SAEPI RP MT 3EM 2012

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ISSN 2238-0574
SAEPI2012
SISTEMA DE AVALIAÇÃO 
EDUCACIONAL DO PIAUÍ
Secretaria da Educação 
e Cultura do Piauí
SEÇÃO 1 
Avaliação:
o ensino-aprendizagem como desafio
SEÇÃO 2
Interpretação de resultados
e análises pedagógicas
SEÇÃO 3
Os resultados desta escola
SEÇÃO 4
Desenvolvimento de habilidades
EXPERIÊNCIA EM FOCO
REVISTA PEDAGÓGICA
1º e 3º Anos do Ensino Médio
Matemática
Saepi
ISSN 2238-0574
SAEPI - Sistema de Avaliação Educacional do Piauí
Revista Pedagógica
Matemática
1º e 3º Anos do Ensino Médio
Saepi
WILSON NUNES MARTINS
govERnAdoR do ESTAdo do PIAUÍ
ÁTILA FREITAS LIRA
SECRETáRIo ESTAdUAl dE EdUCAção
LUIZ GONZAGA VIEIRA
CHEfE dE gAbInETE
HELENA GOMES ROSENDO DE OLIVEIRA
SUPERInTEndEnTE InSTITUCIonAl
RAIMUNDO NETO CARVALHO
SUPERInTEndEnTE dE gESTão
JOARA DELANE SOUSA RIBEIRO
SUPERInTEndEnTE dE EnSIno
ELIANA MARIA MENDONÇA
SUPERInTEndEnTE dE EnSIno SUPERIoR
OSCARINA MARIA DA SILVA
dIREToRA dA UnIdAdE dE EdUCAção dE jovEnS E AdUlToS
MARTA LÚCIA DE MENDONÇA FREITAS
dIREToRA dA UnIdAdE dE EnSIno APREndIzAgEm
EUDINA MARIA DA ROCHA SAMPAIO
dIREToRA dA UnIdAdE dE gESTão E InSPEção ESColAR
REINALDO DE ARAÚJO LOPES
dIREToR dA UnIdAdE dE EdUCAção TéCnICA E PRofISSIonAl
IVANILDE CASTRO
dIREToRA dE PlAnEjAmEnTo
LEONARDO ALVES CORDEIRO
dIREToR AdmInISTRATIvo
MARIA MARILENE DO NASCIMENTO LIMA
dIREToRA dA UnIdAdE dE gESTão dE PESSoAS
LUÍS DE SOUSA RIBEIRO
dIREToR fInAnCEIRo
ComISSão CooRdEnAdoRA do SAEPI
IVANILDE CASTRO - dIREtoRA do PlANEJAMENto
JOARA DELANE DE SOUSA RIBEIRO - SuPERINtENdENtE dE ENSINo
MARTA LÚCIA DE MENDONÇA FREITAS - dIREtoRA dA uNIdAdE dE ENSINo APRENdIzAgEM
JEIEL MAIRA LUCENA DA SILVA - gERENtE do ENSINo fuNdAMENtAl
JOANA D´ARC SOCORRO ALEXANDRINO DE ARAÚJO - cooRdENAdoRA PEdAgógIcA
CARoS,
Por entender que a institucionalização da avaliação como política de estado está entre as iniciativas que 
têm conduzido a direcionamentos mais efi cazes na destinação de investimentos e recursos fi nanceiros, 
é com grande satisfação que anuncio a 2ª edição do Sistema de Avaliação Educacional do Piauí (Saepi) 
implantado em 2011 (que consiste em uma avaliação em larga escala da Educação básica em nosso 
Estado). 
o Saepi foi idealizado pela Secretaria da Educação e Cultura do Piauí em parceria com a Universidade 
federal de juiz de fora (mg), por intermédio do Centro de Políticas Públicas de Avaliação da Educação 
(CAEd), com a fi nalidade de produzir um diagnóstico da situação do ensino na rede pública piauiense, 
visando orientar os seus gestores no monitoramento das políticas voltadas para a melhoria da qualidade 
educacional. 
Em 2012, o Saepi foi realizado em todas as escolas da rede pública estadual, com o intuito de avaliá-las 
especifi camente e, ainda, fazer um comparativo com os resultados obtidos no ano de 2011. A partir das 
análises comparativas, será possível desenvolver ações que promovam a melhoria da educação pública 
do nosso estado.
Espero que, com o mesmo ânimo, todos os atores da educação– professores, gestores, alunos, servidores 
e toda a comunidade escolar – contribuam para a evolução da educação do estado, compreendendo a 
nossa realidade educacional e entendendo que a avaliação da rede estadual é de grande relevância para 
a melhoria da educação pública. 
grande abraço.
Átila Freitas Lira, Secretário de Estado da Educação e Cultura do Piauí
SuMáRIo
2. INtERPREtAção 
dE RESultAdoS E 
ANálISES PEdAgógIcAS 
PágINA 14
1. AvAlIAção: 
o ENSINo-APRENdIzAgEM 
coMo dESAfIo 
PágINA 10
EXPERIÊNcIA 
EM foco 
PágINA 78
4. dESENvolvIMENto 
dE hAbIlIdAdES 
PágINA 69
3. oS RESultAdoS 
dEStA EScolA 
PágINA 67
um importante movimento em busca da qualidade 
da educação vem ganhando sustentação em 
paralelo às avaliações tradicionais: as avaliações 
externas, que são geralmente em larga escala e 
possuem objetivos e procedimentos diferenciados 
daquelas realizadas pelos professores nas salas de 
aula. Essas avaliações são, em geral, organizadas 
a partir de um sistema de avaliação cognitiva dos 
estudantes e aplicadas, de forma padronizada, 
a um grande número de pessoas. os resultados 
aferidos pela aplicação de testes padronizados 
têm como objetivo subsidiar medidas que visem ao 
progresso do sistema de ensino e atendam a dois 
propósitos principais: prestar contas à sociedade 
sobre a eficácia dos serviços educacionais 
oferecidos à população e implementar ações que 
promovam a equidade e a qualidade da educação.
A avaliação em larga escala deve ser concebida 
como instrumento capaz de oferecer condições 
para o desenvolvimento dos alunos e só tem 
sentido quando é utilizada, na sala de aula, como 
uma ferramenta do professor para fazer com que 
os estudantes avancem. o uso dessa avaliação de 
acordo com esse princípio demanda o seguinte 
raciocínio: por meio dos dados levantados, é 
possível que o professor obtenha uma medida da 
aprendizagem de seus estudantes, contrapondo 
tais resultados àqueles alcançados no Estado e 
até mesmo à sua própria avaliação em sala de 
aula. verificar essas informações e compará-las 
amplia a visão do professor quanto ao seu aluno, 
identificando aspectos que, no dia a dia, possam 
ter passado despercebidos. desta forma, os 
resultados da avaliação devem ser interpretados 
em um contexto específico, servindo para a 
reorientação do processo de ensino, confirmando 
quais as práticas bem-sucedidas em sala de aula 
e fazendo com que os docentes repensem suas 
ações e estratégias para enfrentar as dificuldades 
de aprendizagem detectadas.
A articulação dessas informações possibilita 
consolidar a ideia de que os resultados de 
desempenho dos estudantes, mesmo quando 
abaixo do esperado, sempre constituem 
uma oportunidade para o aprimoramento do 
trabalho docente, representando um desafio 
a ser superado em prol da qualidade e da 
equidade na educação.
1
Caro(a) Educador(a), a Revista Pedagógica apresenta os fundamentos, a metodologia e os resultados da avaliação, 
com o objetivo de suscitar discussões para que as informações disponibilizadas possam ser debatidas e utilizadas 
no trabalho pedagógico.
AvAlIAção: 
o EnSIno-APREndIzAgEm Como dESAfIo 
10 Saepi 2012
 TRAjETóRIA
o SAEPI
o Sistema de Avaliação Educacional do Piauí foi criado em 2011 e tem seguido o 
propósito de fomentar mudanças em busca de uma educação de qualidade. Em 2012, 
avaliou os alunos das escolas estaduais do Piauí nas disciplinas de língua Portuguesa 
e Matemática da 4ª série/5º ano e da 8ª série/9º ano do Ensino fundamental, e do 1º 
e 3º anos do Ensino Médio. Na linha do tempo a seguir, pode-se verifi car a trajetória 
do Saepi e, ainda, perceber como tem se consolidado diante das informações que 
apresentam sobre o desempenho dos estudantes.
2011
101.983 
estudantes
avaliados*
2012
54.295 
estudantes
avaliados*
(*) O número de estudantes avaliados é referente à disciplina de Língua Portuguesa.
língua Portuguesa e Matemática
4ª SÉRIE/5º ANo do ENSINo fuNdAMENtAl
8ª SÉRIE/9º ANo do ENSINo fuNdAMENtAl
1º e 3º ANoS do ENSINo MÉdIo
língua Portuguesa e Matemática
4ª SÉRIE/5º ANo do ENSINo fuNdAMENtAl
8ª SÉRIE/9º ANo do ENSINo fuNdAMENtAl
3º ANo do ENSINo MÉdIo
Revista Pedagógica 11
(Composição dos cadernos) 
Página 21
o diagrama a seguir apresenta, passo a passo, a lógica do sistema de avaliação de forma sintética, 
indicando as páginas onde podem ser buscados maiores detalhes sobre os conceitos apresentados.
Para ter acesso a toda a 
Coleção e a outras informações 
sobre a avaliação e seus 
resultados, acesse o site 
www.saepi.caedufjf.net.
(Matriz de Referência) 
Página 16Esse recorte se traduz em 
habilidades consideradas 
essenciais que formam a 
Matriz de Referência para 
avaliação.
Para realizar a avaliação, é 
necessário definir o conteúdo 
a ser avaliado. Isso é feito por 
especialistas, com base em 
um recorte do currículo e nas 
especialidades educacionais.
A avaliação em larga escala 
surge como um importante 
instrumento para reflexão 
sobre como melhorar o ensino.
A educação apresenta um grande 
desafio: ensinar com qualidade e 
de forma equânime, respeitando 
a individualidade e a diversidade.
A AvAlIAção EdUCACIonAl Em lARgA ESCAlA
12 Saepi 2012
Os resultados da avaliação 
oferecem um diagnóstico do 
ensino e servem de subsídio 
para a melhoria da qualidade 
da educação.
As informações disponíveis 
nesta Revista devem ser 
interpretadas e usadas como 
instrumento pedagógico.
A análise dos itens que compõem 
os testes elucida as habilidades 
desenvolvidas pelos estudantes 
que estão em determinado 
Padrão de Desempenho.
Com base nos objetivos e 
nas metas de aprendizagem 
estabelecidas, são definidos 
os Padrões de Desempenho.
As habilidades avaliadas são 
ordenadas de acordo com a 
complexidade em uma escala 
nacional, a qual permite verificar o 
desenvolvimento dos estudantes.
(Escala de Proficiência) 
Página 22
(Composição dos cadernos) 
Página 21
Através de uma metodologia 
especializada, é possivel obter 
resultados precisos, não sendo 
necessário que os estudantes 
realizem testes extensos.
(Resultados desta Escola) 
Página 67
(Itens) 
Página 43
(Padrões de Desempenho) 
Página 43
(Experiência em foco) 
Página 78
Revista Pedagógica 13
2
mATRIz dE REfERÊnCIA
Para realizar uma avaliação, é necessário definir o 
conteúdo que se deseja avaliar. Em uma avaliação 
em larga escala, essa definição é dada pela 
construção de uma MAtRIz dE REfERÊNcIA, 
que é um recorte do currículo e apresenta as 
habilidades definidas para serem avaliadas. No 
brasil, os Parâmetros curriculares Nacionais 
(PcN) para o Ensino fundamental e para o Ensino 
Médio, publicados, respectivamente, em 1997 e 
em 2000, visam à garantia de que todos tenham, 
mesmo em lugares e condições diferentes, acesso 
a conhecimentos considerados essenciais para o 
exercício da cidadania. cada estado, município e 
escola tem autonomia para elaborar seu próprio 
currículo, desde que atenda a essa premissa.
diante da autonomia garantida legalmente 
em nosso país, as orientações curriculares do 
apresentam conteúdos com características 
próprias, como concepções e objetivos 
educacionais compartilhados. desta forma, o 
Estado visa a desenvolver o processo de ensino-
aprendizagem em seu sistema educacional com 
qualidade, atendendo às particularidades de seus 
estudantes. Pensando nisso, foi criada uma Matriz 
de Referência específica para a realização da 
avaliação em larga escala do Saepi.
A Matriz de Referência tem, entre seus fundamentos, 
os conceitos de competência e habilidade. A 
coMPEtÊNcIA corresponde a um grupo de 
Esta seção traz os fundamentos da metodologia de avaliação externa do Saepi 2012, a matriz de Referência, a 
Teoria de Resposta ao Item (TRI) e a Escala de Proficiência.
InTERPRETAção 
dE RESUlTAdoS E AnálISES PEdAgógICAS
14 Saepi 2012
AUTO ESCOLA
CARTEIRA D
E HABILITAÇ
ÃO
habilidades que operam em conjunto para a obtenção 
de um resultado, sendo cada hAbIlIdAdE entendida 
como um “saber fazer”.
Por exemplo, para adquirir a carteira de motorista 
para dirigir automóveis é preciso demonstrar 
competência na prova escrita e competência na 
prova prática específica, sendo que cada uma 
delas requer uma série de habilidades.
A competência na prova escrita demanda 
algumas habilidades, como: interpretação de 
texto, reconhecimento de sinais de trânsito, 
memorização, raciocínio lógico para perceber 
quais regras de trânsito se aplicam a uma 
determinada situação etc.
A competência na prova prática específica, por 
sua vez, requer outras habilidades: visão espacial, 
leitura dos sinais de trânsito na rua, compreensão 
do funcionamento de comandos de interação 
com o veículo, tais como os pedais de freio e de 
acelerador etc.
É importante ressaltar que a Matriz de Referência 
não abarca todo o currículo; portanto, não deve ser 
confundida com ele nem utilizada como ferramenta 
para a definição do conteúdo a ser ensinado em sala de 
aula. As habilidades selecionadas para a composição 
dos testes são escolhidas por serem consideradas 
essenciais para o período de escolaridade avaliado 
e por serem passíveis de medição por meio de 
testes padronizados de desempenho, compostos, 
na maioria das vezes, apenas por itens de múltipla 
escolha. há, também, outras habilidades necessárias 
ao pleno desenvolvimento do estudante que não se 
encontram na Matriz de Referência por não serem 
compatíveis com o modelo de teste adotado. No 
exemplo acima, pode-se perceber que a competência 
na prova escrita para habilitação de motorista inclui 
mais habilidades que podem ser medidas em testes 
padronizados do que aquelas da prova prática.
A avaliação em larga escala pretende obter 
informações gerais, importantes para se pensar a 
qualidade da educação, porém, ela só será uma 
ferramenta para esse fim se utilizada de maneira 
coerente, agregando novas informações às já 
obtidas por professores e gestores nas devidas 
instâncias educacionais, em consonância com a 
realidade local.
Revista Pedagógica 15
mATRIz dE REfERÊnCIA dE mATEmáTICA* – SAEPI 2012
3º Ano do EnSIno médIo
I. ESPAço E foRmA
d1 Identificar figuras semelhantes mediante o reconhecimento de relações de proporcionalidade.
d2 Reconhecer aplicações das relações métricas do triângulo retângulo em um problema que envolva figuras planas ou espaciais.
d3 Relacionar diferentes poliedros ou corpos redondos com suas planificações ou vistas.
d4 Identificar a relação entre o número de vértices, faces e/ou arestas de poliedros expressa em um problema.
d5 Resolver problema que envolva razões trigonométricas no triângulo retângulo (seno, cosseno, tangente).
d6 Identificar a localização de pontos no plano cartesiano.
d7 Interpretar geometricamente os coeficientes da equação de uma reta.
d8 Identificar a equação de uma reta apresentada a partir de dois pontos dados ou de um ponto e sua inclinação.
d9
Relacionar a determinação do ponto de interseção de duas ou mais retas com a resolução de um sistema de equações com duas 
incógnitas.
d10 Reconhecer, dentre as equações do 2º grau com duas incógnitas, as que representam circunferências.
II. gRAndEzAS E mEdIdAS
d11 Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas.
d12 Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figuras planas.
d13 Resolver problema envolvendo a área total e/ou volume de um sólido (prisma, pirâmide, cilindro, cone, esfera).
III. númERoS E oPERAçõES / álgEbRA E fUnçõES
d14 Identificar a localização de números reais na reta numérica.
d15 Resolver problema que envolva variação proporcional, direta ou inversa, entre grandezas.
d16 Resolver problema que envolva porcentagem.
d17 Resolver problema envolvendo equação do 2º grau.
(M120258ES) O gráfico abaixo representa uma função de domínio [– 3, 3]. 
As raízes dessa função são
A) – 2, – 4 e 2.
B) – 2 e – 4.
C) – 2 e 2.
D) – 2, 0 e 2.
E) – 4 e 0.
tema
o tema agrupa por 
afinidade um conjunto 
de habilidades 
indicadas pelos 
descritores.
item
o item é uma questão 
utilizada nos testes de uma 
avaliação em larga escala e 
se caracteriza por avaliar uma 
única habilidade indicada 
por um descritor da matriz 
de Referência.
Elementos que compõema matriz
mATRIz dE REfERÊnCIA dE mATEmáTICA
1º e 3º Anos do Ensino médio
Descritores
os descritores associam 
o conteúdo curricular a 
operações cognitivas, 
indicando as habilidades 
que serão avaliadas por 
meio de um item.
16 Saepi 2012
mATRIz dE REfERÊnCIA dE mATEmáTICA – SAEPI 2012
1º Ano do EnSIno médIo
I ESPAço E foRmA
d8
Resolver problema utilizando propriedades dos polígonos (soma de seus ângulos internos, número de 
diagonais, cálculo da medida de cada ângulo interno nos polígonos regulares).
d10 Resolver problemas envolvendo a localização de pontos no plano cartesiano.
d12 Utilizar as relações métricas do triângulo retângulo para resolver problemas significativos.
d17 Resolver problema envolvendo semelhança de triângulo
II gRAndEzAS E mEdIdAS
d21 Resolver problema utilizando relações entre diferentes unidades de medida.
d25 Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas, com ou sem malhas quadriculadas.
d26 Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figuras planas, com ou sem malhas.
d28 Resolver problema envolvendo volume de um sólido(Prisma, pirâmide, cilindro, cone, esfera).
III númERoS E oPERAçõES/ álgEbRA E fUnçõES
d33 Identificar a localização de números reais na reta numérica.
d40
Resolver problema com números inteiros envolvendo as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, 
potenciação, radiciação).
d41 Reconhecer as diferentes representações de um mesmo número racional.
d45
Resolver problema com números racionais envolvendo as operações (adição, subtração, multiplicação, 
divisão, potenciação).
d46 Resolver problema que envolva variação proporcional, direta ou inversa, entre grandezas.
d48 Resolver problemas envolvendo equações ou inequações do 1º grau.
d49 Resolver problemas envolvendo sistemas de equações do 1º grau.
d52 Resolver problemas envolvendo equação do 2º grau.
d54 Resolver problemas envolvendo o cálculo de porcentagem.
d55 Resolver problema envolvendo uma função do 1º grau.
d57 Identificar a representação algébrica e\ou gráfica de uma função do 1º grau, conhecendo alguns de seus elementos.
d58 Identificar a representação algébrica ou gráfica de uma função logarítmica.
d59 Reconhecer a representação algébrica ou gráfica da função polinomial do 2º grau.
d60 Analisar crescimento/decrescimento, zeros de funções reais apresentadas em gráficos.
d63 Identificar o gráfico de uma função que representa uma situação descrita em um texto.
d64 Resolver problemas que envolvam uma função polinomial do 2º grau.
d65 Resolver problemas envolvendo função exponencial
Iv TRATAmEnTo dA InfoRmAção
d71 Resolver problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos.
d72 Associar informações apresentadas em listas e/ou tabelas simples aos gráficos que as representam e vice-versa.
d73 Resolver problema envolvendo média aritmética, moda ou mediana.
Revista Pedagógica 17
mATRIz dE REfERÊnCIA dE mATEmáTICA* – SAEPI 2012
3º Ano do EnSIno médIo
I. ESPAço E foRmA
d1 Identificar figuras semelhantes mediante o reconhecimento de relações de proporcionalidade.
d2
Reconhecer aplicações das relações métricas do triângulo retângulo em um problema que envolva figuras planas ou 
espaciais.
d3 Relacionar diferentes poliedros ou corpos redondos com suas planificações ou vistas.
d4 Identificar a relação entre o número de vértices, faces e/ou arestas de poliedros expressa em um problema.
d5 Resolver problema que envolva razões trigonométricas no triângulo retângulo (seno, cosseno, tangente).
d6 Identificar a localização de pontos no plano cartesiano.
d7 Interpretar geometricamente os coeficientes da equação de uma reta.
d8 Identificar a equação de uma reta apresentada a partir de dois pontos dados ou de um ponto e sua inclinação.
d9
Relacionar a determinação do ponto de interseção de duas ou mais retas com a resolução de um sistema de equações 
com duas incógnitas.
d10 Reconhecer, dentre as equações do 2º grau com duas incógnitas, as que representam circunferências.
II. gRAndEzAS E mEdIdAS
d11 Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas.
d12 Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figuras planas.
d13 Resolver problema envolvendo a área total e/ou volume de um sólido (prisma, pirâmide, cilindro, cone, esfera).
III. númERoS E oPERAçõES / álgEbRA E fUnçõES
d14 Identificar a localização de números reais na reta numérica.
d15 Resolver problema que envolva variação proporcional, direta ou inversa, entre grandezas.
d16 Resolver problema que envolva porcentagem.
d17 Resolver problema envolvendo equação do 2º grau.
d18 Reconhecer expressão algébrica que representa uma função a partir de uma tabela.
d19 Resolver problema envolvendo uma função do 1º grau.
d20 Analisar crescimento/decrescimento e/ou zeros de funções reais apresentadas em gráficos.
d21 Identificar o gráfico que representa uma situação descrita em um texto.
18 Saepi 2012
mATRIz dE REfERÊnCIA dE mATEmáTICA* – SAEPI 2012
3º Ano do EnSIno médIo
d22 Resolver problema envolvendo P.A./P.g. dada a fórmula do termo geral.
d23 Reconhecer o gráfico de uma função polinomial de 1º grau por meio de seus coeficientes.
d24 Reconhecer a representação algébrica de uma função do 1º grau dado o seu gráfico.
d25 Resolver problemas que envolvam os pontos de máximo ou de mínimo no gráfico de uma função polinomial do 2º grau.
d26 Relacionar as raízes de um polinômio com sua decomposição em fatores do 1º grau.
d27 Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função exponencial.
d28
Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função logarítmica, reconhecendo- a como inversa da função 
exponencial.
d29 Resolver problema que envolva função exponencial.
d30 Identificar gráficos de funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente) reconhecendo suas propriedades.
d31 determinar a solução de um sistema linear associando-o à uma matriz.
d32
Resolver problema de contagem utilizando o princípio multiplicativo ou noções de permutação simples, arranjo 
simples e/ou combinação simples.
d33 Calcular a probabilidade de um evento.
Iv. TRATAmEnTo dA InfoRmAção
d34 Resolver problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos.
d35 Associar informações apresentadas em listas e/ou tabelas simples aos gráficos que as representam e vice-versa.
*foi utilizada a mesma matriz de Referência do Saeb.
Revista Pedagógica 19
TEoRIA dE RESPoSTA Ao ITEm (TRI)
A teoria de Resposta ao Item (tRI) é, em termos gerais, uma forma de analisar e avaliar os 
resultados obtidos pelos estudantes nos testes, levando em consideração as habilidades 
demonstradas e os graus de dificuldade dos itens, permitindo a comparação entre testes 
realizados em diferentes anos.
Ao realizarem os testes, os estudantes obtêm um determinado nível de desempenho nas 
habilidades testadas. Esse nível de desempenho denomina-se PRofIcIÊNcIA.
A tRI é uma forma de calcular a proficiência alcançada, com base em um modelo estatístico 
capaz de determinar um valor diferenciado para cada item que o estudante respondeu 
em um teste padronizado de múltipla escolha. Essa teoria leva em conta três parâmetros:
• Parâmetro "A"
A capacidade de um item de discriminar, entre os alunos avaliados, aqueles que 
desenvolveram as habilidades avaliadas daqueles que não as desenvolveram.
• Parâmetro "b"
o grau de dificuldade dos itens: fáceis, médios ou difíceis. os itens estão distribuídos 
de forma equânime entre os diferentes cadernos de testes, possibilitando a criação de 
diversos cadernos com o mesmo grau de dificuldade.
• Parâmetro "C"
A análise das respostas do estudante para verificar aleatoriedade nas respostas: se for 
constatado que ele errou muitos itens de baixo grau dedificuldade e acertou outros de 
grau elevado – o que é estatisticamente improvável, o modelo deduz que ele respondeu 
aleatoriamente às questões.
o Saepi utiliza a tRI para o cálculo de acerto do estudante. No final, a proficiência não 
depende apenas do valor absoluto de acertos, depende também da dificuldade e da 
capacidade de discriminação das questões que o estudante acertou e/ou errou. o valor 
absoluto de acertos permitiria, em tese, que um estudante que respondeu aleatoriamente 
tivesse o mesmo resultado que outro que tenha respondido com base em suas habilidades. 
o modelo da tRI evita essa situação e gera um balanceamento de graus de dificuldade 
entre as questões que compõem os diferentes cadernos e as habilidades avaliadas em 
relação ao contexto escolar. Esse balanceamento permite a comparação dos resultados dos 
estudantes ao longo do tempo e entre diferentes escolas.
20 Saepi 2012
ComPoSIção doS CAdERnoS 
PARA A AvAlIAção
No Ensino Médio, em língua Portuguesa e 
Matemática, são 91 itens/disciplina, divididos 
em 7 blocos/disciplina, com 13 itens cada.
CaDeRNO
4 blocos formam um caderno, totalizando 
52 itens, sendo 26 itens de língua 
Portuguesa e 26 itens de Matemática. 
Ao todo, são 21 modelos 
diferentes de cadernos.
= 1 item
i i i i i i i
i i i i i i i
i i i i i i i
i i i i i i i
i i i i i i i
i i i i i i i
i i i i i i i
i i i i i i i
i i i i i i i
i i i i i i i
i i i i i i i
i i i i i i i
i i i i i i i
i i i i i i i
i i i i i i i
i i i i i i i
i i i i i i i
i i i i i i i
i i i i i i i
i i i i i i i
i i i i i i i
i i i i i i i
i i i i i i i
i i i i i i i
i i i i i i i
i i i i i i i
iii
ii
iii
iii
iii
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i
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iiiii
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iiiii
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iiiiiiiiiiiii
língua Portuguesa
Matemática
iiiii
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i
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iiiiii
iiiii
iiiiii
iiiiiiiiiiiii
Revista Pedagógica 21
A EScAlA dE PRofIcIÊNcIA foi 
desenvolvida com o objetivo de traduzir 
medidas em diagnósticos qualitativos 
do desempenho escolar. Ela orienta, 
por exemplo, o trabalho do professor 
com relação às competências que seus 
estudantes desenvolveram, apresentando 
os resultados em uma espécie de régua 
onde os valores obtidos são ordenados e 
categorizados em intervalos ou faixas que 
indicam o grau de desenvolvimento das 
habilidades para os alunos que alcançaram 
determinado nível de desempenho.
Em geral, para as avaliações em larga escala 
da Educação básica realizadas no brasil, os 
resultados dos estudantes em Matemática 
são colocados em uma mesma Escala de 
Proficiência definida pelo Sistema Nacional 
de Avaliação da Educação básica (Saeb). 
* As habilidades 
envolvidas nessas 
competências não são 
avaliadas nesta etapa 
de escolaridade.
dEScRItoRES
1EM 3EM
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 
localizar objetos em representações do espaço. D10 D6 
Identificar figuras geométricas e suas propriedades. * D1 e D3 
Reconhecer transformações no plano. D17 * 
Aplicar relações e propriedades. D8 e D12 D2, D4, D5, D7, D8, D9 e D10 
utilizar sistemas de medidas. D21 * 
Medir grandezas. D25, D26 e D28 D11, D12 e D13 
Estimar e comparar grandezas. * * 
conhecer e utilizar números. D33 e D41 D14 
Realizar e aplicar operações. D40, D45, D54 e D73 D16 
utilizar procedimentos algébricos.
D46, D48, D49, D52, D55, D57, D58, 
D59, D60, D63, D64 e D65
D15, D17, D18, D19, D20, D21, D22, D23, 
D24, D25, D26, D27, D28, D29, D30 e D31 
ler, utilizar e interpretar informações apresentadas em tabelas 
e gráficos.
D71 e D72 D34 e D35 
utilizar procedimentos de combinatória e probabilidade. * D32 e D33 
PAdRõES dE dESEMPENho - 1º E 3º ANoS do ENSINo MÉdIo
Espaço e forma
grandezas e 
medidas
números, 
operações/ 
álgebra e 
funções
Tratamento da 
informação
ESCAlA dE PRofICIÊnCIA Em mATEmáTICA
doMíNIoS coMPEtÊNcIAS
22 Saepi 2012
Por permitirem ordenar os resultados de 
desempenho, as Escalas são importantes 
ferramentas para a interpretação dos 
resultados da avaliação.
A partir da interpretação dos intervalos da 
Escala, os professores, em parceria com a 
equipe pedagógica, podem diagnosticar 
as habilidades já desenvolvidas pelos 
estudantes, bem como aquelas que 
ainda precisam ser trabalhadas em sala 
de aula, em cada etapa de escolaridade 
avaliada. com isso, os educadores 
podem atuar com maior precisão 
na detecção das dificuldades dos 
alunos, possibilitando o planejamento 
e a execução de novas ações para o 
processo de ensino-aprendizagem. 
A seguir é apresentada a estrutura da 
Escala de Proficiência.
dEScRItoRES
1EM 3EM
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 
localizar objetos em representações do espaço. D10 D6 
Identificar figuras geométricas e suas propriedades. * D1 e D3 
Reconhecer transformações no plano. D17 * 
Aplicar relações e propriedades. D8 e D12 D2, D4, D5, D7, D8, D9 e D10 
utilizar sistemas de medidas. D21 * 
Medir grandezas. D25, D26 e D28 D11, D12 e D13 
Estimar e comparar grandezas. * * 
conhecer e utilizar números. D33 e D41 D14 
Realizar e aplicar operações. D40, D45, D54 e D73 D16 
utilizar procedimentos algébricos.
D46, D48, D49, D52, D55, D57, D58, 
D59, D60, D63, D64 e D65
D15, D17, D18, D19, D20, D21, D22, D23, 
D24, D25, D26, D27, D28, D29, D30 e D31 
ler, utilizar e interpretar informações apresentadas em tabelas 
e gráficos.
D71 e D72 D34 e D35 
utilizar procedimentos de combinatória e probabilidade. * D32 e D33 
PAdRõES dE dESEMPENho - 1º E 3º ANoS do ENSINo MÉdIo
Espaço e forma
grandezas e 
medidas
números, 
operações/ 
álgebra e 
funções
Tratamento da 
informação
ESCAlA dE PRofICIÊnCIA Em mATEmáTICA
A gradação das cores 
indica a complexidade 
da tarefa.

 Abaixo do Básico
 Básico
 Adequado
 Avançado
Revista Pedagógica 23
A ESTRUTURA dA ESCAlA dE PRofICIÊnCIA
Na primeira coluna da Escala são apresentados 
os grandes domínios do conhecimento em 
Matemática para toda a Educação básica. Esses 
domínios são agrupamentos de competências 
que, por sua vez, agregam as habilidades 
presentes na Matriz de Referência. Nas colunas 
seguintes são apresentadas, respectivamente, as 
competências presentes na Escala de Proficiência 
e os descritores da Matriz de Referência a 
elas relacionados.
As competências estão dispostas nas várias 
linhas da Escala. Para cada competência há 
diferentes graus de complexidade representados 
por uma gradação de cores, que vai do amarelo-
claro ao vermelho. Assim, a cor amarelo-claro 
indica o primeiro nível de complexidade da 
competência, passando pelo amarelo-escuro, 
laranja-claro, laranja-escuro e chegando ao nível 
mais complexo, representado pela cor vermelha. 
Na primeira linha da Escala de Proficiência, 
podem ser observados, numa escala numérica, 
intervalos divididos em faixas de 25 pontos, 
que estão representados de zero a 500. 
cada intervalo corresponde a um nível e um 
conjunto de níveis forma um PAdRão dE 
dESEMPENho. Esses Padrões sãodefinidos pela 
Secretaria da Educação e cultura do Piauí - Seduc 
e representados em verde. Eles trazem, de 
forma sucinta, um quadro geral das tarefas que 
os estudantes são capazes de fazer, a partir do 
conjunto de habilidades que desenvolveram.
Para compreender as informações presentes na 
Escala de Proficiência, pode-se interpretá-la de 
três maneiras: 
• Primeira
Perceber, a partir de um determinado domínio, 
o grau de complexidade das competências a ele 
associadas, através da gradação de cores ao 
longo da Escala. desse modo, é possível analisar 
como os estudantes desenvolvem as habilidades 
relacionadas a cada competência e realizar uma 
interpretação que contribua para o planejamento 
do professor, bem como para as intervenções 
pedagógicas em sala de aula.
• Segunda
ler a Escala por meio dos Padrões de 
desempenho, que apresentam um panorama 
do desenvolvimento dos estudantes em um 
determinado intervalo. dessa forma, é possível 
relacionar as habilidades desenvolvidas com o 
percentual de alunos situado em cada Padrão.
• Terceira
Interpretar a Escala de Proficiência a partir da 
abrangência da proficiência de cada instância 
avaliada: estado, gRE, município e escola. 
dessa forma, é possível verificar o intervalo 
em que a escola se encontra em relação às 
demais instâncias.
24 Saepi 2012
competências descritas para este domínio
oS domÍnIoS E ComPETÊnCIAS 
dA ESCAlA dE PRofICIÊnCIA
Espaço e forma
Professor, na Matemática, o estudo do Espaço e forma é de 
fundamental importância para que o estudante desenvolva várias 
habilidades como percepção, representação, abstração, levantamento 
e validação de hipóteses, orientação espacial; além de propiciar 
o desenvolvimento da criatividade. vivemos num mundo em que, 
constantemente, necessitamos nos movimentar, localizar objetos, 
localizar ruas e cidades em mapas, identificar figuras geométricas e 
suas propriedades para solucionar problemas. o estudo deste domínio 
pode auxiliar a desenvolver, satisfatoriamente, todas essas habilidades, 
podendo, também, nos ajudar a apreciar, com outro olhar, as formas 
geométricas presentes na natureza, nas construções e nas diferentes 
manifestações artísticas. Estas competências são trabalhadas desde 
a Educação Infantil até o Ensino Médio, permitindo que, a cada ano 
de escolaridade, os estudantes aprofundem e aperfeiçoem o seu 
conhecimento neste domínio, desenvolvendo, assim, o pensamento 
geométrico necessário para solucionar problemas.
localizar objetos em representações 
do espaço.
Identificar figuras geométricas e 
suas propriedades.
Reconhecer transformações no plano.
Aplicar relações e propriedades.
Para auxiliar na tarefa de acompanhar o desempenho dos alunos, na seção desenvolvimento de habilidades, há uma 
análise representativa por meio da competência Aplicar relações e propriedades, abordando a perspectiva do seu ensino 
para esta etapa e sugestões de atividades e recursos pedagógicos que podem ser utilizados pelo professor. A escolha 
desse exemplo foi baseada em um diagnóstico que identificou algumas habilidades que apresentaram baixo índice de 
acerto no Ensino médio nas avaliações educacionais realizadas em anos anteriores.
domÍnIoS E ComPETÊnCIAS
Ao relacionar os resultados a cada um 
dos domínios da Escala de Proficiência e 
aos respectivos intervalos de gradação de 
complexidade de cada competência, é possível 
observar o nível de desenvolvimento das 
habilidades aferido pelo teste e o desempenho 
esperado dos estudantes nas etapas de 
escolaridade em que se encontram.
Esta seção apresenta o detalhamento dos níveis 
de complexidade das competências (com suas 
respectivas habilidades), nos diferentes intervalos 
da Escala de Proficiência. Essa descrição focaliza 
o desenvolvimento cognitivo do aluno ao longo 
do processo de escolarização e o agrupamento 
das competências básicas ao aprendizado da 
Matemática para toda a Educação básica.
Revista Pedagógica 25
loCAlIzAR objEToS Em REPRESEnTAçõES do ESPAço
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 

um dos objetivos do ensino de Espaço e forma em Matemática é propiciar ao estudante o desenvolvimento 
da competência de localizar objetos em representações planas do espaço. Esta competência é desenvolvida 
desde os anos iniciais do Ensino fundamental por meio de tarefas que exigem dos estudantes, por exemplo, 
desenhar, no papel, o trajeto casa-escola, identificando pontos de referências. Para o desenvolvimento 
desta competência, nos anos iniciais do Ensino fundamental, são utilizados vários recursos, como a 
localização de ruas, pontos turísticos, casas, dentre outros, em mapas e croquis. Além disso, o uso do papel 
quadriculado pode auxiliar o estudante a localizar objetos utilizando as unidades de medidas (cm, mm), 
em conexão com o domínio de grandezas e medidas. Nos anos finais do Ensino fundamental, o papel 
quadriculado é um importante recurso para que os estudantes localizem pontos utilizando coordenadas. 
No Ensino Médio os estudantes trabalham as geometrias plana, espacial e analítica. utilizam o sistema de 
coordenadas cartesianas para localizar pontos, retas, circunferências entre outros objetos matemáticos.
 cinza 0 a 150 pontos
os estudantes cuja proficiência se encontra na faixa cinza, de 0 a 150 pontos, ainda não desenvolveram 
as habilidades relacionadas a esta competência. 
 amarelo-claro 150 a 200 pontos
Alunos cuja proficiência se encontra no intervalo de 150 a 200 pontos na Escala, marcado pelo amarelo-
claro, estão no início do desenvolvimento desta competência. Esses estudantes são os que descrevem 
caminhos desenhados em mapas, identificam objeto localizado dentro/fora, na frente/atrás ou em cima/
embaixo.
 amarelo-escuro 200 a 250 pontos
Alunos cuja proficiência se encontra no intervalo amarelo-escuro, de 200 a 250 pontos na Escala, realizam 
atividades que envolvem referenciais diferentes da própria posição, como, por exemplo, localizar qual 
o objeto está situado entre outros dois. também localizam e identificam a movimentação de objetos e 
pessoas em mapas e croquis.
 laranja-claro 250 a 300 pontos
o laranja-claro, de 250 a 300 pontos na Escala, indica um novo grau de complexidade desta competência. 
Neste intervalo, os estudantes associam uma trajetória representada em um mapa à sua descrição 
textual. Por exemplo: dada uma trajetória entre duas localidades, no mapa, o estudante verifica qual a 
descrição textual que representa esse deslocamento e vice-versa.
 laranja-escuro 300 a 375 pontos
No intervalo de 300 a 375 pontos, cor laranja-escuro, os estudantes já conseguem realizar atividade de 
localização utilizando sistema de coordenadas em um plano cartesiano. Por exemplo: dado um objeto no 
plano cartesiano, o estudante identifica o seu par ordenado e vice-versa.
26 Saepi 2012
 vermelho acima de 375 pontos
No intervalo de 375 a 500 pontos, representado pela cor vermelha, os estudantes localizam figuras 
geométricas por meio das coordenadas cartesianas de seus vértices, utilizando a nomenclatura abscissa 
e ordenada.
IdEnTIfICAR fIgURAS gEoméTRICAS E SUAS PRoPRIEdAdES
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 

Nesta competência, a denominação de “figuras geométricas” será utilizada de forma geral para se referir 
tanto às figuras bidimensionais como às tridimensionais. Em todos os lugares, nós nos deparamos com 
diferentes formas geométricas – arredondadas, retilíneas, simétricas, assimétricas, cônicas, esféricas 
dentre muitas outras. A percepção das formas que estão ao nosso redor é desenvolvida pelas crianças,mesmo antes de entrarem na escola. Nos anos iniciais do Ensino fundamental, os estudantes começam 
a desenvolver as habilidades de reconhecimento de formas utilizando alguns atributos das figuras 
planas (um dos elementos que diferencia o quadrado do triângulo é o atributo número de lados) e 
tridimensionais (conseguem distinguir a forma esférica de outras formas). Nas séries finais do Ensino 
fundamental, são trabalhadas as principais propriedades das figuras geométricas. No Ensino Médio 
os estudantes identificam várias propriedades das figuras geométricas, entre as quais destacamos o 
teorema de Pitágoras, propriedades dos quadriláteros dentre outras.
 cinza 0 a 125 pontos
os estudantes cuja proficiência se encontra na faixa cinza, de 0 a 125 pontos, ainda não desenvolveram 
as habilidades relacionadas a esta competência. 
 amarelo-claro 125 a 200 pontos
No intervalo de 125 a 200 pontos, representado pelo amarelo-claro, os estudantes começam a 
desenvolver a habilidade de associar objetos do cotidiano às suas formas geométricas.
 amarelo-escuro 200 a 250 pontos
No intervalo de 200 a 250 pontos, representado pelo amarelo-escuro, os estudantes começam a 
desenvolver a habilidade de identificar quadriláteros e triângulos, utilizando como atributo o número 
de lados. Assim, dado um conjunto de figuras, os estudantes, pela contagem do número de lados, 
identificam aqueles que são triângulos e os que são quadriláteros. Em relação aos sólidos, os estudantes 
identificam suas propriedades comuns e suas diferenças, utilizando um dos atributos, nesse caso o 
número de faces.
 laranja-claro 250 a 300 pontos 
Alunos cuja proficiência se encontra entre 250 e 300 pontos identificam algumas características de 
quadriláteros relativas a lados e ângulos e, também, reconhecem alguns polígonos, como pentágonos, 
hexágonos entre outros, considerando, para isso, o número de lados. Em relação aos quadriláteros, 
Revista Pedagógica 27
conseguem identificar as posições dos lados, valendo-se do paralelismo. com relação aos sólidos 
geométricos, esses estudantes identificam os objetos com forma esférica a partir de um conjunto de objetos 
do cotidiano e reconhecem algumas características dos corpos redondos. A partir das características dos 
sólidos geométricos, os estudantes discriminam entre poliedros e corpos redondos, bem como identificam 
a planificação do cubo e do bloco retangular. o laranja-claro indica o desenvolvimento dessas habilidades.
 laranja-escuro 300 a 375 pontos
No intervalo laranja-escuro, de 300 a 375 pontos na Escala , os estudantes reconhecem um quadrado 
fora de sua posição usual. É muito comum, ao rotacionarmos um quadrado 90 graus, os estudantes 
não identificarem a figura como sendo um quadrado. Nesse caso, os estudantes consideram essa 
figura como sendo um losango. Em relação às figuras tridimensionais, os estudantes identificam alguns 
elementos dessas figuras como, por exemplo, faces, vértices e bases, além de contarem o número de 
faces, vértices e arestas dos poliedros. Ainda, em relação às figuras planas, os estudantes reconhecem 
alguns elementos da circunferência, como raio, diâmetro e cordas. Relacionam os sólidos geométricos 
às suas planificações e também identificam duas planificações possíveis do cubo.
 vermelho acima de 375 pontos
Alunos que apresentam proficiência a partir de 375 pontos já desenvolveram as habilidades referentes aos 
níveis anteriores e, ainda, identificam a quantidade e as formas dos polígonos que formam um prisma, bem 
como identificam sólidos geométricos a partir de sua planificação (prismas e corpos redondos) e vice-versa. 
A cor vermelha indica o desenvolvimento das habilidades vinculadas a esta competência.
REConHECER TRAnSfoRmAçõES no PlAno
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 

Existem vários tipos de transformações no plano. dentre elas, podemos citar as isometrias que têm como 
características a preservação de distâncias entre pontos do plano, como translações, rotações e reflexões 
e as transformações por semelhança que preservam a forma, mas não preservam, necessariamente, 
o tamanho. As habilidades relacionadas a esta competência dizem respeito às transformações por 
semelhança e, devido à sua complexidade, começam a ser desenvolvidas em níveis mais altos da Escala 
de Proficiência.
 cinza 0 a 325 pontos
os estudantes cuja proficiência se encontra na faixa cinza, de 0 a 325 pontos, ainda não desenvolveram 
as habilidades relacionadas a esta competência.
 amarelo-claro 325 a 350 pontos
Alunos que se encontram entre 325 e 350 pontos na Escala, marcado pelo amarelo-claro, começam 
a desenvolver as habilidades desta competência. Esses estudantes são os que resolvem problemas 
envolvendo escalas e constante de proporcionalidade.
28 Saepi 2012
 amarelo-escuro 350 a 375 pontos
o amarelo-escuro, de 350 a 375 pontos, indica que os estudantes com uma proficiência que se encontra 
neste intervalo já conseguem realizar tarefas mais complexas, pois reconhecem a semelhança de 
triângulos a partir da medida de seus ângulos, bem como comparam áreas de figuras planas semelhantes 
desenhadas em uma malha quadriculada, obtendo o fator multiplicativo.
 vermelho acima de 375 pontos
No intervalo representado pela cor vermelha, os estudantes reconhecem que a área de um retângulo 
quadruplica quando as medidas de seus lados são dobradas.
APlICAR RElAçõES E PRoPRIEdAdES
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 

A resolução de problemas é uma capacidade cognitiva que deve ser desenvolvida na escola. o ensino 
da Matemática pode auxiliar nesse desenvolvimento considerando que a resolução de problemas 
não é o ponto final do processo de aprendizagem e sim o ponto de partida da atividade matemática, 
propiciando ao estudante desenvolver estratégias, levantar hipóteses, testar resultados, utilizar 
conceitos já aprendidos em outras competências. No campo do Espaço e forma, espera-se que os 
estudantes consigam aplicar relações e propriedades das figuras geométricas – planas e não planas – em 
situações-problema.
 cinza 0 a 300 pontos
os estudantes cuja proficiência se encontra na faixa cinza, de 0 a 300 pontos, ainda não desenvolveram 
as habilidades relacionadas a esta competência. 
 amarelo-claro 300 a 350 pontos
o amarelo-claro, de 300 a 350 pontos na Escala, indica que os estudantes trabalham com ângulo reto 
e reconhecem esse ângulo como sendo correspondente a um quarto de giro. Em relação às figuras 
geométricas, conseguem aplicar o teorema da soma dos ângulos internos de um triângulo para resolver 
problemas e diferenciar os tipos de ângulos: agudo, obtuso e reto. Em relação ao estudo do círculo e 
circunferência, esses estudantes estabelecem relações entre as medidas do raio, diâmetro e corda.
 amarelo-escuro 350 a 375 pontos
No intervalo representado pelo amarelo-escuro, de 350 a 375 pontos, os estudantes resolvem problemas 
geométricos mais complexos, utilizando o teorema de Pitágoras e a lei Angular de tales, além de 
resolver problemas envolvendo o cálculo do número de diagonais de um polígono e utilizar relações 
para o cálculo da soma dos ângulos internos e externos de um triângulo. Em relação ao estudo do 
círculo e circunferência, esses estudantes calculam os ângulos centrais em uma circunferência dividida 
em partes iguais.
Revista Pedagógica 29
 laranja-claro 375 a 400 pontos
Alunos cuja proficiência se encontra entre 375 e 400 pontos, marcado pelo laranja-claro, 
resolvem problemas mais complexos, envolvendo o teorema de Pitágoras e relações métricas no 
triângulo retângulo.
 vermelho acima de 400 pontos
No intervalo representado pela cor vermelha, osestudantes resolvem problemas utilizando conceitos 
básicos da trigonometria, como a Relação fundamental da trigonometria e as razões trigonométricas 
em um triângulo retângulo. Na geometria analítica identificam a equação de uma reta e a sua equação 
reduzida a partir de dois pontos dados. Reconhecem os coeficientes linear e angular de uma reta, dado 
o seu gráfico. Identificam a equação de uma circunferência a partir de seus elementos e vice-versa. Na 
geometria Espacial, utilizam a relação de Euler para determinar o número de faces, vértices e arestas.
competências descritas para este domínio
grandezas e medidas
o estudo de temas vinculados a este domínio deve propiciar 
aos estudantes conhecer aspectos históricos da construção do 
conhecimento; compreender o conceito de medidas, os processos 
de medição e a necessidade de adoção de unidades padrão de 
medidas; resolver problemas utilizando as unidades de medidas; 
estabelecer conexões entre grandezas e medidas com outros temas 
matemáticos como, por exemplo, os números racionais positivos 
e suas representações. Através de diversas atividades, é possível 
mostrar a importância e o acentuado caráter prático das grandezas 
e medidas, para poder, por exemplo, compreender questões 
relacionadas aos temas transversais, além de sua vinculação a outras 
áreas de conhecimento, como as ciências Naturais (temperatura, 
velocidade e outras grandezas) e a geografia (escalas para mapas, 
coordenadas geográficas). Estas competências são trabalhadas 
desde a Educação Infantil até o Ensino Médio, permitindo que, a 
cada ano de escolaridade, os estudantes aprofundem e aperfeiçoem 
o seu conhecimento neste domínio.
utilizar sistemas de medidas.
Medir grandezas.
Estimar e comparar grandezas.
30 Saepi 2012
UTIlIzAR SISTEmAS dE mEdIdAS
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 

um dos objetivos do estudo de grandezas e medidas é propiciar ao estudante o desenvolvimento 
da competência: utilizar sistemas de medidas. Para o desenvolvimento desta competência, nos anos 
iniciais do Ensino fundamental, podemos solicitar aos estudantes que marquem o tempo por meio de 
calendário. destacam-se, também, atividades envolvendo culinária, o que possibilita um rico trabalho, 
utilizando diferentes unidades de medida, como o tempo de cozimento: horas e minutos e a quantidade 
dos ingredientes: litro, quilograma, colher, xícara, pitada e outros. os estudantes utilizam também outros 
sistemas de medidas convencionais para resolver problemas.
 cinza 0 a 125 pontos
os estudantes cuja proficiência se encontra na faixa cinza, de 0 a 125 pontos, ainda não desenvolveram 
as habilidades relacionadas a esta competência.
 amarelo-claro 125 a 175 pontos
No intervalo de 125 a 175 pontos, representado pelo amarelo-claro, os estudantes estão no início do 
desenvolvimento desta competência. Eles conseguem ler horas inteiras em relógio analógico.
 amarelo-escuro 175 a 225 pontos
No intervalo representado pelo amarelo-escuro, de 175 a 225 pontos, os estudantes conseguem ler 
horas e minutos em relógio digital e de ponteiro em situações simples, resolver problemas relacionando 
diferentes unidades de uma mesma medida para cálculo de intervalos (dias e semanas, minutos e horas), 
bem como, estabelecer relações entre diferentes medidas de tempo (horas, dias, semanas), efetuando 
cálculos. Em relação à grandeza comprimento, os estudantes resolvem problemas relacionando metro 
e centímetro. Quanto à grandeza Sistema Monetário, identificam quantas moedas de um mesmo valor 
equivalem a uma quantia inteira dada em reais e vice-versa.
 laranja-claro 225 a 300 pontos
Alunos que apresentam uma proficiência entre 225 e 300 pontos, marcado pelo laranja-claro, 
desenvolvem tarefas mais complexas em relação à grandeza tempo. Esses estudantes relacionam 
diferentes unidades de medidas como, por exemplo, o mês, o bimestre, o ano, bem como estabelecem 
relações entre segundos e minutos, minutos e horas, dias e anos. Em se tratando da grandeza 
Sistema Monetário, resolvem problemas de trocas de unidades monetárias, que envolvem um 
número maior de cédulas e em situações menos familiares. Resolvem problemas realizando cálculo 
de conversão de medidas das grandezas comprimento (quilômetro/metro), massa (quilograma/
grama) e capacidade (litro/mililitro).
Revista Pedagógica 31
 laranja-escuro 300 a 350 pontos
No intervalo de 300 a 350 pontos, marcado pelo laranja-escuro, os estudantes resolvem problemas 
realizando conversão e soma de medidas de comprimento (quilômetro/metro) e massa (quilograma/
grama). Neste caso, os problemas envolvendo conversão de medidas assumem uma complexidade 
maior do que aqueles que estão na faixa anterior.
 vermelho acima de 350 pontos
Percebe-se que, até o momento, as habilidades requeridas dos estudantes para resolver problemas 
utilizando conversão de medidas envolvem as seguintes grandezas: comprimento, massa, capacidade. 
há problemas que trabalham com outras grandezas como, por exemplo, as grandezas volume e 
capacidade estabelecendo a relação entre suas medidas – metros cúbicos (m³) e litro (l). Acima de 
350 pontos na Escala de Proficiência, as habilidades relacionadas a esta competência apresentam 
uma maior complexidade. Neste nível, os estudantes resolvem problemas envolvendo a conversão 
de m³ em litros, de cm² em m² e m³ em l. A cor vermelha indica o desenvolvimento das habilidades 
relacionadas a esta competência.
mEdIR gRAndEzAS
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 

outro objetivo do ensino de grandezas e medidas é propiciar ao estudante o desenvolvimento da 
competência: medir grandezas. Esta competência é desenvolvida nos anos iniciais do Ensino fundamental 
quando, por exemplo, solicitamos aos estudantes para medirem o comprimento e largura da sala de 
aula usando algum objeto como unidade. Esta é uma habilidade que deve ser amplamente discutida 
com os estudantes, pois, em razão da diferença dos objetos escolhidos como unidade de medida, os 
resultados encontrados serão diferentes. E perguntas como: “Qual é medida correta?” É respondida da 
seguinte forma: “todos os resultados são igualmente corretos, pois eles expressam medidas realizadas 
com unidades diferentes.” Além dessa habilidade, ainda nas séries iniciais do Ensino fundamental, 
também é trabalhada a habilidade de medir a área e o perímetro de figuras planas, a partir das malhas 
quadriculadas ou não. Nos anos finais do Ensino fundamental, os estudantes resolvem problemas 
envolvendo o cálculo de perímetro e área de figuras planas e problemas envolvendo noções de volume 
(paralelepípedo). No Ensino Médio os estudantes resolvem problemas envolvendo o cálculo do volume 
de diferentes sólidos geométricos (prisma, pirâmide, cilindro, cone, esfera) e problemas envolvendo a 
área total de um sólido (prisma, pirâmide, cilindro, cone, esfera).
 cinza 0 a 150 pontos
os estudantes cuja proficiência se encontra na faixa cinza, de 0 a 150 pontos, ainda não desenvolveram 
as habilidades relacionadas a esta competência.
32 Saepi 2012
 amarelo-claro 150 a 225 pontos
No intervalo de 150 a 225 pontos na Escala, representada pela cor amarelo-claro, os estudantes 
conseguem resolver problemas de cálculo de área relacionando o número de metros quadrados com a 
quantidade de quadradinhos contida em um retângulo desenhado em malha quadriculada.
 amarelo-escuro 225 a 275 pontos
Alunos cuja proficiência se encontra entre 225 e 275 pontos, representado pelo amarelo-escuro, realizam 
tarefas mais complexas, comparando e calculando áreas de figuras poligonais em malhas quadriculadas. 
Em relação ao perímetro, demonstrama habilidade de identificar os lados e, conhecendo suas medidas, 
calcular a extensão do contorno de uma figura poligonal dada em uma malha quadriculada, bem como 
calcular o perímetro de figura sem o apoio de malhas quadriculadas. Ainda, reconhecem que a medida 
do perímetro de um polígono, em uma malha quadriculada, dobra ou se reduz à metade quando os lados 
dobram ou são reduzidos à metade.
 laranja-claro 275 a 325 pontos
No intervalo representado pelo laranja-claro, de 275 a 325 pontos na Escala, os estudantes calculam a 
área com base em informações sobre os ângulos da figura e o volume de sólidos a partir da medida de 
suas arestas.
 laranja-escuro 325 a 400 pontos
Alunos cuja proficiência se encontra no intervalo de 325 a 400 pontos, laranja-escuro, resolvem problemas 
envolvendo o cálculo aproximado da área de figuras planas desenhadas em malhas quadriculadas cuja 
borda é formada por segmentos de retas e arcos de circunferências. também calculam a área do trapézio 
retângulo e o volume do paralelepípedo. Em relação ao perímetro, neste intervalo, realizam o cálculo do 
perímetro de polígonos sem o apoio de malhas quadriculadas e do volume de paralelepípedo retângulo 
de base quadrada. Reconhecem que a área de um retângulo quadruplica quando as medidas de seus 
lados são dobradas.
 vermelho acima de 400 pontos
A partir de 400 pontos na Escala, os estudantes resolvem problemas envolvendo a decomposição de 
uma figura plana em triângulos, retângulos e trapézios retângulos e calculam a área desses polígonos. o 
vermelho indica o desenvolvimento das habilidades relativas a esta competência.
Revista Pedagógica 33
ESTImAR E ComPARAR gRAndEzAS
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 

o estudo de grandezas e medidas tem também como objetivo propiciar ao estudante o desenvolvimento 
da competência: estimar e comparar grandezas. Muitas atividades cotidianas envolvem esta competência, 
como comparar tamanhos dos objetos, pesos, volumes, temperaturas diferentes e outras. Nas séries 
iniciais do Ensino fundamental, esta competência é trabalhada, por exemplo, quando solicitamos aos 
estudantes que comparem dois objetos estimando as suas medidas e anunciando qual dos dois é maior. 
Atividades como essas propiciam a compreensão do processo de medição, pois medir significa comparar 
grandezas de mesma natureza e obter uma medida expressa por um número.
 cinza 0 a 175 pontos
os estudantes cuja proficiência se encontra na faixa cinza, de 0 a 175 pontos, ainda não desenvolveram 
as habilidades relacionadas a esta competência.
 amarelo-claro 175 a 225 pontos
Alunos cuja proficiência se encontra entre 175 e 225 pontos, representado pelo amarelo-claro, estão no 
início do desenvolvimento desta competência. Eles leem informações em calendários, localizando o dia 
de um determinado mês e identificam as notas do Sistema Monetário brasileiro, necessárias para pagar 
uma compra informada.
 amarelo-escuro 225 a 275 pontos
No intervalo de 225 a 275 pontos, os estudantes conseguem estimar medida de comprimento usando 
unidades convencionais e não convencionais. o amarelo-escuro indica o início do desenvolvimento 
dessa habilidade.
 laranja-claro 275 a 350 pontos
o laranja-claro, de 275 a 350 pontos, indica que os estudantes com uma proficiência que se encontra 
neste intervalo já conseguem realizar tarefas mais complexas relativas a esta competência, como, 
por exemplo, resolver problemas estimando outras medidas de grandezas utilizando unidades 
convencionais como o litro.
 vermelho acima de 350 pontos
A partir de 350 pontos os estudantes comparam os perímetros de figuras desenhadas em malhas 
quadriculadas. o vermelho indica o desenvolvimento das habilidades referentes a esta competência.
34 Saepi 2012
ConHECER E UTIlIzAR númERoS
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 

As crianças, nos anos iniciais do Ensino fundamental, têm contato com os números e já podem perceber 
a importância deles na vida cotidiana. Já conhecem a escrita de alguns números e já realizam contagens. 
Nessa fase da escolaridade, os estudantes começam a conhecer os diferentes conjuntos numéricos 
e a perceberem a sua utilização em contextos do cotidiano. Entre os conjuntos numéricos estudados 
estão os naturais e os racionais em sua forma fracionária e decimal. Não podemos nos esquecer de que 
o domínio de números está sempre relacionado a outros domínios como o das grandezas e medidas. 
Na etapa final do Ensino fundamental, os estudantes resolvem problemas mais complexos envolvendo 
diferentes conjuntos numéricos, como os naturais, inteiros e racionais. No Ensino Médio, os estudantes 
já devem ter desenvolvido esta competência.
competências descritas para este domínio
números e operações/álgebra e funções
como seria a nossa vida sem os números? Em nosso dia a dia, nos 
deparamos com eles a todo o momento. várias informações essenciais 
para a nossa vida social são representadas por números: cPf, Rg, 
conta bancária, senhas, número de telefones, número de nossa 
residência, preços de produtos, calendário, horas, entre tantas outras. 
Não é por acaso que Pitágoras, um grande filósofo e matemático 
grego (580-500 a.c), elegeu como lema para a sua escola filosófica 
“tudo é Número”, pois acreditava que o universo era regido pelos 
números e suas relações e propriedades. Este domínio envolve, além 
do conhecimento dos diferentes conjuntos numéricos, as operações e 
suas aplicações à resolução de problemas. As operações aritméticas 
estão sempre presentes em nossas vidas. Quantos cálculos temos 
que fazer? orçamento do lar, cálculos envolvendo nossa conta 
bancária, cálculo de juros, porcentagens, divisão de uma conta em um 
restaurante, dentre outros. Essas são algumas das muitas situações 
com que nos deparamos em nossas vidas e nas quais precisamos 
realizar operações. Além de números e operações, este domínio 
também envolve o conhecimento algébrico que requer a resolução de 
problemas por meio de equações, inequações, funções, expressões, 
cálculos entre muitos outros. o estudo da álgebra possibilita aos 
estudantes desenvolver, entre outras capacidades, a de generalizar. 
Quando fazemos referência a um número par qualquer, podemos 
representá-lo pela expressão 2n (n sendo um número natural). Essa 
expressão mostra uma generalização da classe dos números pares.
conhecer e utilizar números.
Realizar e aplicar operações.
utilizar procedimentos algébricos.
Revista Pedagógica 35
 cinza 0 a 100 pontos
os estudantes cuja proficiência se encontra na faixa cinza, de 0 a 100 pontos, ainda não desenvolveram 
as habilidades relacionadas a esta competência. 
 amarelo-claro 100 a 200 pontos
Alunos que se encontram no intervalo de 100 a 200 pontos, representado pelo amarelo-claro, 
desenvolveram habilidades básicas relacionadas ao Sistema de Numeração decimal. Por exemplo: dado 
um número natural, esses estudantes reconhecem o valor posicional dos algarismos, a sua escrita por 
extenso e a sua composição e decomposição em unidades e dezenas. Eles, também, representam e 
identificam números naturais na reta numérica. Além disso, reconhecem a representação decimal de 
medida de comprimento expressas em centímetros e localizam esses números na reta numérica em uma 
articulação com os conteúdos de grandezas e medidas, dentre outros.
 amarelo-escuro 200 a 250 pontos
o amarelo-escuro, de 200 a 250 pontos, indica que os estudantes com proficiência neste intervalo já 
conseguem elaborar tarefas mais complexas. Eles trabalham com a forma polinomial de um número, 
realizando composições e decomposições de números de até três algarismos,identificando seus valores 
relativos. Já em relação aos números racionais, reconhecem a representação de uma fração por meio 
de representação gráfica.
 laranja-claro 250 a 300 pontos
No laranja-claro, intervalo de 250 a 300 pontos, os estudantes percebem que, ao mudar um algarismo 
de lugar, o número se altera. Identificam e localizam números inteiros em uma reta numérica ou em 
uma escala não unitária. transformam uma fração em número decimal e vice-versa. localizam, na reta 
numérica, números racionais na forma decimal e comparam esses números quando têm diferentes partes 
inteiras. Neste intervalo aparecem, também, habilidades relacionadas a porcentagem. os estudantes 
estabelecem a correspondência 50% de um todo com a metade.
 laranja-escuro 300 a 375 pontos
No intervalo de 300 a 375 pontos, marcado pelo laranja-escuro, os estudantes desenvolveram habilidades 
mais complexas relacionadas a frações equivalentes. Eles já resolvem problemas identificando mais de 
uma forma de representar numericamente uma mesma fração. Por exemplo, percebem, com apoio de uma 
figura, que a fração meio é equivalente a dois quartos. Além disso, resolvem problemas identificando um 
número natural (não informado), relacionando-o a uma demarcação na reta. Esses estudantes, também, 
transformam frações em porcentagens e vice-versa, identificam a fração como razão e a fração como 
parte-todo, bem como, os décimos, centésimos e milésimos de um número decimal.
 vermelho acima de 375 pontos
Acima de 375 pontos na Escala, os estudantes, além de já terem consolidado as habilidades relativas aos níveis 
anteriores, conseguem localizar na reta numérica números representados na forma fracionária, comparar 
números fracionários com denominadores diferentes e reconhecer a leitura de um número decimal até a 
ordem dos décimos. o vermelho indica o desenvolvimento das habilidades associadas a esta competência.
36 Saepi 2012
REAlIzAR E APlICAR oPERAçõES
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 

Esta competência refere-se às habilidades de cálculo e à capacidade de resolver problemas que envolvem 
as quatro operações básicas da aritmética. Envolve, também, o conhecimento dos algoritmos utilizados 
para o cálculo dessas operações. Além do conhecimento dos algoritmos, esta competência requer a 
aplicação dos mesmos na resolução de problemas englobando os diferentes conjuntos numéricos, seja 
em situações específicas da Matemática, seja em contextos do cotidiano.
 cinza 0 a 100 pontos
os estudantes cuja proficiência se encontra na faixa cinza, de 0 a 100 pontos, ainda não desenvolveram 
as habilidades relacionadas a esta competência. 
 amarelo-claro 100 a 200 pontos
No intervalo representado pelo amarelo-claro, de 100 a 200 pontos, em relação à adição e subtração, 
os estudantes realizam operações envolvendo números de até três algarismos com reserva. Já em 
relação à multiplicação, realizam operações com reserva, tendo como multiplicador um número com um 
algarismo. os estudantes resolvem problemas utilizando adição, subtração e multiplicação envolvendo, 
inclusive, o Sistema Monetário.
 amarelo-escuro 200 a 250 pontos
Alunos, cuja proficiência se encontra no intervalo de 200 a 250 pontos, amarelo-escuro, em relação às 
operações, realizam subtrações mais complexas com quatro algarismos e com reserva. Realizam também 
multiplicações com reserva, com multiplicador de até dois algarismos. Realizam divisões e resolvem 
problemas envolvendo divisões exatas com divisor de duas ordens. Além disso, resolvem problemas 
envolvendo duas ou mais operações.
 laranja-claro 250 a 300 pontos
o laranja-claro, intervalo de 250 a 300 pontos, indica um novo grau de complexidade desta competência. 
os estudantes com proficiência neste nível resolvem problemas envolvendo as diferentes ideias 
relacionadas à multiplicação, em situações contextualizadas. também efetuam adição e subtração com 
números inteiros, bem como realizam cálculo de expressões numéricas envolvendo o uso de parênteses 
e colchetes com adição e subtração, além de calcular porcentagens e resolver problemas do cotidiano 
envolvendo porcentagens em situações simples.
 laranja-escuro 300 a 350 pontos
Alunos, cuja proficiência se localiza no intervalo de 300 a 350 pontos, já calculam expressões numéricas 
envolvendo números inteiros e decimais positivos e negativos, inclusive potenciação. Eles conseguem, 
ainda, resolver problemas envolvendo soma de números inteiros e porcentagens, além de calcular raiz 
Revista Pedagógica 37
quadrada e identificar o intervalo em que está inserida a raiz quadrada não exata de um número, bem 
como efetuar arredondamento de decimais. o laranja-escuro indica a complexidade dessas habilidades.
 vermelho acima de 350 pontos
No intervalo representado pela cor vermelha, acima de 350 pontos, os estudantes calculam o resultado 
de expressões envolvendo, além das quatro operações, números decimais (positivos e negativos, 
potências e raízes exatas). Efetuam cálculos de divisão com números racionais (forma fracionária e decimal 
simultaneamente). Neste nível, os estudantes consolidam as habilidades relativas a esta competência.
UTIlIzAR PRoCEdImEnToS AlgébRICoS
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 

o estudo da álgebra possibilita ao estudante desenvolver várias capacidades, dentre elas a capacidade 
de abstrair, generalizar, demonstrar e sintetizar procedimentos de resolução de problemas. As habilidades 
referentes à álgebra são desenvolvidas no Ensino fundamental e vão desde situações-problema em que 
se pretende descobrir o valor da incógnita em uma equação utilizando uma balança de dois pratos, até 
a resolução de problemas envolvendo equações do segundo grau. uma das habilidades básicas desta 
competência diz respeito ao cálculo do valor numérico de uma expressão algébrica, em que é utilizado 
o conceito de variável. No Ensino Médio esta competência envolve a utilização de procedimentos 
algébricos para resolver problemas envolvendo o campo dos diferentes tipos de funções: linear, afim, 
quadrática e exponencial.
 cinza 0 a 275 pontos
os estudantes cuja proficiência se encontra na faixa cinza, de 0 a 275 pontos, ainda não desenvolveram 
as habilidades relacionadas a esta competência. 
 amarelo-claro 275 a 300 pontos
No intervalo representado pelo amarelo-claro, de 275 a 300 pontos, os estudantes calculam o valor 
numérico de uma expressão algébrica.
 amarelo-escuro 300 a 350 pontos
No intervalo de 300 a 350 pontos, indicado pelo amarelo-escuro, os estudantes já identificam a equação 
de primeiro grau e sistemas de primeiro grau, adequados à resolução de problemas. Esses estudantes 
também determinam o cálculo numérico de uma expressão algébrica em sua forma fatorada e resolvem 
problemas envolvendo: grandezas diretamente proporcionais, variações entre mais de duas grandezas, 
juros simples, porcentagem e lucro.
 laranja-claro 350 a 400 pontos
o laranja-claro, de 350 a 400 pontos na Escala, indica uma maior complexidade nas habilidades 
associadas a esta competência. Neste nível de proficiência, os estudantes resolvem problemas que 
38 Saepi 2012
recaem em equação do segundo grau e sistemas de equações do primeiro grau e problemas mais 
complexos envolvendo juros simples. Resolvem problemas envolvendo a resolução de equações 
exponenciais. Reconhecem a expressão algébrica que representa uma função linear ou afim a partir de 
uma tabela e a expressão de uma função do primeiro grau a partir do seu gráfico. calculam o termo de 
uma Progressão Aritmética – P.A. – dada a fórmula do termo geral.
 laranja-escuro 400 a 425 pontos
Alunos cuja proficiência se localizano intervalo de 400 a 425 pontos, laranja-escuro, resolvem problemas 
que envolvem grandezas inversamente proporcionais e sistemas de duas equações. No campo das 
sequências numéricas, identificam uma regularidade em uma sequência numérica e determinam o 
número que ocupa uma determinada posição na sequência. Reconhecem intervalos de crescimento e 
decrescimento de uma função, interpretam os coeficientes da equação de uma reta quando o gráfico 
não está explicitado no problema. Reconhecem o gráfico de uma reta quando são dados dois pontos ou 
um ponto e a reta por onde passa. Reconhecem as raízes de um polinômio dada a sua decomposição 
em fatores do primeiro grau.
 vermelho acima de 425 pontos
Acima de 425 pontos na Escala, indicado pela cor vermelha, os estudantes resolvem problemas 
relacionando a representação algébrica com a geométrica de um sistema de equações do primeiro grau. 
Relacionam a função do segundo grau com a descrição textual de seu gráfico, reconhecem a expressão 
algébrica que representa uma função não polinomial a partir de uma tabela, resolvem problemas 
envolvendo a determinação de ponto de máximo de uma função do segundo grau. Resolvem problemas 
que envolvem a determinação de algum termo de uma P.g. quando não é fornecida a fórmula do termo 
geral. Relacionam a expressão de um polinômio com a sua decomposição em fatores do primeiro 
grau. Resolvem problemas envolvendo a função exponencial, identificam gráficos da função seno e 
cosseno. Resolvem problemas envolvendo sistemas de equação com duas equações e duas incógnitas. 
Relacionam as raízes de um polinômio com a sua decomposição em fatores do primeiro grau. Identificam 
gráficos de funções exponenciais no contexto de crescimento populacional e juros compostos.
Revista Pedagógica 39
lER, UTIlIzAR E InTERPRETAR InfoRmAçõES 
APRESEnTAdAS Em TAbElAS E gRáfICoS
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 

um dos objetivos do ensino do conteúdo tratamento da informação é propiciar ao estudante o 
desenvolvimento da competência: ler, utilizar e interpretar informações apresentadas em tabelas 
e gráficos. Esta competência é desenvolvida nas séries iniciais do Ensino fundamental por meio de 
atividades relacionadas aos interesses das crianças. Por exemplo, ao registrar os resultados de um 
jogo ou ao anotar resultados de respostas a uma consulta que foi apresentada, elas poderão, utilizando 
sua própria forma de se expressar, construir representações dos fatos e, pela ação mediadora do 
professor, essas representações podem ser interpretadas e discutidas. Esses debates propiciam novas 
oportunidades para a aquisição de outros conhecimentos e para o desenvolvimento de habilidades e 
de atitudes. Nas séries finais do Ensino fundamental, temas mais relevantes podem ser explorados 
e utilizados a partir de revistas e jornais. o professor pode sugerir a realização de pesquisas com os 
estudantes sobre diversos temas e efetuar os registros dos resultados em tabelas e gráficos para análise 
e discussão. No Ensino Médio, os estudantes são solicitados a utilizarem procedimentos estatísticos mais 
complexos como, por exemplo, cálculo de média aritmética.
competências descritas para este domínio
Tratamento da informação
o estudo de tratamento da informação é de fundamental 
importância nos dias de hoje, tendo em vista a grande quantidade 
de informações que se apresentam no nosso cotidiano. Na 
Matemática, alguns conteúdos são extremamente adequados para 
“tratar a informação”. A Estatística, por exemplo, cuja utilização 
pelos meios de comunicação tem sido intensa, utiliza-se de gráficos 
e tabelas. A combinatória também é utilizada para desenvolver 
o tratamento da informação, pois ela nos permite determinar o 
número de possibilidades de ocorrência algum acontecimento. 
outro conhecimento necessário para o tratamento da informação 
refere-se ao conteúdo de Probabilidade, por meio da qual se 
estabelece a diferença entre um acontecimento natural, que tem um 
caráter determinístico, e um acontecimento aleatório cujo caráter é 
probabilístico, avaliando-se se um acontecimento é mais provável 
ou menos provável. com o estudo desses conteúdos, os estudantes 
desenvolvem as habilidades de fazer uso, expor, preparar, alimentar 
e/ou discutir determinado conjunto de dados ou de informes a 
respeito de alguém ou de alguma coisa.
ler, utilizar e interpretar informações 
apresentadas em tabelas e gráficos.
utilizar procedimentos de 
combinatória e probabilidade.
40 Saepi 2012
 cinza 0 a 125 pontos
os estudantes cuja proficiência se encontra na faixa cinza, de 0 a 125 pontos, ainda não desenvolveram 
as habilidades relacionadas a esta competência. 
 amarelo-claro 125 a 150 pontos
No intervalo representado pelo amarelo-claro, de 125 e 150 pontos, os estudantes leem informações em 
tabelas de coluna única e extraem informações em gráficos de coluna por meio de contagem.
 amarelo-escuro 150 a 200 pontos
No intervalo representado pelo amarelo-escuro, de 150 a 200 pontos, os estudantes leem informações 
em tabelas de dupla entrada e interpretam dados num gráfico de colunas por meio da leitura de valores 
no eixo vertical.
 laranja-claro 200 a 250 pontos
de 200 a 250 pontos, intervalo indicado pelo laranja-claro, os estudantes localizam informações e 
identificam gráficos de colunas que correspondem a uma tabela com números positivos e negativos. 
Esses estudantes também conseguem ler gráficos de setores e localizar dados em tabelas de 
múltiplas entradas, além de resolver problemas simples envolvendo as operações, identificando dados 
apresentados em gráficos ou tabelas, inclusive com duas entradas.
 laranja-escuro 250 a 325 pontos
Alunos com proficiência entre 250 e 325 pontos, laranja-escuro, identificam o gráfico de colunas ou barras 
correspondente ao gráfico de setores e reconhecem o gráfico de colunas ou barras correspondente 
a dados apresentados de forma textual; associam informações contidas em um gráfico de colunas e 
barras a uma tabela que o representa, utilizando estimativas. Ainda, associam informações ao gráfico de 
setores correspondente, quando os dados estão em porcentagem, bem como, quando os dados estão 
em valores absolutos (frequência simples).
 vermelho acima de 325 pontos
A cor vermelha, acima de 325 pontos, indica que os estudantes leem, utilizam e interpretam informações a 
partir de gráficos de linha do plano cartesiano. Além de analisarem os gráficos de colunas representando 
diversas variáveis, comparando seu crescimento. Neste nível de proficiência, as habilidades relativas a 
esta competência estão desenvolvidas.
Revista Pedagógica 41
UTIlIzAR PRoCEdImEnToS dE CombInATóRIA E PRobAbIlIdAdE
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 

um dos objetivos do ensino do tratamento de informação em Matemática é propiciar ao estudante o 
desenvolvimento da competência: utilizar procedimentos de combinatória e probabilidade. Esta competência 
deve ser desenvolvida desde as séries iniciais do Ensino fundamental por meio da resolução de problemas de 
contagem simples e a avaliação das possibilidades de ocorrência ou não de um evento. Algumas habilidades 
vinculadas a esta competência no Ensino fundamental são exploradas juntamente com o domínio Números, 
operações e álgebra. Quando tratamos essa habilidade dentro do tratamento de Informação, ela se torna 
mais forte no sentido do professor perceber a real necessidade de trabalhar com ela. o professor deve 
resolver problemas simples de possibilidade de ocorrência, ou não, de um evento ou fenômeno, do tipo “Qual 
é a chance?” Apesar desse conhecimento intuitivo ser muito comum navida cotidiana, convém trabalhar 
com os estudantes a diferença entre um acontecimento natural, que tem um caráter determinístico, e um 
acontecimento aleatório, cujo caráter é probabilístico. também é possível trabalhar em situações que permitam 
avaliar se um acontecimento é mais ou menos provável. Não se trata de desenvolver com os estudantes 
as técnicas de cálculo de probabilidade. Mas sim, de explorar a ideia de possibilidade de ocorrência ou 
não de um evento ou fenômeno. Intuitivamente, compreenderão que alguns acontecimentos são possíveis, 
isto é, “têm chance” de ocorrer (eventos com probabilidades não nulas). outros acontecimentos são certos, 
“garantidos” (eventos com probabilidade de 100%) e há aqueles que nunca poderão ocorrer (eventos com 
probabilidades nulas). As habilidades associadas a esta competência são mais complexas, por isso começam 
a ser desenvolvidas em níveis mais altos da Escala de Proficiência.
 cinza 0 a 375 pontos
os estudantes cuja proficiência se encontra na faixa cinza, de 0 a 375 pontos, ainda não desenvolveram 
as habilidades relacionadas a esta competência. 
 amarelo-claro 375 a 400 pontos
No intervalo representado pelo amarelo-claro, de 375 a 400 pontos, os estudantes começam a 
desenvolver esta competência, calculando a probabilidade de um evento acontecer no lançamento de 
um dado, bem como a probabilidade de ocorrência de dois eventos sucessivos como, por exemplo, ao 
se lançar um dado e uma moeda.
 amarelo-escuro 400 a 425 pontos
o amarelo-escuro, de 400 a 425 pontos, indica uma complexidade maior nesta competência. Neste 
intervalo, os estudantes conseguem resolver problemas de contagem utilizando o princípio multiplicativo 
sem repetição de elementos e calculam a probabilidade de ocorrência de um evento simples.
 vermelho acima de 425 pontos
No intervalo representado pela cor vermelha, acima de 425 pontos, habilidade mais complexa do que 
a anterior, os estudantes resolvem problemas de contagem utilizando o princípio multiplicativo com 
repetição de elementos e resolvem problemas de combinação simples.
42 Saepi 2012
Além disso, as competências e habilidades agrupadas nos Padrões não esgotam tudo aquilo que os estudantes 
desenvolveram e são capazes de fazer, uma vez que as habilidades avaliadas são aquelas consideradas 
essenciais em cada etapa de escolarização e possíveis de serem avaliadas num teste de múltipla escolha. Cabe 
aos docentes, através de instrumentos de observação e registro utilizados em sua prática cotidiana, identificarem 
outras características apresentadas por seus estudantes que não são contempladas pelos Padrões. Isso porque, a 
despeito dos traços comuns a alunos que se encontram em um mesmo intervalo de proficiência, existem diferenças 
individuais que precisam ser consideradas para a reorientação da prática pedagógica. 
*o percentual de respostas em branco e 
nulas não foi contemplado na análise.
AvançadoAdequadoBásicoAbaixo do Básico
PAdRõES dE dESEmPEnHo ESTUdAnTIl
os Padrões de desempenho são categorias 
definidas a partir de cortes numéricos que 
agrupam os níveis da Escala de Proficiência, com 
base nas metas educacionais estabelecidas pelo 
Saepi. Esses cortes dão origem a quatro Padrões 
de desempenho – Abaixo do básico, básico, 
Adequado e Avançado –, os quais apresentam o 
perfil de desempenho dos estudantes.
desta forma, alunos que se encontram em um 
Padrão de desempenho abaixo do esperado para 
sua etapa de escolaridade precisam ser foco de 
ações pedagógicas mais especializadas, de modo 
a garantir o desenvolvimento das habilidades 
necessárias ao sucesso escolar, evitando, assim, a 
repetência e a evasão. 
Por outro lado, estar no Padrão mais elevado 
indica o caminho para o êxito e a qualidade da 
aprendizagem dos alunos. contudo, é preciso 
salientar que mesmo os estudantes posicionados 
no Padrão mais elevado precisam de atenção, 
pois é necessário estimulá-los para que progridam 
cada vez mais.
São apresentados, a seguir, exemplos de itens* 
característicos de cada Padrão.
Revista Pedagógica 43
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 
até 250 pontos
AbAIxo do báSICo
As habilidades matemáticas evidenciadas neste Padrão de desempenho demonstram o salto cognitivo 
percebido em relação à identificação de figuras geométricas planas e espaciais. os estudantes, além 
de reconhecer as formas geométricas, identificam suas propriedades através de seus atributos, como 
o número de lados em figuras planas e o número de faces em figuras espaciais. É consolidado também 
neste nível a localização de pontos no plano cartesiano através das coordenadas dos pontos dados.
No campo do tratamento de informação, a diferença reside no fato de que, neste nível, ele é capaz de 
ler informações não somente em tabela de coluna única ou de dupla entrada, mas também quando essas 
são compostas de múltiplas entradas. os estudantes conseguem ler dados em gráficos de setores e em 
gráficos de colunas duplas. o estudante neste nível, além de identificar, interpreta os dados ao resolver 
problemas utilizando gráficos de barras ou em tabelas. 
No domínio grandezas e medidas, o estudante demonstra estimar medidas usando unidades 
convencionais e não convencionais. desenvolvem tarefas mais complicadas em relação à grandeza 
‘tempo’ como, por exemplo, as relacionadas a mês, bimestre, ano, bem como estabelecem relações 
entre segundos e minutos, minutos e horas, dias e anos. Em se tratando do Sistema Monetário, eles 
resolvem problemas de trocas de unidades monetárias que envolvem um número maior de cédulas e 
em situações menos familiares. calculam a medida do perímetro em uma figura poligonal dada em uma 
malha quadriculada ou mesmo sem o apoio da mesma quando todas as suas medidas são explicitadas. 
compara e calcula área de figuras poligonais em malhas quadriculadas.
No campo numérico, o estudante neste nível consegue resolver problemas com mais de uma operação, 
além de resolver problemas envolvendo subtração de números decimais com o mesmo número de casas.
44 Saepi 2012
(M050295A9) Veja a reta numérica abaixo.
O ponto P corresponde ao número
A) 65 
B) 62,5 
C) 62 
D) 61,5
Este item avalia a habilidade em identificar o número racional, em sua 
forma decimal, que é representado por um ponto da reta real. Para 
resolvê-lo, deve-se observar que duas graduações consecutivas 
feitas na reta real distam entre si , ou seja, as graduações estão feitas 
de meio em meio. com isso, estando o ponto P duas graduações 
à direita de 60,5, pode-se concluir que esse ponto representa o 
número 61,5 ( ). Responderam corretamente a esse item os 58,6% 
dos alunos que marcaram a alternativa d.
A alternativa A foi marcada por 7,9% dos alunos. Ao marcá-la, 
provavelmente os alunos observaram que os números representados 
nessa reta numérica, que estão à direita do 60, terminam com o 
algarismo 5, apontando assim o número inteiro com dezena 6 e 
terminado em 5, isto é, o número 65.
os 18,7% dos alunos que optaram pela alternativa b possivelmente 
observaram que o ponto P fica duas graduações à direita de 60,5 e 
teriam concluído que o ponto P representaria o número 62,5 ( ).
Já os 13,7% dos alunos que assinalaram a alternativa c podem ter 
escolhido um número inteiro entre 60,5 e 63,5.
59+41percentual de acerto58,6%
A B C D
7,9% 18,7% 13,7% 58,6%
1 EM
Revista Pedagógica 45
1 EM
(M090447B1) A tabela abaixo mostra o número de municípios dos estados da região Sudeste. 
Estado Quantidade de municípios
Espírito Santo 78
Minas Gerais 853
Rio de Janeiro 92
São Paulo 645
Quantos municípios há na região Sudeste?
A) 1 668
B) 1 658
C) 1 468
D) 1 458
Este item avalia ahabilidade em ler dados apresentados em uma 
tabela simples. Para resolvê-lo, deve-se somar as quantidades de 
municípios dos quatro estados listados nessa tabela, que são os 
estados da região Sudeste. dessa forma, se obtém . Responderam 
corretamente a esse item os 64,6% dos alunos que marcaram a 
alternativa A.
os 17% dos alunos que escolheram a alternativa b possivelmente 
perceberam a necessidade de se somar as quantidades listadas na 
segunda coluna, mas cometeram erro na soma ao desconsiderar o 
reagrupamento da ordem das unidades para a ordem das dezenas.
Já os 12,5% dos alunos que assinalaram a alternativa c podem ter 
somado as quantidades listadas na segunda coluna, mas cometeram 
erro na soma ao desconsiderar os reagrupamentos da ordem das 
dezenas para a ordem das centenas.
A alternativa d apresentou 5,3% de procura. Esses alunos devem 
ter somado as quantidades listadas na segunda coluna, mas teriam 
errado na aplicação do algoritmo da soma, ao desconsiderar todos 
os reagrupamentos, tanto da ordem das unidades para a ordem 
das dezenas, bem como da ordem das dezenas para a ordem 
das centenas.
64+36percentual de acerto64,6%
A B C D
64,6% 17% 12,5% 5,3%
46 Saepi 2012
(M100125CE) O gráfico abaixo mostra a taxa percentual de ocupação do território brasileiro por região. 
O quadro que melhor descreve as informações apresentadas nesse gráfico é
A)
REGIÃO PERCENTUAL DE OCUPAÇÃO
NORTE 45%
CENTRO-OESTE 19%
SUL 11%
SUDESTE 7%
NORDESTE 18%
B)
REGIÃO PERCENTUAL DE OCUPAÇÃO
NORTE 7%
NORDESTE 11%
SUDESTE 18%
SUL 19%
CENTRO-OESTE 45%
C)
REGIÃO PERCENTUAL DE OCUPAÇÃO
CENTRO-OESTE 45%
NORDESTE 18%
NORTE 11%
SUDESTE 7%
SUL 19%
D)
REGIÃO PERCENTUAL DE OCUPAÇÃO
SUL 45%
SUDESTE 18%
NORTE 11%
NORDESTE 7%
CENTRO-OESTE 19%
E)
REGIÃO PERCENTUAL DE OCUPAÇÃO
NORTE 45%
NORDESTE 18%
SUDESTE 11%
SUL 7%
CENTRO-OESTE 19%
3 EM
Revista Pedagógica 47
o item avalia a habilidade de associar os dados de um gráfico de 
setores a uma tabela. o contexto trata do percentual de ocupação 
do território brasileiro por suas regiões. 
dos alunos avaliados, 66% acertaram o item assinalando a alternativa 
E. Para isso, bastaria observar que a região Norte ocupa pouco menos 
da metade do território e que as regiões centro-oeste e Nordeste 
ocupam, cada uma, pouco menos de 20% do território brasileiro.
os 14% dos alunos que adotaram a alternativa A como resposta 
inverteram os percentuais das regiões Sul e Sudeste.
os 6,2% dos alunos que escolheram a alternativa b não se 
apropriaram do sentido da situação, escolhendo a tabela que 
apresenta os percentuais em ordem crescente.
Já os alunos que assinalaram as alternativas c (7,5%) e d (5,6%) não 
consideraram a troca de regiões realizada nos quadros.
66+34
A B C D E
14% 6,2% 7,5% 5,6% 66%
percentual 
de acerto
66%
3 EM
48 Saepi 2012
(M120327A9) O quadro abaixo indica o percentual de alguns produtos líderes na preferência de compra 
realizada pela internet.
Produtos Percentual
Eletrônicos 30,5 %
Produtos para casa 19,5%
Linha Branca 17,5%
Informática 28,4%
Outros 4,1%
O gráfico que melhor representa as informações fornecidas nesse quadro é
A) B)
C) D)
E)
3 EM
Revista Pedagógica 49
o item avalia a habilidade de associar os dados apresentados em um 
quadro a um gráfico de colunas. o contexto apresenta uma tabela 
com alguns produtos e os respectivos percentuais de preferência de 
compra na internet. 
os 58,4% dos alunos que acertaram o item assinalaram a alternativa 
c. Para isso bastaria relacionar os percentuais do quadro aos 
percentuais apresentados no eixo vertical do gráfico.
os 5,4% dos alunos que escolheram a alternativa A inverteram 
os percentuais correspondentes aos produtos eletrônicos e 
outros produtos.
Já os alunos que assinalaram a alternativa b, 5,7%, consideraram 
somente a coluna correspondente aos produtos eletrônicos.
o mesmo ocorreu com aqueles que marcaram a alternativa d (16,3%), 
mas, nesse caso, não tomaram o cuidado com o comprimento da 
barra correspondente aos produtos eletrônicos.
o 13,6% dos alunos que assinalaram a alternativa E não perceberam 
que a barra relativa aos produtos para casa deveria ficar um pouco 
abaixo da linha de 20%.
58+42
A B C D E
5,4% 5,7% 58,4% 16,3% 13,6%
percentual 
de acerto
58,4%
3 EM
50 Saepi 2012
de 250 a 300 pontos
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 
báSICo
o estudante neste Padrão de desempenho resolve problemas mais complexos envolvendo as operações, 
usando dados apresentados em gráficos e tabelas de múltiplas entradas. o gráfico de linhas passa a ser 
reconhecido como a forma gráfica mais apropriada para apresentar uma sequência de valores ao longo 
do tempo. 
No campo geométrico, o estudante é capaz de identificar poliedros e corpos redondos e os relacionam 
com suas planificações. Eles Identificam também as coordenadas de pontos plotados no plano cartesiano.
Neste nível, o estudante reconhece que a medida do perímetro de um polígono, em uma malha 
quadriculada, é proporcional às medidas dos lados e consegue calcular a medida do perímetro de 
uma figura poligonal irregular, cujos lados se apóiam em uma malha quadriculada. Ele sabe, também, 
estabelecer relações entre metros e quilômetros.
Resolve problemas de cálculo da medida de área com base na contagem das unidades não inteiras 
(meio “quadradinho” da malha) de uma malha quadriculada, além de determinar a medida da área de 
quadrados e retângulos. Em relação às medidas de capacidade, consegue estimar medidas de grandezas, 
utilizando o litro, e fazer a conversão entre litros e mililitros. consegue resolver problemas envolvendo o 
cálculo de intervalos de tempo em horas e minutos.
No domínio de números e operações, os estudantes são capazes de resolver problemas com um grau de 
complexidade um pouco maior, envolvendo mais operações. os estudantes reconhecem e aplicam em 
situações simples o conceito de porcentagem e calculam o resultado de uma expressão algébrica, com 
parênteses e colchetes, inclusive com potenciação. calculam uma probabilidade simples e identificam 
fração como parte do todo, sem apoio da figura.
Revista Pedagógica 51
1 EM
(M090627ES) Em um par de óculos, as lentes circulares têm 3 cm de raio e a distância entre os centros das 
lentes é de 8 cm, como mostra o desenho abaixo.
8 cm
?
Quanto mede a largura desse par de óculos?
A) 8 cm
B) 14 cm
C) 16 cm
D) 20 cm
Este item avalia a habilidade em resolver problema envolvendo 
elementos da circunferência. Para resolvê-lo, deve-se somar aos 8 
cm, que representa a distância entre os centros das lentes circulares, 
duas vezes o raio da lente: + + =8 3 3 14 cm. Responderam 
corretamente a esse item os 46,9% dos alunos que marcaram a 
alternativa b.
A alternativa A foi marcada por 11,8% dos alunos. Ao marcá-
la, provavelmente os alunos não se atentaram ao comando do 
item e deram como resposta a distância entre os centros das 
lentes circulares.
Já os 33% dos alunos que assinalaram a alternativa c podem ter 
duplicado a distância entre os centros das lentes, encontrando assim 
× =2 8 16 cm.
A alternativa d apresentou 7,4% de procura. Esses alunos devem ter 
somando aos 8 cm, que representa a distância entre os centros das 
lentes circulares, duas vezes o diâmetro da lente: + × =8 2 6 20 cm.
46+54percentual de acerto46,9%
A B C D
11,8% 46,9% 33% 7,4%
52 Saepi 2012
1 EM
Este item avalia a habilidade em resolver problema envolvendo 
adição entre dois números inteiros. Para resolvê-lo, deve-se efetuar 
a soma 12 5 17+ = para encontrar a idade de Pedro, que é mais 
velho que Mário. Responderamcorretamente a esse item os 54% 
dos alunos que marcaram a alternativa d.
A alternativa A foi marcada por 3,4% dos alunos. Ao marcá-
la, provavelmente os alunos teriam optado pelo menor valor 
apresentado no enunciado do item.
os 38,6% dos alunos que escolheram a alternativa b possivelmente 
efetuaram a diferença − =12 5 7 no lugar da soma.
Já os 3,5% dos alunos que assinalaram a alternativa c podem ter 
apontado o maior valor apresentado no enunciado, não atribuindo 
significado ao problema proposto.
(M050204A9) Mário tem 12 anos e é 5 anos mais novo que Pedro.
Qual é a idade de Pedro?
A) 5 anos.
B) 7 anos.
C) 12 anos.
D) 17 anos.
54+46percentual de acerto54%
A B C D
3,4% 38,6% 3,5% 54%
Revista Pedagógica 53
(M100146A9) Ricardo desloca-se sempre na horizontal ou vertical. Ele está posicionado na origem do plano 
cartesiano e deslocou duas casas para a esquerda desse plano e três casas para baixo, conforme 
indicado no desenho abaixo.
 
para cima
y
x
para baixo
esquerda
direita
– 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2
3
4
2
– 1
– 2
– 3
1
3
– 
Qual é o ponto que indica a posição de Ricardo após essa movimentação?
A) (– 3, – 2)
B) (– 2,+ 3)
C) (– 2, – 3)
D) (+ 2, – 3)
E) (+ 2,+ 3)
o item avalia a habilidade de reconhecer as coordenadas de um 
ponto representado no plano cartesiano. o contexto trata do 
deslocamento de um personagem em uma superfície representada 
pelo sistema cartesiano. 
Mais da metade dos alunos, 51,8%, acertou o item, assinalando a 
alternativa c. Para isso, bastaria reconhecer que um deslocamento 
de duas casas para a esquerda e de três casas para baixo levaria 
Ricardo ao ponto (-2, -3).
os 16,7% dos alunos que assinalaram a alternativa A inverteram os 
valores das coordenadas do ponto, e aqueles que assinalaram a 
alternativa E (6,7%) inverteram os sinais das coordenadas.
os alunos que escolheram as alternativas b e d não prestaram 
atenção ao deslocamento descrito no enunciado. os que marcaram 
a alternativa b (12,2%) consideraram que Ricardo se deslocou para 
cima, ao invés de para baixo. os que marcaram a alternativa d (12,3%) 
consideraram o deslocamento para a direita, e não para a esquerda.
51+49
A B C D E
16,7% 12,2% 51,8% 12,3% 6,7%
percentual 
de acerto
51,8%
3 EM
54 Saepi 2012
(M120003B1) O desenho que melhor representa uma das planificações de uma pirâmide reta de base 
quadrada é
A) B)
C) D)
E)
3 EM
Revista Pedagógica 55
o item avalia a habilidade de reconhecer a planificação de uma 
pirâmide reta de base quadrada em contexto matemático. 
os 54,8% dos alunos que assinalaram a alternativa c acertaram o 
item. Para isso bastaria reconhecer a única alternativa que apresenta 
um quadrado como base.
os alunos que escolheram as alternativas A (3,9%) e b (11,2%) não 
consideraram o comando do item, adotando como polígonos de 
base, o pentágono e o hexágono, respectivamente.
Já os 16,3% do alunos que marcaram a alternativa d, provavelmente, 
foram atraídos pela figura do triângulo, bastante presente nas salas 
de aula.
os 13,2% dos alunos que assinalaram a alternativa E, provavelmente, 
consideraram o fato de a base ter quatro lados, confundindo o 
trapézio com o quadrado.
54+46
A B C D E
3,9% 11,2% 54,8% 16,3% 13,2%
percentual 
de acerto
54,8%
3 EM
56 Saepi 2012
de 300 a 350 pontos
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 
AdEqUAdo
Neste Padrão de desempenho, os estudantes reconhecem figuras planas fora da posição prototípica e 
elementos de figuras tridimensionais, tais como vértices, faces e arestas; além de estabelecer relações 
utilizando os elementos de um círculo ou circunferência (raio, diâmetro, corda). Eles também solucionam 
problemas em que a razão de semelhança entre polígonos é dada, como por exemplo, em representações 
gráficas envolvendo o uso de escalas. classificam os ângulos de acordo com suas medidas e resolvem 
problemas envolvendo o cálculo da ampliação, redução ou conservação de ângulos, lados e área de 
figuras planas. 
Neste Padrão, fica evidenciado o trabalho com a Matemática dentro do contexto escolar. Esses estudantes 
resolvem problemas evolvendo a soma dos ângulos internos do triângulo e identificam o gráfico de uma 
reta, dada sua equação. 
No campo grandezas e medidas, as habilidades que se evidenciam são as relativas às soluções de 
problemas envolvendo as operações com horas e minutos, incluindo transformações de diferentes 
unidades de medida. o estudante também calcula a medida do perímetro de figuras retangulares sem o 
apoio de figuras, bem como de polígonos formados pela justaposição de figuras geométricas, inclusive 
nos casos em que nem todas as medidas aparecem explicitamente. Ele também calcula a medida da 
área de figuras retangulares sem o apoio de figuras, além de solucionar problemas envolvendo o cálculo 
de volume de um sólido geométrico através de suas arestas.
Além das habilidades descritas nos níveis anteriores sobre o domínio tratamento de informação, os 
estudantes analisam gráficos de colunas representando diversas variáveis, comparando seu crescimento. 
No campo Números e operações, os estudantes calculam o valor numérico de uma função e a identificam 
em uma situação-problema, além de identificar os intervalos de crescimento e decrescimento de uma 
função a partir de seu gráfico. Resolvem problema envolvendo o cálculo da posição de um termo em uma 
progressão aritmética. Efetuam cálculos de raízes quadradas e reconhecem as diferentes representações 
de um número fracionário. Resolvem problemas envolvendo porcentagem, incluindo situações de 
acréscimos e decréscimos e calculam expressões numéricas com números inteiros e decimais positivos 
e negativos.
Revista Pedagógica 57
(M090129C2) Em uma determinada cidade de 100 000 habitantes apenas 
5
1 da população recebeu a vacina 
contra a gripe A (H1N1) no ano de 2011.
Esse número de habitantes vacinados representa que percentual do total de habitantes dessa cidade?
A) 1% 
B) 1,5%
C) 5% 
D) 20%
Este item avalia a habilidade em reconhecer a porcentagem que 
equivale à fração 1/5. Para resolvê-lo, deve-se proceder a divisão 
1 5 0, 2÷ = , associando a esse número racional a porcentagem 20%. 
Responderam corretamente a esse item os 22% dos alunos que 
marcaram a alternativa d.
A alternativa A foi marcada por 7% dos alunos. Ao marcá-la, 
provavelmente não atribuíram significado à fração e se atentaram 
somente para o numerador da fração, que é 1, e concluíram que essa 
fração seria equivalente a 1%.
os 47,1% dos alunos que escolheram a alternativa b possivelmente 
não atribuíram significado à fração e trataram a barra da fração como 
se fosse a vírgula na representação decimal e concluíram que essa 
fração seria equivalente a 1,5%.
Já os 23% dos alunos que assinalaram a alternativa c podem ter 
se atentado somente para o denominador da fração, que é 5, e 
concluíram que essa fração seria equivalente a 5%.
22+78
percentual 
de acerto
22%
A B C D
7% 47,1% 23% 22%
1 EM
58 Saepi 2012
Este item avalia a habilidade em resolver problema envolvendo 
grandezas que se relacionam por meio de uma função afim. 
Para resolvê-lo, pode-se calcular o custo de produção fazendo 
10 200 0,15 40C = + ⋅ = reais. Responderam corretamente a esse 
item os 23,4% dos alunos que marcaram a alternativa b.
A alternativa A foi marcada por 21,9% dos alunos. Ao marcá-la, 
provavelmente, multiplicaram o número de páginas pelo valor 
cobrado por página, ignorando assim a parcela fixa de R$ 10,00, 
obtendo 200 0,15 30⋅ = reais.
Já os 26,3% dos alunos que assinalaram a alternativa c podem 
ter calculado corretamentea parcela que depende do número 
de páginas, mas, ao invés de somar essa quantia à parcela 
fixa de 10 reais, multiplicaram-na por esses 10 reais, obtendo 
( )200 0,15 10 300⋅ ⋅ = reais.
A alternativa d apresentou 15,6% de procura. Esses alunos devem 
ter simplesmente multiplicado o número de páginas pela parcela fixa 
de 10 reais, calculando assim 10 . 200 = 2000.
os alunos que optaram pela alternativa E (12,1%) talvez tenham 
somado as quantias presentes no enunciado e multiplicado essa 
soma por 200 páginas: ( )200 10 0,15 200 10,15 2030.⋅ + = ⋅ =
(M120046ES) Em uma editora, o custo de produção de um livro é composto por uma parcela fixa de R$ 
10,00, acrescido de R$ 0,15 por página.
Qual é o custo de produção de um livro de 200 páginas nessa editora?
A) R$ 30,00
B) R$ 40,00
C) R$ 300,00
D) R$ 2 000,00 
E) R$ 2 030,00
23+77
A B C D E
21,9% 23,4% 26,3% 15,6% 12,1%
percentual 
de acerto
23,4%
1 EM
Revista Pedagógica 59
 (M090579ES) Em um teatro, o valor do ingresso é R$ 60,00. No dia internacional das mulheres, o ingresso 
feminino nesse teatro teve um desconto de 15%.
Qual foi o valor do ingresso feminino desse teatro nesse dia?
A) R$ 9,00
B) R$ 15,00
C) R$ 45,00
D) R$ 51,00
o item avalia a habilidade de resolver um problema envolvendo 
a noção de porcentagem. o contexto trata do desconto no valor 
do ingresso para um teatro, sendo dados o valor do ingresso e o 
percentual de desconto. 
Somente 23% dos alunos acertou o item, assinalando a alternativa d. 
Para resolvê-lo, seria preciso calcular 15% de 60 reais (9) e subtrair 
esse valor do valor do ingresso (60), obtendo 51 reais como resposta.
os 17,1% dos alunos que assinalaram a alternativa A compreenderam 
a ideia de porcentagem envolvida no item, mas deram como resposta 
o valor do desconto (9).
Já os alunos que escolheram as alternativas b e c não conseguiram 
dar sentido ao item. Aqueles que marcaram a alternativa b (12,2%) 
apenas repetiram um dos dados do enunciado (15). Já aqueles que 
marcaram alternativa c (45,4%) buscaram realizar uma operação 
aritmética com os dados (60-15 = 45).
23+77
percentual 
de acerto
23%
A B C D
17,1% 12,2% 45,4% 23%
3 EM
60 Saepi 2012
o item avalia a habilidade de resolver um problema envolvendo 
a noção de porcentagem. o contexto trata de uma situação de 
aumento salarial em que são dados o salário inicial e o final e pede-
se o percentual de aumento.
os 29,1% dos alunos que acertaram o item assinalaram alternativa c. 
Para resolvê-lo o aluno poderia, após reconhecer que o aumento foi 
de 60 reais, que 10% de 400 corresponde a 40, e que 5% corresponde 
a 20, logo o aumento foi de 15% (10 + 5).
os 38,7% dos alunos que assinalaram a alternativa A não conseguiram 
dar sentido ao item, buscando realizar uma operação aritmética com 
os números do enunciado. Nesse caso, eles fizeram 460 - 400.
os alunos que escolheram as alternativas b e E, provavelmente, foram 
atraídos por percentuais familiares. os que marcaram alternativa 
b (5,9%) associaram o aumento à ideia de metade e aqueles que 
marcaram a alternativa E (13,3%) associaram a 10%.
o mesmo ocorreu com os 12,4% dos alunos que assinalaram a 
alternativa d. Nesse caso, eles não conseguiram atribuir sentido à 
questão e forneceram uma resposta aleatória.
(M120258A8) O salário de Ricardo era de R$ 400,00 e agora é de R$ 460,00.
Ele recebeu um aumento de 
A) 60%
B) 50%
C) 15%
D) 13%
E) 10%
29+71
A B C D E
38,7% 5,9% 29,1% 12,4% 13,3%
percentual 
de acerto
29,1%
3 EM
Revista Pedagógica 61
acima de 350 pontos
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 
AvAnçAdo
No nível Avançado, o que se percebe como salto 
qualitativo, em relação às habilidades descritas 
para os estudantes posicionados neste nível da 
escala, quando comparadas aos níveis anteriores e 
às das séries escolares mais baixas, é a ampliação 
da capacidade de análise do estudante e maior 
discernimento e perspicácia na leitura dos dados 
e informações explícitos, conduzindo para a 
interpretação e inferências de informações implícitas. 
Neste Padrão, os estudantes demonstram 
habilidade em analisar gráficos de linha e 
conseguem estimar quantidades baseadas 
em diferentes tipos de gráficos; além disso, 
conseguem obter a média aritmética de um 
conjunto de valores.
No campo das medidas, os estudantes conseguem 
calcular a medida do perímetro de polígonos 
sem o apoio de malhas quadriculadas, resolver 
problemas de cálculo da medida de área com 
base na contagem das unidades de uma malha 
quadriculada, cuja unidade de medida de área é 
uma fração do “quadradinho” da malha, além de 
calcular a medida da área de figuras simples e de 
figuras formadas pela composição das mesmas 
sem uso da malha quadriculada. Eles também 
calculam a medida do volume de paralelepípedos 
e de cilindros, bem como a área total de alguns 
sólidos, além de relacionar corretamente metros 
cúbicos com litros.
No campo algébrico e numérico, esses estudantes 
calculam o resultado de expressões numéricas 
mais complexas. Resolvem equações do 1º grau, 
2º grau e exponenciais, além de problemas que 
recaem em equações do 1º e 2º graus. Identificam 
o gráfico de uma função, intervalos em que os 
valores são positivos e negativos e pontos de 
máximo ou mínimo. Interpretam geometricamente 
o significado do coeficiente angular e linear de 
uma função afim e associam as representações 
algébricas e geométricas de um sistema de 
equações lineares. calculam probabilidades de um 
evento usando o princípio multiplicativo. Resolvem 
problemas envolvendo: grandezas inversamente 
proporcionais, juros simples, PA e Pg, princípio 
multiplicativo e combinações simples.
No campo geométrico, o estudante é capaz de 
calcular o número de diagonais de um polígono, 
além de utilizar as diferentes propriedades 
de polígonos regulares. Resolvem problemas 
envolvendo semelhança, relações métricas e 
razões trigonométricas no triângulo retângulo. 
Identificam a equação da reta a partir de dois 
pontos num plano cartesiano, além de determinar 
o ponto de intersecção entre duas retas.
62 Saepi 2012
1 EM
(M090352C2) Observe os tijolos de vidro desenhados abaixo. Eles têm o formato quadrado e seu lado 
equivale a 19 cm. 
Desprezando o espaço da junção entre os tijolos, o perímetro dessa parede de tijolos de vidro é igual a
A) 361 cm
B) 399 cm
C) 532 cm
D) 703 cm
Este item avalia a habilidade em resolver problema envolvendo o 
cálculo de perímetro de figuras planas. Para resolvê-lo, é necessário 
contar a quantidade de lados de tijolos de vidro que formam o 
contorno dessa parede de tijolos de vidro. Ao encontrar 28 lados de 
tijolos, multiplica-se essa quantidade pela medida de um lado, que 
é 19 cm, chegando assim à medida 28 19 532× = cm. Responderam 
corretamente a esse item os 24,7% dos alunos que marcaram a 
alternativa c.
A alternativa A foi marcada por 27,5% dos alunos. Ao marcá-la, 
provavelmente, calcularam a área ocupada por um único tijolo de 
vidro, pois teriam efetuado 19 19 361× = .
os 23,4% dos alunos que escolheram a alternativa b, possivelmente, 
não atribuíram significado ao enunciado do item e calcularam a área 
ocupada por um tijolo e somaram esse valor às duas medidas dos 
lados explicitadas na figura: 19 19 2 19 361 38 399× + × = + = .
A alternativa d apresentou 23,4% de procura. Esses alunos devem 
ter contado o número de tijolos que formam a parede (37 tijolos) 
e multiplicaram essa quantidade pelo comprimento do lado de um 
tijolo, pois efetuaram 37 19 703× = .
25+75percentual de acerto24,7%
A B C D
27,5% 23,4% 24,7% 23,4%Revista Pedagógica 63
Este item avalia a habilidade em reconhecer região 
de crescimento de uma função, a partir de seu 
gráfico. Para resolvê-lo, deve-se identificar, através 
do gráfico, a parte em que apresenta crescimento 
e descrever essa região por meio dos valores 
do eixo das abscissas, no caso o intervalo [0,2]. 
Responderam corretamente a esse item os 9,4% 
dos alunos que marcaram a alternativa E.
A alternativa A foi marcada por 16% dos alunos. 
Ao marcar essa alternativa, provavelmente, 
identificaram a região onde a função é constante e 
assume valores negativos.
os 29,2% dos alunos que escolheram a alternativa 
b, possivelmente, identificaram a região onde a 
função é constante e assume valores positivos.
Já os 36,9% dos alunos que assinalaram a 
alternativa c podem ter identificado corretamente 
a parte do gráfico que apresenta crescimento, mas 
buscaram descrever essa parte do gráfico a partir 
de valores do eixo das ordenadas.
A alternativa d apresentou 8,2% de procura. 
Esses alunos devem ter considerado a parte do 
gráfico em que a função é positiva, mas buscaram 
descrever essa parte do gráfico a partir de valores 
do eixo das ordenadas.
9+91
A B C D E
16% 29,2% 36,9% 8,2% 9,4%
percentual 
de acerto
9,4%
1 EM
(M120631ES) Observe o gráfico de uma função f: [– 4, 6] → IR.
Essa função é crescente no intervalo
A) [– 4, 0] 
B) [2, 6] 
C) [– 1, 1] 
D) [0, 1] 
E) [0, 2]
64 Saepi 2012
(M120261ES) Para garantir o sigilo da senha de seu cofre, Jairo, que adora Matemática, escreveu essa senha 
na sua agenda, usando o seguinte código: “O quadrado de um número menos 6 000 é igual a 70 vezes esse 
número”. A raiz positiva da equação que traduz esse código dá a senha do cofre.
Qual é a senha do cofre de Jairo?
A) 120
B) 170
C) 1 100
D) 2 300
E) 3 035
o item avalia a habilidade de resolver um problema envolvendo uma 
equação do 2º grau. o contexto trata de descobrir a senha para abrir 
um cofre. 
Menos de um quarto dos alunos (20%) acertou o item, assinalando 
a alternativa A. Para isso, seria necessário realizar a conversão 
para o registro algébrico e resolver a equação de 2º grau obtida, 
encontrando as raízes -50 e 120 e abandonando a raiz negativa.
os alunos que escolheram a alternativa b (21,2%) conseguiram 
estabelecer a equação de 2º grau associada ao problema, mas 
ofereceram como resposta o valor do descriminante.
os alunos que assinalaram as alternativas c e E não conseguiram 
dar sentido ao problema, buscando realizar operações aritméticas 
com os dados do enunciado. Aqueles que marcaram a alternativa c 
(19,2%) subtraíram o quadrado de 70 de 6.000, e os que marcaram a 
alternativa E (17,1%) adicionaram os dois valores do enunciado (6.000 
e 70) e dividiram o resultado por dois.
Já os alunos que assinalaram a alternativa d (22%) também não 
conseguiram dar sentido ao item, oferecendo uma resposta aleatória.
20+80
A B C D E
20% 21,2% 19,2% 22% 17,1%
percentual 
de acerto
20%
3 EM
Revista Pedagógica 65
o item avalia a habilidade de reconhecer as raízes de uma função 
quadrática representada por seu gráfico, em contexto matemático. 
Menos de um quarto dos alunos, 20,5%, acertou o item assinalando 
a alternativa c. Para isso, bastaria reconhecer no gráfico os pontos 
em que a parábola cruza o eixo horizontal (-2 e 2).
os alunos que escolheram a alternativa A, 45,9%, associaram as 
raízes da função a todos os pontos de interseção com os eixos, já 
aqueles que marcaram a alternativa b, 13,4% consideraram as duas 
primeiras interseções (-2 e -4).
os alunos que assinalaram a alternativa d, 9,2%, além das raízes da 
função acrescentaram o zero do sistema cartesiano.
Já aqueles que marcaram a alternativa E, 10,4%, consideraram além 
da origem do sistema cartesiano o ponto de interseção da parábola 
com o eixo vertical.
(M120258ES) O gráfico abaixo representa uma função de domínio [– 3, 3]. 
As raízes dessa função são
A) – 2, – 4 e 2.
B) – 2 e – 4.
C) – 2 e 2.
D) – 2, 0 e 2.
E) – 4 e 0.
20+80
A B C D E
45,9% 13,4% 20,5% 9,2% 10,4%
percentual 
de acerto
20,5%
3 EM
66 Saepi 2012
3
os resultados desta escola no Saepi são apresentados sob seis aspectos, sendo que quatro deles estão impressos 
nesta revista. os outros dois, que se referem aos resultados do percentual de acerto no teste, estão disponíveis no Cd 
anexo à Revista da gestão Escolar compõe a coleção e no Portal da Avaliação, pelo endereço eletrônico www.saepi.
caedufjf.net. o acesso aos resultados no Portal da Avaliação é realizado mediante senha enviada ao gestor da escola.
oS RESUlTAdoS dESTA ESColA 
Revista Pedagógica 67
RESUlTAdoS dISPonÍvEIS no 
PoRTAl dA AvAlIAção
• Percentual de acerto por descritor
Apresenta o percentual de acerto no teste para cada uma das habilidades avaliadas. 
Esses resultados são apresentados por gRE, município, escola, turma e estudante.
• Resultados por aluno
É possível ter acesso ao resultado de cada estudante na avaliação, sendo informado o 
Padrão de desempenho alcançado e quais habilidades ele possui desenvolvidas em 
Matemática para o 1º e 3º anos do Ensino Médio. Essas são informações importantes 
para o acompanhamento de seu desempenho escolar.
RESUlTAdoS ImPRESSoS nESTA REvISTA
• Proficiência média 
Apresenta a proficiência média desta escola. É possível comparar a proficiência com 
as médias do estado, da sua gRE e do seu município. o objetivo é proporcionar uma 
visão das proficiências médias e posicionar sua escola em relação a essas médias.
• Participação 
Informa o número estimado de estudantes para a realização do teste e quantos, 
efetivamente, participaram da avaliação no estado, na sua gRE, no seu município e na 
sua escola.
• Percentual de alunos por Padrão de desempenho 
Permite acompanhar o percentual de estudantes distribuídos por Padrões de 
desempenho na avaliação realizada pelo estado.
• Percentual de alunos por nível de proficiência e Padrão de desempenho
Apresenta a distribuição dos estudantes ao longo dos intervalos de proficiência no 
estado, na gRE/município e na sua escola. os gráficos permitem identificar o percentual 
de alunos para cada nível de proficiência em cada um dos Padrões de desempenho. 
Isso será fundamental para planejar intervenções pedagógicas, voltadas à melhoria do 
processo de ensino e à promoção da equidade escolar.
68 Saepi 2012
o artigo a seguir apresenta uma sugestão para o trabalho de uma competência em sala de aula. A proposta é que 
o caminho percorrido nessa análise seja aplicado para outras competências e habilidades. Com isso, é possível 
adaptar as estratégias de intervenção pedagógica ao contexto escolar no qual atua para promover uma ação 
focada nas necessidades dos alunos. 
4
dESEnvolvImEnTo dE HAbIlIdAdES
Revista Pedagógica 69
A APlICAção dE RElAçõES 
E PRoPRIEdAdES dAS 
fIgURAS gEoméTRICAS 
no EnSIno médIo
conhecimentos sobre “Espaço e forma”, um dos temas 
desenvolvidos no ensino da Matemática, são fundamentais para o 
desenvolvimento intelectual do estudante. o ensino dos conteúdos 
geométricos corresponde a uma relação entre as situações práticas 
e o conhecimento de definições e teoremas, que possibilita, ao 
estudante, interpretar e aplicar seu raciocínio teórico e prático nas 
situações em que se encontre. dentro desse tema, as habilidades 
relacionadas à competência “Aplicar Relações e Propriedades”, 
ao serem apresentadas aos estudantes, muitas vezes mostram-se 
desprendidas da realidade, sem uma integração significante com 
outras disciplinas do currículo ou até mesmo com outros conteúdos 
da disciplina Matemática.
Em estudos da área de Educação, vemos que uma parcela 
consideráveldos estudantes que ingressam em um curso superior 
tem uma base insuficiente sobre o tema. os resultados das avaliações 
em larga escala realizados pelo cAEd também têm mostrado que, 
de modo geral, o estudante não consegue desenvolver de forma 
satisfatória as habilidades relativas a essa competência, pois os 
itens de teste referentes a ela são pouco acertados. deste modo, 
consideramos apropriado abordar alguns aspectos referentes ao 
desenvolvimento desta competência, a qual representa uma lacuna 
a ser preenchida na prática pedagógica dos professores.
Apesar de o foco ser dado para a aplicação de relações e 
de propriedades em Matemática, o desenvolvimento desta 
competência inicia-se com o conhecimento dos entes geométricos 
− ponto, reta e plano − e seus conceitos, formas e aplicações. 
A aprendizagem de conceitos associados a medidas de ângulos 
70 Saepi 2012
se faz igualmente essencial nesse trabalho, onde o estudante 
deve, no decorrer do processo educacional, saber diferenciar 
medidas de ângulos, calcular suas medidas e conhecer suas 
respectivas nomenclaturas (agudo, reto, obtuso e raso). o estudo 
de figuras planas poligonais e do círculo também se refere a esta 
competência, no que diz respeito ao estabelecimento de relações 
entre medidas de lados, ângulos, raio, diâmetro e corda, como 
ainda os conceitos de semelhança. Para isso, o estudante deve 
conhecer as figuras geométricas poligonais e o círculo, suas 
propriedades e suas partes. 
com conhecimentos sólidos dessas habilidades de menor 
complexidade considera-se a possibilidade de trabalhar soma dos 
ângulos internos de um triângulo, a abordagem da lei angular de 
tales e, em seguida, a aplicação do teorema de Pitágoras. Esses 
conteúdos matemáticos representam conceitos fundamentais para 
o estudante no Ensino Médio que, em um grau de dificuldade mais 
avançado, ainda desenvolverá conhecimentos acerca das relações 
métricas no triângulo retângulo.
o aprendizado da geometria Espacial também representa certa 
progressão no desenvolvimento cognitivo para esta competência. 
Ela é trabalhada a partir de objetos manipulativos, planificações 
e cálculo de volumes até a formalização de algumas relações e 
propriedades, principalmente por meio da utilização da relação 
de Euler (relacionado ao número de faces, vértices e arestas dos 
polígonos). Na geometria Analítica, o desenvolvimento refere-se à 
identificação, por exemplo, da equação de uma reta e a sua equação 
reduzida a partir de dois pontos dados, e reconhecer os coeficientes 
linear e angular de uma reta dado o seu gráfico. 
Em referência à trigonometria, são apresentados seus conceitos 
e são feitas relações entre seus elementos e as razões 
trigonométricas no triângulo retângulo, sempre tomando o 
cuidado de abordar este procedimento em diversos contextos, 
formalizando seus conceitos.
Revista Pedagógica 71
A aprendizagem em sala de aula: 
desenvolvimento de habilidades por meio 
de estratégias, hipóteses e resultados
de acordo com os Parâmetros curriculares estipulados para a 
educação, o estudante do Ensino fundamental deve ter uma visão dos 
diversos campos do conhecimento matemático, sendo que, no Ensino 
Médio, ele utilizará esses conhecimentos e poderá desenvolvê-los 
de modo mais amplo. Isso significa o desenvolvimento em um grau 
de complexidade maior das capacidades de abstração, raciocínio, 
resolução de situações -problema, bem como a compreensão e a 
interpretação do contexto em que o estudante está inserido.
Sendo assim, buscamos repensar o desenvolvimento cognitivo 
da habilidade Reconhecer aplicações das relações métricas do 
triângulo retângulo em um problema que envolva figuras planas ou 
espaciais1 relativa à competência “Aplicar Relações e Propriedades”, 
explicitando a progressão cognitiva e as atividades didáticas que 
poderiam ser aplicadas neste contexto. 
Nos estudos em Educação Matemática, percebemos a preocupação 
com o aspecto sociocultural dos conteúdos, referente à necessidade 
de contextualizar o conhecimento, buscando aspectos históricos e 
sociais, e a relação de seus objetivos de ensino. Neste caso, cabe 
ressaltar que não há uma proposta de abandono da compreensão 
teórica ou da aquisição de técnicas, mas de buscar expandir o 
conhecimento do estudante, com uma visão completa sobre o 
conteúdo abordado.
o teorema de Pitágoras requer habilidades desenvolvidas desde 
as séries iniciais do Ensino fundamental até o Ensino Médio, 
onde inicialmente é dado um enfoque para a utilização de objetos 
manipulativos e, após, são abordadas a formalização da fórmula 
utilizada para resolução dos problemas.
A ordem de apresentação de tópicos de Matemática pode ser 
diversificada, tanto pelos livros didáticos quanto pela estratégia 
1 Em outras palavras, esta habilidade refere-se à capacidade que um 
estudante tem para reconhecer, em um dado problema com figuras 
geométricas planas ou espaciais, ocasiões nas quais serão usadas as 
relações métricas de um triângulo retângulo. Neste caso, com foco em 
problemas que requerem o uso do teorema de Pitágoras.
72 Saepi 2012
didática do professor e, deste modo, procuramos apontar algumas 
propostas de ensino que o educador poderá utilizar em sala de aula. 
Em um dos primeiros momentos de desenvolvimento dessa 
competência na escola, consideramos a importância em trabalhar 
a condição de existência dos triângulos. Assim, desde o 5º ano do 
Ensino fundamental (Ef), por exemplo, pode-se disponibilizar diversos 
materiais manipulativos – como no caso de “varetas” (figura 1) − com 
medidas diferenciadas, para que os estudantes façam combinações 
com três delas, percebendo, por meio da experimentação, que nem 
sempre é possível formar uma figura triangular e que há elementos 
que têm relação com a existência ou não de triângulos. 
Figura 1
cabe notar, assim, que com as três varetas apresentadas no alto da 
figura (figura 1) pode-se formar um triângulo, mas com as outras três 
varetas, apresentadas na parte inferior desta mesma figura, não há a 
possibilidade de combinação para a formação de um triângulo. 
Após a percepção de existência dos triângulos, podem ser 
trabalhados os seus tipos (acutângulo, retângulo, obtusângulo), 
utilizando, ainda, objetos manipulativos. Isso permite, ao estudante, 
perceber que a condição de existência, abordada anteriormente, 
não garante a construção do triângulo retângulo. 
o “esquadro de cordas egípcio” (figura 2), recurso utilizado pelos 
antigos egípcios e que pode ser apresentado na sala de aula, é um 
rico material a ser utilizado na construção do triângulo retângulo, 
possibilitando, ao estudante, verificar a relação de existência dessa 
Revista Pedagógica 73
figura. os egípcios tinham o conhecimento do triângulo retângulo 
com medidas de 3, 4 e 5 unidades de comprimento para cada lado. 
com base nessa informação, eles usavam um pedaço de corda, na 
qual davam nós com intervalos de mesmo distância. deste modo, 
construíam um esquadro na forma do triângulo retângulo reservando 
três, quatro e cinco espaços entre os nós para representar, 
respectivamente, os três lados do triângulo. com este instrumento, 
era possível verificar em diversas situações, se os elementos 
medidos estavam “no esquadro” ou se possuíam ângulos maiores 
ou menores que 90º (por exemplo: medidas de cantos de paredes 
e mesas, medidas angulares de quadrados e outras figuras, entre 
outros). 
Figura 2
como apontado nos Parâmetros curriculares, o material concreto 
deve ser desencadeador de conjecturas e processos que levem às 
justificativas formais, e neste caso, mostramos que podemos pensar 
nessa abordagem também para o teoremade Pitágoras. 
Após esse trabalho de reconhecimento do triângulo retângulo, o 
estudante já apresenta condições para chegar à forma do teorema 
(anos finais do Ef). vamos pensar em uma atividade!
Podemos solicitar, inicialmente, que o estudante construa um triângulo 
com um ângulo de 90º. com base nesse triângulo, pede-se que sejam 
feitos esboços de quadrados sobre os catetos e a hipotenusa desse 
triângulo (figura 3), isto é, cada quadrado é construído sobre cada lado 
do triângulo. Em seguida o estudante calcula as medidas dos lados do 
triângulo (utilizando a régua ou outro instrumento de medidas) e as 
74 Saepi 2012
medidas da área de cada quadrado, buscando relacionar os dados 
encontrados. Esse procedimento pode ser repetido para outros 
triângulos retângulos e registrados seus resultados (figura 4) até que 
se possa apresentar alguma relação entre os dados encontrados 
para cada triângulo. A observação das relações e experimentação 
dos resultados podem ser aplicadas em outras situações a fim de 
testar o modelo matemático encontrado nessa situação. Neste caso, 
cabe ressaltar que procedimento aplicado e o modelo matemático 
encontrado não se referem a uma prova do teorema de Pitágoras, 
mas a uma suposição por meio de tentativa e teste.
Q3
5
4A
b
c
3Q1
Q2 área dos 
quadrados
cateto b cateto c hipot. a Q1 Q2 Q3
Figura 3 / Figura 4
Para aplicar este teorema em situações-problema, pode-se iniciar o 
estudo com atividades de menor grau de complexidade até alcançar 
as mais complexas. Por exemplo, o professor pode solicitar que o 
estudante trabalhe situações em um triângulo retângulo que, dado a 
medida de dois lados, pede-se para encontrar a medida do terceiro 
lado. Isso permite iniciar a utilização do teorema como ferramenta 
para resolução de problemas mais básicos, veja (Exemplo 1): 
Exemplo 1
de acordo com as medidas indicadas na figura (figura 5), calcule x.
Figura 5
Revista Pedagógica 75
Esse tipo de situação pode ser dificultada de acordo com as variáveis 
didáticas envolvidas (letras, rotação do triângulo, dados decimais), pois 
o trabalho com o triângulo em uma posição não usual ou com dados não 
inteiros interfere diretamente na dificuldade que o estudante encontrará 
para resolver um dado problema.
Podemos notar que aplicar o teorema de Pitágoras para resolver 
um problema representa uma das fases do desenvolvimento dessa 
competência, pois o estudante, ao final do Ensino Médio, deverá 
saber aplicar o teorema a qualquer situação semelhante. Ressaltamos, 
portanto, que este trabalho pode ser iniciado com grau de complexidade 
mais baixa, com a apresentação de problemas para estudantes do 8º 
ano do Ef, veja o exemplo abaixo (Exemplo 2):
Exemplo 2
o portão de entrada de uma casa tem o formato retangular (Abcd) com 
3 metros de comprimento e 2,5 metros de altura. Para que o portão 
não perca seu formato original, sugere-se pregar uma trave de madeira 
na posição diagonal (ponto b ao d), percorrendo todo o portão, como 
temos na figura a seguir:
 Qual comprimento essa trave deve ter?
Entretanto, ao abordar este conteúdo com estudantes do 9º ano do 
Ef, e todo o Ensino Médio, o grau de complexidade para resolução de 
situações- problema − baseada no teorema de Pitágoras − vai crescendo, 
culminando em aplicações semelhantes ao exemplo apresentado em 
seguida (Exemplo 3).
76 Saepi 2012
Exemplo 3
como podemos perceber, a linguagem e o conjunto de habilidades 
requisitadas em cada um desses dois problemas são diferenciados, 
sendo mais fácil para o estudante resolver o Exemplo 1 do que o 
Exemplo 2, sendo esses dois problemas, mais fáceis que o Exemplo 3. 
com essas atividades, ressaltamos de forma implícita, o 
desenvolvimento de habilidades importantes, tais como a soma 
dos ângulos internos de um triângulo (em um trabalho posterior 
a existência de triângulos) e a abordagem da lei angular de tales 
(complementando o trabalho com o “esquadro de cordas egípcio”), 
o que facilita o conhecimento e aplicação do teorema de Pitágoras. 
cabe ressaltar ainda, a aplicação desse teorema com figuras 
espaciais e relações métricas no triângulo retângulo, as quais 
também utilizarão habilidades sobre semelhanças de triângulos e 
teorema de Pitágoras.
o trabalho realizado pelo professor, associado aos aspectos 
apontados por nós, seja na utilização de objetos manipulativos ou 
utilização de conceitos relacionados à modelagem matemática 
e à resolução de problemas, pode contribuir no desenvolvimento 
de algumas habilidades relacionadas ao tema “Espaço e forma”. 
Permitir a aplicação e uso de diversos recursos e metodologias na 
sala de aula, permite, ao estudante, construir conceitos mais densos 
e significativos relacionados, por exemplo, à aplicação do teorema 
de Pitágoras.
Revista Pedagógica 77
 Nosso objetivo foi intervir na apreensão do 
conteúdo, com atividades que desenvolvessem 
habilidades para as disciplinas de exatas 
Geisylene Pereira do Nascimento
Professora de Matemática
oS dESAfIoS dA EdUCAção
AvAlIAção ExTERnA ColAboRA PARA PREPARAção doS AlUnoS
A professora de Matemática geisylene Pereira do 
Nascimento sempre teve aptidão para a matéria. 
Acostumada com os cálculos, ela trabalha como 
professora há 12 anos e atualmente está inserida 
na Rede Estadual de ensino público. com 
especialização em Matemática, geisylene acredita 
na valorização dos profissionais da educação para 
o desenvolvimento do ensino.
Para ela, um dos desafios da docência é conseguir 
condições adequadas para desenvolver um 
bom plano de trabalho. A instituição onde a 
professora leciona atende em tempo integral 
aproximadamente 340 alunos com uma equipe 
de 16 professores. “Posso dizer que temos uma 
boa estrutura física”, avalia. outra necessidade 
detectada pela educadora é a formação 
continuada. “Precisamos investir em cursos de 
formação e capacitação por área”, completa.
geisylene percebe que para trabalhar a Matemática 
é necessário antes fazer um nivelamento da turma. 
“Entramos em sala de aula com o desafio de superar 
a defasagem de conteúdo dos alunos. Eles chegam 
sem os conhecimentos prévios que deveriam ter 
adquirido no Ensino fundamental, base para o 
Ensino Médio”, observa. A educadora acredita 
que a avaliação externa contribui para minimizar 
esse desafio. “com a divulgação dos resultados, 
podemos elaborar um bom planejamento e criar 
ações pedagógicas fundamentadas”.
Planejando soluções
A professora percebe a importância do sistema 
avaliativo para o planejamento das aulas. “Através 
dele, podemos detectar as falhas e trabalhar as 
deficiências”, ressalta. As estratégias utilizadas para 
isso são variadas: revisão de conteúdo, resolução de 
exercícios e problemas. “Isso sem falar nas janelas que 
o professor abre em meio ao conteúdo para relembrar 
tópicos essenciais”. Isso facilita o entendimento da 
matéria e faz o aluno avançar com êxito.
os Padrões de desempenho determinados pelo 
estado no sistema avaliativo também têm utilidade 
pedagógica para geisylene. “com esses Padrões, 
temos ciência de como está nosso alunado e 
trabalhamos para superar a quantificação anterior”, 
afirma. o ideal, segundo a educadora, é trabalhar 
com projetos na escola. dessa maneira, é possível 
alcançar melhores resultados. E a instituição de 
ensino vem investindo nessa direção. A professora 
participou do projeto gincana das Exatas, no qual 
toda a comunidade escolar foi envolvida. “Nosso 
objetivo foi intervir na apreensão do conteúdo, 
com atividades que desenvolvessem habilidades 
para as disciplinas de exatas”.
ExPERIÊnCIA 
Em foCo
78 Saepi2012
REIToR dA UnIvERSIdAdE fEdERAl dE jUIz dE foRA
HENRIQUE DUQUE DE MIRANDA CHAVES FILHO
CooRdEnAção gERAl do CAEd
LINA KÁTIA MESQUITA DE OLIVEIRA
CooRdEnAção TéCnICA do PRojETo
MANUEL FERNANDO PALÁCIOS DA CUNHA E MELO
CooRdEnAção dA UnIdAdE dE PESqUISA
TUFI MACHADO SOARES
CooRdEnAção dE AnálISES E PUblICAçõES
WAGNER SILVEIRA REZENDE
CooRdEnAção dE InSTRUmEnToS dE AvAlIAção
RENATO CARNAÚBA MACEDO
CooRdEnAção dE mEdIdAS EdUCACIonAIS
WELLINGTON SILVA
CooRdEnAção dE oPERAçõES dE AvAlIAção
RAFAEL DE OLIVEIRA
CooRdEnAção dE PRoCESSAmEnTo dE doCUmEnToS
BENITO DELAGE
CooRdEnAção dE dESIgn dA ComUnICAção
JULIANA DIAS SOUZA DAMASCENO
RESPonSávEl PElo PRojETo gRáfICo
EDNA REZENDE S. DE ALCÂNTARA
PIAuí. Secretaria da Educação e cultura.
SAEPI – 2012/ universidade federal de Juiz de fora, faculdade de Educação, cAEd.
v. 1 ( jan/dez. 2012), Juiz de fora, 2012 – Anual.
ARAÚJo, carolina Pires; MElo, Manuel fernando Palácios da cunha e; olIvEIRA, lina Kátia Mesquita 
de; REzENdE, Wagner Silveira.
conteúdo: Revista Pedagógica – 1º e 3º anos do Ensino Médio - Matemática. 
ISSN 2238-0574 
cdu 373.3+373.5:371.26(05)