑅 =
12.000 ∙ 0,027 ∙ 4
1 + 0,027 ∙ 4
 
𝐷𝑅 = 1169,68 
Resp. O desconto será de R$1.169,68 
 
b) Valor descontado: 
𝑉𝑝 = 𝑉𝑛 − 𝐷𝑅 
𝑉𝑝 = 12.000 − 1169,68 
𝑉𝑝 = 10.830,32 
Resp.: Pagará R$10.830,32 
 
Ex.2: Determinar o valor do desconto “por 
dentro”de um título de $18.500,00 com 
vencimento para 5 meses à taxa de 3,1% 
a.m. 
Resolução: 
𝐷𝑅 =
𝑉𝑛 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛
1 + 𝑑 ∙ 𝑛
 
 
𝐷𝑅 =
18.500 ∙ 0,031 ∙ 5
1 + 0,031 ∙ 5
 
 
𝐷𝑅 = 2.482,68 
 
Resp.: O desconto será de $2.482,68 
Ex.3: Numa operação de antecipação de 
saldo de um título de R$2.000,00 em 4 
meses, foi resgatado $1.760,00. Qual a taxa 
mensal de desconto “por dentro”? 
Resolução: 
𝑉𝑝 = 𝑉𝑛 − 𝐷𝑅 
 
1.760 = 2.000 − 𝐷𝑅 
 𝐷𝑅 = 240 
𝐷𝑅 =
𝑉𝑛 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛
1 + 𝑑 ∙ 𝑛
 
240 =
2.000 ∙ 𝑑 ∙ 4
1 + 𝑑 ∙ 4
 
240(1 + 𝑑 ∙ 4) = 8000𝑑 
240 + 960𝑑 = 8000𝑑 
7040𝑑 = 240 
𝑑 =
240
7040
 
𝑑 = 0,034090909… 
Resp.: A taxa é de 3,409% a.m. 
 
DESCONTO COMERCIAL (ou POR 
FORA) 
 
É aquele em que a taxa de desconto 
incide sempre sobre o valor nominal do 
compromisso, o qual será saldado em 𝑛 
períodos antes de seu vencimento. É obtido 
multiplicando-se o valor do resgate (valor 
nominal - 𝑉𝑛) do título pela taxa de desconto 
(𝑑), e esse produto pelo prazo a decorrer do 
vencimento do título, ou seja: 
 
Desconto Comercial 
(Desconto por fora) 𝐷𝑐 = 𝑉𝑛 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛 
 
Valor Presente 
𝑉𝑝 = 𝑉𝑛 − 𝐷𝑐 
 
𝑉𝑃 = 𝑉𝑛(1 − 𝑑 ∙ 𝑛) 
 
Onde: 
𝐷𝑐 é o desconto comercial; 
𝑉𝑛 é o valor nominal (ou valor futuro); 
𝑛 é o prazo até o vencimento do título; 
𝑑 é o desconto; e 
𝑉𝑝 é o valor presente (valor atual comercial). 
 
 
 
Ex.1: Um título de R$12.000,00 é 
descontado 5 meses antes de seu 
vencimento a uma taxa de 2,42% a.m. Qual 
o valor do desconto comercial? 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 13 RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRAS DE TRES e PORCENTAGEM 
 
Resolução: 
𝐷𝑐 = 𝑉𝑛 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛 
𝐷𝑐 = 12.000 ∙ 0,0242 ∙ 5 
𝐷𝑐 = 1542 
Resp.: R$1.542,00 
 
Ex.2: Determinar o valor do desconto “por 
fora” de um título de $18.500,00 com 
vencimento para 5 meses à taxa de 3,1% 
a.m. 
Resolução 
𝐷𝑐 = 𝑉𝑛 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛 
𝐷𝑐 = 18.500 ∙ 0,031 ∙ 5 
𝐷𝑐 = 2867,5 
Resp: R$2.867,5 
 
OBS.: Compare este resultado com 
aquele do exemplo 2 na página anterior. 
Note que os dados são os mesmos (valor 
nominal, prazo e taxa). Tente explicar 
porque no desconto “por fora” o 
desconto foi maior. 
 
Ainda sobre os exemplos citados no 
parágrafo anterior, perceba que o “desconto 
comercial” é maior que o “desconto 
racional”. Quando fazemos o “desconto 
racional”, a taxa de desconto deve ser 
capaz de reproduzir o montante quando 
aplicada, no mesmo prazo, ao valor 
descontado. É evidente que isto não 
acontece com o “desconto comercial” então 
a taxa de desconto comercial não é a taxa 
de juros da operação. Assim, temos eu 
calcular esta taxa. Antes vamos encontrar o 
valor descontado (valor presente): 
𝑉𝑝 = 𝑉𝑛 − 𝐷𝑐 
𝑉𝑝 = 18.500 − 2867,5 
𝑉𝑝 = 15632,5 
 
𝑖5 =
2867,5
15632,5
≅ 0,1834 
(Chamamos de 𝑖5 porque a taxa está em 5 meses) 
𝑖 =
𝑖5
5
=
0,1834
5
≅ 0,0367 
 
Assim, a taxa de juros mensal da operação 
é de 3,67%. 
Então, devemos ficar atentos pois no 
desconto comercial, é preciso distinguir 
entre a taxa de desconto utilizada na 
operação e a taxa implícita que é cobrada 
efetivamente. 
 
62) Qual o valor do desconto comercial de 
um título de R$2.500,00 com vencimento 
para três meses, à taxa de 3% a m.? 
 
63) Qual a taxa de desconto comercial 
utilizada numa operação de 120 dias, cujo 
valor de resgate é de R$1.000,00 e cujo 
valor atual é de R$500,00? 
 
64) Uma duplicata no valor de R$16.800,00 
é descontada por um banco gerando um 
crédito de R$16.000,00 na conta do cliente. 
Sabendo que taxa cobrada pelo banco é de 
2,2% a.m., determinar o prazo de 
vencimento da duplicata. 
 
65) Calcule o valor líquido depositado na 
conta de um cliente que antecipou um título 
de R$34.000,00 com prazo de 41 dias 
sabendo que o banco cobra uma taxa de 
4,7% a.m. 
 
66) Um título de R$2.540,00 vai ser 
descontado à taxa de 2% a.m. em 45 dias 
antes de seu vencimento. Qual será o 
desconto? 
 
67) Uma duplicata de R$4.800,00 foi 
resgatada antes de seu vencimento por 
R$4.008,00. Calcule o tempo de 
antecipação sabendo que a taxa foi de 
2,75% a.m. 
 
68) Qual o valor do desconto comercial 
simples de um título de R$2.337,00, com 
vencimento para 120 dias, à taxa de 3,1% 
a.m.? 
 
69) Qual o valor do desconto comercial de 
um título de R$ 2.500,00, com vencimento 
para 3 meses, à taxa de 3% ao mês? 
CÁSSIO VIDIGAL 14 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
70) Uma duplicata de valor nominal igual a 
R$ 9.000,00 foi descontada num banco dois 
meses antes de seu vencimento, a uma 
taxa de desconto comercial igual a 2% a.m.. 
Obtenha: 
a) o desconto comercial. 
b) o valor descontado (ou valor atual 
comercial) do título. 
DESCONTO BANCÁRIO 
 O desconto bancário corresponde ao 
desconto comercial acrescido de uma taxa 
de administração. Esta taxa é pré-fixada e 
cobrada sobre o valor nominal. 
Denominaremos aqui por Taxa Bancária 
ou Taxa Administrativa. 
Desconto 
Bancário 
𝐷𝐵 = 𝐷𝑐 + 𝑇𝐵 ∙ 𝑉𝑛 
 
𝐷𝐵 = 𝑉𝑛(𝑑 ∙ 𝑛 + 𝑇𝐵) 
 
Valor 
Presente 
𝑉𝑝 = 𝑉𝑛 − 𝐷𝐵 
 
𝑉𝑃 = 𝑉𝑛(1 − (𝑑 ∙ 𝑛 + 𝑇𝐵)) 
Onde: 
𝐷𝐵 é o desconto bancário; 
𝐷𝑐 é o desconto comercial; 
𝑇𝐵 é a Taxa Bancária; 
𝑉𝑛 é o valor nominal do título; 
𝑑 é a taxa de desconto 
𝑉𝑝 é o valor presente; e 
𝑛 é o prazo até o vencimento do título; 
 
 
Ex.1: Determinar o desconto bancário e o 
valor presente de um título de R$16.823,00 
que será antecipado em 4 meses num 
banco que cobra taxa comercial de 28,8% 
a.a. além de uma taxa de administração de 
1,7%. 
Resolução 
28,8% 𝑎. 𝑎. = 2,4% 𝑎.𝑚. 
𝐷𝐵 = 𝑉𝑛(𝑑 ∙ 𝑛 + 𝑇𝐵) 
𝐷𝐵 = 16.823(0,024 ∙ 4 + 0,017) 
𝐷𝐵 = 16.823 ∙ 0,113 
𝐷𝐵 = 1901,00 
 
𝑉𝑝 = 𝑉𝑛 − 𝐷𝐵 
𝑉𝑝 = 16.823 − 1901 
𝑉𝑝 = 14.922 
Resp.: O desconto é de R$1901,00 e o 
Valor presente do título é R$14.922,00. 
 
Assim como vimos na página 23, a taxa de 
desconto praticada não é a taxa implícita da 
operação e neste caso, ainda consta a taxa 
de administração. Mas, da mesma forma 
que fizemos lá, podemos calcular a taxa de 
juros implícita. Para tal, lançaremos mão do 
desconto e do valor presente. 
𝑖4 = 
1901
14.922
≅ 0,1274 
𝑖 =
𝑖4
4
=
0,1274
4
= 0,0318 
 
Assim, a taxa de juros efetiva da operação 
é de 3,18% a.m. 
 
71) Um título de R$ 8.400,00 foi descontado 
3 meses antes de seu vencimento. Sob uma 
taxa de desconto comercial é de 22% ao 
ano, mais uma taxa administrativa de 
1,77%. Qual quantia foi descontada e 
quanto recebeu o proprietário do título? 
 
72) A tabela abaixo mostra três títulos e 
seus prazos de vencimento 
TÍTULO VALOR NOMINAL VENCIMENTO 
T1 R$ 15.332,00 2 meses 
T2 R$ 77.000,00 5 meses 
T3 R$ 9.497,00 6 meses 
 
O proprietário destes títulos pretende 
descontá-los em um banco que cobra 3,9% 
a.m. de taxa de desconto além de uma taxa 
administrativa de 2%. Quanto o proprietário 
conseguirá apurar na antecipação? 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 15 RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRAS DE TRES e PORCENTAGEM 
 
TAXA EFETIVA DE UM 
DESCONTO SIMPLES 
 
 Como já vimos em alguns exemplos, 
a taxa efetiva de um desconto pode ser 
diferente da taxa nominal (aquela que 
aparece no contrato ou em peças 
publicitárias). 
 
 No caso de desconto racional, a taxa 
efetiva é igual à taxa nominal mas isso não 
acontece no desconto comercial e no 
desconto bancário. 
 
 Nestes casos, calculamos a taxa 
efetiva dividindo-se o desconto pelo valor 
presente e, em seguida, pelo prazo da 
operação. Assim: 
 
Taxa Efetiva 𝑖 =
𝐷
𝑉𝑝 ∙ 𝑛
 
 
 Veja os exemplos a seguir: 
 
Ex. 1: Uma duplicata de R$ 18.000,00 foi 
descontada em um banco dois meses antes 
do vencimento a uma taxa de desconto 
comercial de 2,5% a.m. 
a) Obtenha o desconto; 
b) Obtenhao valor líquido recebido pela 
empresa; 
c) Obtenha o fluxo de caixa da operação do 
ponto de vista do banco. Calcule também a 
taxa efetiva de juros da operação. 
Resolução: 
a) 
𝐷𝑐 = 𝑉𝑛 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛 
𝐷𝑐 = 18 000 ∙ 0,025 ∙ 2 
𝐷𝑐 = 900 
 
Resp.: O valor do desconto é de $900 
 
b) 𝑉𝑝 = 𝑉𝑛 − 𝐷𝑐 
 𝑉𝑝 = 18 000 − 900 = 17 100 
Res.p: O valor com desconto é de $17.100 
c) 
 
 
 
 
 
 
Para calcular a taxa efetiva, fazemos 
𝑖 =
𝐷
𝑉𝑝 ∙ 𝑛
=
900
17.100 ∙ 2
= 0,0263 
 
Assim, a taxa efetiva é de 2,63% a.m. 
 
Ex.2: Uma nota promissória de 
$12.000,00 foi descontada num banco 42 
dias antes do vencimento a uma taxa de 
desconto comercial de 2% a.m. 
a) Qual o desconto? 
b) Qual a taxa efetiva de desconto? 
c) Qual o valor líquido recebido pela 
empresa sabendo-se que o banco cobrou 
uma taxa de serviço de 0,5% do valor da 
promissória pago no dia em que a empresa 
descontou? 
d) Qual a taxa efetiva de juros da operação 
no período? 
Resolução: 
a) 
𝐷𝑐 = 𝑉𝑛 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛 
𝐷𝑐 = 12 000 ∙ 0,02 ∙
42
30
 
𝐷𝑐 = 336 
R: O desconto foi de $336 
b) Taxa efetiva de desconto: 
42 dias são 
42
30
 de mês 
𝑖 =
𝐷
𝑉𝑝 ∙ 𝑛
=
336
11664 ∙
42
30
= ⋯ = 0,02057 
 
Resp.: 2,06% 
 
b) Para encontrar o valor recebido temos 
que tirar do valor nominal o desconto e o 
valor da taxa de serviço. 
Taxa de serviço é 0,005 ∙ 12 000 = 60 
CÁSSIO VIDIGAL 16 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
Valor recebido pela empresa: 
12 000 − 336 − 60 = 11 604 
R: O valor recebido foi $11 604. 
 
c) Para encontrar a taxa efetiva, fazemos: 
𝑖𝑒 =
𝐷
𝑉𝑝
=
396
11 604
= 0,0341 
Resp.: 3,41% 
 
Observação: 
No caso de desconto comercial, é 
possível determinar a taxa efetiva da 
operação a partir da taxa de desconto e do 
período, por meio da fórmula: 
Taxa Efetiva2 𝑖 =
𝑑
1 − 𝑑 ∙ 𝑛
 
 
Veja o exemplo a seguir: 
 
Ex.1: Um banco cobra em suas operações 
de desconto de duplicatas uma taxa de 
desconto comercial de 3% a.m. Qual a taxa 
efetiva de juros simples, se os prazos de 
vencimento forem: 
a) 1 mês 
b) 2 meses. 
Resolução: 
a) 
𝑖 =
𝑑
1 − 𝑑 ∙ 𝑛
→ 𝑖 =
0,03
1 − 0,03 ∙ 1
→ 
→ 𝑖 =
0,03
0,97
→ 𝑖 = 0,0309 
Resp.: 3,09%a.m. 
b) 
𝑖 =
𝑑
1 − 𝑑 ∙ 𝑛
→ 𝑖 =
0,03
1 − 0,03 ∙ 2
→ 
→ 𝑖 =
0,03
0,94
→ 𝑖 = 0,0319 
 
Resp.: 3,19%a.m. 
 
73) Uma promissória de R$ 12.500,00 foi 
descontada num banco dez meses antes de 
 
2 A demonstração desta fórmula encontra-se após a seção 
de respostas. 
seu vencimento, a uma taxa de desconto 
comercial de 1,4% a.m.. 
a) Qual o desconto comercial? 
b) Qual o valor atual comercial do título? 
c) Qual a taxa efetiva de juros do período? 
d) Qual a taxa efetiva mensal de juros 
simples da operação? 
 
74) Uma empresa descontou num banco 
um título de valor nominal R$ 52.000,00, 43 
dias antes do seu vencimento, a uma taxa 
de desconto comercial de 30% a.a.. 
a) Qual o desconto bancário? 
b) Qual o valor líquido recebido pela 
empresa, sabendo-se que o banco cobrou 
uma taxa de serviço igual a 0,5% do valor 
nominal do título? 
 
75) Um fundo de investimento adquiriu por 
R$ 37.200,00 um título governamental com 
valor de face de R$ 40.000,00. Sabendo-se 
que o prazo de vencimento do título era de 
72 dias, calcule: 
a) a taxa efetiva de juros do período. 
b) a taxa efetiva mensal de juros simples da 
operação. 
 
76) Uma pessoa pretende saldar um título 
de R$ 20.000,00, 3 meses antes do 
vencimento.sabendo-se que a taxa de juros 
corrente é de 30% a.a., qual o desconto 
racional que ela irá obter? 
 
RESPOSTAS 
01) a) R$1.000,00 b) R$960,00 
 c) R$2.142,00 
 
02) R$ 29,600,00 
 
03) Resolução: 
𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
6.000 = 𝐶 ∙ 0,02 ∙ 8 
𝐶 =
6.000
0,16
 
𝐶 = 37.500 
Resp: R$37.500,00 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 17 RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRAS DE TRES e PORCENTAGEM 
 
 
04) R$10.000,00 05) R$4.242,42 
 
06) a) R$80.000,00 b) R$160.000,00 
 
07) a) R$11.111,11 b) a prazo 
 
08) Canguru: R$14.347,83 
 Marsupial: R$15.625,17 
 
09) 3,57% a.m. 10) 4,76% a.m. 
 
11) Falsa 
 
12) a) 6,25% a.m. b) 5 meses 
 
13) 96% a.a. 14) 3,3% a.m. 
 
15) 1,75% a.m. 16) 4% a.m. 
 
17) 10 meses 18) 25 anos 
 
18) $120 e $4120 19) $16.500 
 
20) $27.250 21) 10,42% 
 
22) $100.200 23) 41,67% 
 
24) 2,4% 25) 100% 
 
26) a) $927 
 
b) Pagar a vista pois aplicando o dinheiro 
ainda faltará $1 
 
27) a) 8,17% b) $1,1589 
 
29) 6,2% 12) 8,4% 
 
30) 141 
 
31) a) 17,08% b) $4.000 
 
32) Aproximadamente 13% de ganho 
33) 34) 
 
35) R$ 3.450,00 36) R$1.000,00 
 
37) R$ 1.000,00 38) 36% 
 
39) 10 semestres 40) R$10.000,00 
 
41) 5,32% 42) R$1280,00 
 
43) R$700,00 44) R$1.200,00 
 
45) R$45,00 46) R$ 455,00 
 
47) 33% 48) R$5.440,00 
 
49) Resolução: 
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖𝑛) 
20.000 = 𝐶(1 + 0,05 ∙ 8) 
20.000 = 𝐶(1,4) 
𝐶 =
20.000
1,4
 
𝐶 = 14,285,71 
R: R$14.285,71 
 
50) Resolução 
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖𝑛) 
60.000 = 𝐶(1 + 0,05 ∙ 4) 
60.000 = 𝐶(1,2) 
𝐶 =
60.000
1,2
 
𝐶 = 50.000 
R: R$50.000,00 
 
51) Resolução: 
𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
6.000 = 𝐶 ∙
0,36
12
∙ 10 
𝐶 =
6.000
10
∙
12
0,36
 
𝐶 = 20.000 
𝑀 = 𝐶 + 𝐽 
𝑀 = 20.000 + 6.000 
𝑀 = 26.000 
R: R$26.000,00 
 
52) 8,33% e 100% 53) 8,33% e 100% 
 
54) 21 meses 55) R$13.600,00 
 
55) Resolução: 
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖𝑛) 
𝐶 =
𝑀
1 + 𝑖𝑛
 
𝐶 =
500.000
1 + 0,03 ∙ 12
 
𝐶 = 413.223,15 
R: R$413.223,15 
 
57) R$80.000,00 58) 18% 
 
59) 6,6% 60) R$816,67 
 
61) D 62) R$225,00 
 
63) 12,5% a.m. 64) ≅ 2m e 5d 
 
65) R$31.816,07 66) R$76,20 
 
CÁSSIO VIDIGAL 18 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
67) 6 meses 68) R$ 289,79 
 
69) R$225 
 
70) a) 360 b) R$8.640,00 
 
71) Resolução: 
22%a. a = 1,83%a.m. 
DB = Vn(d ∙ n + TB) 
DB = 8400(0,0183 ∙ 3 + 0,0177) 
DB = 8400 ∙ 0,0726 
DB = 609,84 
 
Vp = Vn − DB 
Vp = 8400 − 609,84 
Vp = 7.790,16 
R: Desconto: R$609,84 e valor presente: 
R$7.790,16 
 
72) Resolução 
𝑉𝑃1 = 15.332(1 − (0,039 ∙ 2 + 0,02)) 
𝑉𝑃1 = 15.332(1 − 0,098) 
𝑉𝑃1 = 15.332 ∙ 0,902 
𝑉𝑃1 = 13.829,46 
 
𝑉𝑃2 = 77.000(1 − (0,039 ∙ 5 + 0,02)) 
𝑉𝑃2 = 77.000(1 − 0,215) 
𝑉𝑃2 = 77.000 ∙ 0,785 
𝑉𝑃2 = 60.445,00 
 
𝑉3𝑃 = 9.497,00(1 − (0,039 ∙ 6 + 0,02)) 
𝑉3𝑃 = 9.497,00(1 − 0,254) 
𝑉3𝑃 = 9.497,00 ∙ 0,746 
𝑉3𝑃 = 7084,76 
 
Valor apurado 
𝑉𝑝1 + 𝑉𝑝2 + 𝑉𝑝3 = 81359,22 
R: R$ 81.359,22 
 
 
73) a) 1750 b) 10 750 
 c) 16,28% d) 1,63% 
 
74) a) 1 863,33 b) 49 876,67 
 
75) a) 7,53% b) 3,136% 
 
76) R$1.395,35 
 
Demonstração da fórmula citada na página 
27 desta apostila 
 
Associando ideia de taxa efetiva ao 
conceito de juros simples (𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛), 
temos que: 
 
 Os juros são o Desconto 
𝐽 = 𝐷 
 O capital é o valor presente (Valor 
descontado) 
𝐶 = 𝑉𝑝 = 𝑉𝑛 − 𝐷 
 A taxa é o que estamos procurando; 
 O Prazo é o mesmo do prazo de 
desconto 
𝑛 = 𝑛 
 
 Substituindo na fórmula dos juros 
simples: 
𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
𝐷 = (𝑉𝑛 − 𝐷) ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
𝑖 =
𝐷
(𝑉𝑛 − 𝐷) ∙ 𝑛
 
 
Substituindo 𝐷 = 𝑉𝑛 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛 
𝑖 =
𝑉𝑛 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛
(𝑉𝑛 − 𝑉𝑛 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛) ∙ 𝑛
 
Dividindo numerador e denominador por 𝑛 
𝑖 =
𝑉𝑛 ∙ 𝑑
𝑉𝑛 − 𝑉𝑛 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛
 
 
Colocando 𝑉𝑛 em evidência no denominador 
𝑖 =
𝑉𝑛 ∙ 𝑑
𝑉𝑛(1 − 𝑑 ∙ 𝑛)
 
 
Dividindo numerador e denominador por 𝑉𝑛 
𝑖 =
𝑑
1 − 𝑑 ∙ 𝑛