Exercícios 04 - Matemática Discreta

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Exercícios de Funções 
 
 
Representação Gráfica, Domínio e Imagem 
 
 
1. Dados os conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, determine 
cada uma das relações seguintes, representando-as em diagrama de flechas e 
construindo seu gráfico cartesiano. Indique as que são funções e dê seu 
domínio e imagem: 
(a) R1 = {(x, y) ∈ A X B | y = x2} 
(b) R2 = {(x, y) ∈ A X B | y = x + 1} 
(c) R3 = {(x, y) ∈ A X B | y > x + 1} 
 
2. Construa o gráfico da relação R = {(x, y) ∈ R2 | y = 3}. Dê seu domínio e 
conjunto imagem. R é função? Justifique sua resposta. 
 
3. Sejam A = {1, 2, 3} e B = {3, 4, 5, 6}. Uma função de A em B é: 
(a) {(1, 1)} (d) {(3, 3), (2, 6), (1, 6)} 
(b) {(1, 3), (4, 3)} (e) {(2, 4), (3, 3)} 
(c) {(3, 3), (4, 4)} 
 
4. Sabendo-se que o diagrama abaixo representa uma função f de A em B, 
pede-se: 
 
(a) f (1), f (2), f (3) 
(b) D( f ) e CD( f ) 
(c) Im( f ) 
 
 
 
 A f B 
 
5. Dada a função f : R → R, definida por f (x) = x2 – 2x + 3, determine: 
(a) f (0) (c) )2(f 
(b) f (-2) (d) f (1/2) 
 
 
 
• 1 
• 2 
• 3 
• 12 
• 23 
• 37 
• 15 
 
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6. Dados os conjuntos A = {-2, 0, 2} e B = 





 43210
4
1
, , , , , , determine o 
conjunto imagem da função f : A → B, definida por: 
(a) f (x) = x + 2 
(b) f (x) = x2 
(c) f (x) = 2x 
 
7. Sendo f : R → R uma função definida por f (x) = 2x + 3, deseja-se saber: 
(a) o valor de x para que f (x) = 0 
(b) o valor de x para que f (x) = 
3
2
−−−− 
 
8. A função f : R → R, definida por f (x) =
1
23
++++
−−−−
x
x
, tem Im( f ) = {-2, 0, 2, 4, 8}. 
Determine o domínio da função. 
 
9. Represente, no plano cartesiano, o gráfico da função f (x) = 2x – 1, no caso 
em que o domínio seja: 
(a) D( f ) = {-1, 0, 1, 2, 3} 
(b) D( f ) = {x ∈ R | -1 ≤ x ≤ 3} 
(c) D( f ) = R 
 
10. Identifique os conjuntos de pontos que representam gráficos de funções com 
domínio D = {1, 2, 3}: 
 
(a) 
0 1 2 3 4
0
1
2
3 y
x
 
(b) 
0
1
2
3
4
0 1 2 3
y
x
 
 
 
 
 
 
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(c) 
0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
5 y
x
 
(d) 
0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
5 y
x
 
 
11. Construa o gráfico da função f (x) = x2 – 1, no caso em que seu domínio seja 
D( f ) = {-2, -1, 0, 1, 2}. Para que valores de x : 
(a) f (x) > 0 ? (b) f (x) = 0 ? (c) f (x) < 0 ? 
 
12. Considere o gráfico da função f abaixo. Dê seu domínio e sua imagem e 
determine os valores de x para os quais: 
(a) f (x) > 0 
(b) f (x) = 0 
(c) f (x) < 0 
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3 y
x
 
13. Determinar o domínio e o conjunto imagem da função f cujo gráfico é: 
7
6
4
2
-5
852-1-6
 
x
y
 
 
 
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Tipos de Funções, Funções Inversas 
 
 
1. Dados os conjuntos }5,5,0,4,4{A −−= , {16,0,25}B = , ,6,8}{-3,5,1,-4C = , 
1} 25, 0, {16, E = , 9} 1,- 4, 8, {0, F = , classifique cada uma das funções como 
sobrejetora, injetora ou bijetora: 
(a) f : A → B tal que f (x) = x2 (c) h : A → F tal que h (x) = x + 4 
(b) g : A → C tal que g (x) = x + 1 (d) t : A → E tal que t(x) = x2 
 
2. O gráfico da função f : R → ]-∞, 2] é a parábola abaixo: 
 
Classifique f como sobrejetora, 
injetora ou bijetora. 
 
 
 
 
 0
2
42
 
x
y
 
 
 
3. Classifique a função f : [3, 8] → [2, 12] tal que f (x) = 2x – 4 como 
sobrejetora, injetora ou bijetora. 
 
4. Nas funções seguintes classifique em: 
 I) Injetora II) Sobrejetora III) Bijetora IV) Não é sobrejetora nem injetora 
 (a) RR →:f tal que 12 += xf(x) 
 (b) +→ RR:g tal que 21 xg(x) −= 
 (c) NN →:h tal que 23)( += xxh 
 (d) ** RR →:m tal que 
x
xm
1)( = 
 (e) RR →:n tal que 3)( xxn = 
 
 
 
 
 
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5. Os gráficos das funções f : R → R e g : R → R , representados a seguir, 
são uma parábola e uma reta, respectivamente. Qual das funções, f ou g, é 
invertível ? Por quê ? 
0
f
 
x
y
 
 
0
g
 
x
y
 
 
 
6. Sendo f : R → R uma função definida por f (x) = 2x + 3, deseja-se saber se 
existe f –1 e, em caso afirmativo, determiná-la. 
 
7. Determinar a inversa da função bijetora 
42 +
=
x
xf(x) de domínio 
D = R – { –2} e CD = R – 1
2






 
 
8. Sejam os conjuntos A = {1, -1, 2, -2, 3} e B = {2, 5, 10}. 
(a) Determine a inversa da relação: R = {(x, y) ∈ A X B | y = x2 + 1}. 
(b) Determine os conjuntos D(R), Im(R), D(R-1), Im(R-1). 
(c) A relação R-1 é função ? Por que ? 
 
9. Dados os conjuntos A = {1, -1, 2, 3} e B = {1, 16, 81} e a função f : A → B 
tal que f (x) = x4. A função f é invertível ? Por quê ? 
 
10. Determine a inversa de cada uma das funções bijetoras, sendo dados o 
domínio D e o contradomínio CD: 
(a) y = 3x –5 com D = R e CD = R; 
(b) f (x) = 8x + 4 com D = R e CD = R; 
(c) y = x
x
+
−
3
2
 com D = R – {2} e CD = R – {1}; 
(d) g (x) = 5 2
8
x
x
−
+
 com D = R – {– 8} e CD = R – {5}. 
 
 
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Funções Compostas 
 
 
1. Dados os conjuntos A = {-2 , 2, - 1, 1, 0}, B = {6, 3, 2, 5}, 
C ={3, 0, -1, 2, 1} e as funções f : A → B e g : B → C, tais que 
f (x) = x2 + 2 e g (x) = x – 3, determine: 
(a) (g o f)(-2) 
(b) (g o f)(1) 
(c) (g o f)(-1) 
(d) (g o f)(x) 
 
2. Dadas as funções reais de variável real f (x) = 3 1−−−−x e g (x) = x3 + 8, 
determine: 
(a) (g o f)(1) 
(b) (f o g)(1) 
(c) (g o f)(x) 
(d) (f o g)(x) 
 
3. Dadas as funções reais de variável real f (x) = x + 1 e g (x) = 3x + 2, 
determine: 
(a) (g o f)(5) 
(b) (f o g)(5) 
(c) (g o f)(x) 
(d) (f o g)(x) 
 
4. Dadas as funções reais de variável real f (x) = x3 + 7 e g (x) = 3 x , 
determine: 
(a) (g o f)(1) 
(b) (f o g)(1) 
(c) (f o g)(-8) 
(d) (g o f)(x) 
(e) (f o g)(x) 
 
5. Sejam f e g funções reais de variável real tais que f (x) = 2x + 5 e 
g (x) = x2 – 49. Determine as raízes da equação (g o f)(x) = 0. 
 
 
 
 
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Funções de 1º Grau 
 
 
1. Dada a função f (x) = (-3m + 6)x + m + 5, determine m de modo que: 
(a) f (x) seja uma função do 1o grau. (c) f (x) seja uma função crescente. 
(b) f (x) seja uma função constante. (d) f (x) seja uma função decrescente. 
 
2. Sendo f (x) = 2x + 5, determine f (x+h) – f (x). 
 
3. Sendo f (x) = – 2, g (x) = 3x + 1 e h (x) = 4, calcule x de modo que: 
f (x) < g (x) ≤ h (x). 
 
4. Determine a raiz de cada uma das seguintes funções: 
 
0
f
x
y
 5
 1
 2
 
0
g
x
y
 -1
 2
 3
 3
 
 
5. Seja a função f : R → R, definida por f (x) = ax + b. Sabendo que 
(1, -1) ∈ f e (-1, 2) ∈ f , determine )17(−f . 
 
6. Discuta, através do gráfico, a variação de sinal de cada uma das funções: 
(a) f (x) = 5x – 10 (e) y = 5x (i) f (x) = 4x + 1 
(b) f (x) = – 5x – 10 (f) y = – 5x (j) f (x) = – 4x + 1 
(c) f (x) = 3x + 1 (g) y = x – 2 (k) f (x) = x 
(d) y = – 3x + 1 (h) y = – x – 2 (l) f (x) = – x 
 
 
 
 
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7. Discuta algebricamente a variação de sinal de cada uma das funções a 
seguir: 
(a) f (x) = 2x – 5 (d) y = – 4x + 2 (g) f (x) = 2 x + 6 
(b) f (x) = – 2x – 5 (e) f (x) = 
3
x
 + 1 (h) f (x) = – 2 x – 6 
(c) y = 4x + 2 (f) f (x) = – 
3
x
 + 1 
 
8. Um banco paga as contas de um cliente. As contas vencem, no mês de 
abril, segundo a função y = – 
3
2x
 + 18, em que x ∈ {1, 2, 3, ..., 30} e y é o 
saldo do cliente em real no dia x de abril. 
(a) Em que dia do mês de abril o saldo do cliente chega a R$ 0,00 ? 
(b) Em que intervalo de tempo, no mês de abril, o saldo é positivo ? 
(c) Em que intervalo de tempo, no mês de abril, o saldo é negativo ? 
 
9. O gráfico mostra a temperatura de uma região do Rio Grande do Sul desde 
as 5 h até as 11 h. 
(a) Em que horário desse período 
a temperatura atingiu 0 oC ? 
(b) Durante quanto tempo desse 
período a tempertatura esteve 
negativa ? 
(c) Durante quanto tempo desse 
período a temperatura esteve 
positiva ? 0
f
x
y
 10
 5
 - 2
 11
 
 
Funções de 2º Grau 
 
 
1. Esboçar o gráfico da função f (x) = x2 – 6x + 8, dando seu domínio e 
conjunto imagem. 
 
2. Esboçar o gráfico da função f (x) = –x2 + 4x – 5, dando seu domínio e 
conjunto imagem. 
 
 
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3. O gráfico da função f (x) = ax2 + bx + c é dado abaixo. Determinar a, b e c. 
1
y
x
2
4
 
 
4. Para que valores reais de m a função f (x) = 2x2 + 5x + m + 3 admite duas 
raízes reais e distintas ? 
 
5. Para que valores reais de m a função f (x) = x2 + mx + m – 1 admite duas 
raízes reais e iguais ? 
 
6. Para que valores reais de m a função f (x) = (m – 2)x2 + 2mx + m + 3 não 
admite raízes reais ? 
 
7. O gráfico da função f (x) = kx2 + x – 1, k ∈ R, é uma parábola que possui 
duas raízes reais e distintas. Determinar os possíveis valores de k. 
 
8. O gráfico da função f (x) = x2 + x + 2k – 3, k ∈ R, não intercepta o eixo das 
abscissas. Determine os possíveis valores de k. 
 
9. Determinar o conjunto imagem da função f : [-2, 2 [ → R, tal que 
 f (x) = 2x2 – 2x – 3. 
 
10. Discuta a variação de sinal de cada uma das funções: 
(a) f (x) = x2 – 5x + 4 
(b) y = – x2 + x + 2 
(c) f (x) = – x2 + 6x – 9 
(d) f (x) = 3x2 – x + 1 
 
11. Resolva as inequações do 2o grau: 
(a) x2 – 3x – 4 > 0 (c) x2 < 9 
(b) 3x2 – 2x ≤ 0 (d) – x2 – 2x + 8 ≥ 0 
 
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Respostas dos Exercícios 
 
 
Representação Gráfica, Domínio e Imagem 
 
1. (a) 
 
R1 
 A B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É função. 
D(R1) = A; 
Im(R1) = {0, 1, 4} 
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
2
3
4
5
6 y
x
 
 
(b) 
 
R2 
 A B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Não é função. 
D(R2) = {-1,0,1,2}; 
Im(R2) = {0,1,2,3} 
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
2
3
4
5
6 y
x
 
 
• 2 
• 1 
• 0 
• 1 
• 2 
• 4 
• 0 
• 3 
y = x2 
• -2 
• -1 
• 2 
• 1 
• 0 
• 1 
• 2 
• 4 
• 0 
• 3 
y = x + 1 
• -2 
• -1 
 
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(c) 
 
R3 
A B 
 
 
 
 
 
 
 
 
Não é função. 
D(R3) = A; 
Im(R3) = B 
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
2
3
4
5
6 y
x
 
 
2. D(R) = R; Im (R) = {3}. É função. 
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
2
3
4
5
6 y
x
 
 
3. (d) 
 
4. (a) f(1) = 12; f(2) = 23; f(3) = 37 
(b) D(f) = {1,2,3}; CD(f)=B 
(c) 37} 23, {12, Im(f) = 
 
5. (a) 3; (b) 11; (c) 225 − ; (d) 
4
9
 
 
6. (a) {0, 2, 4} (b) {0, 4} (c) }4,1,
4
1{ 
7. (a) 
2
3
− ; (b) 
6
11
− 
 
8. }2,6,4,
3
2
,0{)( −−=fD 
 
9. 
 
10. (a) e (d) 
 
11. (a) –2 e 2; (b) 1 e –1; (c) 0 
 
12. [-4,1] D(f) = e ]2,3[)Im( −=f ; (a) ]1,1] − ; (b) –1; (c) [1,4[ −− 
 
13. ]8,2]]1,6])( ∪−−=fD ; ]7,6]]4,5])Im( ∪−=f 
• 2 
• 1 
• 0 
• 1 
• 2 
• 4 
• 0 
• 3 
y > x + 1 
• -2 
• -1 
 
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Tipos de Funções, Funções Inversas 
 
 
1. (a) sobrejetora (c) bijetora 
(b) injetora (d) t(x) é uma função não classificada 
 
2. Sobrejetora 
 
3. bijetora 
 
4. a) III; b) IV; c) I; d) III; e) III 
 
5. A função )(xfy = não é invertível e a função )(xgy = é invertível 
 
6. A função f(x)y = é invertível porque é bijetora, com 
2
31 −
=
−
x(x)f 
 
7. 
x
x
xf
21
4)(1
−
−=
−
 de domínio D = R – 1
2






e CD = R – { –2} 
 
8. (a) 
 R-1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. A função não é invertível porque não é bijetora 
 
10. (a) 3
5+
=
xy ; (b) 
8
4−
=
xy ; (c)
1
32
−
+
=
x
xy ; (d) 
x
xy
−
−
=
5
28
 
 
 
 
• 10 
 
• 5 
• -1 
• 1 
• 3 
• -2 
• 2 
• 2 
 
(b) D(R) = {1,-1,2,-2,3}, 
 Im(R) = {2,5,10}, 
 D(R-1) = {2,5,10}, 
 Im(R-1) = {1,-1,2,-2,3} 
 
(c) A relação R-1 não é função, porque 
existem elementos ∈x D(R-1) 
associados a dois elementos ∈y 
Im(R-1) 
 
 
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Funções Compostas 
 
 
1. (a) 3; (b) 0; (c) 0; (d) x2 – 1 
 
2. (a) 8; (b) 2; (c) x + 7; (d) 3 3 7++++x 
 
3. (a) 20; (b) 18; (c) 3x + 5; (d) 3x + 3 
 
4. (a) 2; (b) 8; (c) –1; (d) 3 3 7++++x ; (e) x + 7 
 
5. S = {-6, 1} 
 
 
 
Funções de 1º Grau 
 
 
1. (a) 2≠m ; (b) 2=m ; (c) 2<m ; (d) 2>m 
 
2. h2 
 
3. }11{ ≤<−∈= xxS |R 
 
4. 
3
2
− e 2 
5. 
2
1
2
3
+−= xf(x) 2617 =−⇒ )f( 
 
6. (a) 20)( <→< xxf ; 20)( =→= xxf ; 20)( >→> xxf 
 (b) 20)( −<→> xxf ; 20)( −=→= xxf ; 20)( −>→< xxf 
(c) 
3
10)( −<→< xxf ; 
3
10)( −=→= xxf ; 
3
10)( −>→> xxf 
(d) 
3
10 <→> xy ; 
3
10 =→= xy ; 
3
10 >→< xy 
(e) 00 <→< xy ; 00 =→= xy ; 00 >→> xy 
(f) 00 <→> xy ; 00 =→= xy ; 00 >→< xy 
 
 
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(g) 20 <→< xy ; 20 =→= xy ; 20 >→> xy 
(h) 20 −<→> xy ; 20 −=→= xy ; 20 −>→< xy 
(i) 
4
10)( −<→< xxf ; 
4
10)( −=→= xxf ; 
4
10)( −>→> xxf 
(j) 
4
10)( <→> xxf ; 
4
10)( =→= xxf ; 
4
10)( >→< xxf 
(k) 00)( <→< xxf ; 00)( =→= xxf ; 00)( >→> xxf 
(l) 00)( <→> xxf ; 00)( =→= xxf ; 00)( >→< xxf 
 
7. (a) 
2
50)( <→< xxf ; 
2
50)( =→= xxf ; 
2
50)( >→> xxf 
 (b) 
2
50)( −<→> xxf ; 
2
50)( −=→= xxf ; 
2
50)( −>→< xxf 
 (c) 
2
10 −<→< xy ; 
2
10 −=→= xy ; 
2
10 −>→> xy 
 (d) 
2
10 <→> xy ; 
2
10 =→= xy ; 
2
10 >→< xy 
 (e) 30)( −<→< xxf ; 30)( −=→= xxf ; 30)( −>→> xxf 
 (f) 30)( <→> xxf ; 30)( =→= xxf ; 30)( >→< xxf 
 (g) 30)( −<→< xxf ; 30)( −=→= xxf ; 30)( −>→> xxf 
 (h) 30)( −<→> xxf ; 30)( −=→= xxf ; 30)( −>→< xxf 
 
8. (a) dia 27; (b) 27<x ; (c) 27>x 
 
9. (a) 6 horas; (b) durante uma hora; (c) durante cinco horas 
 
 
 
Funções de 2º Grau 
 
 
1. 
 
2. 
 
3. 2
2
5
2
1 2 +− xx 
 
 
Cursos de Tecnologia da Informação - TI 
 
Matemática Discreta 
 Campus Nova AméricaCampus Nova AméricaCampus Nova AméricaCampus Nova América Prof. Aureo Ruffier 
 
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4. m < 8
1
 
 
5. m = 2 
 
6. m > 6 
 
7. k > 
4
1
− 
 
8. 8
13
>k
 
 
9. ]9,
2
7[−∈y 
 
10. (a) [,4][1,]0 +∞∪∞−∈→> xf(x) ; 
10 =→= xf(x) ou 4=x ; 
[4,1]0)( ∈→< xxf 
 (b) [2,1]0 −∈→> xy ; 
10 −=→= xy ou 2=x ; 
[,2][1,]0 +∞∪−∞−∈→< xy 
 (c) 30)( =→= xxf ; 
}3{R0)( −∈→< xxf 
 (d) R0)( ∈→> xxf 
 
11. (a) [,4][1,] +∞∪−∞−∈x ; (b) ]
3
2
,0[x ∈ ; (c) [3,3] −∈x ; (d) ]2,4[x −∈