Cálculo da Média, Mediana, Amplitude, Variância e Desvio Padrão 1

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Cálculo da Média Aritmética, Média Ponderada, Mediana, Amplitude Variância e Desvio Padrão de um 
Conjunto de Dados 
 
1) Vamos inicialmente determinar a média aritmética (�̅�) do conjunto de dados 22, 14, 22, 8, 8, 17, 8, 22, 14. 
 
�̅� =
22 + 14 + 22 + 8 + 8 + 17 + 8 + 22 + 14
9
=
135
9
= 15 
O que foi feito: somamos todos os números e dividimos este valor pelo número de elementos do conjunto (no caso 9 
elementos). 
 
2) Vamos determinar a média ponderada (�̅�) do conjunto de dados 22, 14, 22, 8, 8, 17, 8, 22, 14. 
 
Note que alguns dos elementos do nosso conjunto são repetidos. Deste modo, é mais vantajoso, neste caso, usar a média 
ponderada. 
O primeiro passo para utilizar a média ponderada é verificar quais são os números que fazem parte do conjunto e quais as 
suas respectivas frequências simples (isto é, quantas vezes um mesmo número aparece no conjunto de dados). 
Isto está feito na tabela abaixo (normalmente, este trabalho é muito facilitado se você colocar os números em ordem: 8, 8, 
8, 14, 14, 17, 22, 22, 22): 
x (valor de 
cada número) 
f (frequência 
simples de cada 
número) 
8 3 
14 2 
17 1 
22 3 
 
Agora basta calcular a média ponderada: 
�̅� =
8 ∙ 3 + 14 ∙ 2 + 17 ∙ 1 + 22 ∙ 3
3 + 2 + 1 + 3
=
135
9
= 15 
 
Note que para um mesmo conjunto de números, a média aritmética e a média ponderada sempre dão o mesmo resultado. 
 
3) Vamos determinar a mediana de um número ímpar de números 5, 14, 27, 8, 8, 17, 4, 22, 19 
 
Para determinar a mediana, primeiro temos que ordenar a série de dados: 
4, 5, 8, 8, 14, 17, 19, 22, 27 
 
O segundo passo é determinar a posição da mediana (isto é, o valor Pmd). Como temos um número ímpar de elementos, a 
posição da mediana (Pmd) será dada por: 
𝑃𝑚𝑑 =
𝑁 + 1
2
=
9 + 1
2
=
10
2
= 5 
Deste modo, a mediana será o 5º elemento do conjunto ordenado de dados: Md = 14. 
 
4) Vamos determinar a mediana de um número par de números 15, 18, 19, 14, 23, 22, 14, 14 
 
Para determinar a mediana, primeiro temos que ordenar a série de dados: 
14, 14, 14, 15, 18, 19, 22, 23 
O segundo passo é determinar a posição da mediana. Como temos um número par de elementos, a posição da mediana (Pmd) 
será dada por: 
𝑃𝑚𝑑 =
{
 
 
 
 
𝑁
2
=
8
2
= 4
𝑁
2
+ 1 =
8
2
+ 1 = 5
 
Deste modo, a mediana será a média aritmética entre o 4º e o 5º elementos do conjunto ordenado de dados: 
 4º elemento do conjunto de dados: 15 
 5º elemento do conjunto de dados: 18 
 𝑀𝑑 =
15+18
2
=
33
2
= 16,5 
 
5) Vamos agora determinar a amplitude total (At) do conjunto de números 15, 18, 19, 14, 23, 22, 14, 14. 
 
Para determinar a amplitude total, primeiro temos que ordenar a série de dados e verificar os valores máximo e mínimo: 
14, 14, 14, 15, 18, 19, 22, 23 
 
At = Xmáximo – Xmínimo = 23 – 14 = 9 
 
O que foi feito: determinamos qual o elemento de maior valor (23) do conjunto de números e subtraímos deste o elemento 
de menor valor (14). 
 
6) Vamos calcular a variância (σ2 ou s2) do conjunto de números 15, 18, 14, 22, 22, 14, 14. 
 
A variância pode ser calculada tanto para uma população quanto para uma amostra. 
 A variância populacional é utilizada quando estamos trabalhando com uma população completa. 
 A variância amostral é utilizada quando estamos trabalhando com uma amostra da população. 
 
A pergunta que você deve estar se fazendo neste momento é: como sei se estou trabalhando com uma população ou uma 
amostra? A resposta é simples: o próprio enunciado do problema vai dizer! 
 Por exemplo: se o enunciado diz "Uma população é formada por 300 pessoas ...." quer dizer que devemos trabalhar 
com a variância populacional. 
 No entanto, se o enunciado informa que "Foi verificado que uma amostra de 200 pessoas ...." estamos trabalhando 
com uma amostra e devemos utilizar a variância amostral. 
 
A fórmula da variância populacional de um conjunto com n valores é dada pela fórmula abaixo: 
 Variância populacional: 𝜎2 =
(𝑥1−�̅�)
2∙𝑓1+(𝑥2−�̅�)
2∙𝑓2+(𝑥3−�̅�)
2∙𝑓3+⋯+(𝑥𝑘−�̅�)
2∙𝑓𝑘
𝑛
 
A fórmula da variância amostral de um conjunto com n valores é dada pela fórmula abaixo: 
 Variância amostral: 𝑠2 =
(𝑥1−�̅�)
2∙𝑓1+(𝑥2−�̅�)
2∙𝑓2+(𝑥3−�̅�)
2∙𝑓3+⋯+(𝑥𝑘−�̅�)
2∙𝑓𝑘
𝑛
 
Onde: 
 σ2 é a variância populacional; 
 s2 é a variância amostral; 
 n é o número de elementos do conjunto de dados 
 �̅� é a média do conjunto de dados 
 xi são os valores dos dados do problema 
 fi representa a frequência simples dos elementos do conjunto 
 
Vamos agora destrinchar os elementos da fórmula acima, aplicada aos nossos dados (15, 18, 14, 22, 22, 14, 14): 
 
 no nosso caso n = 7, pois o nosso conjunto de dados possui 7 elementos; 
 
 �̅� é a média do conjunto de dados, a qual pode ser calculada utilizando-se o procedimento da média ponderada visto 
acima: 
�̅� =
14 ∙ 3 + 15 ∙ 1 + 18 ∙ 1 + 22 ∙ 2
3 + 1 + 1 + 2
=
119
7
= 17 
 
 Talvez fique mais fácil de entender os valores de xi (os valores dos dados do problema) e fi (as frequências simples dos 
dados do problema) se colocarmos os números em uma tabela como fizemos na média ponderada: 
x (valor de cada 
número dos dados) 
f (frequência simples 
de cada número) 
Explicação 
x1 = 14 f1 = 3 O número 14 ocorre três vezes no conjunto de dados. 
x2 = 15 f2 = 1 O número 15 ocorre uma vez no conjunto de dados. 
x3 = 18 f3 = 1 O número 18 ocorre uma vez no conjunto de dados. 
x4 = 22 f4 = 2 O número 22 ocorre uma vez no conjunto de dados. 
 
A forma mais rápida e eficaz de fazer o cálculo da variância é utilizando uma tabela, como abaixo mostrado: 
xi fi xi ∙ fi �̅� xi - �̅� (xi - �̅�)2 (xi - �̅�)2 ∙ fi 
14 3 14 ∙ 3 = 42 17 14 – 17 = -3 (-3)2 = 9 9 ∙ 3 = 27 
15 1 15 ∙ 1 = 15 17 15 – 17 = -2 (-2)2 = 4 4 ∙ 1 = 4 
18 1 18 ∙ 1 = 18 17 18 – 17 = 1 (1)2 = 1 1 ∙ 1 = 1 
22 2 22 ∙ 2 = 44 17 22 – 17 = 5 (5)2 = 25 25 ∙ 2 = 50 
Soma 3 + 1 + 1 + 2 = 7 42 + 15 + 18 + 44 = 119 Soma 27 + 4 + 1 + 1 = 82 
 Média (�̅�) 119/7 = 17 𝜎2 82 / 7 = 11,71 
 s2 82 / (7 – 1) = 13,67 
Nota: vide a apresentação em PowerPoint para um passo-a-passo dessa tabela. 
 
Deste modo: 
 Se o conjunto de dados 15, 18, 14, 22, 22, 14, 14 fosse uma população, então a sua variância populacional seria 11,71; 
 Se o conjunto de dados 15, 18, 14, 22, 22, 14, 14 fosse uma amostra, então a sua variância amostral seria 13,67. 
 
7) Vamos calcular o desvio padrão (σ ou s) do conjunto de números 15, 18, 14, 22, 22, 14, 14. 
 
Sabemos que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância. 
 
Deste modo, primeiro temos que calcular a variância do conjunto de dados, o que foi feito no item anterior. 
 
Para calcular o desvio padrão é só extrair a raiz quadrada da variância: 
 Desvio padrão populacional: 𝜎 = √𝜎2 = √11,71 = 3,42 
 Desvio padrão amostral: 𝑠 = √𝑠2 = √13,67 = 3,70